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Zusammenfassung Mathe KA 3, Extremstellen, Wendestellen, Rechtskurve, Linkskurve, Monotonie
2.11.2020
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KA3 Ⓒ 1. Mögliche Extremstellen bestimmen Bei inneren ES gilt: Die Ableitung muss null sein! notwendige Bedingung für innere ES f'(x₁) = O)! JEDOCH reicht f'(x)=0 als Bedingung für weil innere es nicht aus! S Jitu 2 auch an x=2 gilt f'(2) = 0 Sist aber KEINE Extremstelle sondern ein Sattelpunkt ! 2 Nachueis von Extremstellen 1. Mit dem VZW-Kriterium wenn f'(x)=0 ist und f' bei xo von negativen/ positiven werten zu positiven /negativen Werten wechself, hat fan der Stelle to ein Lokales Minimum Maximum. X, ist also tatsächliche Extremstelle. (wenn f'(x)=0 ist und f'an der Stelle Xo keinen VZW hat, so hat f an der Stelle x, einen, Sattelpunkt Sattelpunkte=Wende punkte VORGEHEN: mit Steigung O 1. f'(x)=0 Lösen und MÖGLICHE ES bestimmen a. F'an den MÖGLICHEN ES auf VZW untersuchen →>einsetzen von Testwerten 2. Mit dem Kriterium der 2. Ableitung wenn f'(x)=0 und f" (x₂) > 0 / f"(x₁) < 0 gilt, dann hat die funktion fan der Stelle xo ein Lokales Minimum Maximum. ABER: Falls f'(x₂) - 0 und f"(x₁) = ( dann VZW überprüfen ↓ von f' ! also z. B. f(x)= x 4 mögliche es: x=0 aber fiGO UND F"(x) = 0 also Testwerte: f'(-1) < 0 und f'(1) >0. also Tiefpung beit an der Stelle O 7 3.Wendestellen Definitionen: Wendepunkt - Punkt, an dem ein Schaubild von einer RK/LK in eine LKIRK übergeht Wendestelle zugehörige Stelle, also x-Wert des Wendepunktes Krimmungsverhalten-Einteilung in Rk oder LK eines Schaubilds Cikke 4 AKILK?! wenn f'in einem Intervall I streng moration fallend/wachsend ist, ist...
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Alternativer Bildtext:
das Schaubild im & in I eine Rechtskurve/ f Linkskurve (Steigung/Ableitung nimmt ab/zy von HP: Rechtskuve ^^^ TP: Linkskurve v Monotoniesetz wenn f(x)=0 5 (eine Ebene tiefer) für alle xe I, dann ist f'(x) streng monoton wachsend/ fallend in I (und somit ist das Schaubildin f im Intervall I eine Linkskurve/Rechtskune) Kennzeichen von Wendestellen Die 1. Ableitung hat bei einer wendestelle von f ein extremum Rk in LK Bei Wechsel von Lk in Rk hat f'ein (okales Maximum. Minimum Bestimmung von Wendestellen DIE ES von f' sind DIE WS yon f! AISO bestimmt man statt den WS von & die es von f'! Entweder mit VZW /2. Ableitung wenn f"(x₂)= 0 und f" (x₂) #0 dann hat fan der Stelle x, eine Extremstelle und f hat somit an der Stelle Xo eine wendestelle. wenn f"(x0)=0 und f" (xo) = 0, dann Prüfung mit VZW-kriterium, also prafen ob f"(x) an der Stelle Xo einen VZW hat.