Seite 3: Musterlösung und weitere Aufgaben

Die dritte Seite enthält Teile der Musterlösung sowie zusätzliche Aufgaben zur Differentialrechnung.

Die Musterlösung zu Aufgabe 1 zeigt die korrekte Anwendung der Ableitungsregeln für verschiedene Funktionstypen. Dies umfasst die Ableitung von Polynomen, Konstanten und zusammengesetzten Funktionen.

Example: Für f(x) = 3x² + 6 ist die Ableitungsfunktion f'(x) = 6x.

Aufgabe 3 beschäftigt sich mit der Berechnung der mittleren Änderungsrate für verschiedene Intervalle. Diese Aufgabe demonstriert die praktische Anwendung des Differenzenquotienten.

Definition: Der Differenzenquotient ist definiert als [f(x₂) - f(x₁)] / (x₂ - x₁) und gibt die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Intervall an.

Aufgabe 4 behandelt die Analyse des Wachstums männlicher Jugendlicher. Die Schüler müssen die mittlere Änderungsrate des Wachstums für verschiedene Altersintervalle berechnen und interpretieren.

Highlight: Diese Aufgabe zeigt die Anwendung der Differentialrechnung in einem biologischen Kontext und verdeutlicht, wie mathematische Konzepte zur Analyse realer Phänomene genutzt werden können.

Aufgabe 5 fordert die Berechnung der Steigung einer Tangente anhand eines gegebenen Graphen. Dies demonstriert die Verbindung zwischen der grafischen Darstellung einer Funktion und ihrer Ableitung.

Vocabulary: Tangente - Eine Gerade, die eine Kurve an einem bestimmten Punkt berührt und deren Steigung der Ableitung der Funktion an diesem Punkt entspricht.

Seite 2: Anwendungen der Differentialrechnung

Die zweite Seite der Klausur konzentriert sich auf praktische Anwendungen der Differentialrechnung und fortgeschrittene Konzepte.

Aufgabe 6 behandelt die Analyse der Bewegung eines Autos anhand eines Weg-Zeit-Diagramms. Die Schüler müssen die mittlere Änderungsrate berechnen und die Geschwindigkeit des Autos zu verschiedenen Zeitpunkten interpretieren.

Definition: Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Größe über ein bestimmtes Intervall und wird durch den Differenzenquotienten berechnet.

Example: Die mittlere Änderungsrate der Strecke im Intervall [0; 6] beträgt 5 km / 6 min = 50 km/h.

Aufgabe 7 beschäftigt sich mit der Berechnung der Tangentengleichung für die Funktion f(x) = 5x² + 3 an einem bestimmten Punkt. Die Schüler müssen den Differenzenquotienten berechnen und den Grenzwert für h→0 ziehen, um die Steigung der Tangente zu ermitteln.

Highlight: Die Berechnung der Tangentengleichung demonstriert die praktische Anwendung des Differenzenquotienten und des Grenzwertkonzepts.

Aufgabe 8 fordert die Anwendung der h-Methode zur Berechnung der Ableitung der Funktion f(x) = 1/x².

Vocabulary: h-Methode - Eine Technik zur Berechnung von Ableitungen, bei der der Differenzenquotient gebildet und anschließend der Grenzwert für h→0 gezogen wird.