Wendepunkte und Extremwerte bei ganzrationalen Funktionen
Bei der Analyse ganzrationaler Funktionen ist das Verständnis von Wendepunkten und deren Steigung fundamental. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung f"(x) = 0 ist (notwendige Bedingung) und zusätzlich ein Vorzeichenwechsel stattfindet (hinreichende Bedingung).
Ein Wendepunkt mit maximaler Steigung tritt auf, wenn f"(x) von positiv nach negativ wechselt. Umgekehrt haben wir einen Wendepunkt mit minimaler Steigung, wenn f"(x) von negativ nach positiv wechselt.
Definition: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Krümmung einer Funktion ihr Vorzeichen wechselt. Die Steigung erreicht hier entweder ein Maximum oder Minimum.
Bei der Untersuchung von Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen müssen wir systematisch vorgehen. Zunächst wird die Nebenbedingung in die Extremalbedingung eingesetzt, wodurch wir die Zielfunktion erhalten. Diese wird dann auf Extremstellen untersucht.
Beispiel: Betrachten wir f(x) = 0,03x³ - 0,918x² + 9x - 25
Die erste Ableitung ist f'(x) = 0,09x² - 1,836x + 9
Die zweite Ableitung f"(x) = 0,18x - 1,836
Der Wendepunkt liegt bei x = 10,2