Stochastik 12. Klasse: Bernoulli‑Kette, Binomialverteilung, Erwartungswert & Varianz

Bernoulli-Kette & Binomialverteilung

Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen: Treffer ($p$) oder Niete ($q = 1-p$).

• Bernoulli-Kette: Das Experiment wird $n$-mal unabhängig wiederholt.
• Formel von Bernoulli: Berechnet genau $k$ Treffer mit $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.
• Gegenereignis: Hilft bei „mindestens“-Fragen, z. B. $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.

Drei-Mindestens-Aufgaben

Gesucht ist die Kettenlänge $n$, damit man mit einer Mindestwahrscheinlichkeit mindestens einen Treffer erzielt.

Beispiel: $p=0,05$, gesucht ist $n$ für $P(X \geq 1) \geq 0,90$.

1. Ansatz: $1 - 0,95^n \geq 0,90 \Rightarrow 0,1 \geq 0,95^n$
2. Logarithmieren: $n \geq \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,95)} \approx 44,89 \Rightarrow n = 45$

💡 Tipp: Achte beim Teilen durch $\ln(0,95)$ darauf, das Relationszeichen umzudrehen, da der Logarithmus einer Zahl kleiner als 1 negativ ist.

Kenngrößen der Verteilung

Erwartungswert & Streuung

Diese drei Formeln beschreiben das Zentrum und die Breite deiner Binomialverteilung.

• Erwartungswert: Gibt an, wie viele Treffer im Schnitt zu erwarten sind mit $E(X) = n \cdot p$.
• Varianz: Ein Streuungsmaß, berechnet über $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$.
• Standardabweichung: Die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert mit $\sigma = \sqrt{Var(X)}$.

Beispiel: Eine Münze mit $p=0,6$ wird $n=10$ Mal geworfen.

1. $E(X) = 10 \cdot 0,6 = 6$
2. $Var(X) = 10 \cdot 0,6 \cdot 0,4 = 2,4$

💡 Tipp: Der Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein, auch wenn es im echten Leben nur ganze Treffer gibt.