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1
Michael Kalash
11.12.2025
Mathe
Lineare Algebra Abitur 2022 Niedersachsen
2.484
•
11. Dez. 2025
•
Michael Kalash
@iamkalash
Die lineare Algebra im Raum ist dein Werkzeugkasten für alles,... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du navigierst in einem 3D-Spiel - genau so funktioniert das Koordinatensystem im Raum mit seinen drei Achsen x, y und z. Der Abstand zweier Punkte berechnet sich mit der 3D-Version des Satzes von Pythagoras: d = √.
Vektoren sind wie Wegbeschreibungen im Raum - sie haben drei Komponenten und zeigen dir genau, wie du von einem Punkt zum anderen kommst. Der Vektor (-2|1|3) verschiebt beispielsweise den Punkt A(1|1|3) nach A'(-1|2|6).
Um einen Vektor aus zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten des Startpunkts von denen des Zielpunkts ab. Der Ortsvektor ist der Spezialfall, der vom Ursprung zu einem Punkt zeigt.
💡 Merktipp: Vektor = Zielpunkt - Startpunkt. So einfach ist das!
Mit Vektoren zu rechnen ist wie Lego bauen - du fügst systematisch Teile zusammen. Die Länge eines Vektors (auch Betrag genannt) berechnest du mit |a⃗| = √ - im Prinzip der 3D-Pythagoras.
Bei der Addition addierst du einfach die entsprechenden Komponenten. Die Skalarmultiplikation streckt oder staucht deinen Vektor um den Faktor s. Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - einer ist ein Vielfaches des anderen.
Linearkombinationen sind besonders mächtig: Du kombinierst mehrere Vektoren mit verschiedenen Faktoren zu einem neuen Vektor. Das ist wie ein Rezept, bei dem du verschiedene Zutaten in unterschiedlichen Mengen mischst.
💡 Praxistipp: Kollineare Vektoren erkennst du daran, dass sich einer als Vielfaches des anderen schreiben lässt!
Das Skalarprodukt ist dein Allround-Werkzeug für Winkel und Längen. Du multiplizierst entsprechende Komponenten und addierst sie: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Heraus kommt eine Zahl, kein Vektor!
Mit dem Skalarprodukt findest du Winkel zwischen Vektoren über cos(γ) = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|). Orthogonale Vektoren (90° Winkel) haben das Skalarprodukt null - super praktisch zum Prüfen! Bei kollinearen Vektoren mit gleicher Richtung ist das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Beträge.
Den Mittelpunkt einer Strecke berechnest du elegant mit m⃗ = ½ - einfach die beiden Ortsvektoren addieren und halbieren.
💡 Eselsbrücke: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer senkrecht!
Geradengleichungen beschreiben unendlich lange, gerade Linien im Raum. Die Punkt-Richtungs-Form g: x⃗ = a⃗ + r·v⃗ ist dein Standard-Werkzeug. Der Stützvektor a⃗ gibt einen Punkt auf der Geraden an, der Richtungsvektor v⃗ zeigt die Richtung.
Mit der Zwei-Punkte-Form erstellst du eine Gerade durch zwei bekannte Punkte A und B: g: x⃗ = a⃗ + r·. Der Parameter r bestimmt, welchen Punkt auf der Geraden du bekommst.
Für die Punktprobe setzt du die Koordinaten des fraglichen Punkts in die Geradengleichung ein. Gibt es ein r, das alle drei Gleichungen erfüllt, liegt der Punkt auf der Geraden - sonst nicht.
💡 Achtung: Bei der Punktprobe müssen ALLE drei Gleichungen das gleiche r ergeben!
Eine Strecke ist eine begrenzte Gerade zwischen zwei Punkten. Du verwendest dieselbe Formel wie bei Geraden, aber beschränkst den Parameter: 0 ≤ r ≤ 1. So bleibst du zwischen den beiden Endpunkten.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Für den Spurpunkt mit der xy-Ebene setzt du z = 0 und löst nach r auf. Das machst du analog für die anderen Ebenen.
Mit Geradengleichungen kannst du auch Geschwindigkeiten berechnen. Die Länge des Richtungsvektors gibt dir die zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit an. Die Geschwindigkeit ist dann v = |v⃗|/t.
💡 Merkregel: Spurpunkt finden = eine Koordinate null setzen und r bestimmen!
Zwei Geraden im Raum können sich auf vier verschiedene Arten verhalten. Zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, sind die Geraden entweder identisch oder echt parallel - je nachdem, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt.
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, löst du die Gleichung p⃗ + r·u⃗ = q⃗ + s·v⃗. Hat sie genau eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Hat sie keine Lösung, sind die Geraden windschief - sie verlaufen aneinander vorbei, ohne sich zu schneiden.
Die Matrixmethode mit Diagonalformen macht die Analyse systematischer. Je nach Form der reduzierten Matrix erkennst du sofort die Lagebeziehung.
💡 Faustregel: Windschief gibt es nur im Raum, nicht in der Ebene!
Geradenscharen enthalten einen Parameter (meist a), der verschiedene Geraden einer Familie beschreibt. Du findest spezielle Werte für a, indem du Bedingungen stellst - zum Beispiel, dass die Gerade durch einen bestimmten Punkt geht.
Ebenengleichungen in Parameterform haben zwei Parameter r und s: E: x⃗ = a⃗ + r·u⃗ + s·v⃗. Der Stützvektor a⃗ gibt einen Punkt auf der Ebene an, die beiden Richtungsvektoren u⃗ und v⃗ spannen die Ebene auf.
Die Drei-Punkte-Form nutzt drei gegebene Punkte A, B, C: E: x⃗ = a⃗ + r· + s·. Die Richtungsvektoren sind dann die Verbindungsvektoren von A zu den anderen beiden Punkten.
💡 Wichtig: Die beiden Richtungsvektoren einer Ebene dürfen nicht kollinear sein!
Ein ebenes Flächenstück entsteht, wenn du beide Parameter auf das Intervall beschränkst. Das gibt dir eine Parallelogrammfläche zwischen den aufspannenden Vektoren.
Spurpunkte einer Ebene findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt und die dritte berechnest. Spurgeraden sind die Schnittlinien der Ebene mit den Koordinatenebenen - sie verlaufen durch je zwei Spurpunkte.
Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Du kannst ihn systematisch finden oder das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Richtungsvektoren berechnen.
💡 Tipp: Der Normalenvektor zeigt immer senkrecht zur Ebene - wie ein Pfeil, der aus der Ebene herausragt!
Das Vektorprodukt u⃗ × v⃗ berechnet automatisch einen Normalenvektor zu beiden Ausgangsvektoren. Die Formel sieht kompliziert aus, aber dein Taschenrechner kann das mit der crossP-Funktion.
Die Normalform einer Ebenengleichung nutzt den Normalenvektor: E: n⃗ · = 0. Alle Punkte x⃗, für die der Verbindungsvektor zu einem festen Punkt q⃗ senkrecht zum Normalenvektor steht, liegen auf der Ebene.
Durch Umformen erhältst du die Koordinatenform E: ax + by + cz = d. Die Koeffizienten a, b, c sind die Komponenten des Normalenvektors, und d = n⃗ · q⃗.
💡 Merksatz: Normalenvektor × Richtungsvektor = immer null!
Du kannst zwischen Parameterform, Normalform und Koordinatenform hin- und herwechseln. Von Parameterform zur Koordinatenform: Bestimme den Normalenvektor mit dem Vektorprodukt, stelle die Normalform auf und forme um.
Von Koordinatenform zur Parameterform: Lies den Normalenvektor ab, bestimme drei Punkte auf der Ebene durch geschicktes Einsetzen, und verwende einen als Stützvektor. Die anderen beiden ergeben die Richtungsvektoren.
Die systematische Umwandlung ist wie ein Kochrezept - folge den Schritten der Reihe nach. Jede Form hat ihre Vorteile: Parameterform für Punktberechnungen, Koordinatenform für Abstandsberechnungen.
💡 Strategie: Wähle die Form, die für deine konkrete Aufgabe am praktischsten ist!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Michael Kalash
@iamkalash
Die lineare Algebra im Raum ist dein Werkzeugkasten für alles, was sich in 3D abspielt - von Computergrafiken bis hin zu Ingenieursproblemen. Mit Vektoren und Ebenengleichungen löst du komplexe räumliche Aufgaben systematisch und elegant.
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Stell dir vor, du navigierst in einem 3D-Spiel - genau so funktioniert das Koordinatensystem im Raum mit seinen drei Achsen x, y und z. Der Abstand zweier Punkte berechnet sich mit der 3D-Version des Satzes von Pythagoras: d = √.
Vektoren sind wie Wegbeschreibungen im Raum - sie haben drei Komponenten und zeigen dir genau, wie du von einem Punkt zum anderen kommst. Der Vektor (-2|1|3) verschiebt beispielsweise den Punkt A(1|1|3) nach A'(-1|2|6).
Um einen Vektor aus zwei Punkten zu berechnen, ziehst du einfach die Koordinaten des Startpunkts von denen des Zielpunkts ab. Der Ortsvektor ist der Spezialfall, der vom Ursprung zu einem Punkt zeigt.
💡 Merktipp: Vektor = Zielpunkt - Startpunkt. So einfach ist das!
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Mit Vektoren zu rechnen ist wie Lego bauen - du fügst systematisch Teile zusammen. Die Länge eines Vektors (auch Betrag genannt) berechnest du mit |a⃗| = √ - im Prinzip der 3D-Pythagoras.
Bei der Addition addierst du einfach die entsprechenden Komponenten. Die Skalarmultiplikation streckt oder staucht deinen Vektor um den Faktor s. Kollineare Vektoren sind parallel zueinander - einer ist ein Vielfaches des anderen.
Linearkombinationen sind besonders mächtig: Du kombinierst mehrere Vektoren mit verschiedenen Faktoren zu einem neuen Vektor. Das ist wie ein Rezept, bei dem du verschiedene Zutaten in unterschiedlichen Mengen mischst.
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Das Skalarprodukt ist dein Allround-Werkzeug für Winkel und Längen. Du multiplizierst entsprechende Komponenten und addierst sie: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Heraus kommt eine Zahl, kein Vektor!
Mit dem Skalarprodukt findest du Winkel zwischen Vektoren über cos(γ) = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|). Orthogonale Vektoren (90° Winkel) haben das Skalarprodukt null - super praktisch zum Prüfen! Bei kollinearen Vektoren mit gleicher Richtung ist das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Beträge.
Den Mittelpunkt einer Strecke berechnest du elegant mit m⃗ = ½ - einfach die beiden Ortsvektoren addieren und halbieren.
💡 Eselsbrücke: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer senkrecht!
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Geradengleichungen beschreiben unendlich lange, gerade Linien im Raum. Die Punkt-Richtungs-Form g: x⃗ = a⃗ + r·v⃗ ist dein Standard-Werkzeug. Der Stützvektor a⃗ gibt einen Punkt auf der Geraden an, der Richtungsvektor v⃗ zeigt die Richtung.
Mit der Zwei-Punkte-Form erstellst du eine Gerade durch zwei bekannte Punkte A und B: g: x⃗ = a⃗ + r·. Der Parameter r bestimmt, welchen Punkt auf der Geraden du bekommst.
Für die Punktprobe setzt du die Koordinaten des fraglichen Punkts in die Geradengleichung ein. Gibt es ein r, das alle drei Gleichungen erfüllt, liegt der Punkt auf der Geraden - sonst nicht.
💡 Achtung: Bei der Punktprobe müssen ALLE drei Gleichungen das gleiche r ergeben!
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Eine Strecke ist eine begrenzte Gerade zwischen zwei Punkten. Du verwendest dieselbe Formel wie bei Geraden, aber beschränkst den Parameter: 0 ≤ r ≤ 1. So bleibst du zwischen den beiden Endpunkten.
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Für den Spurpunkt mit der xy-Ebene setzt du z = 0 und löst nach r auf. Das machst du analog für die anderen Ebenen.
Mit Geradengleichungen kannst du auch Geschwindigkeiten berechnen. Die Länge des Richtungsvektors gibt dir die zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit an. Die Geschwindigkeit ist dann v = |v⃗|/t.
💡 Merkregel: Spurpunkt finden = eine Koordinate null setzen und r bestimmen!
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Zwei Geraden im Raum können sich auf vier verschiedene Arten verhalten. Zuerst prüfst du, ob die Richtungsvektoren kollinear sind. Falls ja, sind die Geraden entweder identisch oder echt parallel - je nachdem, ob ein Punkt der einen Geraden auch auf der anderen liegt.
Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, löst du die Gleichung p⃗ + r·u⃗ = q⃗ + s·v⃗. Hat sie genau eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Hat sie keine Lösung, sind die Geraden windschief - sie verlaufen aneinander vorbei, ohne sich zu schneiden.
Die Matrixmethode mit Diagonalformen macht die Analyse systematischer. Je nach Form der reduzierten Matrix erkennst du sofort die Lagebeziehung.
💡 Faustregel: Windschief gibt es nur im Raum, nicht in der Ebene!
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Geradenscharen enthalten einen Parameter (meist a), der verschiedene Geraden einer Familie beschreibt. Du findest spezielle Werte für a, indem du Bedingungen stellst - zum Beispiel, dass die Gerade durch einen bestimmten Punkt geht.
Ebenengleichungen in Parameterform haben zwei Parameter r und s: E: x⃗ = a⃗ + r·u⃗ + s·v⃗. Der Stützvektor a⃗ gibt einen Punkt auf der Ebene an, die beiden Richtungsvektoren u⃗ und v⃗ spannen die Ebene auf.
Die Drei-Punkte-Form nutzt drei gegebene Punkte A, B, C: E: x⃗ = a⃗ + r· + s·. Die Richtungsvektoren sind dann die Verbindungsvektoren von A zu den anderen beiden Punkten.
💡 Wichtig: Die beiden Richtungsvektoren einer Ebene dürfen nicht kollinear sein!
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Ein ebenes Flächenstück entsteht, wenn du beide Parameter auf das Intervall beschränkst. Das gibt dir eine Parallelogrammfläche zwischen den aufspannenden Vektoren.
Spurpunkte einer Ebene findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt und die dritte berechnest. Spurgeraden sind die Schnittlinien der Ebene mit den Koordinatenebenen - sie verlaufen durch je zwei Spurpunkte.
Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Du kannst ihn systematisch finden oder das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Richtungsvektoren berechnen.
💡 Tipp: Der Normalenvektor zeigt immer senkrecht zur Ebene - wie ein Pfeil, der aus der Ebene herausragt!
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Das Vektorprodukt u⃗ × v⃗ berechnet automatisch einen Normalenvektor zu beiden Ausgangsvektoren. Die Formel sieht kompliziert aus, aber dein Taschenrechner kann das mit der crossP-Funktion.
Die Normalform einer Ebenengleichung nutzt den Normalenvektor: E: n⃗ · = 0. Alle Punkte x⃗, für die der Verbindungsvektor zu einem festen Punkt q⃗ senkrecht zum Normalenvektor steht, liegen auf der Ebene.
Durch Umformen erhältst du die Koordinatenform E: ax + by + cz = d. Die Koeffizienten a, b, c sind die Komponenten des Normalenvektors, und d = n⃗ · q⃗.
💡 Merksatz: Normalenvektor × Richtungsvektor = immer null!
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Du kannst zwischen Parameterform, Normalform und Koordinatenform hin- und herwechseln. Von Parameterform zur Koordinatenform: Bestimme den Normalenvektor mit dem Vektorprodukt, stelle die Normalform auf und forme um.
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Die systematische Umwandlung ist wie ein Kochrezept - folge den Schritten der Reihe nach. Jede Form hat ihre Vorteile: Parameterform für Punktberechnungen, Koordinatenform für Abstandsberechnungen.
💡 Strategie: Wähle die Form, die für deine konkrete Aufgabe am praktischsten ist!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Erfahre, wie man die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden bestimmt. Diese Zusammenfassung enthält Aufgaben, Lösungen und Erklärungen zu parallelen Linien und Schnittpunkten. Ideal für das Verständnis der Geometrie und zur Vorbereitung auf Prüfungen.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Berechnung von Vektoren, die Bestimmung von Ebenen im Raum und die Anwendung von linearen Gleichungssystemen. Wichtige Themen sind die Orthogonalität von Vektoren, der Abstand von Punkten zu Ebenen, sowie die Berechnung von Winkeln und Volumina in einem prismatischen Kontext. Ideal für Studierende der Multivariaten Analysis und Geometrie.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der Vektoren in der analytischen Geometrie, einschließlich Vektortypen, Skalar- und Kreuzprodukt, Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie Lagebeziehungen. Ideal für das Abitur im Leistungskurs. Erlerne die Grundlagen der Vektorgeometrie und deren Anwendungen im dreidimensionalen Koordinatensystem.
MatheEntdecken Sie alle wichtigen Themen für das Mathematik-Abitur 2022, einschließlich Analysis, Vektorielle Geometrie, Stochastik und mehr. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen zu Hypothesentests, Integrationsmethoden, Abstandsberechnungen und den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Ideal für die Prüfungsvorbereitung!
MatheEntdecken Sie die Parameterform von Ebenen im Raum. Lernen Sie, wie man Ebenengleichungen aufstellt und Punktproben durchführt. Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte wie Ortsvektoren, Spannvektoren und die Überprüfung, ob ein Punkt in einer Ebene liegt. Ideal für Mathematikstudenten, die sich mit Vektoren und Ebenen beschäftigen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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