Grundlagen der Analytischen Geometrie im Raum
Die analytische Geometrie bildet eine wichtige Brücke zwischen Algebra und Geometrie. Sie ermöglicht uns, geometrische Objekte mit algebraischen Methoden zu beschreiben und zu untersuchen. Wie bestimmt man eine Ebene in der Geometrie? Diese Frage lässt sich durch das Verständnis grundlegender Konzepte beantworten.
Definition: Ein Punkt ist ein fester Ort im Raum, während ein Vektor eine gerichtete Strecke ohne festgelegten Ursprung darstellt.
Im dreidimensionalen Raum arbeiten wir mit Koordinaten-Tripeln x1,x2,x3. Diese beschreiben die Position eines Punktes oder die Komponenten eines Vektors. Ortsvektoren sind dabei besonders wichtig - sie verlaufen vom Koordinatenursprung zu einem bestimmten Punkt. Zum Beispiel beschreibt der Ortsvektor OP = −2,1,3 den Weg vom Ursprung O zum Punkt P.
Verschiebungsvektoren spielen eine zentrale Rolle bei der Linearkombination Vektoren berechnen. Sie beschreiben die Bewegung von einem Punkt zu einem anderen. Für zwei Punkte PP1,P2,P3 und QQ1,Q2,Q3 berechnet sich der Verschiebungsvektor PQ als Differenz der Koordinaten: PQ = Q1−P1,Q2−P2,Q3−P3.