Abi Karteikarten Analysis

Alternativer Bildtext:

x → f'(x) = 1 Poten=regel f(x)= x^ → f'(x)=n·x^-^ - Fautorregel fix) = c.glx) → f'(x) =c∙g'(x) summen-/Differenzregee f(x) = g(x) = h(x) → f'(x) = g(x)=h(x) Produutraged f(x) = g(x).h(x) → f'(x)=g'(x)·h(x) + g(xl·h'(x) Ketenragel/fix) = g(h(x)) → f'(x) = h'(x) · g(h(x)) f(x) = ex → f(x) = ex f(x) = a* → +'(x) = a* Inla) fix) = \n(x) → f'(x) = x f(x) = sin(x) → f(x) = cos(x) f(x) = COS(x) → f(x) - -Sin(x) 1 f(x)= ¯†x²' = x ² → f'(x) = 2. Tx² -4 -2-1 f(x)= ==x^ →f'(x)= -x = x² E-Funktionen f(x) = en f'(x) = n'・ e^ (n-Funktionen f(x) =In(x) → f'(X) = X 1 → (n) = 5n 60 SEKANTE → Gerade, die eine Funution in zwei punuten. schreidet •Differenzquotient ↳gibt durchschn. Änderung der Funution in dem Bereich der zwei Punute an 1₁ y=mx+b 2. Differenzquotient: m = 3. beliebigen Punkt in Gleichung einsetzen → autlosen 4. allg. Geichung f(x₂)-f(x₁) Хг - Хл TANGENTE →Gerace, die eine Function an einem punut berührt • momentare Änderungsrate: Steigung der Tangente gibt die Steigung der Function ander Stele xo des Graphen an y=f(xo) x+b 1. Ableitung erstellen 2. Xo ermitteln 3. f'(x) berechnen → m 4. f(xo) if'(Xo) und xu in Form einsetzen 5.roch bumstelen. 6. f'(x³) und bin einsetzen 4. Tangentengreichung NORMALE → Gerace, die orthogonal zur Tangente am Berührungspunut xo verboutt • Steigung ist negativer Kehrwehrt der Tangentensteigung mn -f '(x₂) - mt #t 1. f'(Xo) und tangentensteigung bestimmen 2. Steigung der Normalen bestimmen 3. b bestimmen: mn und Punut P in Form einsetzen und umstelen Kurvendiskussion GRENZVERHALTEN 4. FALL:n ist gerade und an >0 : •X→→+∞ f (x) → +∞0 • X→∞ f (x) → +∞ : - 2. FALL n ist gerade und an <0 • X→ +∞ = f(x) → ·x → ∞ : f(x) →→→ ∞ - - 1 H # 3. Fall: n ist ungerade und an 20 •x +∞: f(x) = + ∞ → •x-∞: f(x) → -∞ 4. FALL: n ist ungerade und an TO • X→ +∞ f(x) → -∞0 · X-∞ f (x) → +∞0 X→ : SYMMETRIE Achsensymmetries f(x)=f(-x) Exponenten sind gerade symmetrisch zury-Achse Punktsymmetrie f(-x) = -f(x) Exporenten sind ungerade symmetrisch zum ursprung ↳ gerade und ungerade Exponenten = keine symmetrie INTERVALLE [aib] {XEIRla ≤x≤b} (aib) {XEIR la<x<b} [a¡b] {xEIRIa< x≤b} [aib) {xEIRla ≤ x <b} DEFINITIONSBEREICH →ist drin 1 → ist nicht drin Definitionsmenge D+ ist die Menge alerx-Werte, denen durch die Funktion f ein Funktionswert zugeordnet worden wann WERTEBEREICH Wentemenge Wf ist die Menge aller möglichen Functionswerte von der Funution + MULLSTELLEN P-q Formel £ + √(f) ² = q - (2 X₁₁2 = -2 f(x) = ax² + bx + C ܘܕܘ P U pot q EXTREMPUNKTE Nullstellen von f'(x) K f"(x) >0 ✓ Minimum f"(x) <0 Maximum ENO IN natürliche Zahlen 0.1.2.3 Z ganze Zahlen -3.-2, 1.0, 1 Q rationale Zahlen IR reelle zamien II irrationale zahlen WENDEPUNKTE Nullstellen von f"(x) wichtig! Punute →x+y Wert Stelle → X q>[ 6-780} x Wert in f(x) einsetzen MONOTONIE streng monoton.... auf I • f'(x) >0 streng monotch steigena • f'(x) 20_monton steigend • f'(x) <0° streng monoton fallend • f'(x) ≤0 monoton fallend - I. [oix.] I₂ [X₁₁X₂] -Bildung 1. Ableitung + NullStellen von Ableitung f'(x) <0 fallend f'(x) >0 steigend 1 Is [X₂ ix3] I4 [X₂iXy ] KRÜMMUNG → mit zweiter Ableitung f"(x) >0 linus geurūmmt - Wonvex f"(x) <O rechts gevrümmt - vonkav Urümmung ändert sich an den Wendepunuten STECKBRIEFAUFGABEN. 11) Suizze im Koordinatensystem. 2 Anzahl der Bedingungen = Zahl des Gerades Ⓒ Ableitung bilden, Bedingungen in F6 einsetzen @ Gleichung Voreinfachen 5 Matrix 6 F6 formulieren Ⓒ Probe MATRIX GTR: Menul Rref (4x5)* TRASSIERUNG ↳ glattes d.h. sprung-und knickfreie Verbindung zweier Abschnitte ↳ je nachdem, welche Ansprüche nun an die Verbindung zw. vorgegebenen Grophen und verbindungsstücke gestellt werden, sind unterschiedliche Anschlussbedingungen zu erfüllen SPRUNGFREIHEIT →Bildwerte der Funktion müssen in X. Übereinstimmen f(xo) = g(xo) KNICKFREIHEIT f(x) = g(xo) f'(x₂)=g² (x₂) KRÜMMUNGSFREIHEIT f(xo) = g(x₁) f'(xu) = g'(xo) f" (x₂l = 8" ( " (Xol Surummung wird nicht aprup geändert Wachstumsprozegge LINEARES WACHSTUM B(t)=m⋅t+b EXPONENTIELLES WACHSTUM f(x) a. bx → → f₁(x) = b.f(x) E-FUNKTION f(x)=b*=e f'(x)= In (b) e In(bx) Jn (b) x = e in (b).x • Zu-/Abnorme ~ Bestand •Endwert - Startwert · Basis * = In (b)·b↑ WACHSTUMSFUNUTION f(x) = A· e ux u=(n(b) BEGRENZTES WACHSTUM → Wachstum nur bis zur best. Grenze -ux +S f(x)= (A-8).e f'(x) = -u⋅ (f(x)-S) -их (A-s1.e² → Sättigungsmanua? -ux → wachstumsfolutor S → Sättigungswert (Grenze Bestand strebt gegen S, nimmt diesen won jedoch nemals on! ♦ LOGISTISCHES WACHSTUM Änderungsrate ~ Bestand & Sathigungsmanuo √u・8・x A Anfangsbestand 8. Scrigungswert u. Wachstumstamente 4 f(x) AS A +₁ (S-Al-e f'(x) = l. f(x) · (S-facl) f(x) st flOFAL WP X •Punutsymmenisch zum wp 4Wp noch Hälftevans 4 WP = Wochstumargeschwindlic weit am höchsten Xw - In (²-1) u. S SCHARFUNKTION haben zusätzlichen parameter f(x) = a ²x → f'(x) = a ² f"(x)=20a >0, wenn a>0 → TP Ortsuurve → uurve auf der alle punute einer gegebenen Funktion schor liegen, die best. Eigenschaften ertules TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN SINUSFUNKTION f(x)=sin(x) f'(x) = COS (+) punutsymmer'sch un COSINUSFUNKTION f(x) = cos(x) [((x) = -Sin (x) achsensymmetrisch AMA