Simulation

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den Bestand, man kann als Zustandsänderung bezeichnen Größe, die während der gesamten Simulation ihren Wert beibehält Einflussgrößen, die sich zwar im Laufe der Zeit verändern, die aber ständig aus dem Systemzustand, also aus den Zusatzgrößen berechenbar sind ÄNDERUNGSRATE/ÄNDERUNG) KONSTANTE HILFSGRÖBEN/ZWISCHENGRÖBEN Kreislauf der Modellbildung REALE SITUATION beurteilen 1.REALE SITUATION AUSWERTUNG o Beschreibung der realen Situation o Problembehebung o Formulierung des Untersuchungsziels 2.1 Wortmodell O Qualitatives Modell übersetzen 2.MODELLIERUNG o Strukturierter Prozess in logischen Entwicklungsstufen o Übergang von qualitativer zu quantitativer Modellierung interpretieren Wartezeit o Benennung wesentlicher Größen o Verbale Beschreibung gleichsinniger und gegensinniger Wirkungen o Beispiel: Je länger man wartet, desto kälter wird der Kaffee. 2.2 Wirkungsdiagramm O Qualitatives Modell o Graphische Darstellung der Größen und ihrer Wechselwirkungen o Untersuchung und Angabe von Rückkopplungskreisen o Beispiel: MODELL ERGEBNISSE Kaffeetemperatur Änderungsrate (Zeit) simulieren 2.3 Flüssediagramm O Quantitatives Modell o Unterscheidung der Modellgrößen in Bestandsgrößen und zugehörigen Änderungsrate sowie in Parameter und Hilfsgrößen o Grafische Darstellung dieser Größen und der Informationsflüsse o Beispiel: C Änderungskonstante Bestand (Kaffeetemperatur) 2.4 Formales Modell o Quantitatives Modell o Mathematische Beschreibung der Raten und Funktionen durch Gleichungen o Beispiel y=mx+b 3. SIMULATION o Eingabe der Startwerte und Parameter, des Simulationszeitraums, des Rechenverfahrens und der Schrittweise o Berechnung in einfachen Fällen mit dem Taschenrechner anhand einer geeigneten Tabelle und einem Tabellenkalkulations- oder Simulationsprogramm o Ausgabe der Ereignisse als Zeitkurve, Wertetabelle, Phasendiagramm und gegebenenfalls Animationen 4. AUSWERTUNG o Interpretation der Ergebnisse o Anwendung auf geeignete Fragestellungen o Absicherung des Modells durch Vergleich mit der Realität (Experimente) o Kritische Beurteilung der Ergebnisse mit Bezug auf die Grenzen des Modells (Modellkritik) o Möglichkeit zur Erweiterung/Verfeinerung des Modells Systemelemente SYSTEMELEMENT Bestandsgröße (B) Änderungsrate (ÄndR) Konstante (k) Zwischengröße Einfluss SYMBOL IM FLÜSSEDIAGRAMM Do Wachstumsformen LINEARES WACHSTUM: o Konstante Änderungsrate (ÄndR = k) O Allgemeine Formel: B(neu) B(alt) ÄndR * At •B(t+ At) = B(t)+ k*At → B(t) = ÄndR*t + B(0) o Wirkungsdiagramm: o Flüssediagramm ÄndR = k B(neu) B(alt) + ÄndR * At > B(t+At) = B(t) + k*B(t)* At → B(t) = B(0)* (1 + k)t o Flüssediagramm EXPONENTIELLES WACHSTUM o Eskalierend O Änderungsrate ist proportional zum Bestand (Bsp. AndR = 10% vob B) O Allgemeine Formel: o Wirkungsdiagramm: ÄndR (Δt = !) k B ÄndR ÄndR = k*B(t) ÄndR B 70 50+ 40 50 45 60+ 30 40- 35- 25 20- 15 10 30 20+ 10+ 5 0 0 25 5 lineares Wachstum 7.5 3 4 10 12.5 S 6 15 17.5 20 225 25 B 9 10 11 x BESCHRÄNKTES WACHSTUM o Stabilisierend o Änderungsrate ist proportional zum Sättigungsmanko (ÄndR = k * (S-B(t)) = o Sättigungsmanko - freie Kapazität O Allgemeine Formel: B(neu) B(alt) ÄndR*At → B(t+At) = B(t) + k*(S-B(t))* At = + o Wirkungsdiagramm: AndR o Flüssediagramm k Kapazität S = O Allgemeine Formel: Sättigungsmanko Kapazität (S) 30 AndR 24 18 12 S-Kapazität 6- 0 LOGISTISCHES WACHSTUM: o Stabilisierend o Änderungsrate ist proportional zum Bestand und zum Sättigungsmanko (ÄndR = k * B(t) * (S-B(t)) 10 20 Sättigungsmanko B B(neu) B(alt)+ ÄndR*At →B(t+At) = B(t) + k* B(t) * (S-B(t))* At Zuwachskonstante (log) - Zuwachskonstante (exp) :Kapazität = 30 40 100+ 90 80 70 60 40 30 10 50 60 B 70 80 90 o Wirkungsdiagramm ÄndR o Flüssediagramm k O O Kapazität S Sättigungsmanko Konstante (S) ÄndR Sättigungsmanko Die Änderungsrate MITTLEERE ÄNDERUNGSRATE o Durchschnittliche Änderung zwischen 2 Zeitpunkten t1 und t2 (†2 - t₁ = At) o Durchschnittliche Steigung zwischen t₁ und t2 o Differenzenquotient Ay/At = (y2 - 4₁)/(t₂-t₁) B MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE o Ist auf dem ,,Moment" (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Änderung o Sie kann ganz konkret für eine bestimmte Stelle (bestimmter Zeitpunkt) einer Kurve bestimmt werden o Differenzialquotient → Ableitung der Zeitfunktion