Analytische Geometrie Grundlagen

Punkt fester Ort im Raum

Ein Punkt ist ein fester Ort im Raum, der durch seine Koordinaten bestimmt wird.

Vektor

Ein Vektor ist eine Strecke, die eine Richtung hat, aber deren Ort nicht festgelegt ist. Ein Vektor wird durch ein Zahlenpaar x = (x1, x2) oder ein Zahlen-Tripel X = (X1, X2, X3) dargestellt. Ein Spaltenvektor wird als Vektor in der Form V = [V1, V2, V3] geschrieben.

Ortsvektor

Der Ortsvektor zu einem Punkt P(-2, 1, 13) ist OP = [1, 3, -13].

Verschiebungsvektor

Ein Verschiebungsvektor PQ gibt die Strecke von P zu Q an und wird als PQ = Q - P dargestellt. Der Betrag/Länge des Vektors PQ ist |PQ| = √((Q1 - P1)² + (Q2 - P2)² + (Q3 - P3)²).

Addition von Vektoren

Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise: a + b = [a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3]. Der Gegenvektor zu a ist -a = [-a1, -a2, -a3]. Der Summenvektor a + b kann auch als Linearkombination von a und b dargestellt werden: a + b = 1a + 1b.

Skalarmultiplikation

Die Skalarmultiplikation eines Vektors a mit einem Skalar k ergibt ka = [ka1, ka2, ka3].

Linearkombination

Ein Vektor X kann als Linearkombination der Vektoren a und b dargestellt werden: X = r·a + s·b mit r, s ∈ ℝ. Die Koeffizienten r und s können durch Gleichsetzen der Komponenten von X und der Linearkombination bestimmt werden.

Differenzvektor

Der Differenzvektor AB gibt die Strecke von A nach B an und wird als AB = B - A dargestellt.

Strecke

Die Strecke AB kann als Parameterdarstellung in der Form X = A + t(B - A) mit 0 ≤ t ≤ 1 dargestellt werden.