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Ableitungen und Änderungsraten: Aufgaben und Übungen für die 10. und 11. Klasse

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7.2.2021

Mathe

Ableitungen, Mittlere Änderungsrate, Differenzenquozient

Ableitungen und Änderungsraten: Aufgaben und Übungen für die 10. und 11. Klasse

A comprehensive guide to calculus problems focusing on derivatives, rates of change, and quotients. The material covers essential mathematical concepts typically found in Ableitungen Übungen mit Lösungen Abitur and advanced high school mathematics.

Key points:

  • Detailed examination of symmetry in mathematical functions
  • Analysis of Mittlere Änderungsrate (average rate of change) through practical examples
  • Exploration of Differenzenquotient (difference quotient) calculations
  • Application of derivatives in real-world scenarios
  • Step-by-step solutions for complex calculus problems
...

7.2.2021

6438

Name:
2. Klausur
I. Teil: Hilfsmittelfrei (Bearbeitungszeit max. 20 min)
Aufgabe 1: Symmetrie (6 P)
Prüfe, ob der Graph symmetrisch ist und

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Teil II: Abschnitt mit erlaubten Hilfsmitteln

Der zweite Teil der Klausur erlaubt die Verwendung von Hilfsmitteln wie GTR und Formelsammlung. Er umfasst komplexere Aufgaben und Anwendungen.

Aufgabe 1: Mittlere Änderungsrate

Diese Aufgabe basiert auf einem realen Szenario einer Autofahrt von Moers nach Dortmund. Die Schüler müssen die durchschnittliche Geschwindigkeit für die gesamte Strecke sowie die höchste und niedrigste Geschwindigkeit für bestimmte Streckenabschnitte berechnen.

Definition: Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Größe in einem bestimmten Intervall.

Example: Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit für die gesamte Strecke: 174,33 km/h

Aufgabe 2: Differenzenquotient

In dieser Aufgabe müssen die Schüler den Differenzenquotienten für verschiedene Funktionen in gegebenen Intervallen berechnen.

Vocabulary: Differenzenquotient - Ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Example: Berechnung des Differenzenquotienten für f(x)=x²-1 im Intervall [0;2]

Aufgabe 3: Ableitung mit Differenzenquotient

Diese Aufgabe erfordert die rechnerische Bestimmung der Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle mithilfe des Differenzenquotienten für h→0 bzw. x→xo.

Highlight: Diese Methode zur Berechnung der Ableitung ist eine wichtige Grundlage für das Verständnis des Differentialquotienten.

Aufgabe 4: Anwendung

Die letzte Aufgabe behandelt die Analyse einer Feuerwerksrakete. Die Schüler müssen die Durchschnittsgeschwindigkeit für verschiedene Zeitintervalle und die Momentangeschwindigkeit nach einer Sekunde berechnen.

Example: Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit für die ersten 3 Sekunden: 25 km/h

Vocabulary: Momentane Änderungsrate - Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, berechnet durch den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Diese Klausur bietet eine umfassende Überprüfung der Ableitungen und verwandter Konzepte, die für das Abitur und weiterführende mathematische Studien von großer Bedeutung sind. Die Kombination aus theoretischen Fragen und praktischen Anwendungen fördert ein tiefes Verständnis der Thematik.

Name:
2. Klausur
I. Teil: Hilfsmittelfrei (Bearbeitungszeit max. 20 min)
Aufgabe 1: Symmetrie (6 P)
Prüfe, ob der Graph symmetrisch ist und

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Page 3: Practical Applications and Calculations

This section focuses on practical implementations of difference quotients and speed calculations, providing detailed solutions and methodologies.

Example: Detailed calculation showing average speed of 174.33 km/h for the complete route.

Highlight: The highest speed is achieved between 0.02 and 0.07 minutes, while the lowest speed occurs between 0.33 and 0.4 minutes.

Vocabulary: DQ (Differenzenquotient) represents the mathematical notation for difference quotient calculations.

Name:
2. Klausur
I. Teil: Hilfsmittelfrei (Bearbeitungszeit max. 20 min)
Aufgabe 1: Symmetrie (6 P)
Prüfe, ob der Graph symmetrisch ist und

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Page 4: Advanced Derivatives and Applications

This page covers advanced topics in derivatives and their practical applications, particularly focusing on Lokale Änderungsrate berechnen.

Definition: The derivative at a point is calculated as the limit of the difference quotient as h approaches zero.

Example: Detailed solution for calculating the derivative of f(x) = x² + 2x at x₀ = -1.

Highlight: The page includes a practical application involving a firework rocket's height calculation.

Name:
2. Klausur
I. Teil: Hilfsmittelfrei (Bearbeitungszeit max. 20 min)
Aufgabe 1: Symmetrie (6 P)
Prüfe, ob der Graph symmetrisch ist und

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Page 5: Final Notes and Solutions

This page contains final calculations and solution verifications, serving as a reference for checking work accuracy.

Highlight: The page includes final calculations and verification steps for previous problems.

Vocabulary: DL (Detaillierte Lösung) indicates detailed solution steps.

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Philipp, iOS User

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

6.438

7. Feb. 2021

5 Seiten

Ableitungen und Änderungsraten: Aufgaben und Übungen für die 10. und 11. Klasse

A comprehensive guide to calculus problems focusing on derivatives, rates of change, and quotients. The material covers essential mathematical concepts typically found in Ableitungen Übungen mit Lösungen Abitur and advanced high school mathematics.

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  • Detailed examination of symmetry in... Mehr anzeigen
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Teil II: Abschnitt mit erlaubten Hilfsmitteln

Der zweite Teil der Klausur erlaubt die Verwendung von Hilfsmitteln wie GTR und Formelsammlung. Er umfasst komplexere Aufgaben und Anwendungen.

Aufgabe 1: Mittlere Änderungsrate

Diese Aufgabe basiert auf einem realen Szenario einer Autofahrt von Moers nach Dortmund. Die Schüler müssen die durchschnittliche Geschwindigkeit für die gesamte Strecke sowie die höchste und niedrigste Geschwindigkeit für bestimmte Streckenabschnitte berechnen.

Definition: Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer Größe in einem bestimmten Intervall.

Example: Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit für die gesamte Strecke: 174,33 km/h

Aufgabe 2: Differenzenquotient

In dieser Aufgabe müssen die Schüler den Differenzenquotienten für verschiedene Funktionen in gegebenen Intervallen berechnen.

Vocabulary: Differenzenquotient - Ein Maß für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Example: Berechnung des Differenzenquotienten für f(x)=x²-1 im Intervall [0;2]

Aufgabe 3: Ableitung mit Differenzenquotient

Diese Aufgabe erfordert die rechnerische Bestimmung der Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle mithilfe des Differenzenquotienten für h→0 bzw. x→xo.

Highlight: Diese Methode zur Berechnung der Ableitung ist eine wichtige Grundlage für das Verständnis des Differentialquotienten.

Aufgabe 4: Anwendung

Die letzte Aufgabe behandelt die Analyse einer Feuerwerksrakete. Die Schüler müssen die Durchschnittsgeschwindigkeit für verschiedene Zeitintervalle und die Momentangeschwindigkeit nach einer Sekunde berechnen.

Example: Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit für die ersten 3 Sekunden: 25 km/h

Vocabulary: Momentane Änderungsrate - Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, berechnet durch den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Diese Klausur bietet eine umfassende Überprüfung der Ableitungen und verwandter Konzepte, die für das Abitur und weiterführende mathematische Studien von großer Bedeutung sind. Die Kombination aus theoretischen Fragen und praktischen Anwendungen fördert ein tiefes Verständnis der Thematik.

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This section focuses on practical implementations of difference quotients and speed calculations, providing detailed solutions and methodologies.

Example: Detailed calculation showing average speed of 174.33 km/h for the complete route.

Highlight: The highest speed is achieved between 0.02 and 0.07 minutes, while the lowest speed occurs between 0.33 and 0.4 minutes.

Vocabulary: DQ (Differenzenquotient) represents the mathematical notation for difference quotient calculations.

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Page 4: Advanced Derivatives and Applications

This page covers advanced topics in derivatives and their practical applications, particularly focusing on Lokale Änderungsrate berechnen.

Definition: The derivative at a point is calculated as the limit of the difference quotient as h approaches zero.

Example: Detailed solution for calculating the derivative of f(x) = x² + 2x at x₀ = -1.

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Page 5: Final Notes and Solutions

This page contains final calculations and solution verifications, serving as a reference for checking work accuracy.

Highlight: The page includes final calculations and verification steps for previous problems.

Vocabulary: DL (Detaillierte Lösung) indicates detailed solution steps.

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Teil I: Hilfsmittelfreier Abschnitt

Der erste Teil der Klausur konzentriert sich auf grundlegende Konzepte und Berechnungen ohne Hilfsmittel.

Aufgabe 1: Symmetrie

Die Schüler müssen die Symmetrie von zwei gegebenen Funktionen untersuchen und ihre Antworten begründen.

Example: f(x) = (x² − 3)x² und f(x) = 1-2x³ + 5x5 + 5x

Highlight: Die Symmetrie wird anhand der Exponenten der Terme bestimmt. Gerade Exponenten deuten auf Achsensymmetrie hin, während ungerade Exponenten auf Punktsymmetrie hinweisen.

Aufgabe 2: Transformationen

Diese Aufgabe erfordert das Verschieben einer gegebenen Funktion und die Angabe der neuen Funktionsgleichung.

Example: Verschiebung der Funktion f(x) = 1-2x³ +5x5 +5x um 1 nach rechts und 2 nach unten

Aufgabe 3: Ableitung und Tangentengleichung

Die Schüler sollen die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle mithilfe der Tangentensteigung angeben und die Tangentengleichung durch Ablesen bestimmen.

Vocabulary: Lokale Änderungsrate - Die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt des Funktionsgraphen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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