Lösungen für Teil A: Grundlegende Ableitungsaufgaben

Diese Seite präsentiert die Lösungen für die Aufgaben aus Teil A, die sich mit grundlegenden Ableitungen Übungen mit Lösungen Abitur befassen.

Für Aufgabe 1 werden die Ableitungsfunktionen für drei verschiedene Funktionen gebildet: a) f'(x) = 4 · (5x² + 3)³ · 10x b) f'(x) = (3x-4) · (-sin(2x)) · 2 + cos(2x) · 3 c) f'(x) = -8x³ - 2

Definition: Die Ableitungsfunktion f'(x) gibt die Steigung der Funktion f(x) an jedem Punkt x an.

Aufgabe 2 behandelt die Analyse einer Funktion mit Wendepunkt: f(x) = -x³ + 3x² - 2x Es wird gezeigt, dass die Tangente am Wendepunkt W(1|0) die Steigung 1 hat.

Highlight: Die Steigung der Wendetangente wird durch Einsetzen des x-Wertes des Wendepunkts in die erste Ableitung berechnet.

Zusätzlich wird die Anzahl der Schnittpunkte von Geraden durch W mit dem Graphen in Abhängigkeit von ihrer Steigung m untersucht:

• Für m < 1: 3 Schnittpunkte
• Für m = 1: 2 Schnittpunkte (Wendetangente)
• Für m > 1: 1 Schnittpunkt

Example: Die Wendetangente berechnen Aufgaben zeigt, dass für m = 1 die Gerade genau die Wendetangente ist und somit 2 Schnittpunkte hat.

Umfassende Funktionsanalyse

Diese Seite behandelt Aufgabe 5 aus Teil B, die eine umfassende Analyse zweier Funktionen f(x) = -1/16 x³ + 3x und g(x) = 1/2 x² erfordert. Diese Art von Aufgabe ist typisch für Kurvendiskussion Übersicht PDF und Kurvendiskussion Merkblatt.

a) Für die Funktion f werden alle Nullstellen sowie Extrem- und Wendepunkte berechnet:

• Nullstellen: x₁ = 0, x₂ ≈ 6,92, x₃ ≈ -6,92
• Extrempunkte: H(4|8) (Hochpunkt), T(-4|-8) (Tiefpunkt)
• Wendepunkt: W(0|0)

b) Die Stellen u, an denen die Graphen von f und g die gleiche Steigung besitzen, werden berechnet.

c) Die Gleichung für die Stelle a, an der die Graphen von f und g zueinander senkrechte Tangenten besitzen, wird aufgestellt.

d) Die Gleichungen der Tangenten an den Graphen von g vom Punkt (0|-8) aus werden ermittelt.

e) Der Wert von k wird berechnet, für den das Dreieck, gebildet aus den Punkten P(k|f(k)), Q(k|g(k)) und dem Koordinatenursprung, den größtmöglichen Flächeninhalt hat.

Vocabulary: Wendepunkt - Ein Punkt, an dem die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt.

Highlight: Diese Aufgabe demonstriert die Anwendung verschiedener Konzepte der Kurvendiskussion Checkliste, einschließlich der Berechnung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten.