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 MATHEMATIK ÜBERSICHT GRUNDFUNKTIONEN
Ganzrationale Funktionen
f(x)= an x+an-₁²x^-^+...+ a₁·x^ Ao
↳ wird auch Polynom funktion genannt
Grad

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Eine Übersicht mit den wichtigsten Themen für das Mathe Abitur 2021 in Niedersachsen (auf erhöhtem Anforderungsniveau)

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MATHEMATIK ÜBERSICHT GRUNDFUNKTIONEN Ganzrationale Funktionen f(x)= an x+an-₁²x^-^+...+ a₁·x^ Ao ↳ wird auch Polynom funktion genannt Grad abzulesen am nächsten Ex- ponenten Bsp.: f(x) = 4x² + 2x + 6 - 2ten Grades Potenzgesetze Gleiche Basis: Lo xa. ·x = x a 40x²x³ = x= x² 40 (x 91⁰ = = x a.b Unterschiedlicne Basis a-p ab = (a bl" 40 a²: b² = n/2 = ( 2 ) " Negative Basis LO • gerader Exponent- : negatives vorzeichen weg ungerader Exponent- negatives vorzeichen bleibt Besondere Exponenten 4D x° = 1 40 x P = LO X V GRUNDLAGEN = √xm² f'(x) = cos²x + Sin ²x cos¹x f(x)=sinx f'(x1=c cos(x1 f(x)=cosx ® l'(x)= -Sin(x) sinx 4cx1 = tanx = cos x = ^ COS¹ X Gebrochenrationale Funktionen Eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im wenner eine ganzrationale Funktion befindet. ↳ wenn der Nenner Null wird ist Funktion nicht definiert ist ↳ Rann asymptotisch verlaufen Natürlicher Logarithmus ↳ wird als Logarithmus naturalis bezeichnet zu lösen bei ex y ↳ um Gleichungen nach ex=y 4 11 (11=0! -D → x = lny = logey bzw. e²=y -> x = incy) Regein: Incx.y1 = ln x + iny; in ( \ ) = (x-lny; Inx"=p10x ; 10 √x² = 1 10x i Trigonometrische Funktionen Sinusfunktion f(x) = sin(x) Exponentialfunktionen variable stent im Exponenten: f4x1=a* ↳ Exponentialkurven oberhalb x-Achse, X-Achse als waagerechte Asymptote, schneiden y-Achse bei (011) aº = 1₁ y-Achsenabschnitt y=1, Reine Null- stellen (Reinen Schnittpunkt mit x-Achse) ↳D Mopotomie: 0< a < 1 → streng monoton fallend, a³1 → streng e-Funktion f(x1=e*, eᵒ = 1! Lo...

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Exponentialfunktion zur Basis DER GRENZWERTBEGRIFF Verhalten im unendlichen I LD X-D +∞, Untersuchen wie Werte sich verhalten wenn ·g x immer größer / kleiner wird Bsp.: lim x² = +∞o ly-werte werden immer größer x 00 lim = (nanern sich der an) x->-00 e≈2,718 patürliche Exponentialfunktion gent durch coin) and (Ale) Regein: e**v=e*·evie*¨*= eyi exy = (e*1" lim x ² = +∞0 ly-werre werden immer größer *--00 LD ↳ periodische Funktion, wiederholt sich nach 1 Periode (2π), schneider y- Achse bei (010), punktsymmetrisch zum ursprung cosinusfunktion f(x) = cos(x) Lo periodische Funktion (211), schneidet y-Achse bei (011), achsensymmetrisch zum ursprung Tangensfunktion f(x) =tan(x) ↳ periodisch (wiederholt sich in regelmäßigen Abständen → AbstANA T), punktsymmetrisch zum ursprung monoton steigend Definitionslucke, Polstelle nepbare Definitionslucke Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, die durch Rürzen des Terms lösbar ist, f(x) = Q(x) Q(x1=0 und P(x)=0 Polstelle in deren Näre laufen die Funktionswerte gegen unendlich aurch sie verläuft eine Gerade an die sich der Grapn annähert (Asymptote) SCHNITTPUNKTE MIT KOORDINATENACHSEN y-Achsenabschnitt Schnittpunkt des Funktionsgrapnen mit der y-Achse LD 4101 = yo LD y=m*x* b → b dis y-Achsenabschnitt LÖSUNG GLEICHUNGSSYSTEME Additionsverfahren 1. Entscheiden welche variable eliminiert werden soll 2. Was tun damit die unbekannte wegfällt? 3. Berechnen der unbekannten 40 1 Lösung = eindeutig Lo 00 Lösungen = allgemein gültig Lo Reine Lösung faische Aussage verschiebung. Bsp.: 2x+3y=14 x + 2y = 8 Uullstellen to y-Koordinate eines Schnittpunkies mit x-Acnse immer null Spiegelung m= an der x-fense Für b²0 und den Graphen 6, einer Funktion f gilt: f(x+b) verschiebung nach links flx-b) verschiebung nach rechts an der y-Achse Für D²0 und den Graphen G, einer Funktion f gilt: f(x1+b verschiebung nach oben f(x1-6 verschiebung nach unten DIFFERENTIALRECHNUNG LD X-Koordinate des Schnittpunktes eines Grapnen mit der x-Achse nennt man Nullstelle MANIPULATION VON FUNKTIONSGRAPHEN Monotomie to bullstellen sind jene x-werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionsvert Null liefern Differenzenquotient beschreibt die Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneider- - gibt Steigung der f(b)-f(a) p-a an der x-Achse f(x) = -f(x) an der y-Achse f(x) → f(-x) am Ursprung f(x)-f(-x) Serante an mit: ۵۷ AX mittlere Änderungsrate m = x (Hōpe durch langel, sy = f(bl-fral, Ax=p-a 2x + 3y = 14 2x + 4y = 16 40 -y=-2 ANALYSIS f'(x) ²0 monoton steigend f'(x) ≤0 monotop fallend trigonometrisch: Sinusfunktion: x= -21,-1,0, 1, 2,... 4 · allgemein: x = R⋅ π mit REZ Kosinusfunktion: x=- -³7-³0... Einsetzungsverfahren 1. Gleichung nach einer variablen auflösen 2. Term für diese variable in die andere Gleichung einsetzen Symmetrie (2R+1) 40 allgemein: x = 2 .REZ Tangens funktion: gleiche Nullstellen wie sinds, da gilt tan(x) = COSCK) I sin(x) wenn sin(x)=0 ist also tan(x)=0 3. Gleichung nach der enthaltenen variablen auflösen 4. Lösung in die umgeformte Gleichung aus A und die andere variable berechnen Lo für die Lösungen gilt das gleiche wie bei der Addition einsetzen Achsensymmetrie zur y-Achse f(x) = f(-x) - Bsp.: f(x)=x² to wenn ausschließlich gerade Exponenten vorhanden sind beliebige Achse bei Achse x = f(h-x) = f(h+x) Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x1 = -f(x) - Bsp.: f(x) = x³ Wenn ausschließlich ungerade Exponenten vorhanden sind beliebiger Punkt P(alb) f(a+x) - b = -(f(a-xl-b) Streckung und Siduchung y-Richtung a flx1, a³10 Streckung; de 10 Stauchung x-Richtung flx-a), a ³1 - Stauchung; a ²1 Streckung Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten eines kleiner werdendes intervall lokale Änderungsrate/Tangentensteigung/Apleitung f'(x.) = lim *x-> f(x)-f(xo) X-X6 Ableitungsfunktionen - i f(x)= x² * 4²(x)=²x^²^; f(x)=√x² → 4²(x1= ²√²; f(x1=e* = f'(x1=e*; f(x1=In(x) f'(x) = = Ableitungsregein: Konstante f(x) = c von x f(x1= x = f'(x) = 1 Potenzregel f(x1= x -D f'(x)=n·x^²^ Faktorregel f(x1=c· g(x) + f'(x) = c・g'(x) Summenregel f(x) = g(x1+h(x) → f'(x) = g'(x) + n°(x) Differenzregel f(x) = g(x)-n(x) - f'(x) = g'(x)-n'(x) Produktregel f(x1= g(x) · p(x) → f'(x) = g'(x) · n(x) + Quotientenregel f(x1= g(x1 h(x) -o f'(x)= n(x1 ·g'(x) = g(x) · ('(x) (h(x11² Kettenregel fix1 = gin(x)) + f'(x) = g' (p(x))· n'(x) Schnittpunkt f'(x)=0 vorraussetzung: unterschiedliche Steigung 1. Funktionen gleichsetzen 2. nach x auflösen 3.x einsetzen um y zu bestimmen KURVENDISKUSSION Extrempunkte GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER FUNKTIONSGRAPHEN 1. f'(x) berechnen 2. f'(x)=0 setzen 3. f"(x) berechnen 4. Nullstellen in f"(x) 5. wenn f"(x)/0 Extremstelle 6. x in f(x) einsetzen -D 4D F"(x) <0 - Hochpunkt Lo F"(x) >0 Tiefpunkt INTEGRALRECHNUNG Stammfunktion Integralrechnung (aufleiten") f(x) als gegebene Funktion ↳ f'(x) als Ableitungsfunktion 4D F(x) als Stammfunktion ↳ F'(x) = f(x) ・g(x) ·n'(x) Flächenberechnung. Tangentengleichung. y(x) = f'(xol·(x-x.l+yo (x.. yo dis Berührungspunkte) Lo Punktsteigungsform allgemeine Steigungsform y=mx+b Senkrechte Gerdden/Normalengleichung Normale als Gerade, die an dem Berührpunkt der Tangente senkrecht auf ihr stent Mian = f'(x₂) Schnitteinkel wenn Schnittpunkt P(alf(all ↳ α = | tan^ (f'(all-tan" ^ (g'calll x-Achse: x=tan"^ (m) Wendestellen 1. f"(x) und f"(x) berechnen 2. f"(x)=0 setzen 3. Werte bei f"(x) einsetzen 4. f"(x)=0 wendestelle 5. x in fcx1 für Wendepunkte Krümmung f"(x1²00 rechtsgekrümmt unbestimmtes integral Gesamtheit aller Stammfunktionen f(x)=√√x¹. F(x)+c einer Funktion f(x) . Normalenformel y=f(x₂) · (x-xo) + f(xo) f'(xol Steigung (größeren kleineren = x zwischen Geraden f"(x) >0 - linksgekrümmt -D f(x) =R - F(x)=R*x*C f(x)=x F(x)=1^n + x^*^*C f(x1=e* F(x)=e* +c f(x)=In(x)F(x) = -x+x・In(x) + c f(x1= F(x1= in(x) + c f(x1=tan(x) F(x) = -In (cos(x11+c ¹+F(x)=+^¨X M werden ^ трог - твер *C zwischen Grdpn dnd x-Achse Nullstellen berechnen, diese als Grenzen einsetzen wenn Teile der zu bestimmenden Fläche unterhalb der x-Achse liegen muss der Betrag der Fläche genommen zwischen zwei sich schneidenden Graphen to wenn f(x) = g(x) = A= {(f(x) = g(x)) dx = . = (F(b) - G(b)) ~ (F(a)~ G(al) Berührpunkt wenn Funktionswerte an der Stelle gleich sind und auch Ableitungswerte ₂= f(x₂1 = g(x₂1 und f'(x,l=g'(xol yo = 40 Graphisches Ableiten Extrempunkte → Nullstellen (mit VZW) Sattelpunkte Berührungspunkt mit x-Acnse Wendepunkte → Extremstellen G Steigtoperhalb -D x-Achse Gf fällt unterhalb x-Achse b integralfunktion la(x) = f(x) dx = [F(x)] = (F(b)-F(a)) bestimmtes integral wenn integrations grenzen angegeben sind lässt sich mit integral- funktion lösen Integrationsregeln Potenzregel Sxax = + x^*^*c Faktorregel Sc f(x) dx = c · Sfilax Summenregel f(f(x1+g(x11ax = S f(x1ax+ SgCx1ax Differenzregel (fax)-g(x11dx = = Sf(x1dx - Sg²x1 dx Extremwertaufgaben L Prozesse optimieren (größtes / Rleinstes volumen) (was soll max/min werden?) 1. Hauptbedingung 2. Randbedingung (Text) nach A variablen lösen 3. Einsetzen auf Extremstellen untersuchen UMKEHRFUNKTION Der Begriff umkenrfunktionen ordnen x una y umgeRenri zu werte massen „vertauscht" werden Bildung Funktion nach x auflösen und variable vertauschen Bsp.: f(x)=y=2x {"^²(x)=y= £x Lo Rann als Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden STECKBRIEFAUFGABEN -D vorgenensweise 1. Grad der Funktion ermitteln (Skizze,...) LP meist eine Bedingung mehr als Grad der Funktion 2. · Überprüfen auf symmetrie ↳achsensymmetrisch nur gerade Exponenten Lo punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten • Bedingungen aufstellen 3. 4. dllgemeine Funktion (+ Ableitungen) dufstellen 5. L&S aufstellen und nach variablen lösen 6. Funktionsgleichung überprüfen Unbegrenzter Wachstumsprozess Wachstum: N(+) = N(O). eRt 40 DGL: N'(t) = R∙ N(+) Zerfall: N(t) = N²01 ·e=1²² ↳ OGL: N' (t) == R⋅N(t) verdopplungs/ Halbwertszeit: t = In (0,5) (-) R Existenz to jedem x, muss min, ein gleiches y.zugeordnet werden können Lo surjektiv Ortspurve- Lo Grapn auf dem die unterschiedlichen Funktionsgrapnen einer Funktionen- schar liegen (bspo. Tiefpunkte) ↳ Bestimmung durch gewohnte Berechnung der Koordinaten, anschließend pach x auflösen Bsp.: x=-t-1 =D + = -x =-t²-20 dann einsetzen ↳ jedem x, kann nur maximal ein yo zugeordnet werden LO Lo jede waagerechte Gerade schneidet den Funktions graphen maximal einmal (injektiv) Eine Umkenrfunktion existiert wenn diese Bedingungen erfüllt sind (pijektiv, streng monoton steigend) Bedingungen ... pat im Punkt (dib)... ... gent durch den Ursprung.... ... Schneidet x-Acnse bei x = d... WACHSTUMS-UND ZERFALLSPROZESSE Lineare Wachstumsprozesse Bestand mit gleichmäßiger Entwicklung zu-/Abnahme 40 immer gleiche beschrieben durch Gerdden y=m²x + b ・nat beix=a die Steigung m= p ... ist bei x= a parallel zu y=p²x *c... f'(al=b ... schneidet y-Achse bei y=d... .hat einen Extrempunkt bei E(alb)... ... berührt x-Achse bei x = 5... .nat bei x=a einen Wendepunkt.... seine wendetangente bei *** • Sattelpunkt bei x = a... ... • waagerechte Tangente bei calp) (A>1+wachstum, A<1- Zerfall) mit R=In (1+1(= 6* = e DGL: f'(x)=R• f(x) Exponentielle Wachstumsprozesse zunahme / Abnahme proportional zum Bestand ↳ zum vorhandenen Bestand kommt der prozentual gleiche Anteil pinzu Lo Endwert - Startwert. Basis* f(x)=Ab* mit e-Funktion 4D f(x1= A·e·x in(01.x bei x=a... zum Restbestand Lo f(x)=A+CG-A) CRG-X = : eRx 1 DGL: f'(x)=R・ (G-f(x)) Gais Grenzwert von f: lim f(x) = G y = G dis Asymptote von f DGL: f'(x)=R⋅ f(x) · (G-f(x)) flal b f(01=0 flal=0 f'(al=b Logistisches Wachstum- Anderung proportional zum Bestand und f(01 = a f(al=b₁f'(al=0 f'(al=0 f"(al=0 f"(al=0 f"(al=0, f'(al=0 f'(al=0₁ f(al=0 Beschränkte Wachstumsprozesse Anderung proportional zur Differenz aus Bestand und Grenze Lo proportional zum möglichen Restbestand ↳ f(x) = (A-GI·e=tex +G G A>G A<G I R'O RTO X X

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f(x)= an x+an-₁²x^-^+...+ a₁·x^ Ao
↳ wird auch Polynom funktion genannt
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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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Entscheiden welche variable eliminiert werden soll 2. Was tun damit die unbekannte wegfällt? 3. Berechnen der unbekannten 40 1 Lösung = eindeutig Lo 00 Lösungen = allgemein gültig Lo Reine Lösung faische Aussage verschiebung. Bsp.: 2x+3y=14 x + 2y = 8 Uullstellen to y-Koordinate eines Schnittpunkies mit x-Acnse immer null Spiegelung m= an der x-fense Für b²0 und den Graphen 6, einer Funktion f gilt: f(x+b) verschiebung nach links flx-b) verschiebung nach rechts an der y-Achse Für D²0 und den Graphen G, einer Funktion f gilt: f(x1+b verschiebung nach oben f(x1-6 verschiebung nach unten DIFFERENTIALRECHNUNG LD X-Koordinate des Schnittpunktes eines Grapnen mit der x-Achse nennt man Nullstelle MANIPULATION VON FUNKTIONSGRAPHEN Monotomie to bullstellen sind jene x-werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionsvert Null liefern Differenzenquotient beschreibt die Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneider- - gibt Steigung der f(b)-f(a) p-a an der x-Achse f(x) = -f(x) an der y-Achse f(x) → f(-x) am Ursprung f(x)-f(-x) Serante an mit: ۵۷ AX mittlere Änderungsrate m = x (Hōpe durch langel, sy = f(bl-fral, Ax=p-a 2x + 3y = 14 2x + 4y = 16 40 -y=-2 ANALYSIS f'(x) ²0 monoton steigend f'(x) ≤0 monotop fallend trigonometrisch: Sinusfunktion: x= -21,-1,0, 1, 2,... 4 · allgemein: x = R⋅ π mit REZ Kosinusfunktion: x=- -³7-³0... Einsetzungsverfahren 1. Gleichung nach einer variablen auflösen 2. Term für diese variable in die andere Gleichung einsetzen Symmetrie (2R+1) 40 allgemein: x = 2 .REZ Tangens funktion: gleiche Nullstellen wie sinds, da gilt tan(x) = COSCK) I sin(x) wenn sin(x)=0 ist also tan(x)=0 3. Gleichung nach der enthaltenen variablen auflösen 4. Lösung in die umgeformte Gleichung aus A und die andere variable berechnen Lo für die Lösungen gilt das gleiche wie bei der Addition einsetzen Achsensymmetrie zur y-Achse f(x) = f(-x) - Bsp.: f(x)=x² to wenn ausschließlich gerade Exponenten vorhanden sind beliebige Achse bei Achse x = f(h-x) = f(h+x) Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x1 = -f(x) - Bsp.: f(x) = x³ Wenn ausschließlich ungerade Exponenten vorhanden sind beliebiger Punkt P(alb) f(a+x) - b = -(f(a-xl-b) Streckung und Siduchung y-Richtung a flx1, a³10 Streckung; de 10 Stauchung x-Richtung flx-a), a ³1 - Stauchung; a ²1 Streckung Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten eines kleiner werdendes intervall lokale Änderungsrate/Tangentensteigung/Apleitung f'(x.) = lim *x-> f(x)-f(xo) X-X6 Ableitungsfunktionen - i f(x)= x² * 4²(x)=²x^²^; f(x)=√x² → 4²(x1= ²√²; f(x1=e* = f'(x1=e*; f(x1=In(x) f'(x) = = Ableitungsregein: Konstante f(x) = c von x f(x1= x = f'(x) = 1 Potenzregel f(x1= x -D f'(x)=n·x^²^ Faktorregel f(x1=c· g(x) + f'(x) = c・g'(x) Summenregel f(x) = g(x1+h(x) → f'(x) = g'(x) + n°(x) Differenzregel f(x) = g(x)-n(x) - f'(x) = g'(x)-n'(x) Produktregel f(x1= g(x) · p(x) → f'(x) = g'(x) · n(x) + Quotientenregel f(x1= g(x1 h(x) -o f'(x)= n(x1 ·g'(x) = g(x) · ('(x) (h(x11² Kettenregel fix1 = gin(x)) + f'(x) = g' (p(x))· n'(x) Schnittpunkt f'(x)=0 vorraussetzung: unterschiedliche Steigung 1. Funktionen gleichsetzen 2. nach x auflösen 3.x einsetzen um y zu bestimmen KURVENDISKUSSION Extrempunkte GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER FUNKTIONSGRAPHEN 1. f'(x) berechnen 2. f'(x)=0 setzen 3. f"(x) berechnen 4. Nullstellen in f"(x) 5. wenn f"(x)/0 Extremstelle 6. x in f(x) einsetzen -D 4D F"(x) <0 - Hochpunkt Lo F"(x) >0 Tiefpunkt INTEGRALRECHNUNG Stammfunktion Integralrechnung (aufleiten") f(x) als gegebene Funktion ↳ f'(x) als Ableitungsfunktion 4D F(x) als Stammfunktion ↳ F'(x) = f(x) ・g(x) ·n'(x) Flächenberechnung. Tangentengleichung. y(x) = f'(xol·(x-x.l+yo (x.. yo dis Berührungspunkte) Lo Punktsteigungsform allgemeine Steigungsform y=mx+b Senkrechte Gerdden/Normalengleichung Normale als Gerade, die an dem Berührpunkt der Tangente senkrecht auf ihr stent Mian = f'(x₂) Schnitteinkel wenn Schnittpunkt P(alf(all ↳ α = | tan^ (f'(all-tan" ^ (g'calll x-Achse: x=tan"^ (m) Wendestellen 1. f"(x) und f"(x) berechnen 2. f"(x)=0 setzen 3. Werte bei f"(x) einsetzen 4. f"(x)=0 wendestelle 5. x in fcx1 für Wendepunkte Krümmung f"(x1²00 rechtsgekrümmt unbestimmtes integral Gesamtheit aller Stammfunktionen f(x)=√√x¹. F(x)+c einer Funktion f(x) . Normalenformel y=f(x₂) · (x-xo) + f(xo) f'(xol Steigung (größeren kleineren = x zwischen Geraden f"(x) >0 - linksgekrümmt -D f(x) =R - F(x)=R*x*C f(x)=x F(x)=1^n + x^*^*C f(x1=e* F(x)=e* +c f(x)=In(x)F(x) = -x+x・In(x) + c f(x1= F(x1= in(x) + c f(x1=tan(x) F(x) = -In (cos(x11+c ¹+F(x)=+^¨X M werden ^ трог - твер *C zwischen Grdpn dnd x-Achse Nullstellen berechnen, diese als Grenzen einsetzen wenn Teile der zu bestimmenden Fläche unterhalb der x-Achse liegen muss der Betrag der Fläche genommen zwischen zwei sich schneidenden Graphen to wenn f(x) = g(x) = A= {(f(x) = g(x)) dx = . = (F(b) - G(b)) ~ (F(a)~ G(al) Berührpunkt wenn Funktionswerte an der Stelle gleich sind und auch Ableitungswerte ₂= f(x₂1 = g(x₂1 und f'(x,l=g'(xol yo = 40 Graphisches Ableiten Extrempunkte → Nullstellen (mit VZW) Sattelpunkte Berührungspunkt mit x-Acnse Wendepunkte → Extremstellen G Steigtoperhalb -D x-Achse Gf fällt unterhalb x-Achse b integralfunktion la(x) = f(x) dx = [F(x)] = (F(b)-F(a)) bestimmtes integral wenn integrations grenzen angegeben sind lässt sich mit integral- funktion lösen Integrationsregeln Potenzregel Sxax = + x^*^*c Faktorregel Sc f(x) dx = c · Sfilax Summenregel f(f(x1+g(x11ax = S f(x1ax+ SgCx1ax Differenzregel (fax)-g(x11dx = = Sf(x1dx - Sg²x1 dx Extremwertaufgaben L Prozesse optimieren (größtes / Rleinstes volumen) (was soll max/min werden?) 1. Hauptbedingung 2. Randbedingung (Text) nach A variablen lösen 3. Einsetzen auf Extremstellen untersuchen UMKEHRFUNKTION Der Begriff umkenrfunktionen ordnen x una y umgeRenri zu werte massen „vertauscht" werden Bildung Funktion nach x auflösen und variable vertauschen Bsp.: f(x)=y=2x {"^²(x)=y= £x Lo Rann als Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden STECKBRIEFAUFGABEN -D vorgenensweise 1. Grad der Funktion ermitteln (Skizze,...) LP meist eine Bedingung mehr als Grad der Funktion 2. · Überprüfen auf symmetrie ↳achsensymmetrisch nur gerade Exponenten Lo punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten • Bedingungen aufstellen 3. 4. dllgemeine Funktion (+ Ableitungen) dufstellen 5. L&S aufstellen und nach variablen lösen 6. Funktionsgleichung überprüfen Unbegrenzter Wachstumsprozess Wachstum: N(+) = N(O). eRt 40 DGL: N'(t) = R∙ N(+) Zerfall: N(t) = N²01 ·e=1²² ↳ OGL: N' (t) == R⋅N(t) verdopplungs/ Halbwertszeit: t = In (0,5) (-) R Existenz to jedem x, muss min, ein gleiches y.zugeordnet werden können Lo surjektiv Ortspurve- Lo Grapn auf dem die unterschiedlichen Funktionsgrapnen einer Funktionen- schar liegen (bspo. Tiefpunkte) ↳ Bestimmung durch gewohnte Berechnung der Koordinaten, anschließend pach x auflösen Bsp.: x=-t-1 =D + = -x =-t²-20 dann einsetzen ↳ jedem x, kann nur maximal ein yo zugeordnet werden LO Lo jede waagerechte Gerade schneidet den Funktions graphen maximal einmal (injektiv) Eine Umkenrfunktion existiert wenn diese Bedingungen erfüllt sind (pijektiv, streng monoton steigend) Bedingungen ... pat im Punkt (dib)... ... gent durch den Ursprung.... ... Schneidet x-Acnse bei x = d... WACHSTUMS-UND ZERFALLSPROZESSE Lineare Wachstumsprozesse Bestand mit gleichmäßiger Entwicklung zu-/Abnahme 40 immer gleiche beschrieben durch Gerdden y=m²x + b ・nat beix=a die Steigung m= p ... ist bei x= a parallel zu y=p²x *c... f'(al=b ... schneidet y-Achse bei y=d... .hat einen Extrempunkt bei E(alb)... ... berührt x-Achse bei x = 5... .nat bei x=a einen Wendepunkt.... seine wendetangente bei *** • Sattelpunkt bei x = a... ... • waagerechte Tangente bei calp) (A>1+wachstum, A<1- Zerfall) mit R=In (1+1(= 6* = e DGL: f'(x)=R• f(x) Exponentielle Wachstumsprozesse zunahme / Abnahme proportional zum Bestand ↳ zum vorhandenen Bestand kommt der prozentual gleiche Anteil pinzu Lo Endwert - Startwert. Basis* f(x)=Ab* mit e-Funktion 4D f(x1= A·e·x in(01.x bei x=a... zum Restbestand Lo f(x)=A+CG-A) CRG-X = : eRx 1 DGL: f'(x)=R・ (G-f(x)) Gais Grenzwert von f: lim f(x) = G y = G dis Asymptote von f DGL: f'(x)=R⋅ f(x) · (G-f(x)) flal b f(01=0 flal=0 f'(al=b Logistisches Wachstum- Anderung proportional zum Bestand und f(01 = a f(al=b₁f'(al=0 f'(al=0 f"(al=0 f"(al=0 f"(al=0, f'(al=0 f'(al=0₁ f(al=0 Beschränkte Wachstumsprozesse Anderung proportional zur Differenz aus Bestand und Grenze Lo proportional zum möglichen Restbestand ↳ f(x) = (A-GI·e=tex +G G A>G A<G I R'O RTO X X