Alternativer Bildtext:

zur Basis Vernalten im unenalichen ↳x - ±0, Untersuchen wie y-Werte sich verhalten wenn x immer größer / kleiner wird Bsp.: lim x² = +∞s ly-Werte werden immer größer x 00 e≈2,718 Lo natürliche Exponentialfunktion 40 gent durch (011) and (Ale) Regein: e**v=e*·e";e*'"= eyi exy = (e*1" lim x ² = + ∞0 ly-werre werden immer größer *--00 lim **²= 1 (nånern sich der Aan) x->-00 ↳ periodische Funktion, wiederholt sich nach 1 Periode (2π), schneider y- Achse bei (010), punktsymmetrisch zum Ursprung Cosinusfunktion f(x) = cos(x) Lo periodische Funktion (211), schneidet y-Achse bei (011), achsensymmetrisch zum ursprung Tangensfunktion f(x) = tan(x) ↳o periodisch (wiederholt sich in regelmäßigen Abständen → AbsTANA T), punktsymmetrisch zum ursprung steigend monoton → streng Definitionslucke, Polstelle nebbare Definitionslúcre Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, die durch Rürzen des Terms lösbar ist, f(x) = (x) Q(x1=0 und P(x)=0 Polstelle in deren väne laufen die Funktionswerte gegen unendlich durch sie verläuft eine Gerade an die sich der Grapn annähert (Asymptote) SCHNITTPUNKTE MIT KOORDINATENACHSEN y Achsenabschnitt Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse LD 4101 = yo ↳ y=m⋅x *bb als y-Achsenabschnitt 40 1 Lösung = eindeutig Lo 00 Lösungen = allgemein gültig Lo Reine Lösung = falsche Aussage LÖSUNG GLEICHUNGSSYSTEME Additionsverfahren 1. Entscheiden welche variable eliminiert werden soll 2. Was tun damit die Unbekannte wegfällt? 3.Berechnen der unbekannten Verschiebung. an der x-fense * Bsp.: 2x+3y=14 x + 2y = 8 Uullstellen MANIPULATION VON FUNKTIONSGRAPHEN Spiegelung Für b²0 und den Graphen G₂ einer Funktion f gilt: f(x*b1 verschiebung nach links f(x-b) verschiebung nach rechts an der y-Achse Für b20 und den Graphen G, einer Funktion f gilt: f(x1+b verschiebung nach oben f(x1-6 verschiebung nach unten DIFFERENTIALRECHNUNG m= 40 20 y-Koordinate eines Schnittpunktes mit x-Acnse immer null LD X-Koordinate des Schnittpunktes eines Grapnen mit der x-Achse nennt man Dullstelle Monotomie to bullstellen sind jene x-werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionsvert Null liefern ANALYSIS Differenzenquotient beschreibt die Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneider - - gibt Steigung der f(b)-f(a) b-a an der x-Achse f(x) = -f(x) an der Achse y f(x) → f(-x) am Ursprung f(x)-f(-x) Serante an mit: AY AX mittlere Änderungsrate m= x (Hōne durch langel, sy = f(bl-fral, sx=b-a 2x + 3y = 14 2x + 4y = 16 "y=-2 40 f'(x) ²0 monoton steigend f'(x) ≤0 monoton fallend -O trigonometrisch: 46 Sinusfunktion: x= -21,-1,0, π, 2,... · allgemein: x = R⋅π mit REZ kosinusfunktion: x=- - - ³ - 4. ²…... 40 allgemein: x= ,REZ Tangens funktion: gleiche Nullstellen wie sin(x) sinus, da gilt tan(x) = COS(K) wenn sin(x)=0 ist also tan(x)=0 Einsetzungsverfahren 1 Gleichung nach einer variablen auflösen 2. Term für diese variable in die andere Gleichung einsetzen 3. Gleichung nach der enthaltenen variablen auflösen Lösung in die umgeformte Gleichung aus 1 einsetzen 4. und die andere variable berechnen Lo für die Lösungen gilt das gleiche wie bei der Addition Symmetrie (2R+1) 2 Achsensymmetrie zur y-Achse f(x) = f(-x) - Bsp.: f(x)=x² to wenn ausschließlich gerade Exponenten vorhanden sind beliebige Achse bei Achse x=n Punktsymmetrie zum Ursprung fch-x) = f(h+x1 f(-x) = -f(x) - Bsp · f(x) = x ³ wenn ausschließlich ungerade Exponenten vorhanden sind beliebiger Punkt P(alb) f(a+x) - b = -(f(a-xl-b) Streckung und Stauchung. y-Richtung a f(x), a³10 Streckung; as10 Stauchung x-Richtung flx-a), a ³1-→ Stauchung; a ²1 Streckung Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten eines kleiner werdendes intervall lokale Anderungsrate/Tangentensteigung/Ableitung f'(x) = lim x-> ** f(x)-f(xo) X-X6 Ableitungsfunktionen i f(x)= x² * 4²(x)=²x^²^; f(x)=√x² 4²(x1= ²√²; f(x1=e* = f'(x1=e*; f(x1=In(x) f'(x) = = Ableitungsregein: Konstante f(x) = c + f'(x) = 0 von x f(x1= x = f'(x) = 1 Potenzregel f(x)= x -D f'(x)=n·x^-^ Faktorregel f(x1= c g(x) → f'(x) = c・g'(x) Summenregel f(x) = g(x1+h(x) + f'(x) = g'(x) + n²(x) Differenzregel f(x) = g(x)-n(x1 - f'(x) = g'(x)-n'(x) Produktregel f(x1= g(x) · n(x) → f'(x) = g'(x) ·n(x) + · g(x) ·n'(x) g(x1 -o f'(x)= Quotientenregel f(x1= h(x) n(x) ·g'(x) = g(x) ·• h'(x) (h(x11² Kettenregel f(x1= gin(x)) + f'(x) = g'(h(x))· n'(x) Schnittpunkt Vorraussetzung: unterschiedliche Steigung 1. Funktionen gleichsetzen 2. nach x auflösen 3.x einsetzen um y zu bestimmen GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER FUNKTIONSGRAPHEN KURVENDISKUSSION Extrempunkte 1. f'(x) berechnen 2. f'(x)=0 setzen 3. f"(x) berechnen 4. Nullstellen in f"(x) 5. wenn f"(x)70 Extremstelle 6. x in f(x) einsetzen 4 f"(x) ²0 - Hochpunkt Lof"(x) >0 - Tiefpunkt INTEGRALRECHNUNG Stammfunktion integralrechnung (aufleiten") f(x) als gegebene Funktion ↳ f'(x) als Ableitungsfunktion ↳ F(x) als Stammfunktion ↳ F'(x) = f(x) unbestimmtes integral Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+c einer Funktion f(x) Flächenberechnung. Tangentengleichung y=(x) = f'(x) (x-x.l+yo (xo, yo als Berührungspunkte) Lo Punktsteigungsform allgemeine Steigungsform y=m*x*b Senkrechte Geraden/Normalengleichung Normale als Gerade, die an dem Berührpunkt der Tangente Senkrecht auf ihr stent ^ Man= f'(xol Mnor = -man Normalenformel y=f(x) · (x-xo) + f(xo) Wendestellen 1. f"(x) und f"(x) berechnen 2. f"(x)=0 setzen 3. Werte bei f"(x) einsetzen 4. f"(x)=0 wendestelle 5. x in fcx1 für Wendepunkte Krümmung f"(x1²00 rechtsgekrümmt f"(x) >0 - linksgekrümmt Schnitteinkel Wenn Schnittpunkt P(alf(a) ↳ α = | tan^ (f'(all-tan" ^ (g'calll Steigung x-Achse: x = tan ^(m) (größeren-Reineren = x Wischen Geragen) werden с f(x) =R - F(x)=R*x*C f(x)=x" F(x)=1^n + x^*^*c f(x1=e* F(x)=e* +c f(x)=In(x)F(x) = -x+x・In(x) + c f(x1= F(x1=\n(x) + c f(x1=tan(x) F(x) = -In (cos(x11+c f(x)=√√x- ¹+ F(x)=+*X *C ₁^ zwischen Graph und x-Achse Nullstellen berechnen, diese als Grenzen einsetzen wenn Teile der zu bestimmenden Fläche unterhalb der x-Achse liegen muss der Betrag der Fläche genommen zwischen zwei sich schneidenden Graphen ↳o wenn f(x) = g(x) = A= {(f(x) = g(x)) dx = . = (F(b) - G(b)) ~ (F(a)~ G(al) : Berührpunkt wenn Funktionswerte an der Stelle gleich sind und auch Ableitungswerte yo = ₂= f(x₂1 = g(x₂1 und f'(x,l=g'(xol 40 Graphisches Ableiten Extrempunkte → Nullstellen (mit VZW) Sattelpunkte Wendepunkte →→ Extremstellen G Steigt oberhalb x-Achse -D Berührungspunkt mit x-Acnse Gf fällt unterhalb x-Achse b ++++ Integralfunktion 1₁(x) = f(x) dx = [F(x)] = (F(b)-F(a)) bestimmtes integral wenn Integrations grenzen angegeben sind lässt sich mit integral- funktion lösen Integrationsregeln Potenzregel Sxax = x^*^*c Faktorregel Sc-f(x) dx = c · Sfaxlax Summenregel (flxl+g(x11ax = S f(x1ax+ Sgcxlax Differenzregel (fax)-g(x11ax = Sf(x1ax - Sgcxl ax Extremwertaufgaben Prozesse optimieren (größtes/Rleinstes volumen) 1. Hauptbedingung (was soll max/min werden? ) 2. Randbedingung (Text) nach 1 variablen lösen 3. Einsetzen auf Extremstellen untersuchen UMKEHRFUNKTION Der Begriff UmRenrfunktionen oranen x und werte müssen „vertauscht" werden Bildung Funktion nach x auflösen und variable vertauschen -D Bsp.: f(x)=y=2x {"^²(x)=y= £x Lo Rann als Spiegelung des Graphen an der Winkelhalbierenden interpretiert werden STECKBRIEFAUFGABEN y umgerenit vorgenensweise 1. Grad der Funktion ermitteln (Skizze,...) Lo meist eine Bedingung mehr als Grad der Funktion 2. Überprüfen auf symmetrie ↳achsensymmetrisch nur gerade Exponenten Lo punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten 3. Bedingungen aufstellen 4. allgemeine Funktion (+ Ablei bleitungen) aufstellen 5. LGS aufstellen und nach variablen lösen 6. Funktionsgleichung überprüfen beschrieben durch Geraden y=mx+b Unbegrenzter Wachstumsprozess wachstum: N(+) = N(O). eRt 40 DGL: N'(t) = R∙ N(+) Zerfall: N(+) = N(ol·ekt 4 OGL: N'(t)=-R⋅N(t) Verdopplungs/ Halbwertszeit : zu dann einsetzen t = In (0,5) (-) R OrtsRurve- LD Grapn auf dem die unterschiedlichen Funktionsgrapnen einer Funktionen- Schar liegen (bspu. Tiefpunkte) ↳ Bestimmung durch gewohnte Berechnung der Koordinaten, anschließend nach x auflösen Bsp.: x=-t-1 =D + = -x =-t²-20 Existenz Lo jedem x, muss min, ein gleiches y.zugeordnet werden können 40 surjektiv ↳ jedem x kann nur maximal ein y。 zugeordnet werden to jede waagerechte Gerade schneidet den Funktions grapnen maximal einmal (injektiv) Eine Umkenrfunktion existiert wenn diese Bedingungen erfüllt sina (bijektiv, streng monoton steigend) WACHSTUMS-UND ZERFALLSPROZESSE Lineare Wachstumsprozesse Bestand mit gleichmäßiger Entwicklung 4 immer gleicne Zu-/Abnahme Bedingungen ... hat im Punkt (alb)... ... gent durch den Ursprung..... ...schneidet x-Acnse bei x = a... 1. hat bei x = a aie Steigung m= b .….. ist bei x=a_ parallel zu y≤ b⋅x*c... ... Schneidet ・y-Achse bei y=a... .hat einen Extrempunkt bei E(alb)... ... berührt X-Achse bei x = 5... Inat bei x=a einen Wendepunkt... seine wendetangente bei bei x=a... • Sattelpunkt bei x = a... ... • waagerechte Tangente bei (alb) *** mit e Funktion 4D f(x1= A·e·x (A > 1 Wachstum, A²1-D Zerfall) Exponentielle Wachstumsprozesse zunanme/Abnahme proportional zum Bestand ↳ zum vorhandenen Bestand kommt der prozentual gleiche Anteil ninzu Lo Endwert - Startwert. Basis* f(x1=Abx in(01.x mit R=1n (101(=b² = e =ekx| DGL: f'(x)=R• f(x) DGL: f'(x)=R⋅ (G-f(x)) Gais Grenzwert von f: lim_ f(x) = G x -> 00 y = G als Asymptote von f Logistisches Wachstum- Anderung proportional zum Bestand una f(al=b f(01=0 flal=0 f'(a)=b zum Restbestand Lo f(x)=A+CG-AR.G.X f'(al=b f(01 = a f(al=b₁f'(al=0 DGL: f'(x)= R. f(x) · (G-f(x)) f'(al=0 f"(al=0 f"(al=0 f"(al=0, f'(al=0 f'(al=0, flal=0 Beschränkte Wachstumsprozesse Anderung proportional zur Differenz aus Bestand und Grenze Lo proportional zum möglichen Restbestand ↳ f(x) = (A-GI·ekx + G G A> A<G R'O E RTO X X VEKTOREN Ortsvertoren LINEARE ALGEBRA Rechnen mit Vektoren Länge auch Betrag eines vertors a = (3) lal = √√a₂²+ a₂²+ a₂² 40 Bsp.: a = (2) 1a1= √√4²+5² Vertoren verschiebungen im Raum ✓ = a b verschiebt um * Vektoren verden durch einen Pfeil gekennzeichnet ↳ bei gleicner Länge und gleicher Richtung ist es derselbe Vertor Können auch als Punkte im koordinatensystem interpretiert werden. Pfeil vom Ursprung zu P(albic) so repräsentiert dieser OP-() den vektor und den Punkt LD Ortsvertor a parallel zur x-Achse b parallel zur y-Achse C parallel zur 2- Acnse GERADEN Geradengleichung Das Skalarprodukt ab=a₁²b₁ + a₂ 10₂ + A3 · 103 ist das Skalarprodukt von a una → Anwendungen a*b Winkel zwischen zwei Vektoren: cos (8)=1²1-151 (genen vom selben Punkt aus) y = 90° (orthogonale vertoren): ☎ 1b =0 ả *b = â‚·b₁ + A₂°b₂+Q3=b3=0 j² = 0° (Rollinear) : a*b = lẩl·151 (mit gleicher Richtung) Punkt-Richtungs- - Form x=+r mit reR ✓ g: La Stützvertor, i Zwei-Punkte-Form durch A und B x=+r(b-a) mit reR g: Lo a Stützvertor, b-a Richtungsvertor Addition a + b = Richtungsvertor a₂ b₁ and ba (). )-៩៩) a₂ + b₂ Q₂ + b₂ b₂ as + 03 Lagebezienungen Die Richtungsvektoren sind Rollinear ↳ = tv Parallel: Der Punkt P der Geragen auf der Geraden n. g liegt Identisch: Der Punkt P der Geraden g liegt auf der Geraden h. Schnittpunkt: berechneten Parameterwert in die nicht + S-Multiplikation jede komponente wird mit der reelen Zani s multipliziert: s⋅α = s · (â) = (§ a) Lineare (un-1 Abhängigkeit zwei vektoren sind genau dann linear aonängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der lässt, ka + b² = 0, wobei R oder & #0 Vertoren = Kollineare vertoren vertoren a una sina Rollinear (parallell wenn b = s-α mit se R ↳o sie werden als linear unabhängig bezeichnet Differenzvertor, Spitze minus Anfang" AB=OB-OA-6-2 ergibt eine reele zanı! erzeugen Lineare unabhängigkeit liegt vor, wenn kein Vektor das vielfache eines anderen ist und kein vertor sich durch eine kombination anderer Vektoren erzeugen lässt. Punkiprobe Liegt ein Punkt P auf der Geraden? 1. Punk für X einsetzen (ORI Gleichungssystem aufstellen 2. 3. Zeilenweise Parameterwert berechnen 4 immer 1° Punkt liegt drauf gleich (g: x²= a + k·b, nach k auflösen) √45¹ Kreuzprodukt axb a₂b3-A3• D₂ Q3.b₁-Q₁ b₂ ·an· D₂-A₂ D₁ axbla axb16 Spurpunkte Schnittpunkte mit Koordinatenebene 40 min. A Koordinate ist nullParameter berechnen, einsetzen Sxy2=0₁ S₂₂y=0₁ Sy₂x = 0 Die Richtungsvektoren sind nicht Rollinear Lo Schnittpunktansatz: p + r·ữ = ẩ+ s•v Schnittpunkt: Es gibt eine Lösung für r und s, sodass der Schnittpunktansatz erfüllt ist. Windschief: Es gibt keine Lösung für r und s, sodass der Ansatz nicht erfüllt ist. Geradengleichung einsetzen und ausrechnen EBENEN Parameter form Punkt-Richtungs-Form E: x= + · + s. v mitr, SER Drei-Punkte-Form durch A,Bundc E: X=a+r (b-α) + s· (c-α), r. sER Durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren ist eine Ebene festgelegt r. Normalenform Normalenvertor vertor ni der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren ist 4 * =0 und * =0 Normalenform E³² · (² - ² 1 = 0 ↳ Ebene ist durch Punkt & auf der Ebene und festgelegt ↳ Alle Punkte X für die x-¹7 gilt liegen auf der Ebene Koordinatenform Alle Punkte (xly 121, die einer Gleichung x+by+cz=α genügen, der Form ax + liegen auf einer Ebene E mit = () aer Ebene E ABSTANDSBERECHNUNGEN Punkt-Punkt : Abstand = Lange des verbindungsvektors a (A₁B1=1b-a1= √ (b₁-a₂)² + (b₂¯Q₂)² + (bj¯ G₂¹²² GEGENSEITIGE LAGE Lage bezienung Gerage - Ebene Gerade liegt in Ebene Jeder Punkt der Gerade in der liegt Ebene, also gibt es unendlich viele Schnittpunkte (40 für alle parameter erfüllt) Gerade und Ebene schneiden sich Es gibt genau einen Schnittpunkt den Ebene und Gerade gemeinsam haben (4 für genau einen Parameter erfüllt Gerade und Ebene sind parallel Gerade und Ebene besitzen Reine gemeinsamen (Schnitt-1 Punkte (4 für Reinen Parameter erfüllt I Punkt-Gerage 1. Hilfsebene bestimmen mit einem Normalen- vertor, der der Richtungsvektor der Geraden ist →→ H³ M₁²x + n ₂²y + n₂²2=a 2.x,y,z durch koordinaten des Punktes ersetzen um a zu erhalten Umwandeln der Darstellungsformen- Parameter form in Normalen form Stützvertor übernehmen, Normalenvertor mit ü× v bestimmen Normalen form in Parameterform als „Ortsvertor" /„Stützvektor", und mit Hilfe von * = 0 und *7 =0 bestimmen (jeweils zwei variablen ausdenken, aritte berechnen 1 dürfen nicht kollinear sein! Normalen form in koordinatenform Skalar produkt, ausrechnen" mit x = ( ) ( ñ × × - ñ * 7 = 01 3. Schnittpunkt g und H berechnen 4. Abstand Punkt-Schnittpunkt berechnen Koordinatenform in Normalenform an den vorfaktoren ablesen, einen Punkt der Ebene bestimmen (2 variablen ausdenken, aritte berechnen) Koordinatenform in Parameterform drei Punkte berechnen: a = b = 2-6₁V=α-6 Parameterform in koordinaten form erst in Normalenform, dann in koordinatenform Lagebeziehungen Ebene-Ebene Ebenen sind identisch Jeaer Punkt, der auf der einen Ebene ist, ist auch auf der anderen, es gibt unendlich viele Schnittgeraden Ebenen schneiden sich Ebenen besitzen genau eine gemeinsame Schnittgerade, die alle Punkte die auf beiden Ebenen liegen enthält Ebenen sina parallel Ebenen besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt / Reine gemeinsame Schnittgerade Punkt-Ebene. Abstand eines Punktes (x1y1z) zu Ebene E³ X² = M₁²x + n₂°Y + N₂²2=Q a(P; E)= In₁₂₁ x + n₂⋅Y+n₂-z-Q1 √√0₁²+1₂²+1₂²¹ Gerade-Gerade identisch /schneidend Abstand ist null parallel Abstand eines beliebigen Punktes P auf der einen Geraden zur anderen Gerade (siene Abstand Punkt-Gerade) windschief 2 Möglichkeiten 1. Hilfsebene aus g und Richtungsvektor h→ Abstand Stūtzpunkt n Ebene 2. orthogonalität verbindungsvektor - Parameter einsetzen Gerade-Ebene schneidena/arin liegend Abstand ist null parallel Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene (siene Punkt · Ebene) WINKELBERECHNUNGEN zwischen Geraden Schnittvinkel - spitzer Winkel zwischen Richtungsvektoren (0°< x < 90°) cos (x)= 1·101 18*31 SPIEGELUNGEN Punkt an Punkt wenn P an s gespiegelt wird, so gilt für den Ortsvertor 06: 03 = OP + 2-PS -D Ebene Ebene identisch/sich schneidend Abstand ist null parallel Abstand € und einem beliebigen Punkt auf der Ebene F (siene Punkt-Ebene) Zufallsexperiment ist ein versuch mit zufälligem Ausgang Lobspu. Münzwurf, Glücksraa.... Mengenbeziehungen Zwischen Gerade-Ebene Komplementārwinkel des spitzen Winkels n der Ebene una û der Geraden 18*1 cos(x)=11·101 Punkt an Gerade A und B sind gleich A ist in B enthalten (oder & in A) A überdeckt B teilweise A und B sind voneinander verschieden 1. Hilfsebene H senkrecht zu 9 mit P 2. Schnittpunkt S von und E 3. P an S spiegeln für Bildpunkt am Graphen -D an Ebenen xy-Ebene: P(x1y1z1 Pi(x1y1-21 an Acnsen x-Acnse · P(xly/2) -> pi(xl-g1-21 X²-Ebene: P(xly/2) - P'(x1-y1z) y-Acnse: P(x1y121-0 p/(-xly1-2) yz-Ebene: P(xly/2) - P'(-x1y1z) Lo V2W der nicht genannten Koordinatenachse am Ursprung Plxly 12 ) - P(-xl-yl-2) → V20 aller Koordinaten zwischen Ebenen LV2U der beiden nicht - ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar - alle möglichen Ergebnisse sind vorner bekannt - sein Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt Einstufig wird nur einmal durchgeführt Mehrstufig bestent aus mehreren Schritten E und F ist spitzer Winkel zwischen ihren Normalenvektoren cos (α)=-11 Innl Punkt an Ebene 1. Hilfsgerade n, durch P, n'ais Richtung 2. n mit E schneiden für Schnittpunkt 3. P am Schnittpunkt spiegeln 2-Achse: P(x1y1z) - P²(-x1-y12) -D Schattenpunkte 1. Hilfsgerade aufstellen, welche die Lichtquelle mit den Eckpunkten der objekte die Schatten werfen verbinden (die durch die Eckpunkte in Richtung der Quelle verlaufen! 2. Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene auf die die Schatten fallen STOCHASTIK Ergebnis, Ereignis Als Stichprobenmenge bezeichnet man die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Teilmengen werden als Ereignisse, die meist in Worten beschrieben werden, bezeichnet genannten Koordinaten Als Gegenereignis Ē eines Ereignisses E bezeichnet man das Ereignis, welches alle Ergebnisse enthält, die nicht in E enthalten sind Häufigkeit absolute Häufigkeit identisch zum Begriff Anzani → H(X) relative Häufigkeit absolute Häufigkeit durch versuchsanzan -º h(x) = H(x) WAHRSCHEINLICHKEITEN Der Begriff- Jedem Ereignis vird eine Wahrscheinlichkeit PCE1 zugeordnet: 0³ P(E) ≤ 1₁ PLĒ] =^- P(E) 4 Prozentzahlen werden in Dezimalzanien & 1 umgewandelt 40 1 100%, 0 = 0%₁ PLE) = 0₁6 = 60% Die bedingte wahrscheinlichkeit PCBIA) - sprich PCB wenn Al- ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis B ist, wenn zuvor A eingetreten ist. (PCANB) ist die vanrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten Theoretisch una empirisch Theoretisch basiert auf Annahmen die man über die Ergebnisse des Zufallsexperiments macht bspw. alle gleich vanrscheinlich Empirisch schätzwert der Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintritt - basiert auf der Häufigkeit ↳ Empirisches Gesetz der Zanien • Stabilisierung der Häufigkeiten: : Stabilisieren sich für große großen versucnsumfangen die relativen Häufigkeiten n die relativen Häufigkeiten h, mit denen die möglichen Ergebnisse auftreten, um denselben zahlenwert p, so ordnet man dem betreffenden Ergebnis die wahr. Scheinlichkeit p zu. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT Vierfeldertafel A A PLAN BI B PLANBI P(B1 Rechenregein KOMBINATORIK Kombinatorische Produktregel Wenn ein Zufallsversuch in mehreren Stufen R durchgeführt wird und die Anzani nk der möglichen Ausgänge von Stufe zu Stufe unterschiedlich ist gilt für die Anzahl der möglichen Ergebnisse N des Zufallsversuchs: N=n₁ •n₂....nk ↳o Rann in absoluten oder relativen Häufigkeiten werden (bei absoluten statt 1 angegeben die Gesamtzanın an versuchen 1 Die Fakultat Fall alle kugein gezogen werden gilt: N=n·(n-11·.·2·1, das definiert man über die Faruitât®n! = n°(n-1)-...·2·1 (8)= 1, (^)=0 (n-1) = (^) (^2) = B PLAN BI PLAN BI PCBI n(n-1)... (n-R+^] R! P(A) P(A) ^ Baur Lapiace - Experiment aumdiagramm Produktregel zu jedem Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsexperiments führt ein Pfad. Die Wahrschein- lichkeiten langs eines Pfades verden multipliziert. Summenregel Führen mehrere Pfade zu dem betref- fenden Ergebnis, so aagiert man die Ergebnisse für die einzelnen Pfade PLAI P(A) PLBIAI Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahr - scheinlich sina PCBIAI P(BIA) B P(ANBI PLANBI PLAN BI PLBIAI 6 PLANBI P(ANB) oberster Pfad bspw.: PLANBI= PLA). P(BIA) bedingte Wahrscheinlichkeit: P(BIA) = P(A) P(A) 70 Georanete Stienproben zwei Unterarten bei gleichem Ablauf der Stufen des Zufallsversuches: 1. Urne, aus der mit Zurückiegen gezogen wird für die Anzani N ergibt sich: N=nⓇ 2. Urne, aus der ohne zurücklegen gezogen wird es gilt N=n·(n°^) · ... ·(n-R+1) (Reinenfolge beachten!) Ungeordnete Stichproben/Binomialkoeffizient Wenn die Reihenfolge nicht beachtet wird, gibt es für das urnenmodell aus dem onne zurücklegen unterschiedliche Kugeln gezogen werden, eine kombinatorische Abzahiregel: Die vorherige zienung unter Berücksichtigung der Reihenfolge muss durch die Anzahl der ununterscheidbaren Ergebnisse geteilt werden. (n-Kugeln, R-Mal) →→ Binomialkoeffizient : (~) = R: (N-R)! n·(n-1)....(n-1^^) n! N= R 40 Anzahl der Möglichkeiten genau R objekte aus n auszuwählen ZUFALLSVARIABLEN Zusammenhang wanrscheinlichkeitsverteilung Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments wird mit einer bestimmten wahrscheinlichkeit angenommen Zufallsvariable ordner jedem Ergebnis eine reele zahı x₁,x₂,... 24 Wanrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable gibt die wahrscheinlichkeit P₁, P²,... 24 jeder dieser zanien (Ergebnissen) an. Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, 1st P(X= x₁) = Pi 40 P₁+ P₂+...+Pn=1 (Zuvor muss X definiert werden bspw. als Gewinn in Euro) Stochastische (un-Abhängigkeit unabhängig Das Eintreten eines Ereignisses A macht es weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher, dass ein Ereignis B eintritt: P(BIA) = P(B) / P(AIB)=P(A) 4P(A und B) = P(A) · P(B) abhängig Das Eintreten eines Ereignisses A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses B, es kann vanrscheinlicher oder unwahrscheinlicher auftreten: P(BIA) & PCB) / P(AIB) = P(A) L PLA und B) = P(A) P(B) Histogramm Kenngrößen zur Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung: μ = n`p₁ 0 = √√n-p・(1-P) (V= n⋅p・ (^-p) Kumulierte Binomialverteilung: P(X=R1 = 16 (8). 1.p' (1-P) ^-: p² 0,2 O, A P(X=x) 0 2 aufgetragen Die Maßzanien der jeweiligen Mõnen der Rechtecke entsprechen der Wanr - Scheinlichkeit. Ein Diagramm, bei dem die Flächen als wanr- scheinlichkeiten interpretiert werden, nennt man Histogramm. P(X=4) entspricht der Haßzanı der helleren Fläche x Bei einem säulendiagramm einer Binomialverteilung werden auf der x- Achse die Verte der Zufallsgröße X Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X≤R) nöchstensk Treffer · P(X≤R)= P(X=0) + P(X=1) + ... + PCX=K) Wahrscheinlichkeiten summieren (P(X=R) = 1- P(X ≤R-11) Erwartungswert Der Erwartungswert μ(XI einer Zufallsgröße X ist der wert, bei dem sich die zufallsgröße bei einer näufigen wieder - holung des Zufallsversuches im Mittel einpendelt ²0 μ²x1 = X₁² P₁+x₂² P₂+ ... + Xn`Pn = 1/2 X ₁² Pi i=A Standardabweichung Die Standardabweichung σ (x) ist ein Maß für die Streuung um den Erwartungswert μ. G(X) = √(x₂²µ1² - P₂*...* (x² μ³² · Pn² = 2/2/10 √(x₁ - μ1² - P₁² Pi Gelegentlich auch als Varianz· VCX1=0 ² = n⋅p⋅(1-pl Faires Spiel Ein Spiel nennt man fair, wenn Reiner der am Spiel beteiligten ein vorteil nat, d.n. Wenn auf lange Sicht die Auszahlungen genauso groß wie der Einsatz sind (Wenn der Erwartungswert u des Spiels 0 ist ) BINOMIALVERTEILUNG Bernoulli-Ketten Viele Zufallsexperimente können als Experiment mit zwei möglichen Ergebnissen beschrieben werden. Ein solches Experiment nennt man Bernoulli-Experiment wiederholt man das Experiment n-Mal, nennt man diese Folge von Zufallsexperimenten eine Bernoulli-Kete, mit folgenden Bedingungen: -Jedes Experiment ein Bernoulli-Experiment -Wahrscheinlichkeit p für Treffer bleibt gleich Wiederholungen sind unabhängig voneinander Anzahı n der Wiederholungen ist festgelegt Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferanzanı x bei einer Bernoulli-Kette nennt man Binomialverteilung allgemein Bernoulli-Kette der Längen, Treffer wahrschein - lichkeit p, vanrscheinlichkeit Fenischiag 1-p Berechnung Anzanı der Pfaden mit genau & Treffern (2) =^.(^-^).... (N°K+A) wahrscheinlichkeit für jeden Pfad 1.2.....R ( mit genau e Treffern: p²-L1-p)-R, wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer: PUX=RI= (1²) p² (1-pin-te LD Rann tabellarisch oder grafisch CHistogramm) dargestellt werden Prognoseintervall Man erwartet, dass die Trefferzani um den Erwartungswert μ schwankt. Prognoseintervalle sind zum μµ symmetrische Intervalle, in die die Trefferanzanı mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt [μ-t₁u+t] NORMALVERTEILUNG diskret die möglichen Werte der Zufallsgröße sind zanibar LD Anzahl, Kopf" Zufallsgrößen stetig alle reelen Zahlen in einem Intervall, nicht zählbar/ werden in klassen geteilt ↳ Geschundigkeit туско Yμ.5 μ΄σ μμ+σ Dichtefunktion In Histogrammen entsprechen den relativen Häufigkeiten n₁, mit denen die Werte in eine Klasse der Breite sx; fallen, der Maßzanı des Flächeninhalts der jeweiligen Rechtecke. Für die Hōne des Rechtecks di gilt: α; = x; · Der Quotient d; heißt Häufigkeitsaichte. ni Normalverteilung Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen: 44.0 (x)=ONZIT ė 40 gesamter Flächeninhalt unter der Kurve ist 1 L μ ist an der Stelle des Maximums von 4μ₁0 (x) ↳ G ist der Abstand des Erwartungswertes ? zu einer vendestelle ↳ Für Rumulierte Wahrscheinlichkeit gilt: P(x≤ a) = f(x) dx les existiert aber Reine Stammfunktion von 4. Sigma-Regein (6-Umgebung) 4D • geben Überblick über die wahrscheinlichkeiten mit denen die verteilung in symmetrisches Intervall [μ·R·5; μ*R·5] Wahrscheinlien Reiten bei diskreten/stetigen Zufallsgrößen diskrete Zufallsgröße X: Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich durch Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten P(X= x₁1 beschreiben → bei der Binomialverteilung! Einzelwahrschein. lichkeiten möglich nicht bei stetigen Zufallsgrößen die jede reele zanı im Intervall annenmen können → verteilung wird durch Dichte - funktion beschrieben ↳ normpaf als wert der Funktion an bestimmter Stelle a 6 1,646 1,965 2,586 205 P(x-μl sal 68,3% 90% 95% 99% ↑P(X=R) 4 26 35 wenn 6 >3 ist die Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung geeignet →→G-Regeln anvenbar Runden unten wird abgerundet, oben wird aufgerunder Normalverteilung und Binomialverteil iteilung. 1. Die Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen werden im Diagramm durch die Hōne der Säulen angegeben. Da aber die Breite der Balken immer 1 ist, geben auch die Flächen der Säulen die Wahrscheinlichkeit an. Dabei handelt es sich bei der üblichen grapnischen Darstellung um Histogramme. Für die Wahrscheinlichkeitsaichte gilt: α;₁ = x; Pi = Pi 2. Die Grapnen zur Binomial-/Normalverteilung haben beide glockenförmige Gestalt, das Maximum liegt jeweils bei μ. Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung Es liegt nane, als Erwartungswert u einer passenden Normalvertei steilung den Erwartungswert n'p der Binomial verteilung zu nehmen und als Standardabweichung √√n.p.(^-p1¹. Tatsächlich ist dies eine gute Approximation, s 1, solange μ und 6 bei der Normal- und Binomialverteilung gleich sind. 63 und = pi