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1. Klausur EF Ma GK1
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Steigung, mittlere Änderungsrate, Interpretation, Tangente zeichnen

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@ Name: 1. Klausur EF Ma GK1 Teil 1: hilfsmittelfrei (max. 30 min) Sobald Sie mit der Bearbeitung fertig sind, können Sie diesen Teil der Klausur abgeben und mit der Bearbeitung von Teil 2 beginnen. Aufgabe 1 (3+4+1+1+4+5+2+2=22 Punkte) Bestimmen Sie jeweils die Ableitungsfunktion f'. Geben Sie sämtliche Lösungsschritte an. b) Aufgabe 2 (5+3=8 Punkte) a) In welchen Punkten A, B, C, D, E in der Abbildung rechts ist die Steigung der dargestellten Funktion negativ, positiv oder null? negativ: ALE ✓ positiv: C a) f(x) = 3x² + 6 f'(x)=2-3x²-1²° 6x b) f(x) = x³ + x5 +x6 f'(x) = 3²x3-17 5x5-1446²76-1-32 - =3x² + 5x++ 6x5 c)f(x) = 1 f'(x)=0³ 111 d)f(x)= x = 1·x1 'f'(x) = N²X^*^² = 1·x^-^ -1.x° = 1· 1² 1³ 111 e) f(x) = 5x5 - 12x³ + 16x-25-5-55-1 - 3-12x²-1² + 16x^-^~ = 25x4-36x731628 = 2510 - 36x3 +16- f) | f(x) = 2x² · (x + 7) − 3(x + 1) f(x) = x³ - 2t f(t) = x³ - 2t BYD 315 null: c) Ordnen Sie die Punkte A, B, C, D und E entsprechend der dazugehörigen Steigung. Beginnen Sie mit dem Punkt mit der kleinsten Steigung: B, D, C,E,A 213 +A -5 P²(x) = 3 x ²³-1²-2€²=3x²² - 2²€ 1 f(t) = x²=2+₁-1 = x³_2-t ²7x²³²-²-2.4 -3 Viel Erfolg! -2 B -1. 6 5 4 3 07.10.2019 2 1 -1 -2 ✓ C 1 1313 414 +5 2 3 414 4,515 412 (1=x²-2 (1 E 112 (19,5/22) (718) 26,5 130 f'(-1) = Aufgabe 6 (4+3+2+4=13 Punkte) Im Diagramm rechts ist die zurückgelegte Strecke s(t) eines fahrenden Autos in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. a) Das Auto...

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startet aus dem Stillstand (die Tangente hat bei Null die Steigung Null), beschleunigt in den ersten beiden Minuten, fährt dann mit konstanter Höchstgeschwindigkeit und bremst schließlich in den letzten beiden Minuten wieder ab und bleibt am Ende wieder stehen. In der Zeit legt es fünf Kilometer zurück. b) Die mittlere Änderungsrate von s im Intervall I = [0; 6] beträgt t-1(4)-t-1(-1) 3-0 3 4-(-1) 4+1 s(6) s(0) 5-0 5 km 6-0 6-0 6 min c) Da eine Stunde 60 Minuten enthält ergibt sich die Umrechnung. f(2+h)-f(2) 2+h-2 = = 5 km 60 min 6 min 1h = 50 km h km d) Bei Minute sechs ist die Tangente an s waagerecht und die Geschwindigkeit ist 0. Das Auto steht also und wird natürlich nicht geblitzt. Zeichnet man die Tangente bei drei ein, so sieht man, dass sie steiler ist als die Sekante, deren Steigung in b) und c) bestimmt wurde. Das Auto fährt also schneller als 50 und würde somit geblitzt werden. (Es hat dort eine Geschwindigkeit von Aufgabe 7 (6+7=13 Punkte) h 5 km 4 min 60 min 1h = 75km.) Es ist die Funktion f(x) = 5x² + 3 gegeben. a) Wir berechnen zuerst den Differenzenquotient in 2 und ziehen anschließend den Grenzwert h→0: 5(2+h)² +3 (5.2²+3)_5(4+4h+h²) +3-5-4-3 = h b) Ansatz t₂(x) = mx + b Die Steigung: m = f'(2) = 20 (nach a)) 20+20h+5h² +3-20-3 20h +5h² h h Die Gleichung der Tangenten ist somit t₂(x) = 20x - 17. Aufgabe 8* (3+6=9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion f(x): 7/24 a) Differenzenquotient: f(xo+h)-f(xo) b) Ableitung mit der h-Methode berechnen: h = 1 (xo+h)² x h Berechnung von f(2) durch Einsetzen: f(2)= 5.2²+3=5.4+3 = 20+3 = 23 Berechnung von b durch Einsetzen von (2|ƒ(2)) = (2|23) in t₂: 23 = f(2)= t₂ (2) = 20-2+b 23 = 40 + b | -40 -17 = b = 0,6. = = - s in km Tangente an (312,5) h -2x0 4 11 1 1 x² (xo + h)² f(xo+h)-f(xo) (xo + h) ²¯¯ x²_ (xo+h)²x² (xo+h)²x²x² - (xo+h)² = h h h(xo + h)²x² x2 - (x2+2xh+h²) x2-x2-2xoh-h² -2xoh-h² h(xo + h)²x2 h(xo + h)²x2 h(xo+h)²x2 -2xo-h -2x0 (xo + h)²x2 h→0 x2-x² 2 ->> ಓ h = 20 + 5h- x3 4 = Sekante = t in min 5 -20 h-0 Musterlösung Aufgabe 1 (3+4+1+1+4+5+2+2=22 f(x) = 3x² +6 f(x) = x³ + x5 +x6 f(x)=1 f(x)= x= x¹ f(x) = 5x5 - 12x³ + 16x-25 f(x) = 2x²(x + 7)-3(x+1) = 2x³ + 14x²-3x - 3 f(x)= x³ - 2t f(t)= x³ - 2t Aufgabe 2 (5+3=8 Punkte) a) negativ: A, E; Aufgabe 3 (4 Punkte) 1. Klausur EF Ma GK1 Punkte) positiv: C; Jugendlichen abgeschlossen. null: B,D ƒ(2)-f(0) 2-0 = beträgt f(11)-f(5) 11-5 f(12)-f(6) 16-12 f(19)-f(17) 19-17 = = f'(x) = 3·2x²-1 = 6x Aufgabe 4 (3+6+2=11 Punkte) a) Die mittlere Änderungsrate von f über den gesamten angegebenen Zeitraum: f(19) - f(5) 177 - 110 67 19-5 19-5 14 = 4-2²-4.0² 16 = = 8 2 2 7 =-=- f'(x) = 3x³-1+5x5-1 +6x5-1 = 3x² + 5x + 6x5 f'(x)=0 f'(x) = 1x¹-1=x⁰ = 1 f'(x) = 5.5x5-1-12-3x³-1 +16-1 = 25x4-36x² +16 f'(x) = 2-3x³-1 +14-2x2-1-3-1 = 6x² +28x-3 f'(x) = 3x3-1 = 3x² f'(t)=-2-1=-2 b) A<E<B=D<C ≈ b) Die mittlere Änderungsrate von 5 bis 11 Jahren: 5,5- von 12 bis 16 Jahren: 143-110 11-5 173-148 16-12 177-175 19-17 33 = 6 25 4 2 = = 1 Jahr = 6,25- cm von 17 bis 19 Jahren: c) Männliche Jugendliche in Deutschland wachsen im Alter von 12 bis 16 Jahren mit durchschnittlich 6,35 cm pro Jahr etwas schneller als im Alter von 12 bis 16 Jahren, wo sie mit ca. 5,5 cm pro Jahr wachsen. Das entspricht in etwa der Pubertät. Danach wachsen sie mit einem Zentimeter pro Jahr im Schnitt deutlich langsamer. Das Wachstum der meisten männlichen ist mit siebzehn achtzehn Jahren = = Aufgabe 5 (4+4+4=12 Punkte) a) In dem Diagramm sieht es so aus, als ob t-3 durch die Punkte (- 312) und (-519) geht. Die Steigung von f in -3 ist gleich der Steigung der Tangente t_3 und somit etwa: f'(-3) = 9-2 -5-(-3) -2 -3,5. b) Aus dem Diagramm entnehmen wir, dass die Sekante s durch die beiden Punkte (-1|f(-1)) (-110) und (5|f(5)) (5/10) geht. Damit ergibt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall 1 = [-1;5] ≈ cm Jahr 07.10.2019 4,8- f(5)-f(-1) 10-0 10 5-(-1) 5+1 6 cm Jahr cm Jahr 10 y -3 9 8 7 6 V S 5 4 H ≈ 1,7. 2 5 c) Die Tangente t-1 an f durch den Punkt (-1|f(-1)) ist im Bild dargestellt. Die Tangente t_₁ geht ungefähr durch die Punkte (-1|f(-1))~ (-110) und (413). Mit den beiden Punkten lässt sich die Steigung von t-1 näherungsweise berechnen und diese ist gleich f'(-1). Aufgabe 6 (4+3+2+4=13 Punkte) Im Diagramm rechts ist die zurückgelegte Strecke s(t) eines fahrenden Autos in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. a) Beschreiben Sie den Verlauf der im Diagramm dargestellten Autofahrt. Aufgabe 7 (6+7=13 Punkte) Es ist die Funktion f(x) = 5x² + 3 gegeben. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall 2 I = [0; 6]. Physikalisch ist die das Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos über die gesamte Strecke. c) Zeigen Sie durch Umrechnen der Einheiten, dass die in km h km b) berechnete Durchschnittsgeschwindigkeit 50 beträgt. d) Auf der gesamten Strecke gilt ein Tempolimit von 50- Nach drei und sechs Minuten kommt das Auto jeweils an einer Radarfalle vorbei. Würde es jeweils geblitzt werden? Begründen Sie. h 5 Aufgabe 8* (3+6=9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion 3 f(x) = 1/1/2/2 x² 1- a) Zeigen Sie mit dem Differentialquotienten (,,h-Methode"), dass f'(2) = 20. Viel Erfolg! s in km 0 Geben Sie sämtliche Zwischenschritte an. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f im Punkt (21ƒ(2)). 3 4 t in min 5 c) Stellen sie den Differenzenquotienten für diese Funktion auf. d) Berechnen Sie mit dem Differentialquotienten (,,h-Methode") die Ableitung dieser Funktion. Geben Sie sämtliche Zwischenschritte an. Name: Erlaubte Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung Notieren Sie bei allen Aufgaben ihren vollständigen Lösungs-/rechenweg! Alter in Jahren Größe in cm a) b) Aufgabe 3 (4 Punkte) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion f(x) = 4x² im Intervall I = [0; 2]. Aufgabe 4 (3+6+2=11 Punkte) Die durchschnittliche Körpergröße von männlichen Jugendlichen in Deutschland ist in der Wertetabelle angegeben. Die Funktion f beschreibt die Zuordnung Jahre Jugendlichen. Körpergröße der männlichen -3 5 3 10 9 8 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 110 116 122 127 133 137 143 148 156 163 168 173 175 176 177 Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f über den gesamten angegebenen Zeitraum. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f in dem Bereich von 5 bis 11 Jahren. von 12 bis 16 Jahren. von 17 bis 19 Jahren c) Interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang, das heißt erklären sie auftretende Unterschiede durch Bezug auf das Thema ,,durchschnittliche Körpergröße von männlichen Jugendlichen". 7 6 5 4 FF 2 1. Klausur EF Ma GK1 Teil 2: (Gesamtdauer 90 min) y G 07.10.2019 → 131 15 Aufgabe 5 (4+4+4=12 Punkte) Im Koordinatensystem links sind die Graphen einer Funktion f und ihrer Tangente t-3 durch den Punkt (-3|ƒ(-3)) dargestellt. a) Bestimmen Sie näherungsweise f'(-3). b) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f im Intervall I = [-1;5] durch Einzeichnen der Sekante und graphischer Bestimmung ihrer Steigung. X c) Zeichnen Sie näherungsweise die Tangente an f durch den Punkt (-1|f(-1)) und bestimmen Sie damit eine Näherung für f'(-1). Bitte wenden!

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startet aus dem Stillstand (die Tangente hat bei Null die Steigung Null), beschleunigt in den ersten beiden Minuten, fährt dann mit konstanter Höchstgeschwindigkeit und bremst schließlich in den letzten beiden Minuten wieder ab und bleibt am Ende wieder stehen. In der Zeit legt es fünf Kilometer zurück. b) Die mittlere Änderungsrate von s im Intervall I = [0; 6] beträgt t-1(4)-t-1(-1) 3-0 3 4-(-1) 4+1 s(6) s(0) 5-0 5 km 6-0 6-0 6 min c) Da eine Stunde 60 Minuten enthält ergibt sich die Umrechnung. f(2+h)-f(2) 2+h-2 = = 5 km 60 min 6 min 1h = 50 km h km d) Bei Minute sechs ist die Tangente an s waagerecht und die Geschwindigkeit ist 0. Das Auto steht also und wird natürlich nicht geblitzt. Zeichnet man die Tangente bei drei ein, so sieht man, dass sie steiler ist als die Sekante, deren Steigung in b) und c) bestimmt wurde. Das Auto fährt also schneller als 50 und würde somit geblitzt werden. (Es hat dort eine Geschwindigkeit von Aufgabe 7 (6+7=13 Punkte) h 5 km 4 min 60 min 1h = 75km.) Es ist die Funktion f(x) = 5x² + 3 gegeben. a) Wir berechnen zuerst den Differenzenquotient in 2 und ziehen anschließend den Grenzwert h→0: 5(2+h)² +3 (5.2²+3)_5(4+4h+h²) +3-5-4-3 = h b) Ansatz t₂(x) = mx + b Die Steigung: m = f'(2) = 20 (nach a)) 20+20h+5h² +3-20-3 20h +5h² h h Die Gleichung der Tangenten ist somit t₂(x) = 20x - 17. Aufgabe 8* (3+6=9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion f(x): 7/24 a) Differenzenquotient: f(xo+h)-f(xo) b) Ableitung mit der h-Methode berechnen: h = 1 (xo+h)² x h Berechnung von f(2) durch Einsetzen: f(2)= 5.2²+3=5.4+3 = 20+3 = 23 Berechnung von b durch Einsetzen von (2|ƒ(2)) = (2|23) in t₂: 23 = f(2)= t₂ (2) = 20-2+b 23 = 40 + b | -40 -17 = b = 0,6. = = - s in km Tangente an (312,5) h -2x0 4 11 1 1 x² (xo + h)² f(xo+h)-f(xo) (xo + h) ²¯¯ x²_ (xo+h)²x² (xo+h)²x²x² - (xo+h)² = h h h(xo + h)²x² x2 - (x2+2xh+h²) x2-x2-2xoh-h² -2xoh-h² h(xo + h)²x2 h(xo + h)²x2 h(xo+h)²x2 -2xo-h -2x0 (xo + h)²x2 h→0 x2-x² 2 ->> ಓ h = 20 + 5h- x3 4 = Sekante = t in min 5 -20 h-0 Musterlösung Aufgabe 1 (3+4+1+1+4+5+2+2=22 f(x) = 3x² +6 f(x) = x³ + x5 +x6 f(x)=1 f(x)= x= x¹ f(x) = 5x5 - 12x³ + 16x-25 f(x) = 2x²(x + 7)-3(x+1) = 2x³ + 14x²-3x - 3 f(x)= x³ - 2t f(t)= x³ - 2t Aufgabe 2 (5+3=8 Punkte) a) negativ: A, E; Aufgabe 3 (4 Punkte) 1. Klausur EF Ma GK1 Punkte) positiv: C; Jugendlichen abgeschlossen. null: B,D ƒ(2)-f(0) 2-0 = beträgt f(11)-f(5) 11-5 f(12)-f(6) 16-12 f(19)-f(17) 19-17 = = f'(x) = 3·2x²-1 = 6x Aufgabe 4 (3+6+2=11 Punkte) a) Die mittlere Änderungsrate von f über den gesamten angegebenen Zeitraum: f(19) - f(5) 177 - 110 67 19-5 19-5 14 = 4-2²-4.0² 16 = = 8 2 2 7 =-=- f'(x) = 3x³-1+5x5-1 +6x5-1 = 3x² + 5x + 6x5 f'(x)=0 f'(x) = 1x¹-1=x⁰ = 1 f'(x) = 5.5x5-1-12-3x³-1 +16-1 = 25x4-36x² +16 f'(x) = 2-3x³-1 +14-2x2-1-3-1 = 6x² +28x-3 f'(x) = 3x3-1 = 3x² f'(t)=-2-1=-2 b) A<E<B=D<C ≈ b) Die mittlere Änderungsrate von 5 bis 11 Jahren: 5,5- von 12 bis 16 Jahren: 143-110 11-5 173-148 16-12 177-175 19-17 33 = 6 25 4 2 = = 1 Jahr = 6,25- cm von 17 bis 19 Jahren: c) Männliche Jugendliche in Deutschland wachsen im Alter von 12 bis 16 Jahren mit durchschnittlich 6,35 cm pro Jahr etwas schneller als im Alter von 12 bis 16 Jahren, wo sie mit ca. 5,5 cm pro Jahr wachsen. Das entspricht in etwa der Pubertät. Danach wachsen sie mit einem Zentimeter pro Jahr im Schnitt deutlich langsamer. Das Wachstum der meisten männlichen ist mit siebzehn achtzehn Jahren = = Aufgabe 5 (4+4+4=12 Punkte) a) In dem Diagramm sieht es so aus, als ob t-3 durch die Punkte (- 312) und (-519) geht. Die Steigung von f in -3 ist gleich der Steigung der Tangente t_3 und somit etwa: f'(-3) = 9-2 -5-(-3) -2 -3,5. b) Aus dem Diagramm entnehmen wir, dass die Sekante s durch die beiden Punkte (-1|f(-1)) (-110) und (5|f(5)) (5/10) geht. Damit ergibt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall 1 = [-1;5] ≈ cm Jahr 07.10.2019 4,8- f(5)-f(-1) 10-0 10 5-(-1) 5+1 6 cm Jahr cm Jahr 10 y -3 9 8 7 6 V S 5 4 H ≈ 1,7. 2 5 c) Die Tangente t-1 an f durch den Punkt (-1|f(-1)) ist im Bild dargestellt. Die Tangente t_₁ geht ungefähr durch die Punkte (-1|f(-1))~ (-110) und (413). Mit den beiden Punkten lässt sich die Steigung von t-1 näherungsweise berechnen und diese ist gleich f'(-1). Aufgabe 6 (4+3+2+4=13 Punkte) Im Diagramm rechts ist die zurückgelegte Strecke s(t) eines fahrenden Autos in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. a) Beschreiben Sie den Verlauf der im Diagramm dargestellten Autofahrt. Aufgabe 7 (6+7=13 Punkte) Es ist die Funktion f(x) = 5x² + 3 gegeben. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall 2 I = [0; 6]. Physikalisch ist die das Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos über die gesamte Strecke. c) Zeigen Sie durch Umrechnen der Einheiten, dass die in km h km b) berechnete Durchschnittsgeschwindigkeit 50 beträgt. d) Auf der gesamten Strecke gilt ein Tempolimit von 50- Nach drei und sechs Minuten kommt das Auto jeweils an einer Radarfalle vorbei. Würde es jeweils geblitzt werden? Begründen Sie. h 5 Aufgabe 8* (3+6=9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion 3 f(x) = 1/1/2/2 x² 1- a) Zeigen Sie mit dem Differentialquotienten (,,h-Methode"), dass f'(2) = 20. Viel Erfolg! s in km 0 Geben Sie sämtliche Zwischenschritte an. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f im Punkt (21ƒ(2)). 3 4 t in min 5 c) Stellen sie den Differenzenquotienten für diese Funktion auf. d) Berechnen Sie mit dem Differentialquotienten (,,h-Methode") die Ableitung dieser Funktion. Geben Sie sämtliche Zwischenschritte an. Name: Erlaubte Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung Notieren Sie bei allen Aufgaben ihren vollständigen Lösungs-/rechenweg! Alter in Jahren Größe in cm a) b) Aufgabe 3 (4 Punkte) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion f(x) = 4x² im Intervall I = [0; 2]. Aufgabe 4 (3+6+2=11 Punkte) Die durchschnittliche Körpergröße von männlichen Jugendlichen in Deutschland ist in der Wertetabelle angegeben. Die Funktion f beschreibt die Zuordnung Jahre Jugendlichen. Körpergröße der männlichen -3 5 3 10 9 8 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 110 116 122 127 133 137 143 148 156 163 168 173 175 176 177 Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f über den gesamten angegebenen Zeitraum. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f in dem Bereich von 5 bis 11 Jahren. von 12 bis 16 Jahren. von 17 bis 19 Jahren c) Interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang, das heißt erklären sie auftretende Unterschiede durch Bezug auf das Thema ,,durchschnittliche Körpergröße von männlichen Jugendlichen". 7 6 5 4 FF 2 1. Klausur EF Ma GK1 Teil 2: (Gesamtdauer 90 min) y G 07.10.2019 → 131 15 Aufgabe 5 (4+4+4=12 Punkte) Im Koordinatensystem links sind die Graphen einer Funktion f und ihrer Tangente t-3 durch den Punkt (-3|ƒ(-3)) dargestellt. a) Bestimmen Sie näherungsweise f'(-3). b) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f im Intervall I = [-1;5] durch Einzeichnen der Sekante und graphischer Bestimmung ihrer Steigung. X c) Zeichnen Sie näherungsweise die Tangente an f durch den Punkt (-1|f(-1)) und bestimmen Sie damit eine Näherung für f'(-1). Bitte wenden!