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Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Die 5 Potenzgesetze und E-Funktion Ableiten - Übungen und Beispiele

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Die 5 Potenzgesetze und E-Funktion Ableiten - Übungen und Beispiele

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A comprehensive guide to mathematical analysis and functions, focusing on key concepts from linear functions through to derivatives and curve sketching. The material covers essential topics for students studying advanced mathematics.

• Core topics include Wie lauten die 5 Potenzgesetze? and function transformations
• Detailed explanations of exponential functions, derivatives, and E-Funktion ableiten Beispiele
• In-depth coverage of curve analysis and graphical interpretations
• Practical applications of Kettenregel e-Funktion and Produktregel e-Funktion

30.9.2021

4892

Analysis FUNKTIONEN
LINEARE FUNKTION
y=mx+b
• maximal eine Hullstelle
QUADRATISCHE FUNKTION
= ax²+bx+C a fo
Y₂_Y₁ +0
2
#0
m=x₂-x^
2
y =
• ke

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Sekanten

Dieser Abschnitt erklärt das Konzept der Sekante und ihre Bedeutung in der Differentialrechnung.

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Funktion in zwei Punkten schneidet. Der Differenzquotient gibt die durchschnittliche Änderung der Funktion im Bereich der zwei Punkte an.

Schritte zur Berechnung der Sekantengleichung:

Allgemeine Form: y = mx + b
Differenzquotient: m = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)
Einen beliebigen Punkt in die Gleichung einsetzen und nach b auflösen
Allgemeine Gleichung aufstellen

Definition: Der Differenzquotient ist ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Punkten.

Highlight: Die Sekante bildet die Grundlage für das Verständnis von Tangenten und Ableitungen, da der Grenzwert der Sekantensteigung die Tangentensteigung ergibt.

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Polynomfunktionen und Wurzelfunktionen

Dieser Abschnitt erweitert das Verständnis auf komplexere Funktionstypen: Polynomfunktionen und Wurzelfunktionen.

Polynomfunktion (ganzrationale Funktion):

Allgemeine Form: y = ax³ + bx² + cx + d oder y = ax^n + bx^(n-1) + ... + k
Der Grad bestimmt die maximale Anzahl von Nullstellen

Wurzelfunktion:

Allgemeine Form: f(x) = √x
Einzige Nullstelle bei x = 0
Je größer n, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1

Vocabulary: Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus einer Summe von Termen besteht, die Variablen und Koeffizienten enthalten. Eine Wurzelfunktion enthält eine Variable unter einer Wurzel.

Highlight: Wie lauten die drei Potenzgesetze? Die drei grundlegenden Potenzgesetze sind: a^m · a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(m·n), und (a · b)^n = a^n · b^n.

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Gleichungen lösen

Dieser Abschnitt behandelt verschiedene Methoden zum Lösen von Gleichungen, einschließlich Umformen, Ausklammern und der PQ-Formel.

Umformen:

Isolieren der Variablen auf einer Seite
Schrittweises Auflösen nach der Variablen

Ausklammern:

Identifizieren des größten gemeinsamen Faktors
Faktorisieren der Gleichung

PQ-Formel:

Für quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0
x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Example: Lösen von x² + 5x + 6 = 0 mit der PQ-Formel: p = 5, q = 6 x₁,₂ = -5/2 ± √((5/2)² - 6) = -3 und -2

Highlight: Die PQ-Formel ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung quadratischer Gleichungen und findet in vielen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung.

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Veränderungen von Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt, wie sich Funktionsgraphen durch verschiedene Transformationen verändern lassen.

f(x - a): Verschiebung innerhalb der Funktion → horizontal
f(x) + a: Verschiebung außerhalb der Funktion → vertikal
f(-x): Spiegelung an der y-Achse
-f(x): Spiegelung an der x-Achse
f(x - a): horizontale Verschiebung um +a
f(x) + a: vertikale Verschiebung um +a
f(c·x): c > 1 Stauchung, 0 < c < 1 Streckung
c·f(x): c > 1 Streckung, 0 < c < 1 Stauchung

Example: Bei f(x) = x² wird f(x - 2) den Graphen um 2 Einheiten nach rechts verschieben.

Highlight: Diese Transformationen ermöglichen es, komplexe Funktionen aus einfacheren Grundfunktionen zu erstellen und zu verstehen.

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Steckbriefaufgaben

Dieser Abschnitt gibt Hinweise zur Lösung von Steckbriefaufgaben in der Analysis.

Erstellen Sie eine Skizze im Koordinatensystem.
Die Anzahl der Bedingungen entspricht dem Grad des Polynoms.

Highlight: Steckbriefaufgaben sind eine effektive Methode, um das Verständnis für die Eigenschaften und das Verhalten von Funktionen zu vertiefen und zu überprüfen.

Example: Bei einer Steckbriefaufgabe mit drei Bedingungen würde man ein Polynom dritten Grades erwarten, z.B. f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

In diesem Abschnitt werden Exponential- und Logarithmusfunktionen vorgestellt, die in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften eine wichtige Rolle spielen.

Exponentialfunktion:

Allgemeine Form: f(x) = a^x (mit a > 0, a ≠ 1)
Keine Nullstellen
e^x ist eine besondere Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e als Basis

Logarithmusfunktion:

Allgemeine Form: f(x) = log_a(x)
Nullstelle bei x = 1
Natürlicher Logarithmus: ln(x) = log_e(x)

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Variable im Exponenten, während eine Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist.

Highlight: Wieso ist 2 hoch 0 gleich 1? Dies ist eine grundlegende Eigenschaft von Potenzen. Mathematisch lässt sich dies durch die Potenzgesetze erklären: 2^0 = 2^(1-1) = 2^1 / 2^1 = 2 / 2 = 1.

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Kurvendiskussion: Grenzverhalten

Dieser Abschnitt behandelt das Grenzverhalten von Funktionen, ein wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion.

Es werden vier Fälle unterschieden, abhängig davon, ob n gerade oder ungerade ist und ob a_n positiv oder negativ ist:

Fall: n ist gerade und a_n > 0
- x → +∞: f(x) → +∞
- x → -∞: f(x) → +∞
Fall: n ist gerade und a_n < 0
- x → +∞: f(x) → -∞
- x → -∞: f(x) → -∞
Fall: n ist ungerade und a_n > 0
- x → +∞: f(x) → +∞
- x → -∞: f(x) → -∞
Fall: n ist ungerade und a_n < 0
- x → +∞: f(x) → -∞
- x → -∞: f(x) → +∞

Definition: Das Grenzverhalten beschreibt, wie sich eine Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich strebt.

Highlight: Die Analyse des Grenzverhaltens ist entscheidend für das Verständnis des globalen Verhaltens einer Funktion und ihrer graphischen Darstellung.

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Einführung in die Analysis

Dieser Abschnitt bietet einen Überblick über die grundlegenden Konzepte der Analysis. Es werden verschiedene Funktionstypen vorgestellt, die für das weitere Verständnis der mathematischen Analyse von entscheidender Bedeutung sind.

Highlight: Die Analysis befasst sich mit der Untersuchung von Funktionen und deren Eigenschaften, was die Grundlage für viele fortgeschrittene mathematische Konzepte bildet.

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Ableitungen und Ableitungsregeln

Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Ableitungsregeln, die für die Differentialrechnung unerlässlich sind.

Wichtige Ableitungsregeln:

Konstante Funktion: f(x) = c → f'(x) = 0
Lineare Funktion: f(x) = x → f'(x) = 1
Potenzregel: f(x) = x^n → f'(x) = n · x^(n-1)
Faktorregel: f(x) = c · g(x) → f'(x) = c · g'(x)
Summen-/Differenzregel: f(x) = g(x) ± h(x) → f'(x) = g'(x) ± h'(x)
Produktregel: f(x) = g(x) · h(x) → f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)
Kettenregel: f(x) = g(h(x)) → f'(x) = h'(x) · g'(h(x))

Highlight: Die Kettenregel e-Funktion ist besonders wichtig für das Ableiten komplexer Funktionen, die e-Funktionen enthalten.

Example: E-Funktion ableiten Beispiele: f(x) = e^x → f'(x) = e^x f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2e^(2x)

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Spezielle Ableitungen

Dieser Abschnitt behandelt die Ableitungen spezieller Funktionen, die häufig in der Analysis vorkommen.

f(x) = e^x → f'(x) = e^x
f(x) = a^x → f'(x) = a^x · ln(a)
f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x) → f'(x) = -sin(x)
f(x) = √x = x^(1/2) → f'(x) = 1/(2√x)
f(x) = 1/x = x^(-1) → f'(x) = -1/x²

Für e-Funktionen: f(x) = e^n → f'(x) = n' · e^n

Für Logarithmusfunktionen: f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x

Highlight: E hoch 2x ableiten ist ein häufiges Beispiel für die Anwendung der Kettenregel bei e-Funktionen: f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2e^(2x)

Example: E-Funktion Aufleiten: Bei f(x) = e^(x²), wenden wir die Kettenregel an: f'(x) = e^(x²) · 2x

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Mathe

260

Sekanten

Dieser Abschnitt erklärt das Konzept der Sekante und ihre Bedeutung in der Differentialrechnung.

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Funktion in zwei Punkten schneidet. Der Differenzquotient gibt die durchschnittliche Änderung der Funktion im Bereich der zwei Punkte an.

Schritte zur Berechnung der Sekantengleichung:

Allgemeine Form: y = mx + b
Differenzquotient: m = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)
Einen beliebigen Punkt in die Gleichung einsetzen und nach b auflösen
Allgemeine Gleichung aufstellen

Definition: Der Differenzquotient ist ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion zwischen zwei Punkten.

Highlight: Die Sekante bildet die Grundlage für das Verständnis von Tangenten und Ableitungen, da der Grenzwert der Sekantensteigung die Tangentensteigung ergibt.

Polynomfunktionen und Wurzelfunktionen

Dieser Abschnitt erweitert das Verständnis auf komplexere Funktionstypen: Polynomfunktionen und Wurzelfunktionen.

Polynomfunktion (ganzrationale Funktion):

Allgemeine Form: y = ax³ + bx² + cx + d oder y = ax^n + bx^(n-1) + ... + k
Der Grad bestimmt die maximale Anzahl von Nullstellen

Wurzelfunktion:

Allgemeine Form: f(x) = √x
Einzige Nullstelle bei x = 0
Je größer n, desto flacher verläuft der Graph ab x = 1

Vocabulary: Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus einer Summe von Termen besteht, die Variablen und Koeffizienten enthalten. Eine Wurzelfunktion enthält eine Variable unter einer Wurzel.

Highlight: Wie lauten die drei Potenzgesetze? Die drei grundlegenden Potenzgesetze sind: a^m · a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(m·n), und (a · b)^n = a^n · b^n.

Gleichungen lösen

Dieser Abschnitt behandelt verschiedene Methoden zum Lösen von Gleichungen, einschließlich Umformen, Ausklammern und der PQ-Formel.

Umformen:

Isolieren der Variablen auf einer Seite
Schrittweises Auflösen nach der Variablen

Ausklammern:

Identifizieren des größten gemeinsamen Faktors
Faktorisieren der Gleichung

PQ-Formel:

Für quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0
x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Example: Lösen von x² + 5x + 6 = 0 mit der PQ-Formel: p = 5, q = 6 x₁,₂ = -5/2 ± √((5/2)² - 6) = -3 und -2

Highlight: Die PQ-Formel ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung quadratischer Gleichungen und findet in vielen Bereichen der Mathematik und Physik Anwendung.

Veränderungen von Funktionen

Dieser Abschnitt erklärt, wie sich Funktionsgraphen durch verschiedene Transformationen verändern lassen.

f(x - a): Verschiebung innerhalb der Funktion → horizontal
f(x) + a: Verschiebung außerhalb der Funktion → vertikal
f(-x): Spiegelung an der y-Achse
-f(x): Spiegelung an der x-Achse
f(x - a): horizontale Verschiebung um +a
f(x) + a: vertikale Verschiebung um +a
f(c·x): c > 1 Stauchung, 0 < c < 1 Streckung
c·f(x): c > 1 Streckung, 0 < c < 1 Stauchung

Example: Bei f(x) = x² wird f(x - 2) den Graphen um 2 Einheiten nach rechts verschieben.

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Steckbriefaufgaben

Dieser Abschnitt gibt Hinweise zur Lösung von Steckbriefaufgaben in der Analysis.

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

In diesem Abschnitt werden Exponential- und Logarithmusfunktionen vorgestellt, die in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften eine wichtige Rolle spielen.

Exponentialfunktion:

Allgemeine Form: f(x) = a^x (mit a > 0, a ≠ 1)
Keine Nullstellen
e^x ist eine besondere Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e als Basis

Logarithmusfunktion:

Allgemeine Form: f(x) = log_a(x)
Nullstelle bei x = 1
Natürlicher Logarithmus: ln(x) = log_e(x)

Definition: Eine Exponentialfunktion hat die Variable im Exponenten, während eine Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion ist.

Highlight: Wieso ist 2 hoch 0 gleich 1? Dies ist eine grundlegende Eigenschaft von Potenzen. Mathematisch lässt sich dies durch die Potenzgesetze erklären: 2^0 = 2^(1-1) = 2^1 / 2^1 = 2 / 2 = 1.

Kurvendiskussion: Grenzverhalten

Dieser Abschnitt behandelt das Grenzverhalten von Funktionen, ein wichtiger Aspekt der Kurvendiskussion.

Es werden vier Fälle unterschieden, abhängig davon, ob n gerade oder ungerade ist und ob a_n positiv oder negativ ist:

Fall: n ist gerade und a_n > 0
- x → +∞: f(x) → +∞
- x → -∞: f(x) → +∞
Fall: n ist gerade und a_n < 0
- x → +∞: f(x) → -∞
- x → -∞: f(x) → -∞
Fall: n ist ungerade und a_n > 0
- x → +∞: f(x) → +∞
- x → -∞: f(x) → -∞
Fall: n ist ungerade und a_n < 0
- x → +∞: f(x) → -∞
- x → -∞: f(x) → +∞

Definition: Das Grenzverhalten beschreibt, wie sich eine Funktion verhält, wenn x gegen unendlich oder minus unendlich strebt.

Highlight: Die Analyse des Grenzverhaltens ist entscheidend für das Verständnis des globalen Verhaltens einer Funktion und ihrer graphischen Darstellung.

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Highlight: Die Analysis befasst sich mit der Untersuchung von Funktionen und deren Eigenschaften, was die Grundlage für viele fortgeschrittene mathematische Konzepte bildet.

Ableitungen und Ableitungsregeln

Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Ableitungsregeln, die für die Differentialrechnung unerlässlich sind.

Wichtige Ableitungsregeln:

Konstante Funktion: f(x) = c → f'(x) = 0
Lineare Funktion: f(x) = x → f'(x) = 1
Potenzregel: f(x) = x^n → f'(x) = n · x^(n-1)
Faktorregel: f(x) = c · g(x) → f'(x) = c · g'(x)
Summen-/Differenzregel: f(x) = g(x) ± h(x) → f'(x) = g'(x) ± h'(x)
Produktregel: f(x) = g(x) · h(x) → f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)
Kettenregel: f(x) = g(h(x)) → f'(x) = h'(x) · g'(h(x))

Highlight: Die Kettenregel e-Funktion ist besonders wichtig für das Ableiten komplexer Funktionen, die e-Funktionen enthalten.

Example: E-Funktion ableiten Beispiele: f(x) = e^x → f'(x) = e^x f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2e^(2x)

Spezielle Ableitungen

Dieser Abschnitt behandelt die Ableitungen spezieller Funktionen, die häufig in der Analysis vorkommen.

f(x) = e^x → f'(x) = e^x
f(x) = a^x → f'(x) = a^x · ln(a)
f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x
f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x) → f'(x) = -sin(x)
f(x) = √x = x^(1/2) → f'(x) = 1/(2√x)
f(x) = 1/x = x^(-1) → f'(x) = -1/x²

Für e-Funktionen: f(x) = e^n → f'(x) = n' · e^n

Für Logarithmusfunktionen: f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x

Highlight: E hoch 2x ableiten ist ein häufiges Beispiel für die Anwendung der Kettenregel bei e-Funktionen: f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2e^(2x)

Example: E-Funktion Aufleiten: Bei f(x) = e^(x²), wenden wir die Kettenregel an: f'(x) = e^(x²) · 2x

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