Abi Wiederholung 2021

Alternativer Bildtext:

schneidet y- Achse bei (010), punktsymmetrisch zum Ursprung Vernalten im unendlichen LD X - ±00, Untersuchen wie y-Werte sich verhalten wenn x immer größer/kleiner wird Bsp.: lim x² = +∞0 ly-Werte werden immer größer lim x ² = + ∞0 ly-werte werden immer größer x-00 lim = (nänern sich der Aan) x-80 Lo Exponential funktion zur Basis e≈2,718 Lo natürliche Exponentialfunktion 40 gent durch (011) and (Ale) Regein: e***=e*e² ¡e*¨*= exy = (e²1" Cosinusfunktion f(x) = cos(x) ↳ periodische Funktion (211), schneidet y-Achse bei (011), achsensymmetrisch zum ursprung Tangensfunktion f(x)= tancx) to periodisch (wiederholt sich in regelmäßigen Abständen → Abstand T), punktsymmetrisch zum ursprung --0 Definitionslücke, Polstelle nebbare Definitionslúcre Stelle, an der die Funktion nicht aefiniert ist, die durch Rürzen des Terms lösbar ist, f(x)= Q(x)=0 und P(x)=0 Polstelle in deren väne laufen die Funktionswerte gegen unendlich durch sie verläuft eine Gerade an die sich der Grapn annähert (Asymptote) SCHNITTPUNKTE MIT KOORDINATENACHSEN y-Achsenabschnitt Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse LD 4101=yo ↳ y=m²x*bb als y-Achsenabschnitt LÖSUNG GLEICHUNGSSYSTEME Additionsverfahren 1. Entscheiden welche variable eliminiert werden soll 2. Was tun damit die Unbekannte wegfällt? 3.Berechnen der unbekannten 40 1 Lösung eindeutig Lo 00 Lösungen = allgemein gültig Lo Reine Lösung faische Aussage Verschiebung Bsp.: 2x + 3y = 14 x + 2y = 8 Uullstellen Spiegelung Ly-Koordinate eines Schnittpunktes mit x-Acnse immer null Lo X-Koordinate des Schnittpunktes eines Grapnen mit der x-Achse nennt man Dullstelle an der x-fense Für b20 und den Graphen G₁ einer Funktion ( gilt: f(x*b) verschiebung nach links {(x-b) verschiebung nach rechts an der y-Achse Für b20 und den Graphen G, einer Funktion f gilt: f(x1+b verschiebung nach oben f(x1-6 verschiebung nach unten DIFFERENTIALRECHNUNG to bullstellen sind jene x-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionsvert Null liefern MANIPULATION VON FUNKTIONSGRAPHEN Monotomie ANALYSIS an der x Achse f(x)-f(x) 2x+3y=14 2x + 4y = 16 40 -y = -2 Differenzenquotient beschreibt die Gerade, die den Graphen in zwei Punkten schneider- gibt Steigung der f(b)-f(a) b-a an der y-Achse f(x) + f(-x) am Ursprung f(x)-f(-x) Serante an mit: m= mittere Änderungsrate m= (Hōne durch langel, sy=f(bl-fral, sx=b-a f'(x) ²0 monoton steigend f'(x) ≤0 monoton fallend trigonometrisch: Sinusfunktion: x= -2, -,0₁, 2,... allgemein: x=R·TT mit R&Z Kosinusfunktion: x=-3-1.1.4. LO allgemein: x = (21+4) ,RCZ Tangens funktion: gleiche Nullstellen wie sin(x) sinus, da gilt tan(x) = cos(x) 1 wenn sin(x)=0 ist also tan(x)=0 Einsetzungsverfahren 1 Gleichung nach einer variablen auflösen 2. Term für diese variable in die andere Gleichung einsetzen 3. Gleichung nach der enthaltenen variablen auflösen 4. Lösung in die umgeformte Gleichung aus 4 einsetzen und die andere variable berechnen Lo für die Lösungen gilt das gleiche wie bei der Addition 40 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse f(x) = f(-x) - Bsp.: f(x)=x² to wenn ausschließlich gerade Exponenten vorhanden sind beliebige Acnse bei Achse x=n fch-x) = f(h+x1 Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x1 = -f(x) Bsp f(x) = x ³ Lowenn ausschließlich ungerade Exponenten vorhanden sind beliebiger Punkt P(alb) f(a+x)- b = -(f(a-x)-b) Streckung und Stauchung. y-Richtung a f(x), a³ 1 x-Richtung fex-a), a³1 Streckung; a ²1 → Stauchung Stauchung; a²1 Streckung Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten eines kleiner werdendes intervall lorale Anderungsrate/Tangentensteigung / Ableitung f'(x.) = lim f(x)-f(xo) X-X. Ableitungsfunktionen f(x)=x² +²²x1=n²x^²^; f(x)=√x²4'(x)= ²√x²; f(x1=e* + f²(x1=e*; f(x) = In (x) f'(x) = = Ableitungsregein: Konstante f(x) = von x f(x1= x -> f'(x) = 1 Potenzregel f(x1= x - f₁(x)=²x^²^ FaRtorregel f(x1=c· g(x) + f'(x) = c⋅g'(x) Summenregel f(x) = g(x1+h(x) + f'(x) = g'(x)+h'(x) Differenzregel f(x) = g(x)-n(x) f'(x) = g'(x)-n'(x) Produktregel f(x1= g(x) ·n(x) + f'(x) = g'(x) ·n(x) + g(x) ·n'(x) - f'(x) = n(x) · g'(x) = g(x) · n'(x) (h(x11² g(x1 Quotientenregel f(x1=; n(x) Kettenregel fix1 = g(n(x)) = f'(x) = g₁(n(x))· n'(x) Schnittpunkt GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER FUNKTIONSGRAPHEN Vorraussetzung: unterschiedliche Steigung 1. Funktionen gleichsetzen 2. nach x auflösen 3. x einsetzen um y zu bestimmen f'(x) = 0 KURVENDISKUSSION Extrempunkte Stammfunktion 1. f'(x) berechnen 2. f'(x)=0 setzen 3. f"(x) berechnen 4. Nullstellen in f"(x) 5. wenn f(x)70 Extremstelle 6. x in f(x) einsetzen 4f"(x) <0 Hochpunkt Lof"(x) >0 Tiefpunkt INTEGRALRECHNUNG Integralrechnung (..aufleiten") f(x) als gegebene Funktion ↳ f'(x) als Ableitungsfunktion Lo F(x) als Stammfunktion 40 F'(x) = f(x) Flächenberechnung. unbestimmtes integral Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x1+c einer Funktion f(x) Tangentengleichung. y₂(x) = f'(x) (x-xo1+yo (x.. y. als Berührungspunkte) Lo Punktsteigungsform allgemeine Steigungsform y=mx+b Senkrechte Geraden/Normalengleichung Normale als Gerade, die an dem Berührpunkt der Tangente senkrecht auf ihr steht M₁an = f'(xol Moor-man Normalenformel y=²(x₂)(x-xo) + f(xo) Wendestellen 1. f"(x) und f"(x) berechnen 2. f"(x)=0 setzen 3. Werte bei f(x) einsetzen 4. f(x)=0 wendestelle 5. x in fcx1 für Wendepunkte Krümmung f"(x10 rechtsgekrümmt f"(x) >0 - linksgekrümmt Schnittsinkel Wenn Schnittpunkt P(alf(a) 40x=1tan^ (f'(all-tan^(g'(alll Steigung x-Achse: x = tan ^(m) (größeren-Reineren = x zwischen Geraden zwischen Grapn una x-Achse Nullstellen berechnen, diese als Grenzen einsetzen f(x) =R - F(x) = R*X*C f(x)=x" F(x)=1²²x^*^+C f(x)= ex F(x)=e* *c f(x)=In(x) + F(x)=-x+x-In(x)+c f(x) == F(x) = n(x) + C f(x1=tan(x) F(x) = -In (cos(x)1+c £₁1 f(x)=√x + F(x)=x² wenn Teile der zu bestimmenden Fläche unterhalb der x-Achse liegen muss der Betrag der Fläche genommen werden zwischen zwei sich schneidenden Graphen to wenn f(x) = g(x) = A= {(f(x) = g(x)) dx = ... (F(b) - G(b)) - (F(a)- G (al) Berührpunkt wenn Funktionswerte an Stelle gleich sind und auch Ableitungswerte 4 y₁= f(x) = g(xol und f'(x₂1 = g'(xol Graphisches Ableiten Extrempunkte → Nullstellen (mit VZW) Sattelpunkte Berührungspunkt mit x-Achse Wendepunkte → Extremstellen G, Steigt oberhalb x-Achse bal Gf fällt unterhalb x-Achse integralfunktion la(x) = f(x) dx = [F(x)] = (F(b)-F(a)) bestimmtes integral wenn integrations grenzen angegeben sind lässt sich mit integral- funktion lösen Integrationsregeln Potenzregel Sxax = x^*^*c Faktorregel Sc f(x) dx = c・ Sfaxlax Summenregel ful+g(x11dx = √ f(x1ax + Sgcxlax Differenzregel (fax)-gcx11ax = f(x1ax - Sgcx1 ax Extremwertaufgaben Lo Prozesse optimieren (größtes/Rleinstes volumen) 1. Hauptbedingung (was soll max/min werden?) 2. Randbedingung (Text) nach A variablen lösen 3. Einsetzen auf Extremstellen untersuchen UMKEHRFUNKTION Der Begriff Umkenrfunktionen oranen x und y umgeRenri zu werte müssen vertauscht" werden Bildung Funktion nach x auflösen und variable vertauschen Bsp.: f(x)=y=2x → f*^(x)=y= 2 x Lo Rann als Spiegelung des Graphen an der Winkeinalbierenden interpretiert werden STECKBRIEFAUFGABEN vorgenensweise 1. Graa der Funktion ermitteln (Skizze,...) Lo meist eine Bedingung mehr als Grad der Funktion 2. Überprüfen auf symmetrie ↳achsensymmetrisch nur gerade Exponenten Lo punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten 3. Bedingungen aufstellen 4. allgemeine Funktion (+ Ableitungen) aufstellen 5. LGS aufstellen und nach variablen lösen 6. Funktionsgleichung überprüfen Lineare Wachstumsprozesse Bestand mit gleichmäßiger Entwicklung 4 immer gleiche Zu-/Abnahme beschrieben durch Geraden 40 y=mx+b Unbegrenzter Wachstumsprozess wachstum: N(+) = N(O) · ene Lo DGL: N'(t) = R⋅ N(+) Zerfall: N(+) = N²01 ·e=h² ↳ OGL: N'(t)=-R·N(t) verdopplungs/ Halbwertszeit: t = in (0,5) (-) R Existenz to jedem x, muss min, ein gleiches y.zugeordnet werden können Lo surjektiv OrtsRurve Lo arapn auf dem die unterschiedlichen Funktionsgrapnen einer Funktionen- schar liegen (bspw. Tiefpunkte) ↳ Bestimmung durch gewohnte Berechnung der Koordinaten, anschließend nach x auflösen Bsp.: x=-t-1 =D + = -x y=-2²-2t dann einsetzen ↳ jedem x, kann nur maximal ein yo zugeordnet werden to jede waagerechte Gerade schneidet den Funktions grapnen maximal einmal (injektiv) Eine Umkenrfunktion existiert wenn diese Bedingungen erfüllt sina (bijektiv, streng monoton steigend) Bedingungen ... hat im Punkt (alb)... WACHSTUMS UND ZERFALLSPROZESSE ・gent durch den Ursprung... ...schneidet x-Achse bei x = a... ... ..nat bei x = a aie Steigung m = b .... ist bei x = a parallel zu y=b²x+c... ...schneidet y-Achse bei y=a... ... hat einen Extrempunkt bei E(alb)... ... berührt x-Achse bei x = 5... ... nat bei x = a einen Wendepunkt.... ・seine wendetangente bei x=a.... ... Sattelpunkt bei xa.... • waagerechte Tangente bei (alb) mit e Funktion 4 f(x1= A. e mit R=In (11 (=b² = e² DGL: f'(x)=R. f(x) Exponentielle Wachstumsprozesse zunanme/Abnahme proportional zum Bestand 4 zum vorhandenen Bestand kommt der prozentual gleiche Anteil ninzu Lo Endwert Startwert. Basis * f(x)=Abx (A > 1 Wachstum, A²1- Zerfall) incol·x = e DGL: f'(x)= R⋅ (G-f(x)) Gais Grenzwert von f: lim_ f(x) = G y = G als Asymptote von f zum Restbestand Lo f(x) = A (GA) CR.G.M Logistisches Wachstum- Anderung proportional zum Bestand und f(al=b f(01=0 flal=0 f'(a)=b DGL: f'(x)= R. f(x) · (G-f(x)) f'(al=b flol=a Beschränkte Wachstumsprozesse Anderung proportional zur Differenz aus Bestand und Grenze Lo proportional zum möglichen Restbestand 4 f(x1= (A-G1-e²x + G f(al=b₁fical=0 f'(al=0 f"(al=0 f"(al=0 f"(al=0, f'(al=0 f'(al=0, f(al=0 A.Q R'O K -LINEARE ALGEBRA VEKTOREN Ortsvertoren Vektoren verschiebungen im Raum - (8) b ✓ = a parallel zur x-Achse verschiebt um b parallel zur y-Achse c parallel zur 2-Achse Vektoren werden durch einen Pfeil gekennzeichnet ↳bei gleicher Länge und gleicher Richtung ist es derselbe vertor Können auch als Punkte im koordinatensystem interpretiert werden. Pfeil vom Ursprung zu P(albic) so repräsentiert dieser OP() den vertor und den Punkt LD OrtsvertOT GERADEN Geradengleichung Rechnen mit Vektoren Länge auch Betrag eines vertors a = (a) lal = √√√a₂²+ a₂²¹ + a₂3² 40 Bsp.: a = (²) Punkt-Richtungs-Form g: x²= a +· mit reR Lo a Stützvertor, ✔ Richtungsvektor Zwei-Punkte-Form durch A und B x=+r(b-al mit reR g: Lo a Stützvektor, 6-a Richtungsvertor Addition Punktprobe a+b= • _101 = [4]+5° +2 = 45 Das Skalarprodukt ẩ*b = ₁° B₁ * A₂°Û₂ + Q3 103 ist das Skalarprodukt von a una Anwendungen a*b Winkel zwischen zwei Vektoren: cos (8)=121-151 (genen vom selben Punkt aus) = 90° (orthogonale vertoren): a b = ab=a₁b₁ + a₂²b₂+Qz²b₂ = 0 y=0° (Rollinear): a*b = lal·151 (mit gleicher Richtung! (â). (6) = (2+² +6 Lagebezienungen Die Richtungsvektoren sind Rollinear 4ū=t. V Parallel: Der Punkt P der Geraden g liegt nicht auf der Geraden n. S-Hultiplikation jede komponente wird mit der reelen Zani s multipliziert: sa = s · () = (§:) Kollineare vertoren vertoren a una 6 sina Rollinear (parallel) wenn B = sa mit se R Lo sie werden als linear unabhängig bezeichnet Differenzvertor Spitze minus Anfang" AB=0B-0A-6-2 Lineare (un-1 Abhängigkeit zwei vektoren sina genau dann linear abnängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vertoren lässt, ka + 1² = 0, wobei k oder & 70 b₂ ergibt eine reele zanı! erzeugen Lineare unabhängigkeit liegt vor, wenn kein Vektor das vielfache eines anderen ist und kein vertor sich durch eine kombination anderer Vektoren erzeugen lässt. Liegt ein Punkt P auf der Geraden? 1. Punk für einsetzen (OP) 2. Gleichungssystem aufstellen 3. Zeilenweise Parameterwert berechnen ↳immer gleich Punkt liegt drauf (g: x=a+Rb, nach k auflösen) Kreuzprodukt axb a₂b₂QzD₂ 03 D₁-Q₁ D₂ ¹a₁b₂-a₂ D₁. axbla,axb16 Spurpunkte Schnittpunkte mit Koordinatenebene Lo min. A Koordinate ist nullParameter berechnen, einsetzen Sxy 2=0₁ S₂₂ y=0₁ Syzx=0 Die Richtungsvektoren sind nicht Rollinear 40 Schnitt punktansatz: pr⋅u = + sv Schnittpunkt: Es gibt eine Lösung für rund s, sodass der Schnittpunkransatz erfüllt ist. Identisch: Der Punkt P der Geraden g liegt auf der Geraden h. Schnittpunkt: berechneten Parameterwert in die Geradengleichung einsetzen und ausrechnen Windschief: Es gibt Reine Lösung für r und s, sodass der Ansatz nicht erfüllt ist. EBENEN Parameter form Punkt-Richtungs-Form E: x=+r+s mitr, SER Drei-Punkte-Form durch A,Buna c E: Xa+r (6-α) · s · (c-α), r.se R Lo Durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren ist eine Ebene festgelegt Normalenform Normalenvertor vertor 2, der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren ist 40 *=0 und * =0 Normalenform E: · (x-1=0 LD Ebene ist durch Punkt & auf der Ebene und festgelegt Lo Alle Punkte X für die x-17 gilt liegen auf der Ebene Koordinatenform Alle Punkte (xly1z), die einer Gleichung der Form ax+by.cz = a genügen, liegen auf einer Ebene E mit = () der Ebene E Umwandeln der Darstellungsformen Parameter form in Normalen form Stützvertor übernehmen, Normalenvertor mit ux bestimmen Normalen form in Parameterform a als „Ortsvertor" /.Stürzvektor", und mit Hilfe von *=0 und *=0 bestimmen (jeweils zwei variablen ausdenken, aritte berechnen 1 dürfen nicht Rollinear sein! Normalen form in koordinatenform Skalar produkt, ausrechnen" mit x = ( ) ( ñ * x - * = 01 Koordinatenform in Normalenform nan den voreaktoren ablesen, einen Punkt der Ebene bestimmen (2 variablen ausdenken, dritte berechnen) Koordinatenform in Parameterform arei Punkte berechnen: a =B₁ = 2-6₁V=α-6 Parameter form in koordinaten form erst in Normalenform, dann in koordinatenform GEGENSEITIGE LAGE Lage bezienung Gerage Ebene Gerade liegt in Ebene Jeder Punkt der Gerade liegt in der Ebene, also gibt es unendlich viele Schnittpunkte (4 für alle parameter erfüllt) Gerade und Ebene schneiden sich Es gibt genau einen Schnittpunkt den Ebene und Gerade gemeinsam haben (4 für genau einen Parameter erfüllt) Gerade und Ebene sind parallel Gerade und Ebene besitzen Reine gemeinsamen (schnitt-1 Punkte (4 für Reinen Parameter erfüllt I ABSTANDSBERECHNUNGEN Punkt-Punkt Abstana = - Lange des verbindungsvektors a (AB) = 16-1= √ (b₁-a₂)² + (b₂-Q₂)² + (bj-G₂) ²¹ Punkt-Gerade 1. Hilfsebene bestimmen mit einem Normalen- vertor, der der Richtungsvektor der Geraden ist H: M₁²x + n ₂²y + n₂²2=a 2.x, y,2 durch koordinaten des Punktes ersetzen um a zu erhalten 3. Schnittpunkt g und H berechnen 4. Abstand Punkt-Schnittpunkt berechnen Lagebeziehungen Ebene-Ebene. Ebenen sind identisch Jeaer Punkt, der auf der einen Ebene ist, ist auch auf der anderen, es gibt unendlich viele Schnittgeraden Ebenen schneiden sich Ebenen besitzen genau eine gemeinsame Schnittgerade, die alle Punkte die auf beiden Ebenen liegen enthält Ebenen sind parallel Ebenen besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt / Reine gemeinsame Schnittgerade Punkt Ebene Abstand eines Punktes (x1y1z) zu Ebene E³ X² = N₂₁² x ² n₂²Y+ M₂²2=Q ・In₂ x + n₂・Y+n₂-z-al a(PiE)= √₂² +₂²+1₂²¹ Gerade-Gerade identisch /schneidend Abstand ist null parallel Abstand eines beliebigen Punktes P auf der einen Geraden zur anderen Gerade (siehe Abstand Punkt-Geradel windschief 2 Möglichkeiten 1. Hilfsebene aus g und Richtungsvektor h→ Abstand Stūtzpunkt n- Ebene 2.orthogonalität verbindungsvektor Parameter einsetzen Gerade-Ebene schneidena/arin liegend Abstand ist null parallel Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene (siene Punkt-Ebene) WINKELBERECHNUNGEN zwischen Geraden Schnittoinkelspitzer Winkel zwischen Richtungsvektoren (0°<x< 90°) 10 * 31 cos(x) = 101-101 SPIEGELUNGEN an Punkt wenn P an s gespiegelt wird, so gilt für den Ortsvertor 06: 03 = OP +2. PS Ebene Ebene identisch/sich schneidend Abstand ist null parallel Abstand E und einem beliebigen Punkt auf der Ebene F (siene Punkt-Ebene) zwischen Gerade - Ebene Komplementārwinkel des spitzen Winkels n der Ebene und der Geraden In=31 cos(x)=RI-101 Zufallsexperiment ist ein versuch mit zufälligem Ausgang Lo bspw. Manzwurf, Glücksraa.... Punkt an Gerade Mengenbeziehungen 1. Hilfsebene H senkrecht zu g mit P 2. Schnittpunkt 5 von g und E 3. Pan S spiegein für Bildpunkt Lo V2W der nicht genannten Koordinatenachse am Ursprung Plxly/2) - P(-xl-yl-2) V2C aller Koordinaten am Graphen an Ebenen xy-Ebene: P(x1y121 Pl(x1y1-21 an Achsen x-Acnse · P(xly/₂) - P²(x1-g1-2) X2-Ebene: P(xly1z) - Pi(x1-y12) y-Achse: P(xly121-D Pl(-xly1-2) yz-Ebene: P(xly/2) + P'(-x1y12) 2-Achse: P(x1y121- P¹(-x1-y12) A und B sind gleich A ist in B enthalten (oder & in A) A überdeckt B teilweise A und B sind voneinander verschieden zwischen Ebenen E und F ist spitzer Winkel zwischen ihren Normalenvektoren In 1 cos (α)=-11 Schattenpunkte 1. Hilfsgerade aufstellen, welche die Lichtquelle mit den Eckpunkten der objekte die Schatten werfen verbinden (die durch die Eckpunkte in Richtung der Quelle verlaufen 1 2. Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene auf die die Schatten fallen - ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar - alle möglichen Ergebnisse sind vorher bekannt - sein Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt Einstufig wird nur einmal durchgefünst Mehrstufig besteht aus mehreren Schritten Punkt Ebene 1. Hilfsgerade h, durch P,n'als Richtung 2. n mit E schneiden für Schnittpunkt 3. P am Schnittpunkt spiegeln LoVZU der beiden nicht genannten Koordinaten STOCHASTIK Ergebnis, Ereignis Als Stichprobenmenge bezeichnet man die Henge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Tellmengen werden als Ereignisse, die meist in Worten beschrieben werden, bezeichnet Als Gegenereignis & eines Ereignisses E bezeichnet man das Ereignis, welches alle Ergebnisse enthält, die nicht in E enthalten sind Häufigkeit absolute Häufigkeit identisch zum Begriff Anzani → H(X) relative Häufigkeit absolute Häufigkeit durch versuchsanzan - h(x) = n H(x) WAHRSCHEINLICHKEITEN Der Begriff Jedem Ereignis vird eine Wahrscheinlichkeit PCE) zugeordnet : 0² P(E) ≤ 1₁ PLĒ1=1- P(E) 4 Prozentzahlen werden in Dezimalzanien $1 umgewandelt 40 12 100%, 0 = 0%₁ PLE1 = 0,6 = 60% Die bedingte wahrscheinlichkeit PCBIA1-sprich PCB wenn Al- ist die wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis B ist, wenn zuvor A eingetreten ist. (P(ANB) ist die vanrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten) Theoretisch una empirisch Theoretisch basiert auf Annahmen die man über die Ergebnisse des Zufallsexperiments macht bspw. alle gleich vanrseneinlich Empirisch schätzwert der Wahrscheinlichkeit mit der das Ereignis eintritt - basiert auf der Häufigkeit Lo Empirisches Gesetz der großen Zanien - Stabilisierung der Häufigkeiten: Stabilisieren sich für große versuchsumfänge In die relativen Häufigkeiten in die relativen Häufigkeiten h, mit denen die möglichen Ergebnisse auftreten, um denselben zahlenwert p, so ordnet man dem betreffenden Ergebnis die wahr. Scheinlichkeit p zu. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT Vierfeldertafel A Ā B PLAN BI PLANBI P(B) KOMBINATORIK Kombinatorische Produktregel Wenn ein Zufallsversuch in mehreren Stufen R durchgeführt wird und die Anzahı nk der möglichen Ausgänge von Stufe zu Stufe unterschiedlich ist gilt für die Anzahl der möglichen Ergebnisse N des Zufallsversuchs: N = n₁・n₂....nk B PLAN BI PLAN BI PCBI Lo Rann in absoluten oder relativen Häufigkeiten angegeben werden (bei absoluten statt 1 die Gesamtzani n an versuchen 1 Die Fakultat Fall alle kugein gezogen werden gilt: N=n(n-11...2.1, das definiert man über die FaRultat n!=n(n-1)-...·2·1 Rechenregein (8)= 1, (A)=0 (nºk) = (^) (2) = n(n-1)... (n-R+1) R! P(A) P(A) ^ P(A) Lapiace - Experiment Baumdiagramm Produktregel zu jedem Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsexperiments führt ein Pfad. Die wahrschein- lichkeiten längs eines Pfades verden multipliziert. Summenregel Führen mehrere Pfade zu dem betref- fenden Ergebnis, so addiert man die Ergebnisse für die einzelnen Pfade P(A) A PUBIAI Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleichuanr - scheinlich sind PCBIAI P(BIA) P(ANB) 6 PLANBI B PLAN B P(BIA) 6 P(ANB) P(ANB) oberster Pfad bspw.: PLAN B)= PLA). P(BIA) bedingte Wahrscheinlichkeit: P(BIA) = P(A) P(A) 70 Georanete Stichproben zwei Unterarten bei gleichem Ablauf der Stufen des Zufallsversuches: 1. Urne, aus der mit zurücklegen gezogen wird für die Anzani Nergibt sich: N=n² 2. Urne, aus der ohne zurücklegen gezogen wird es gilt N=n·(n-1) · ... · (n-R+1) (Reinenfolge beachten!) Ungeordnete Stichproben/Binomialkoeffizient wenn die Reihenfolge nicht beachtet wird, gibt es für das urnenmodell aus dem ohne zurücklegen unterschiedliche kugeln gezogen werden, eine kombinatorische Abzahiregel: Die vorherige zienung unter Berücksichtigung der Reihenfolge muss durch die Anzahl der ununterscheidbaren Ergebnisse geteilt werden. N= (n-Kugein, R-Hal) + Binomialkoeffizient: (R)=R² (OR)! n·(n-1)....(n-R+A) R to Anzahl der Möglichkeiten genau R objekte aus n auszuwählen ZUFALLSVARIABLEN Zusammenhang wahrscheinlichkeitsverteilung Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments wird mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit angenommen Zufallsvariable oraner jedem Ergebnis eine reele zahı x₁,x2,.. 24 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable gibt die wahrscheinlichkeit P₁, Pr.... zu jeder dieser zanien (Ergebnissen) an. Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ist P(X= x₁) = P₁ 4 P₁ P₂+...+Pn=1 (zuvor muss X definiert werden bspw. als Gewinn in Euro) Stochastische (un-Abhängigkeit unabhängig Das Eintreten eines Ereignisses A macht es weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher, dass ein Ereignis & eintritt: P(BIA) = P(B) / P(AIB) = P(A) 4P(A und B) = P(A) · P(B) abhängig Das Eintreten eines Ereignisses A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses B, es kann vanrscheinlicher oder unwahrscheinlicher auftreten: P(BIA) # PCB) / P(AIB) = P(A) Lo P(A und B)*P(A) PCB) Histogramm Kenngrößen zur Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung: μ = n¨p ₁0 = √n⋅p⋅ (1-pl (V= n⋅p⋅ (A-p) Kumulierte Binomialverteilung: PCX²R)= (1) p² (1-P)^-i Bei einem saulendiagramm einer Binomialverteilung werden auf der x- Achse die verte der Zufallsgröße X aufgetragen Die Hapzanien der jeweiligen Mänen der Rechtecke entsprechen der Wahr- Scheinlichkeit. Ein Diagramm, bei dem die Flächen als Wanr- scheinlichkeiten interpretiert werden, nennt man Histogramm. P(X=4) entspricht der Haßzahl der helleren Fläche 0,2 P(X=x) 0,A 4 Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(XSR) nöchstens k Treffer · P(X³R) = P(X=0) + P(X=A) + ... + Por=K) Wahrscheinlichkeiten summieren (PCX²R) = 1- P(X ≤R-11) Erwartungswert Der Erwartungswert μ(XI einer Zufallsgröße X ist der Wert, bei dem sich die Zufallsgröße bei einer häufigen wieder - holung des zufallsversuches im Mittel einpendelt 40 μ²x1 = x₁ P₁+x₂² P₂+...+* Xn`Pn = X₁¹ Pi Xi' Standardabweichung Die Standardabweichung σ (x) ist ein Maß für die Streuung um den Erwartungswert μ. 6(x)=√(x₂-μ)²-P₁*...*(x-μ³²-P² = 2/√(x-μ1² - pi Gelegentlich auch als varianz VCX1 = 0² = n⋅p⋅ (1-pl Faires Spiel Ein Spiel nennt man fair, wenn Reiner der am Spiel beteiligten ein Vorteil hat, d.n. Wenn auf lange Sicht die Auszahlungen genauso groß wie der Einsatz sina (Wenn der Erwartungswert u des Spiels 0 ist) BINOMIALVERTEILUNG Bernoulli-Ketten Viele Zufallsexperimente können als Experiment mit zwei möglichen Ergebnissen beschrieben werden. Ein solches Experiment nennt man Bernoulli-Experiment wiederholt man das Experiment n-Mal, nennt man diese Folge von Zufallsexperimenten eine Bernoulli-Kette, mit folgenden Bedingungen: Jedes Experiment ein Bernoulli-Experiment -Wahrscheinlichkeit p für Treffer bleibt gleich ·Wiederholungen sind unabhängig voneinander Anzahın der Wiederholungen ist festgelegt Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferanzani x bei einer Bernoulli-Kette nennt man Binomialverteilung allgemein Bernoulli-Kette der Länge n, Treffer wahrschein- lichkeit p. vanrscheinlichkeit Fenischlag 1-p 1.2.....R Berechnung Anzanı der Pfaden mit genau k Treffern (A) = n(n-AY.... (n°R+A) wahrscheinlichkeit für jeden Pfad mit genau ke Treffern: p. (A-pin-k, wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer: Pur=RI= (x) - p² (1-p1^-k Lo Rann tabellarisch oder grafisch CHistogramm) dargestellt werden Prognoseintervall Man erwartet, dass die Trefferzani um den Erwartungswert μ schwankt. Prognoseintervalle sind zum μµ symmetrische Intervalle, in die die Trefferanzanimit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fällt Εμ-t;με] NORMALVERTEILUNG diskret die möglichen Werte der Zufallsgröße sind zanibar Zufallsgrößen LD Anzahlkopf" stetig alle reelen Zahlen in einem Intervall, nicht zählbar / werden in klassen geteilt 40 Geschundigkeit 1441 Yμ.0 μ-O μμ+O Dichtefunktion in Histogrammen entsprechen den relativen Häufigkeiten n;, mit denen die Werte in eine Klasse der Breite Ax; fallen, der Maßzanı des Flächeninhalts der jeweiligen Rechtecke. Für die Mōne des Rechtecks di gilt: α; = x; · Der Quotient d; heißt Häufigkeitsaichte. hi Normalverteilung (² Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen 44.0 (x)=0√ZIT è ↳gesamter Flächeninhalt unter der Kurve ist 1 Lμ ist an der Stelle des Maximums von 4μ,0 (x) ↳o G ist der Abstand des Erwartungswertes zu einer Wendestelle ↳ Für Rumulierte Wahrscheinlichkeit gilt: P(x≤ a) = Reine Stammfunktion von 4. Sigma-Regein (6-Umgebung) (-) Wahrscheinlien Reiten bei diskreten/stetigen Zufallsgrößen. diskrete Zufallsgröße X: Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich durch Angabe der Einzelwahrscheinlichkeiten PCX = xn1 beschreiben bei der Binomialverteilung Einzelwahrschein- lich Reiten möglich nicht bei stetigen Zufallsgrößen die jede reele Zahl im Intervall annenmen können verteilung wird durch Dichte- funktion beschrieben "normpaf als wert der Funktion an bestimmter Stelle a Lo geben Überblick über die wahrscheinlichkeiten mit denen ale verteilung in symmetrisches Intervall [μ·R·5; μ*R.6] P(x-μl sal 6 : 1,646 1,966 2,586 = f(x) dx (es existiert aber 68,3% 30% 95% 99% TP(X=R) [46] LO 30 wenn 63 ist die Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung geeignet →→G-Regein anwenbar Runden unten wird abgerundet, oben wird aufgerundet Normalverteilung und Binomialverteilung. 1. Die Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen werden im Diagramm durch die Hōne der Säulen angegeben. Da aber die Breite der Balken immer 1 ist, geben auch die Flächen der Säulen die wahrscheinlichkeit an. Dabei handelt es sich bei der üblichen graphischen Darstellung um Histogramme. Für die Wahrscheinlichkeitsaicnre gilt: a;= ₁ = L = Pi 2. Die Grapnen zur Binomial-/Normalverteilung haben beide glockenförmige Gestalt, das Maximum liegt jeweils bei μ. Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung Es liegt nane, als Erwartungswert u einer passenden Normalverteilung den Erwartungswert n'p der Binomial verteilung zu nehmen und als Standardabweichung √n.p.(A-p1¹. Tatsächlich ist dies eine gute Approximation, solange 03 und μ und 0 bei der Normal- und Binomialverteilung gleich sind.