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Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

Ableitungsrechner und Mathe-Tricks: Produktregel, Kettenregel und Co. einfach erklärt!

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Ableitungsrechner und Mathe-Tricks: Produktregel, Kettenregel und Co. einfach erklärt!

H.H

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A comprehensive guide to derivative rules in calculus, focusing on essential techniques for calculating derivatives. This guide covers the Summenregel, Produktregel, Kettenregel, and exponential functions, providing detailed explanations and practical examples.

Key points:

Detailed coverage of five fundamental derivative rules
Step-by-step examples and practice problems
Clear explanations of innere und äußere Funktion bestimmen
Practical applications of Ableitungsregeln Produktregel
Comprehensive treatment of Kettenregel Ableitung

1.7.2023

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REGELN ZUR ABLEITUNG
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Mathematik 5.
QUOTIENTEN-
REGEL
4.
EXPONENTIAL-
FUNKTIONEN
1.
SUMMEN-
/DIFFE

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Kettenregel

Die Kettenregel ist eine fortgeschrittene Ableitungsregel, die bei der Ableitung von zusammengesetzten Funktionen angewendet wird. Sie ist besonders nützlich, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt wird.

Definition: Für f(x) = g(h(x)) gilt: f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Kettenregel:

Äußere und innere Funktion bestimmen
Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden
Kettenregel anwenden

Beispiel: f(x) = 3(x³-4)⁷ g(x) = 3x⁷ (äußere Funktion), h(x) = x³ - 4 (innere Funktion) g'(x) = 21x⁶, h'(x) = 3x² f'(x) = 21(x³ - 4)⁶ · 3x² = 63x²(x³ - 4)⁶

Übung: f(x) = (3x-4)³ Lösung: f'(x) = 9(3x-4)² = 81x² - 216x + 144

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Exponentialfunktion

Die Ableitung von Exponentialfunktionen folgt einer speziellen Regel, die auf der natürlichen Exponentialfunktion basiert.

Definition: Für f(x) = a · b^x gilt: f'(x) = a · ln(b) · b^x

Vorgehen bei der Ableitung von Exponentialfunktionen:

Wert der Variablen/Teilfunktionen bestimmen
Ableitungen bilden
Formel anwenden

Beispiel: f(x) = 2 · 7^x f'(x) = 2 · ln(7) · 7^x

Highlight: Bei komplexeren Exponentialfunktionen kann es notwendig sein, die Kettenregel zusätzlich anzuwenden.

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Regeln zur Ableitung

Die Ableitungsregeln sind grundlegende Konzepte in der Differentialrechnung. Diese Seite gibt einen Überblick über die wichtigsten Regeln, die in den folgenden Abschnitten detailliert erklärt werden:

Summen-/Differenzregel
Produktregel
Kettenregel
Exponentialfunktionen
Quotientenregel

Diese Regeln bilden das Fundament für die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen.

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Differenzregel

Die Differenzregel ist eng mit der Summenregel verwandt und wird auf ähnliche Weise angewendet. Sie beschreibt die Ableitung einer Differenz von Funktionen.

Definition: Für f(x) = g(x) - h(x) gilt: f'(x) = g'(x) - h'(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Differenzregel:

Teilfunktionen bestimmen
Ableitungen der Funktionsteile bilden
Subtraktion der Ableitungen

Beispiel: f(x) = 2x² - x g(x) = 2x², h(x) = x g'(x) = 4x, h'(x) = 1 f'(x) = g'(x) - h'(x) = 4x - 1

Übung: f(x) = 3x³ - 5x² Lösung: f'(x) = 9x² - 10x

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Summenregel

Die Summenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel in der Mathematik. Sie besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist.

Definition: Für f(x) = g(x) + h(x) gilt: f'(x) = g'(x) + h'(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Summenregel:

Teilfunktionen bestimmen
Ableitungen der Funktionsteile bilden
Addition der Ableitungen

Beispiel: f(x) = 3x² + 2x g(x) = 3x², h(x) = 2x g'(x) = 6x, h'(x) = 2 f'(x) = g'(x) + h'(x) = 6x + 2

Highlight: Bei der Anwendung der Summenregel ist es wichtig, die Faktorregel und Potenzregel zu beachten.

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Produktregel

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel für das Ableiten von Produktfunktionen. Sie ermöglicht die Berechnung der Ableitung des Produkts zweier Funktionen.

Definition: Für f(x) = u(x) · v(x) gilt: f'(x) = u(x) · v'(x) + u'(x) · v(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Produktregel:

Teilfunktionen bestimmen
Teilfunktionen ableiten
Produktregel anwenden

Beispiel: f(x) = (5x² + 3x) · 4x u(x) = 5x² + 3x, v(x) = 4x u'(x) = 10x + 3, v'(x) = 4 f'(x) = (5x² + 3x) · 4 + (10x + 3) · 4x = 60x² + 24x

Übung: f(x) = (2x - 3)(5x + 1) Lösung: f'(x) = 20x - 13

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Kettenregel

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Äußere und innere Funktion bestimmen
Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden
Kettenregel anwenden

Beispiel: f(x) = 3(x³-4)⁷ g(x) = 3x⁷ (äußere Funktion), h(x) = x³ - 4 (innere Funktion) g'(x) = 21x⁶, h'(x) = 3x² f'(x) = 21(x³ - 4)⁶ · 3x² = 63x²(x³ - 4)⁶

Übung: f(x) = (3x-4)³ Lösung: f'(x) = 9(3x-4)² = 81x² - 216x + 144

Exponentialfunktion

Die Ableitung von Exponentialfunktionen folgt einer speziellen Regel, die auf der natürlichen Exponentialfunktion basiert.

Definition: Für f(x) = a · b^x gilt: f'(x) = a · ln(b) · b^x

Vorgehen bei der Ableitung von Exponentialfunktionen:

Wert der Variablen/Teilfunktionen bestimmen
Ableitungen bilden
Formel anwenden

Beispiel: f(x) = 2 · 7^x f'(x) = 2 · ln(7) · 7^x

Highlight: Bei komplexeren Exponentialfunktionen kann es notwendig sein, die Kettenregel zusätzlich anzuwenden.

Regeln zur Ableitung

Summen-/Differenzregel
Produktregel
Kettenregel
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Diese Regeln bilden das Fundament für die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen.

Differenzregel

Die Differenzregel ist eng mit der Summenregel verwandt und wird auf ähnliche Weise angewendet. Sie beschreibt die Ableitung einer Differenz von Funktionen.

Definition: Für f(x) = g(x) - h(x) gilt: f'(x) = g'(x) - h'(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Differenzregel:

Teilfunktionen bestimmen
Ableitungen der Funktionsteile bilden
Subtraktion der Ableitungen

Beispiel: f(x) = 2x² - x g(x) = 2x², h(x) = x g'(x) = 4x, h'(x) = 1 f'(x) = g'(x) - h'(x) = 4x - 1

Übung: f(x) = 3x³ - 5x² Lösung: f'(x) = 9x² - 10x

Summenregel

Die Summenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel in der Mathematik. Sie besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist.

Definition: Für f(x) = g(x) + h(x) gilt: f'(x) = g'(x) + h'(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Summenregel:

Teilfunktionen bestimmen
Ableitungen der Funktionsteile bilden
Addition der Ableitungen

Beispiel: f(x) = 3x² + 2x g(x) = 3x², h(x) = 2x g'(x) = 6x, h'(x) = 2 f'(x) = g'(x) + h'(x) = 6x + 2

Highlight: Bei der Anwendung der Summenregel ist es wichtig, die Faktorregel und Potenzregel zu beachten.

Produktregel

Die Produktregel ist eine wichtige Ableitungsregel für das Ableiten von Produktfunktionen. Sie ermöglicht die Berechnung der Ableitung des Produkts zweier Funktionen.

Definition: Für f(x) = u(x) · v(x) gilt: f'(x) = u(x) · v'(x) + u'(x) · v(x)

Vorgehen bei der Anwendung der Produktregel:

Teilfunktionen bestimmen
Teilfunktionen ableiten
Produktregel anwenden

Beispiel: f(x) = (5x² + 3x) · 4x u(x) = 5x² + 3x, v(x) = 4x u'(x) = 10x + 3, v'(x) = 4 f'(x) = (5x² + 3x) · 4 + (10x + 3) · 4x = 60x² + 24x

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