Analysis 1. Quartal Q1

Alternativer Bildtext:

wenn f'(x) >0 streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0 Globalverhalten Das Globalverhalten von ganzrationalen Funktionen wird bestimmt durch die höchste Potenz von x und das Vorzeichen davor f(x)=x*-5x²+6: höchste Potenz ist x* mit positivem Vorzeichen, d.h: für x-∞ gilt f(x) →∞07 für x→∞o gilt f(x) →∞ beide Seiten gehen nach oben f(x)=-x*-5x³+ 6: höchste Potenz ist x mit negativem Vorzeichen, d.n.: für x→-∞ gilt f(x) für x -> co gilt f(x) >-00 } f(x)=-x³-5x²+6 :höchste Potenz ist x³ mit negativem Vorzeichen, d.h.: für x→-co gilt fcx) →∞ für x-∞ gilt fcx)-» -∞ links von oben, rechts von unten ungerader Exponent a>o X→∞: f(x) →∞ Globalverlauf beide Seiten gehen nach unten x-co: fcx) →-8 a<0 x→∞o: fcx) →-co x-∞: f(x) →∞ gerader Exponent X→∞: f(x)→∞ x →→∞: f(x) →∞ x →∞: fcx)-00 X-∞: f(x) →-∞ ^ + +∞ +∞ Nullstellen von ganzrationalen Funktionen 1. ablesen f(x) = (x-3)(x+2)(x+1) x1=3; x2=-2;×3=-2 Wann wird eine Klammer 0?" Funktioniert nur bei." 0=(x-u) (x+3)+3 ablesen geht nicht mehr 2. Ausklammern f(x)=x3-4x 0=x3-4x 0=x-(x²-u) X=0 oder x2-4=0 1+4 +2 = 41 x =±2 X₂=-2 x3 > 2 Funktioniert nur, wenn in jedem Teil des Terms ein x vorhanden ist. 3x2+6x+5 *+S geht nicht, da kein x Eine ganzrationale Funktion vom Grad nin EN) hat höchstens n Nulsteuen. Beim Berechnen von Nullstellen können folgende Verfahren hilfreich sein: 3. Substitution f(x)=x4-7x²+12 0 = x4-7x²+12 U=x² 0=4²-74+10 pq- Formel: UAR U 112- U₁ = U₂ = 3² →X=? ·± √ х2= ит x=√√ √(-1) ²2- 49 - 12 48 4 ×₁=√3¹ x₂= -√3¹ x3 = -√4²=2 xy=-√4²=-2 1. Ablesen, wenn die Funktionsgleichung nur aus Linearfaktoren bestent: Z. B. f(x) = -0₁5. (x-3)⋅ (x-1)². (x+2) 2. Ausklammen, wenn alle Summanden des Funktionsterms Variabeln enthalten: z. B. f(x) = x³ - 2x² = x²(x-2) 3. Substitution, wenn der Funktionsterm nur die Potenzen x² und x4 oder x³ und x6 (usw.) enthalt: 2.B. f(x)=x²-7x² +12 = 2²-72 +12 Z=x² TP Beispiel: Krümmungsverhalten WP f"(x)>0; f hat eine Linkskrümmung → F"(x) <0; f hat eine Rechtskrümmung → o` X -4 - 3 f" (x) -560<0 0 ↳RK für X>-3 - 1 160>0 0 XWP L₂LK für -34840 An den Punkten, an denen der Graph keine Krümmung hat, gilt: F"(x)=0 Diese Punkte nennt man Wendepunkte 1 3 -160<0 0 LRK für -1<x<3 TP→Tiefpunkt → > Sattelpunkt 4 560>0 ↳LK Für x34 SP→ → Hochpunkt wp → Wendepunkt HP→ 00 Links Krümmung: I [-3; 0]; [[4; ∞0] rechts Krümmung: I [-∞ ₁-3]; [[0₁3] 1. Nullstelle der 1. Ableitung bestimmen notwendige Bedingung (n B) Beispiel: fcx)=x²-2x+1 NB: f'(x)=0 f'(x)=2x-2 0=2x-2 2=2x A=X f(x) kann nur an der Stelle x=1 einen Extrempunkt besitzen. 2....Liegt ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt vor? Lhinreichende Bedingung (NB) h.B: 1+2 1:2 Untersuchen der Ableitung auf Vorzeichenwechsel (vaw)→→→! zwischen jeder Nullstelle einen dazwischen liegenden Punkt heraussuchen X=0 f'(0) = -2 X = 1 VZW-von-nach + →→→→TP =0 TP(11) Extremstellen 1 ('(^)=0 RWB: TP(1/2)→ in f(x) einsetzen f(1) =12-2·1+1 3.y-Wert berechnen nicht bei Sattelpunkt x=2 f'(2)=2 oder 2.6. g(x)=x²-3x² n.B.g'(x)=0 g'(x) = 3x² - 6x 3x²-6x=0 1:3 x²-2x = 0 x. (-2x) = 0 V X₁=0 x-2=0 1+2 x₂ = 2 h.B: f'(x)=0; f" (x) 0 F"(x)=6x-6 f"(o)= 6.0-6 =-6 <0 HP fehlender wert: f(o)=0 => HP(0/0) f(2)=6.2-6 Extremstellen 2 = 6 >0 ⇒TP FC2)=-4 =TP(21-4) f(x)=x4 f'(x)=4x³ F"(x) = 12x² f'(x)=0 und f" (x) 0 ! Achtung! n.B. f'(x) = 0 4x³=0 1:4 x³=0 x = 0 F"(x) >0 TP h.B.: f'(x)=0; f(x) #0 f" (0) = 0 Bedingung mit f" gibt keinen Aufschluss VZW-Kriterium h-B.: f'(x)=0 und f'macht beix einen vzw F"(x) <0 ⇓ HP X 1:41:14 0 - - -/+ VZW TP f(0) = 0 => T(0/0) Beispiel: f(x)=0,25x4-x³; f'(x) = x³-3x² n.B. F"(x)=0 F"(x)= 3x² - 6x 3x²-6x=0 1:3 X-(x-2)=0 X=0 ¹x-2=0 1+ X = 2 h.B. F"(x)=0 und f" macht beix einen vzw X F"(x) wendestellen - 1 0 9>0 0 ↳ LK für X>0 1 -340 RK für 0CX23 2 0 S 45>0 ↳ LK für x 2 > X f"(-1)=3-(-1)²-6-(-1) = 3 = 9 +/- => WP -/+ => WP f(0) = 0,25-09-03 f(₂)= 0₁25.2²-2³ f(0) = 0 =w₁(0/0) =-4 => W₂ (21-4) +6 f" (1)=3-1²-6-1 =-3 f"(s) = 3.5²-6.5 -3.25 - 30 = 75-30 = 45 Was ist Monotonie? beschreibt das Steigungsverhalten Monotonie streng monoton steigend Eine funktion ist streng monoton steigend, wenn die Funktionswerte, wenn die Funktionswerte größer werden, wenn die x-Werte größer werden X₁<x₂→f(x₁) < f(x₂) f(x) X₁ streng monoton fallend Eine funktion ist streng monoton fallend, wenn die Funktions- werte kleiner werden, wenn die x-Werte größer werden. x₁²x₂fcx₁) f(x₂) 3 (CX) V X₂ achsensymmetrisch f(-x) = f(x) für alle Xo Beispiel f(x)=x² [(xo) ((x) = x² f(-x)= (-x) = x ? f(x) = x³ f(x)=x²3³ →achsensym Symmetrie punktsymmetrisch zum Ursprung f(-xo)=(-xo) ³-(-xo) (-xo) (-x) = -x³ #x₂³ - f(-x) = -(-x)³ =-(-x ³) = x₂ ²³ = f(x₂) r nicht achsensymmetrisch MY →punktsymmetrisch Ox) foxo) = -f(-xo) nur wenn alle Exponenten gerade oder ungerade sind o (xolf(xo) X Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge Df ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle xE Df gilt: f(-x) = f(x). punktsymmetrisch Zum Ursprung (010), wenn für alle XE Df gilt: f(-x) = -f(x) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann achsensymmetrisch zury-Achse, wenn der Funktionsterm f(x) nur Potenzen mit geraden Exponenten enthält. punktsymmetrisch zum Ursprung (010) wenn der Funktionsterm f(x) nur Polenzen mit ungeraden Exponenten enthält. 1) f(x) → f(x) +d Verschiebung in y-Richtung /f(x) /f(x) + 2 ³x f(x)-3 4) f(x) → f(kx) Strecken I Stauchen in x-Richtung осакл gestreck a> 1 gestaucht -1<a<0 gestreck+ a<-1 gestaucht Transformation 2) f(x) → (x-c) Verschiebung in Richtung der x-Achse gespiegelt an y-Achse f(x)+3 • Wong X 3) f(x)→a f(x) Strecken / Stauchen in y-Richtung 0<a²1 gestaucht a>1 gestreckt -19²0 as-1 gestaucht •} + gespiegelt on x-Achse gestreckt verschieben von Graphen Den Graphen der Funktion g mit g(x)=f(x-c)+d erhält man, indem man den Graphen von fumc in Richtung der x-Achse und um d in Richtung der y-Achse verschiebt. Strecken von Graphen Den Graphen der Funktion h mit h(x)=k. f(x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der x-Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor k streckt. Den Graphen der Funktion h mit n(x) = f(k:x) und k>0, erhält man, indem man den Graphen von f von der y-Achse aus in x-Richtung mit dem Faktor / streckt. Funktion: fcx)=(x+2). (x²+2x-15) Definitionsmenge: D= R(→ bei so gut wie jeder ganzrationalen Funktion) Nullstellen: (x+2). (x²+2x-15) = 0 · by a) (x² + 2x x+2=0 1-2 X Kurvendiskussion Schnittpunkte mit y-Achse: f(0) = (0+2). (0²+2·0-15) = 2.(-15) = - 30 1 Symmetrie: fcx) = (x+2). (x² + 2x - 15) n.B. f'(x) = 0 x²+2x-15-0 pq- Formel: X₁12=-2 ± √(²) ² - 9 ² 2 = -²/² ± √ √ √ ² 1² + AS =-1± √1+15 =-1± 4 x₁ = 3; X₂=-5 Globalverhalten/ Grenzwerte: f(x)= x³+4x² - MX-30 =x³ + 2x²-15x + 2x²+4x-30 = x³ + 2x² + 2x²-15x+4x - 30 = x³ + 4x-MX-30 keine Symmetrie, da es keine einheitlichen geraden oder ungeraden Exponenten gibt 3x² +8x-M=0 x² + +/x-111-0 1:3 pq- Formel: X₁12= X112=- X Extrempunkte: f(x)= x³+4x² - MX-30 f'(x)=3x²+8x-μ f"(x) = 6x + 8 f(x) verhält sich wie g(x)=x³ CO x3 ALSO: x→∞: f(x) = ∞0 x →∞: f(x) = -8 = -1/2 ± √ 16 +33 I =- (3) + (ER-(44) h.B. f'(x) = 0; f"(x) = 0 f"(x)=6x +8 f(1) = 6·1+8 = 14>0=DTP bei x=1 f"(-4)=661) +8 6. = -14 <0 ⇒ HP bei x =--11 y-Werte berechnen X₁=1 =DTP ₁ X ₂ = -1/¹1 - DHP TP(11- 36) f(1) = 13+4·1²-11-1-30 =-36 Wendepunkte: F"(x)=6x+8 n.B. F"(x)=0 6x+8=0 1-8 6x =-8 X 2 h.B. f"(x) = 0; flll (x) #0 f"(x) = 6 f(-)=6 #0 => Wendepunkt 1:6 y-Wert berechnen W(-/-286) =(-1,3/-10,6) f(-) = ( 2 ) ³ + 4. (-)² - M. (-)-30 -28665 Graph: 6 HP -4 HP(-11/400) = (-3,7/14,8) F(-1)=(11³+4·(-1)²-1. (-11) - 30 - 30 20 ·10 - 10 - 20 -30 XTP Nullstellen: x= 3 ; x = -2; X=-S Schnittpunkt y-Achse: y=-30 Hochpunkt: H(-3,7/14,8) Tiefpunkt: Γ(11-36) Wendepunkt: W(-1,3/-10,6) Monotonie: H(-3,7/14,8);T(11-36) Der Graph ist in den Intervallen I J-∞0₁-11]; I [1; ∞ [ Streng monoton steigend ૩. Der Graph ist in den Intervallen I [-11; 1] streng monoton fallend →vgl. Graph Krümmung: W/ -10,6) In dem Intervall J-∞0;-] ist die Funktion rechts gekrümmt In dem Intervall [= ∞ [ ist die Funktion links gekrümmt was sagen fif';f" jeweils übereinander aus? f(x): Y ↑ f'(x): y. m=0 HP Y ₁ x=2 ("(x): TP WP m=0 TP 1 NS 7 m=0 ¹x=4 TP 1. Ableitung f'(x) -gibt Steigung von f(x) an - Nullstellen bei f'(x)→ Extremstellen bei f - Hochpunkt von f' ist der Punkt, wo f am stärksten steigt -Tiefpunkt f' ist der Punkt, wo f die kleinste Steigung hat - Extremstellen bei f'(x) sind Wendepunkte bei f(x) - f'(x) >0 f(x) steigt - f'(x) <0 ⇒ f (x) fällt 2. Ableitung F"(x) -gibt Krümmung von fcx) an→→f"co→ rechts kurve f">0→ Links Kurve -gibt Steigung von f'(x) an -Nullstelle bei f"(x) ist wendepunkt bei fcx) -Nullstelle bei f(x) ist Extrempunkt bei f'(x) - F"(x) >0 f'(x) steigt - F"(x) <0 f'(x) fällt Bestimmen der Gleichung fcx)=0,5x²-3x² +5x 1. Wendepunkt berechnen Ableitungen: f'(x) = 1.5x² - 6x +5 F"(x)=3x-6 f"(x)=3 N.B. f"(x)=0) 3x-6=0 1+6 3x = 6 1:3 x = 2 h.B. F"(x) = 0 ; f (x) = 0 f(2)=30=D> Wendepunkt y-Wert berechnen f(2)=0,5-23-3.22 +5.2 = 4-12 +10 = 2 =>w(2/2) 2.Steigung im Wendepunkt berechnen (x in Ableitung einsetzen) f'(2)=1₁5.22-6-2+5 = 1₁5.412 +5 6-12 +5 =-1 43=-1 3. Wendepunkt in Tangentengleichung einsetzen und in ausrechnen f(x) = mx +n; w(212) 2= -1·2+n 2=-2 +n 4 =n wendetangente 1+2 4. Tangentengleichung t(x)=-1x+4 Anwendungsaufgaben Alltagsfrage Wie hoch ist der Heißluftballon eine Viertelstunde nach dem Abflug? Nach wie vielen Minuten ist der Ballon höher als 100m? Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon durchschnittlich in der ersten Stunde? Wie schnell steigt der Ballon 3 Minuten nach Abflug? Wann landet der Heißluftballon wieder? In welchem Zeitraum steigt der Heißluftballon, in welchem sinkt er? Nach welcher Flugzeit ist der Heißluftballon am höchsten? Mathematische Frage Lösungsansatz Wie groß ist der Funktionswert an f(15) berechnen der Stelle t-15? Für welches t sind die Funktions- werte > 100? Welchen Wert besitzt der Differen- zenquotient im Intervall I - [0; 60]? Wie groß ist die Ableitung an der Stelle t-3? Wo liegen die Nullstellen von f? Für welche Bereiche von t ist f streng monoton zunehmend für welche streng monoton abneh- mend? f(t) - 100 lösen und sinnvoll inter- pretieren f(60)-f(0) 60-0 berechnen f'(3) berechnen f(t)-0 lösen und sinnvoll inter- pretieren. f(t)-0 lösen Vorzeichen von f' rechts und links von den jeweiligen Nullstellen überprüfen: f(t)> 0 bedeutet der Heißluft- ballon steigt f(t) < 0 bedeutet der Heißluft- ballon sinkt An welcher Stelle besitzt die Funk-f(t)-0 lösen tion f ein globales Maximum im Definitionsbereich D - [0; 120]? f' muss bei to einen VZW von + nach - besitzen. f(to) berechnen Randwerte von D, also f(0) und f(120) überprüfen Maximum von f(t), f(0) und f(120) bestimmen extremwertprobleme mit nebenbedingung gegeben: f(x)=-x²+4 Im 1. Quadranten soll ein Rechteck so zwischen Graph und x-Achse eingefügt werden, dass es maximalen Flächeninhalt hat. Berechnen sie die Seitenlängen 1. Extremalbedingung: A = x.y 2. Nebenbedingung: y=-x²+4 3. Zielfunktion (NB in EB einsetzen): Acx) = x (x²+4) Definitionsbereich festlegen. X20 x=0 (Nullstelle) -x²+4=0 1.4 -x² =-4 1-(-^) x² = 4 15 (x₁=-2); x=2 => DA[0₁2] 4. Zielfunktion maximieren, d.h: globalen WP van A auf CO; 2] gesuch+ globale Extrempunkte berechnen ACx)= -x³+4x n.B. A'(x)=0 A'(x)=-3x² +4 - 3x²+4=0 1-4 GTR liefert mit poly Roots X₁% -1,155; X₂% 1,155 h.B. A'Cx)=0; A" (x) #0 A" (x)=-6x =x3+4x (max.) A" (-1,155) = 6,930→TP außerhallo Definitionsbereich A" (1,155) = -6,93 40 → HP A(1,AS) 3,08 DHC1, 15/3,08) A. Seitenlänge maximaler Flächeninhalt RWB: A(O)=0 A(2)=0 Immer machen 5. ggf. fehlende Größen berechnen A=x-Y 3,08 = 1,15.Y => y = 3,082,68 y = 2,68 ODER Ergebnis in NB einsetzen y=-1, 15² +4 ~ 2,68 => Seitenlängen: x=1,15 y= 2,68 Extremwert + Nebenbedingung •größte oder kleinste Wert, den eine Zielgröße erreichen kann. (1) Skizze: zaun ¹20m A maximal A a b (2) zielgroße Ala₁b) = a∙b (3) Nebenbedingung: U=20m = 2a + b <=> b=20-2a (4) Zielfunktion A(a)= a. (20-20) = 20a - 2a² = -2a² + 20a (5) Definitionsbereich: DA = {aεR|0<a<10} (6) Extremwert bestimmung: (i) notw. Bed: A'(al=0 A'(a)=-4a+20 0= -4a+20 absolutes globales. Maximum bei a=s <=> a=5 lil hinr. Bed.: A'(a) = 0 ₁ A" (a) <0 A" (a) = -4 <0. A(S) = -2.5² + 20·5 = 50 ⇒ H(5150) (7) Randwert betrachtung. A101=0<50 A(10)=0 <50 Antwortsatz: Die Fläche wird maximal wenn die Seite a=sm lang ist und die Seite b=10m lang ist. Der Flächen innalt beträgt som?. Lösungsdokumentation (Operatoren) berechne: Ergebnisse mithilfe von einem Ansatz inkl. Rechnung gewinnen 2.B. g'(x)=0 g'(x) = 3x² - 6x 3x²-6x=0 1:3 x²-2x = 0 x. (-2x) = 0 V x₁=0 bestimme, ermittle: Ansatz +Lösung/Zusammenhänge bzw. Lösungswege finden (rechnerisch als auch graphisch möglich, beachte Operator) x-2=0 1+2 x₂ = 2 Antwort: ... gib an, nenne: Objekte, Sachverhalte, Begriffe, Daten ohne nähere Erläuterungen, Begründungen und ohne Darstellung von Lösungsansätzen oder Lösungswegen. 2.B. Gesucht ist der absolute Tiefpunkt von u(b) auf dem Intervall I Co,1; 1000]. GTR liefert durch die graphische Analyse im Du= [0,1; 1000] den Tiefpunkt T(20/80) Berechnen Sie/Bestimmen/Ermitteln Sie rechnerisch die Höhe der Blüte 3 Tage nach Beobachtungsbeginn h(3) = 5,645 Antwort: ... GTR liefert t₁11,797 t₂ 26,352 Berechnen Sie... alle Zeitpunkte, zu denen die Blüte 40cm hoch ist. -0,015t³+0,45t²+2=40 Bestimmen Sie . h(3) = 5,645 Antwort: ... Bestimmen Sie ... Die Graphen von h und der Funktion g(t)=40 werden mit dem GTR gezeichnet. Die Schnittpunkte beider Graphen werden gesucht. Der GTR liefert: S₁(11,797; 40) S₂(26,352; 40) Antwort: ... Hinweise: Analog für alle zu lösenden Gleichungen/Schnittpunktprobleme (auch Nullstellen!).