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Grundlegende Ableitungsregeln

Differentiationsregeln

Mathe2.073Aktualisiert 30. Okt. 20266 Seiten

Mathe Lernzettel für die Zentralklausur EF NRW

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Hier ist deine kompakte Zusammenfassung für die Zentralklausur in Mathe! Wir schauen uns die vier Hauptthemen an: Funktionen, Ableitungen, Funktionsuntersuchungen und Wahrscheinlichkeiten.
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Funktionen - Die Grundlagen

Potenzgesetze sind dein Handwerkszeug für alle Berechnungen. Bei gleicher Basis addierst du die Exponenten beim Multiplizieren und subtrahierst sie beim Dividieren. Beim Potenzieren von Potenzen multiplizierst du die Exponenten einfach miteinander.

Potenzfunktionen haben die Form fxx = a·x^n und gehen immer durch den Nullpunkt. Der Faktor a bestimmt, ob der Graph gestreckt oder gestaucht wird. Bei geraden Exponenten ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ganzrationale Funktionen verhalten sich für große x-Werte wie ihr höchster Term. Für x nahe 0 bestimmt der niedrigste Term das Verhalten. Das Finden von Nullstellen funktioniert über Ausklammern, Substitution oder die pq-Formel.

Exponentialfunktionen fxx = c·a^x beschreiben Wachstums- oder Abnahmeprozesse. Der Parameter c ist der Startwert, a bestimmt die Wachstumsrate. Sie haben nie eine Nullstelle!

Merktipp: Gerade Exponenten = achsensymmetrisch, ungerade Exponenten = punktsymmetrisch!

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Ableitungen verstehen und anwenden

Die mittlere Änderungsrate berechnest du mit dem Differenzenquotienten: Δy/Δx. Das ist die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten. Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert davon - also die Ableitung f'(x₀).

Die Ableitungsregeln sind super einfach: Bei der Potenzregel wird der Exponent nach vorne geholt und um 1 verringert. Die Faktorregel lässt Konstanten stehen, die Summenregel leitet jeden Term einzeln ab.

Eine Tangente ist die Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt. Ihre Steigung entspricht der Ableitung an dieser Stelle. Mit der Punkt-Steigungsform y = mx + b findest du schnell die Tangentengleichung.

Das Vorzeichen der Ableitung verrät dir alles: f'xx > 0 bedeutet der Graph steigt, f'xx < 0 bedeutet er fällt, f'xx = 0 bedeutet waagerechte Tangente.

Praxis-Tipp: Die Ableitung ist immer um einen Grad niedriger als die ursprüngliche Funktion!

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Funktionsuntersuchungen systematisch durchführen

Charakteristische Punkte wie Nullstellen, y-Achsenabschnitt und Extrempunkte beschreiben den Graphenverlauf vollständig. Den y-Achsenabschnitt findest du durch f(0), Nullstellen durch fxx = 0.

Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Mit dem Monotoniesatz prüfst du das über die Ableitung: f'xx > 0 → streng monoton steigend, f'xx < 0 → streng monoton fallend.

Extrempunkte findest du in zwei Schritten: Erst f'xx = 0 lösen (notwendige Bedingung), dann Vorzeichenwechsel der Ableitung prüfen (hinreichende Bedingung). Wechsel von + nach - = Hochpunkt, von - nach + = Tiefpunkt.

Die zweite Ableitung macht's noch einfacher: f''xx > 0 → Tiefpunkt, f''xx < 0 → Hochpunkt. Vergiss nicht, die y-Koordinaten durch Einsetzen in fxx zu berechnen!

Strategie: Immer systematisch vorgehen - erst notwendige, dann hinreichende Bedingung prüfen!

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Wahrscheinlichkeiten berechnen und verstehen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen zeigen, wie sich Ergebnisse verteilen. Der Erwartungswert μ = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... ist der theoretische Mittelwert bei unendlich vielen Versuchen.

Mehrstufige Zufallsexperimente löst du mit Baumdiagrammen. Die Pfadregel multipliziert Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, die Summenregel addiert sie für verschiedene Pfade desselben Ereignisses.

Vierfeldertafeln organisieren komplexe Wahrscheinlichkeitsprobleme übersichtlich. Bedingte Wahrscheinlichkeiten P_A(B) geben die Wahrscheinlichkeit für B an, wenn A bereits eingetreten ist: P_A(B) = P(A∩B)/P(A).

Stochastische Unabhängigkeit liegt vor, wenn P_E(F) = P(F) gilt, also wenn ein Ereignis das andere nicht beeinflusst. Dann ist auch P(E∩F) = P(E)·P(F).

Denkhilfe: Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten verändert sich die "Grundgesamtheit" - du betrachtest nur noch den Teil, wo die Bedingung erfüllt ist!

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