Ableitung

Alternativer Bildtext:

hat bei Null die Steigung Null), beschleunigt in den ersten beiden Minuten, fährt dann mit konstanter Höchstgeschwindigkeit und bremst schließlich in den letzten beiden Minuten wieder ab und bleibt am Ende wieder stehen. In der Zeit legt es fünf Kilometer zurück. b) Die mittlere Änderungsrate von s im Intervall I = [0; 6] beträgt s(6) s(0) 5-0 5 km 6-0 6 min = 6-0 c) Da eine Stunde 60 Minuten enthält ergibt sich die Umrechnung. f(2+h)-f(2) 2+h-2 = 5 km 60 min 6 min 1h = 50 km h d) Bei Minute sechs ist die Tangente an s waagerecht und die Geschwindigkeit ist 0. Das Auto steht also und wird natürlich nicht geblitzt. Zeichnet man die Tangente bei drei ein, so sieht man, dass sie steiler ist als die Sekante, deren Steigung in b) und c) bestimmt wurde. Das Auto fährt also schneller als 50 km und würde somit geblitzt werden. (Es hat dort eine Geschwindigkeit von = 75 :-) Aufgabe 7 (6+7=13 Punkte) h km 5 km 60 min 4 min 1h Es ist die Funktion f(x) = 5x² + 3 gegeben. T f(xo+h)-f(xo) a) Wir berechnen zuerst den Differenzenquotient in 2 und ziehen anschließend den Grenzwert h→0: 5(2+h)² +3-(5.22+3) 5(4+4h+h²) + 3-5-4-3 h = 20 +5h 20 h→0 h 20+20h + 5h² +3-20-3 h Die Gleichung der Tangenten ist somit t₂(x) = 20x - 17. Aufgabe 8* (3+6=9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion f(x) = (xo+h) ² x² h a) Differenzenquotient: h b) Ableitung mit der h-Methode berechnen: 1 === 0,6. b) Ansatz t₂(x) = mx + b Die Steigung: m = f'(2) = 20 (nach a)) Berechnung von f(2) durch Einsetzen: f(2)= 5.2² + 3 = 5.4+3 = 20 + 3 = 23 Berechnung von b durch Einsetzen von (2]f(2)) = (2|23) in t₂: 23 = f(2)= t₂ (2) = 20.2 + b 23 = 40 + b | -40 -17 = b = = h(xo + h)²x2 -2xo-h -2x0 (x₁ + h) ²x² n=0x²x² s in km Tangente an (312,5) h 20h + 5h² h 1 x² (xo+h)² f(xo+h)-f(xo)_ (xo+h)² x2(xo+h)²x2 (xo+h)²x2x2 - (xo + h)² h h h(xo+h)²x2 -2xoh-h² h(xo + h)²x2 -2x0 x x2 - (x2+2xoh+h²)_x2-x² - 2xoh-h² h(xo + h)²x2 2 =IR xo 4 Sekante = t in min Musterlösung Aufgabe 1 (3+4+1+1+4+5+2+2=22 f(x) = 3x² +6 f(x) = x³ + x5 +x6 f(x) = 1 f(x)= x= x¹ f(x) = 5x5 - 12x³ + 16x-25 f(x) = 2x²(x + 7)-3(x+1) = 2x³ + 14x²-3x - 3 f(x)= x³ - 2t f(t)= x³-2t Aufgabe 2 (5+3=8 Punkte) a) negativ: A, E; Aufgabe 3 (4 Punkte) positiv: C; 1. Klausur EF Ma GK1 Punkte) null: B,D Jugendlichen ist abgeschlossen. f'(x)=3-2x²-1 = 6x b) A<E<B=D<C f(2)-f(0) 4.2²-4.0² 16 2-0 2 2 f(11)-f(5) 11-5 f(12)-f(6) 16-12 f(19)-f(17) 19-17 = Aufgabe 4 (3+6+2=11 Punkte) a) Die mittlere Änderungsrate von f über den gesamten angegebenen Zeitraum: f(19)-f(5) 19-5 177-110 67 19-5 14 = f'(x) = 3x³-1 + 5x5-1 + 6x6-1 = 3x² + 5x + 6x5 f'(x)=0 f'(x) = 1x¹-1 = xº = 1 f'(x) = 5.5x5-1-12-3x³-1 +16-1 = 25x4-36x² +16 f'(x)=2-3x3-1 +14-2x²-1-3-1 = 6x² +28x-3 f'(x) = 3x³-1 = 3x² f'(t)=-2-1=-2 b) Die mittlere Änderungsrate beträgt von 5 bis 11 Jahren: cm Jahr von 12 bis 16 Jahren: cm 143-110 33 11-5 6 173-148 25 = 16-12 4 177-175 19-17 2 = 6,25 Jahr von 17 bis 19 Jahren: =1 cm Jahr c) Männliche Jugendliche in Deutschland wachsen im Alter von 12 bis 16 Jahren mit durchschnittlich 6,35 cm pro Jahr etwas schneller als im Alter von 12 bis 16 Jahren, wo sie mit ca. 5,5 cm pro Jahr wachsen. Das entspricht in etwa der Pubertät. Danach wachsen sie mit einem Zentimeter pro Jahr im Schnitt deutlich langsamer. Das Wachstum der meisten männlichen mit siebzehn achtzehn Jahren = -3,5. Aufgabe 5 (4+4+4=12 Punkte) a) In dem Diagramm sieht es so aus, als ob t-3 durch die Punkte (- 312) und (-519) geht. Die Steigung von f in -3 ist gleich der Steigung der Tangente t-3 und somit etwa: 7 f'(-3) = 9-2 -5-(-3) -2 b) Aus dem Diagramm entnehmen wir, dass die Sekante s durch die beiden Punkte (-1|f(-1))~ (-110) und (5|f(5)) (5/10) geht. Damit ergibt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall 1 = [-1;5] = 8 = 5,5 ≈ 07.10.2019 cm Jahr 4,8- 10 f(5)-f(-1) 10-0 ≈ 1,7. 5- (-1) 5+1 6 10 y 9 8 7 8 5 4 2 4 c) Die Tangente t-1 an f durch den Punkt (-1|f(-1)) ist im Bild dargestellt. Die Tangente t-1 geht ungefähr durch die Punkte (-1|f(-1)) ~ (-110) und (413). Mit den beiden Punkten lässt sich die Steigung von t-₁ näherungsweise berechnen und diese ist gleich f'(-1). Aufgabe 6 (4+3+2+4=13 Punkte) Im Diagramm rechts ist die zurückgelegte Strecke s(t) eines fahrenden Autos in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. a) Beschreiben Sie den Verlauf der im Diagramm dargestellten Autofahrt. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall 2 I = [0; 6]. Physikalisch das die ist Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos über die gesamte Strecke. c) Zeigen Sie durch Umrechnen der Einheiten, dass die in b) berechnete Durchschnittsgeschwindigkeit 50km beträgt. Aufgabe 7 (6+7=13 Punkte) Es ist die Funktion f(x) = 5x² + 3 gegeben. 4 3 Aufgabe 8* (3+6=9 Punkte) Betrachten Sie die Funktion 0 s in km a) Zeigen Sie mit dem Differentialquotienten (,,h-Methode"), dass f'(2) = 20. Viel Erfolg! d) Auf der gesamten Strecke gilt ein Tempolimit von 50 km. Nach drei und sechs Minuten h kommt das Auto jeweils an einer Radarfalle vorbei. Würde es jeweils geblitzt werden? Begründen Sie. Geben Sie sämtliche Zwischenschritte an. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an f im Punkt (2|f(2)). 2 t in min 5 f(x) = -1/2 c) Stellen sie den Differenzenquotienten für diese Funktion auf. d) Berechnen Sie mit dem Differentialquotienten (,,h-Methode") die Ableitung dieser Funktion. Geben Sie sämtliche Zwischenschritte an. Name Erlaubte Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung Notieren Sie bei allen Aufgaben ihren vollständigen Lösungs-/rechenweg! Alter in Jahren Größe in cm a) b) Aufgabe 3 (4 Punkte) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion f(x) = 4x² im Intervall / = [0; 2]. Aufgabe 4 (3+6+2=11 Punkte) Die durchschnittliche Körpergröße von männlichen Jugendlichen in Deutschland ist in der Wertetabelle angegeben. Die Funktion f beschreibt die Zuordnung Jahre → Körpergröße der männlichen Jugendlichen. -3 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 116 122 127 133 137 143 148 156 163 168 173 175 176 177 Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f über den gesamten angegebenen Zeitraum. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f in dem Bereich von 5 bis 11 Jahren. von 12 bis 16 Jahren. von 17 bis 19 Jahren 10 y c) Interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang, das heißt erklären sie auftretende Unterschiede durch Bezug auf das Thema ,,durchschnittliche Körpergröße von männlichen Jugendlichen". 9 8 7 6 FF 4 1. Klausur EF Ma GK1 Teil 2: (Gesamtdauer 90 min) 3 0 2 7 07.10.2019 3 4 X Aufgabe 5 (4+4+4=12 Punkte) Im Koordinatensystem links sind die Graphen einer Funktion f und ihrer Tangente t3 durch den Punkt (-3|f(-3)) dargestellt. a) Bestimmen Sie näherungsweise f'(-3). b) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate von f im Intervall I = [-1;5] durch Einzeichnen der Sekante und graphischer Bestimmung ihrer Steigung. c) Zeichnen Sie näherungsweise die Tangente an f durch den Punkt (-1|f(-1)) und bestimmen Sie damit eine Näherung für f'(-1). Bitte wenden! £12 EF ( P(x) = 20x-17) + Gleichung der f(x) = pragy Ko I lim 430 4 f(xothl-flxo h - lim xo² + 2xchth", ho ^ 2xohth2 h 1 f - 4 = lim 6-70 tot 07.10.19 Tangente 7/1 (12/13 2- 313 e de a fi o h - lim h-70 -= lim (X. ₂0th h-30 4 Flim A h-70 2xo to 78 benkte 25.10.2019 sehr gut (at) Eine weitere sehr gute. Arbeit. Klane 316 (619) 1. Teil: Aufgabe 1 е еx) = 2х? (++7) -3-(х+1) -(2 x³+2- Fx 2 ) - 3x 3-4 3 =2x3 +14х2-3x+3(4 +лух Pr(x) = 3.2+8 1+2.14, 2-1-3x+ - 6x+28x3.x: & -6x +28× & Matheklausura +28х - 3.1 +28×-3√ =6x2 +28 07 07761834 16.77 a) f(x) = 5 x ² +3 1x0= 2 lim f(2+h)-f(2) ✓ h 5.2²+3 576 Flim 5. (12+h) + 3 = n h->0 lim h->0 lim lim h->o - lim hzo 5 5. (4+4hth ²) +3- =lim hao nj 20+20h +Sh² +3 =231 •80 + 20h + Sh²³² 2 20h/15h² ✓ -lim K.(20+5h)/ 6-70 -5473 Im Ergebie * 2015-h-cm 2015.0 =20+01 =20✓ f(2)=5-2² +3 ✓ = 5.4+3✓ 20+3 مونی) be(x)-5x²³² +3 x0= 2 f(x1= 2.5x²1 = 23, = 10x ++ 3 - 10x C² (2) = 10-2 = 20✓ (siehe a)) 1/m = f'(2) = 20] Punkt Pl 2(f(2), P12/23) 23= f(2)=20.2+b / vereinf. 23=40+b1-40 6723-40 66=-17] _= f'(-3) 3/2) =b | verent. 19,5 -21,6 gung Here ungsrate Vereine (A.6) a) Der Verlauf des Dia- gramms verläuft positiv sehr eigenen und startet bei 0. Es wird beschleunigt. 114 b) p (0/0), A (6 15 2 c) 670 A Die rate Intervall I=(0,6) beträgt unge fahr 018361 (0,6] 1800 20,83 km min #km Lomba mittlere Anderungst 5km skon 6 min 2:5 50116m, 12min) 50 50km 60min/ 1h (Stunde) 25km / 3min, Alem 1.2 min 50 km 1/60mly to 2,513 212 Brain Nach dreif und sechs Minuten 114 jeweils worde das Auto nicht geblitzt werden, weil 6.5113 f wenn man auf 1 Stunde hochrechnet Tommt man bei beiden gengu 50m Don war gor nicht gefragt. 414 4/4 Nicht gefast 4/4 sehr gut (12/12) (AS la m² = = 2 = -3,5| = f'(-3) pr-31 P(-37) P(-3/2) 2-f(-3) = -3,5-(-3) tb | verênp. +21 -2 = 10,5 fb1-10,5 b=2=10₁5 (6--815) |f(x) = -3,5x-815 (A.6) D a) Der Ver gramms und sto Es wird ь рото 5-0 6-0 A: Die m rate Pel-1/0), A(5/10) 10 10=97² = 541 = 1021,51 J I 5=(-1) टी 6 Steigung Amittlere Anderungsrate. I=C0₁6 fahr (m= 3 = 0,75 P(-1/P(-1) P(-1/0) 0 = P(-1) = 0,175 (-1)+b / vereinf 0=-0,75 +b 10195 6=0 +0,75 16=0,25 f(x) = 0,75 x +0,95 #ky Tom 5 75k ME 50 50 dl 86 2 EF Herr 2 'f(x) = 4x², I [0.2] £(2)-f(0)✓ 4.22 204 tothom ✓ 2 2 4-4-4-0 =16-0²-16 2 2 4. Nother lanser h=xoth-xo=2-0 b)P (5 (110) ли Зат ллост Add- 51. 2.P(12/1487 173m-148cm 16)-12). a) P(5 (10) AU + 177cm-110cm - 63cm ~ 4,79 Jahr ✓ H A (11 1143) D 33cm 81 A (16 1173) Cm 25cm -6,25 Jahr 43. 3.A (17 (175), B (19 1177) A cm 2cm = 1 Jahr 177cm-175cm 2cm 11.173. Cim Alter von Im -cm 11 Jahren wächst relativ vel 5 bis 313 15 bis 14 d. 212 man pro Jahr, aber im Alter von 12 bis 16 Jahren wächst man durchschnittlich fast 1 cm. mehr im Jahr als Alter von 5 bis ~ Jahren, da man im dort in die Pubertät 07.10.19 (414) kommt list. Wenn man man alfer wird, wächst voor 12 bis 16 J. 212 17 bis 197. 212 616 Sehr gut 22 (11/11) ganz wenig wie huer 2.B. durchschnittlich Jähr.