Exponentialfunktionen und Wachstumsprozesse im Mathe Abitur
Die charakteristischen Eigenschaften exponentieller Wachstums- und Zerfallsprozesse bilden einen zentralen Bestandteil der Mathe Abitur 2023 Aufgaben. Bei exponentiellen Wachstumsprozessen ist die Zu- oder Abnahme stets proportional zum aktuellen Bestand.
Definition: Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die prozentuale Änderung in gleichen Zeitintervallen konstant bleibt.
Ein klassisches Beispiel sind Bankzinsen, bei denen zum Kapital jährlich ein fester Zinssatz hinzukommt. Die mathematische Modellierung erfolgt durch die Funktion ft = a·bᵗ, wobei a den Anfangswert und b die Wachstumsrate darstellt. Bei der Halbwertszeit halbiert sich der Wert in regelmäßigen Abständen, bei der Verdopplungszeit verdoppelt er sich.
Beispiel: Eine Population von 200 Hunden verdoppelt sich täglich:
ft = 200·2ᵗ
Nach einem Tag: 400 Hunde
Nach zwei Tagen: 800 Hunde
Die natürliche Exponentialfunktion fx = eˣ nimmt dabei eine Sonderstellung ein. Die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828... führt zu der bemerkenswerten Eigenschaft, dass die Funktion ihre eigene Ableitung ist. Dies macht sie besonders wertvoll für Integral Aufgaben Abitur mit Lösungen.