Abschlussprüfungen Mittlerer Schulabschluss (MSA)

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zwei Stellen nach rechts, hinter die Null. Das Komma geht um zwei Stellen nach rechts, hinter die Drei. 75 100 Bruch → Prozente Ist der Nenner eines Bruches 100, entspricht der Zähler der Prozentangabe. Ist dies nicht der Fall, lohnt es sich eher den Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln. = 75% 0,25 = Dezimalzahl → Bruch Das Komma wird um so viele Stellen nach rechts verschoben, dass es eine ganze Zahl ergibt. Dann wird die Zahl in einen Bruch geschrieben. Die Anzahl der Nullen im Nenner entspricht der Anzahl der verschobenen Stellen nach rechts. Eventuell muss der Bruch am Ende noch gekürzt werden. 25 1 100 4 Ⓒlouis.cld ALGEBRA Grundwert: G = W р Prozentwert: W = G. Prozentsatz: p% = % G Kapital: K = p% р 100 Vermehrter Grundwert: G+G p+% Zinsen: Verminderter Grundwert: G=Gp % Z = K. Р 100 Zinssatz: p= 릇 Jahreszinsen: Z=KP.i 100 Monatszinsen: р m 100 12 Z=K Tageszinsen: Z=K. р Prozentrechnung entspricht dem Ganzen 100 360 ist der Anteil des Ganzen gibt den Anteil in Prozent an Zinsrechnung Geldbetrag, den man der Bank überlässt i = Bruchteil eines Jahres Prozentangabe, wie viel Prozent des Kapitals als Zinsen bezahlt wird m = Anzahl der Monate MATHEMATIK p (Prozent in Dezimalzahl) t = Anzahl der Tage Ⓒlouis.cld ALGEBRA Lineare Gleichungssysteme x =2 in II. eingesetzt y = 4.2+15 y = 23 Gleichsetzungsverfahren: Additionsverfahren / Subtraktionsverfahren: Einsetzungsverfahren: Summand Minuend Faktor Dividend + : 1. y = 9x + 5 II. y = 4x + 15 y = y 9x + 5 = 4x + 15 5x + 5 = 15 5x = 10 X = 2 Faktor 1. x - 2y = 4 II. 3x + y = 5 I. x - 2y = 4 II.' 6x + 2y = 10 1. + II. 7x = 14 x = 2 Divisor 1. 2x + 4y = 8 II. x+y=6 1. 2x + 4y = 8 II.' x = 6-y 2. (6-y) + 4y = 8 12-2y + 4y = 8 12 + 2y = 8 Summand y in II.' eingesetzt: x = 6-y x = 6-(-2) x = 8 IL {8:-2} Subtrahend = Summe 2y = -4 y = -2 Differenz 1-4X 1-5 1:5 1.2 Produkt 1:7 1-y Quotient Grundrechenarten 1-12 1:2 IL = {2:23} Clouis.cld MATHEMATIK x = 2 in 1. eingesetzt 2-2y = 4 1-2 -2y = 2 1: (-2) y = -1 IL = {2;-1} x wird in I. eingesetzt es muss ausmultipliziert werden Term kann zusammengefasst werden Es muss nach y aufgelöst werden ALGEBRA Bruchrechnung b the the a + + 018 CIU d داد Ulo = + = Jahr ad cd bd bd ac bd ad bd Länge Kilometer 1 km Volumen Kubikmeter 1 m³ 12 a d с Liter (l) : 12 cd bd 23° bc ad+cb bd ad-cb bd Einheiten umwandeln Quadrat- dezimeter = 100 dm² Meter = 1000 m 4 Dezimeter Kubik- dezimeter = 1 000 dm³ 1 dm³ :4 1m = 10 dm 1 dm 1 dm³ = 1 l -7 a Monat Woche Tag : 7 Zenti- meter Basis = Kubik- zentimeter Exponent = 1 000 cm³ = 1000 ml 10 cm 1 cm 10 mm. 1 cm³= 1000 mm³ 1 cm³ .24 : 24 Milli- meter Kubik- millimeter = 1 ml Stunde 60 : 60 Fläche Quadrat- meter Masse Minute - 60 1 m² Tonne 1 t : 60 Ⓒlouis.cld Sekunde Potenzen MATHEMATIK Quadrat- zentimeter 1 dm² = Kilogramm = 1 000 kg 1 kg 100 cm² Gramm Quelle: Studyflix 1 cm² = 100 mm² 1 000 g Quadrat- millimeter Die Zahl im Exponenten gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. 23 = 2 2 2 = 8 Milligramm Quelle: Formelsammlung MSA 1 g = 1000 mg ALGEBRA MATHEMATIK Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen miteinander multipliziert. Allgemeine Formel zum Multiplizieren: an b = (a · b)" Sie werden dividiert, indem man die Basen miteinander dividiert. an Allgemeine Formel zum Dividieren: = bn Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Allgemeine Formel zum Multiplizieren: an am = an+m Sie werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. Allgemeine Formel zum Dividieren: an am = an-m R E L n Ist die Basis negativ und der Exponent gerade ist das Ergebnis positiv. Ist die Basis negativ und der Exponent ungerade ist das Ergebnis negativ. Ausnahme: Steht das Minus nicht in der Klammer, ist das Ergebnis immer negativ. Potenzen mit negativem Exponenten kann man als Bruch darstellen. Dazu steht im Zähler immer 1 und im Nenner die Potenz jedoch mit positiven Exponenten. Potenzen mit der Basis 1 ergeben immer 1. Potenzen mit der Basis 0 ergeben immer 1. Potenzen mit dem Exponenten 1 ergeben immer die Basis. Riesige und winzige Zahlen kann man durch Zehnerpotenzen darstellen. Bei großen Zahlen rutscht das Komma eine Stelle mehr nach links und die Zahl im Exponenten steigt um 1. Bei kleinen Zahlen rutscht das Komma eine Stelle mehr nach rechts und die Zahl im Exponenten sinkt um 1. Potenzen können potenziert werden, indem man die beiden Exponenten miteinander multipliziert. Allgemeine Formel: (a) = an.m Bsp: √9= 3, denn 3² = 9 Quadratwurzeln Wurzelziehen ist die Umkehroption des Potenzierens. √81 = 9, denn 9² = 81 Ⓒlouis.cld Wurzel √x Radikand ALGEBRA Wurzelgesetzte Wurzeln multiplizieren: √a· √b = √ab Wurzeln dividieren: = Wurzeln addieren: avc+b√c = (a + b) √c Wurzeln subtrahieren: a√c-√c = (a - b)√c Teilweise Wurzelziehen: √a²b √a². √b Bsp: √√9 √10 = √9.10 = √90 Binomische Formeln Bsp: 1. Binomische Formeln: 2. Binomische Formeln: 3. Binomische Formeln: = |80|N = √4 = 2 Bsp: 3√3+2√3 = (3+2)√5 = 5√5 Bsp: 6√3-2√3 (6-2)√5 = 4√5 Bsp: √243 = = In manchen Fällen kann man nicht die Quadratwurzel ziehen. x⁹ = 512 √√x - √512 x = 2 √81 3√81 √√3=9 √3 Terme und Gleichungen (a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a + b) = a² - b² MATHEMATIK Ⓒlouis.cld ANALYSIS Proportionale Zuordnungen Eine proportionale Zuordnung ist, wenn etwas gleichmäßig zunimmt. Sie kann durch eine Wertetabelle beschrieben werden: Zeit in h Weg in km 7 Weg in km. 6 Sie kann durch ein Schaubild beschrieben werden: 5 20 30 40 50 60 Zuordnungen 70 1 20 Anzahl der Personen Gewinn pro Person in Euro 80 90 100 110 2 40 Zeit in h 120 Sie kann durch eine Rechenvorschrift beschrieben werden: Weg 20 Anzahl der Stunden Zunahme Antiproportionale Zuordnungen Eine proportionale Zuordnung ist, wenn etwas abnimmt. Sie kann durch eine Wertetabelle beschrieben werden: 3 150 6 120 Sie kann durch ein Schaubild beschrieben werden: Mist ich brauche nh bild 3 60 Ⓒlouis.cld 9 90 A 80 MATHEMAΤΙΚ 12 60 5 100 15 30 ANALYSIS f(x) = mx + b Steigung -7 -6 -5 3 nach oben Lineare Funktionen c<1 → C=0 → J4 C> 1 → Schnittpunkt an der y-Achse Beispiel: -3 3 4 nach links 2 1 -1 0 Die Steigung m ist oft als Bruch angegeben. Der Zähler gibt an, um wie viele Stellen man vom Punkt b nach oben gehen muss. Der Nenner gibt an, um wie viele Stellen man nach rechts gehen muss. Die Verschiebung der Gerade an der y-Achse wird mit b beschrieben. Steht kein b gilt b = O. 3 f(x) = -x-2 1 2 3 Beispiel: F 3 nach oben 4 nach rechts 7 6 Parabel hat zwei Nullstellen Parabel hat eine Nullstelle Parabel hat keine Nullstelle 5 Ⓒlouis.cld -4 -3 MATHEMATIK 0 1 2 3 4 5 6 Quadratische Funktionen Die einfachste quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung f(x) = x². Ihr Scheitelpunkt ist S(010). Ihr Graph heißt Normalparabel. Sie wird mit einer Parabel- Schablone gezeichnet. Durch c verschiebt sich der Graph, auch Parabel genannt, auf der y-Achse. Ist c positiv nach oben, ist c negativ nach unten. Ihr Scheitelpunkt ist S(0 I c). Man kann mit c also nun die Anzahl der Nullstellen bestimmen. 7 8 9 3 f(x) = -x + 2 Ist die Steigung m negativ, gibt der Zähler an, wie viele Stellen man vom Punkt b nach oben und der Nenner wie viele Stellen man nach links gehen muss. ANALYSIS Durch a verändert sich das Aussehen der Parabel: Parabel nach oben geöffnet Parabel nach unten geöffnet a>0 a<0 -1 < a <0 0<a<1 a < -1 gestreckt (schmaler) gestreckt (schmaler) Scheitelpunktform und Normalform Die Normalform f(x) = x² + px + q lässt dich durch die quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform f(x) = a (x + d)² + e umwandeln. Dazu wird der Faktor p mit 2 dividiert und anschließend quadriert. a> 1 → gestaucht (breiter) gestaucht (breiter) Beispiel: f(x) = x² - 6x + 2 = x² - 6x + (1²-1² 2+2 = x² - 6x + 9-9+2 = (x-3)²-7 MATHEMATIK Man addiert die quadratische Ergänzung und zieht sie anschließend sofort wieder ab. Es entsteht ein Biom, welches zusammengefasst werden soll. Die übrigen Zahlen werden zusammengerechnet und hinter das Binom angehängt. Um die Scheitelpunktform in die Normalform zu bringen, wird zunächst das Biom ausgerechnet. Falls vorhanden, mit dem Faktor a ausmultipliziert und dem Faktor e addiert bzw. subtrahiert. Beispiel: f(x) = 2(x - 2)2 +2 = 2 (x² - 4x + 4) + 2 = 2x28x + 8+2 = 2x28x + 10 Clouis.cld ANALYSIS Nullstellen berechnen durch Quadratische Ergänzung: Man setzt zunächst die Funktion gleich Null. f(x)=x²-25 0=x²-25 Anschließend löst man den Term zu x auf. Im Beispiel müssen wir die 25 addieren. 0=x²-25 1 + 25 Nun muss als letzter Schritt um den Term aufzulösen noch die Wurzel gezogen werden. Hierbei ist es so, dass im Normalfall zwei Ergebnisse herauskommen. 25 = x² IV V -√25 = x₁ √25 = x₁ Es gibt nur eine Nullstelle, wenn x₁ und X2 gleichwertig sind. Keine Nullstellen gibt es, wenn die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll, negativ ist, da man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen kann. durch pq-Formel: Man formt die Funktionsgleichung zunächst so um, dass vor dem x² kein Vorfaktor steht. Es muss also die Form f(x) = x² + px + q vorliegen. Anschließend können p und q der Funktion entnommen werden. f(x) = 2x2 26x + 8 1:(-2) f(x) = x² + 13x - 4 → p = 13 Nun können wir p und q in die pq-Formel einsetzen. x1 = -22- MATHEMATIK 2 √(²) ² - a - (-4) q=-4 x₂ = Ⓒlouis.cld 2 - ² + √√√(²) ²³² - a x₁ = - ²/³ - √(²³) ²³ - X₁ -13,3 Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen. Die Parabel hat also 2 Nullstellen. x₂ = − 12³ + √√(¹-3)² – (-4) - V X₂≈ 0,3 ANALYSIS Wachstumsprozesse Das Wachstum wird in absolutes und durchschnittliches Wachstum unterteilt. Absolutes Wachstum: d = Endgröße - Anfangsgröße Durchschnittliches Wachstum: d = Endgröße-Anfangsgröße Anzahl der Zeitabschnitte Die Wachstumsrate (p%) gibt an, um wie viel Prozent der Wert ab- oder zunimmt. p% = Der Wachstumsfaktor (a) gibt an, um welchen Faktor der Wert ab- oder zunimmt. Wenn der Wert p negativ ist, gilt: q < 1 Endgröße-Anfangsgröße Anfangsgröße q=1+ P 100 n = MATHEMATIK Exponentielles Wachstum Das Exponentielle Wachstum beschreibt einen Wachstumsprozess, bei dem der Wert immer um einen bestimmen Faktor ab- oder zunimmt. Die allgemeine Formel lautet: Wn = Wo qn Hierbei ist Wo der Startwert, q der Wachstumsfaktor, n der Zeitfaktor und W₁ der Wert nach einer Zeit. Der Zeitfaktor (n) kann mit folgender Formel berechnet werden: (Kn Καλ In q Hierbei ist In ein Logarithmus, der als Taste auf dem Taschenrechner zu finden ist. Die Funktionsgleichung für eine Exponentialfunktion lautet: f(n) = c.an Hierbei ist f(n) nichts anderes als W₁, c nichts anderes als Wo und a nichts anderes als der Faktor q. Lineares Wachstum Das Lineare Wachstum beschreibt einen Wachstumsprozess, bei dem der Wert immer um einen festen Wert ab- oder zunimmt. Die allgemeine Formel für Lineares Wachstum lautet: Wn Wo+nd Hierbei ist d nichts anderes als der Faktor q. Ⓒlouis.cld GEOMETRIE Senkrecht Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn sie sich in einem 90°-Winkel schneiden. Wenn die Geraden g und h zueinander senkrecht sind, wird dies wie folgt ausgedrückt: g 1 h Parallel Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie einen immer gleichbleibenden Abstand zueinander haben. Wenn die Geraden g und h zueinander parallel sind, wird dies wie folgt ausgedrückt: g || h Quadrat D Formeln: Umfang: Flächeninhalt: D a Rechteck A a a a a Flächen Eigenschaften: alle Seiten sind parallel zueinander alle Seiten sind gleich lang 4 rechte Winkel 4 Seiten u = 4a A = a · a = a² MATHEMATIK B b Eigenschaften: Seite a und a sind parallel zueinander Seite b und b sind parallel zueinander 4 rechte Winkel 4 Seiten Ⓒlouis.cld GEOMETRIE Formeln: Umfang: Flächeninhalt: Dreieck Einteilung nach Größe der Winkel: Sind alle Winkel kleiner als 90°, ist das Dreieck spitzwinklig. 1) 2) 3) 1) 2) 3) Ist einer der Winkel 90° groß, ist das Dreieck rechtwinklig. Ist einer der Winkel größer als 90°, ist das Dreieck stumpfwinklig. Sind nur zwei Seiten gleich lang, ist es gleichschenklig. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang, ist es gleichseitig. A Sie können auch nach der Länge ihrer Seiten eingeteilt werden: Sind alle Seiten des Dreiecks 1) 2) unterschiedlich lang, ist es allgemein. b a u = 2 (a + b) A = a. b ha h hb C A b B 1) 85° Formeln: Umfang: Flächeninhalt: Formeln: Umfang: Flächeninhalt: 45° 50° 2) 3) Die Höhe h geht von der jeweiligen Seite aus. Im Beispiel geht die höhe ho von der Seite c aus. Parallelogramm Ⓒlouis.cld u= a + b + c a ha A = = u = 2a + 2b A = a · ha 3) MATHEMATIK oder b.hb 2 oder oder che b. hp GEOMETRIE Trapez Kreis clurchmesser (a) Kreissektor b Kreisring 12 с TI m Mittelpunkt (M) ... ܝ ܝ ܝ ܫ ܫ ܫ ܚ ܫ ܫ ܝ ܘ ܘ ܪ ܓ radius b Formeln: Formeln: Flächeninhalt: Formeln: Formeln: Umfang: Umfang: Kreisbogen: Flächeninhalt: Flächeninhalt: Flächeninhalt: A = π ². α 360° u= π d oder 2лr A 1 = ² oder ² b=2πr. α 360° Ⓒlouis.cld MATHEMATIK u= a +b+c+d A = m. h oder A = A₁ - A₂ = π · 1₁² - π· 1₂² a + c 2 .h GEOMETRIE Quader a Quadratische Pyramide Zylinder d h B S h Körper Formeln: C Umfang: Grundfläche: Formeln: Umfang: Mantelfläche: Oberfläche: Volumen: Formeln: Umfang: Grundfläche: Mantelfläche: Oberfläche: Volumen: Volumen: u = 2Пr Durchmesser: d = 2r Grundfläche: G = πr2 Mantelfläche: M = 2πrh Oberfläche: u = 4a G = a² M = 2ahs 0 a² + 2ah =a²h V = u = 2 (a + b) G = ab Clouis.cld M = 2ac + 2bc 0 = 2ab + 2ac + 2bc V = abc 0 = 2πr2 + 2mrh V = mr2h MATHEMATIK GEOMETRIE Kugel Kegel 20 19 16 15 14 13 12 11 10 9 3 2 1 0 Beispiel: X=(3, 3) h r S Radius Durchmesser Formeln: Umfang: B=(13, 8) X Durchmesser: Oberfläche: Volumen: Formeln: Grundfläche: Oberfläche: Volumen: C=(21, 14) X V = u = 2πr d = 2r 0 = 4mr2 V = G = πr² 0 = πr2 + πrs πr²h 3 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Koordinatensysteme 4πr³ 3 Ⓒlouis.cld MATHEMATIK Ein Koordinatensystem besteht aus einer x- Achse (waagerecht) und y-Achse (senkrecht). Punkte können eingetragen werden. Die erste Zahl der Koordinate wird an der x- Achse und die zweite an der y-Achse eingetragen. A (x/y) GEOMETRIE Scheitelwinkel sind gleich groß. Es gilt also a = α“ Winkelsätze Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß. b² Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus drei Seiten und einem rechten Winkel. Die beiden Katheten (K₁ und K₂) bilden gemeinsam den rechten Winkel (90°). Die Hypotenuse ist die dabei entstandene Seite (H). 92 MATHEMATIK Beispiel: a² = 80m² q² + b² = c² 80m² + 70m² = c² 150m² = c² Scheitelwinkel Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° und im Viereck 360°. Ⓒlouis.cld Stufenwinkel Satz des Pythagoras b² = 70m² XXX Nebenwinkel Wechselwinkel Kathete (K₁) Grundsätzlich besagt der Satz des Pythagoras, dass das Quadrat der Seite a addiert mit dem Quadrat der Seite b das Quadrat der Seite c ergibt. a²+ b² = c² Hypotenuse (H) Kathete (K₂) C² = ? GEOMETRIE Oft ist es jedoch einfacher, sich folgende Formel zu merken: (K₁)² + (K₂)² = (H)² Kathete, zum Quadrat + Kathete2 zum Quadrat = Hypotenuse zum Quadrat (K₁)2 + (K₂)2 = (H)² (8cm)2 + (5cm)² = x² 89cm² =x² 89cm² = x² √ 9,43cm Bsp: 5 cm+ X 8 cm = X MATHEMATIK 1. Potenz ausrechnen 2. ausrechnen 3. Wurzeln ziehen Dreieckskonstruktionen SSS - Seite, Seite, Seite 1. Seite c wird gezeichnet. Die Strecke AB entsteht. 2. Um Punkt A wird ein Kreisbogen mit dem Radius b gezeichnet. 3. Um Punkt B wird ein Kreisbogen mit dem Radius a gezeichnet. 4. Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist der Punkt C. WSW-Winkel, Seite, Winkel 1. Seite c wird gezeichnet. Die Strecke AB entsteht. 2. An Punkt A wird der Winkel a angetragen. 3. An Punkt B wird der Winkel ß angetragen. 4. Im Schnittpunkt der beiden freien Schenkel der Winkel a und ß liegt der Punkt C. SWS-Seite, Winkel, Seite 1. Seite c wird gezeichnet. Die Strecke AB entsteht. 2. An Punkt A wird der Winkel a angetragen. 3. Um Punkt A wird ein Kreisbogen mit dem Radius b gezeichnet. 4. Schnittpunkt des Kreisbogens und des freien Schenkels des Winkels a ist der Punkt C. 5. Punkt B und C werden verbunden. Clouis.cld SSW - Seite, Seite, Winkel 1. Seite c wird gezeichnet. Die Strecke AB entsteht. 2. An Punkt B wird der Winkel ß angetragen. 3. Um Punkt A wird ein Kreisbogen mit dem Radius b gezeichnet. 4. Schnittpunkt des Kreisbogens und des freien Schenkels des Winkels ß ist der Punkt C. 5. Punkt B und C werden verbunden. GEOMETRIE Ähnlichkeit Vergrößern und Verkleinern Figuren werden mit dem Faktor k vergrößert oder verkleinert. Hierbei werden alle Seiten mit dem Faktor k multipliziert. Die Figur wird verkleinert, wenn folgendes gilt: k > 1 Die Figur wird vergrößert, wenn folgendes gilt: k < 1 Geht dabei eine Strecke AB in die Strecke A'B' über, so ist k = A'B' AB 2. Strahlensatz 1. Strahlensatz SBI SAI SB SA S B g gllg' A¹B¹ AB S Ⓒlouis.cld || = SAI SA und MATHEMATIK A'BI SBI AB SB B = g g' B' gllg' Merke: Die Strahlensätze gelten auch, wenn S zwischen den beiden Parallelen liegt. STOCHASTIK Absolute Häufigkeit Sie gibt den Wert als ganze Zahl an. Säulendiagramm um Werte darzustellen Streifendiagramm ➜um Anteile darzustellen 25% Kreisdiagramm Häufigkeiten ➜um Anteile darzustellen Diagramme 45% 100% 360° 10% 36° 1% 3,6° Relative Häufigkeit Sie gibt den Anteil an. Balkendiagramm um Werte darzustellen = Daten MATHEMATIK 30% Ⓒlouis.cld Rangliste Die nach der Größe geordneten Daten der Urliste. Es geht von klein nach groß. Die höchste Date wird mit n beschrieben. STOCHASTIK Unteres Quartil Oberes Quartil Zentralwert Quartilabstand Minimum Der kleinste Wert der Rangliste. Spannweite 0 Min 2 Ist das Ergebnis nicht ganzzahlig, so nimmt man den Wert des nächst höheren Rangplatzes als Quartil bzw. Zentralwert. Antenne Ist das Ergebnis ganzzahlig, so nimmt man den Mittelwert aus den Werten dieses und des nächst höheren Rangplatzes als Quartil bzw. Zentralwert. qu 6 Z qu = 8 qo= Box 10 Z = Die Werte lassen sich gemeinsam in einem Boxplot-Diagramm darstellen: Boxplot: 90 12 n-4 3.n 4 n 2 14 9 = 9o - qu Spannweite = maximum - minimum Antenne 16 Max Maximum Der größte Wert der Rangliste. 18 MATHEMATIK Clouis.cld 20 Skala Wahrscheinlichkeiten P(E)=P(E₁ oder E₂) = P(E₁) + P(E₂) Um das Gegenereignis zu berechnen, wird 1 - P(E) gerechnet. Zusammengesetzte Ereignisse Summenregel: Zwei Ereignisse E₁ und E2 können zu einem neuen Ereignis E zusammengefasst werden. Haben zwei Ereignisse E₁ und E₂ kein Ereignis gemeinsam, so gilt: STOCHASTIK Zweistufige Zufallsversuche Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleicht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades. P(Ereignis) = P(Ereignis 1. Stufe). P(Ereignis 2. Stufe) Summenregel: Mehrere Ergebnisse bilden ein Ereignis. Für diese Wahrscheinlichkeit addiert man die Pfadwahrscheinlichkeiten der Ereignisse. Zufallsversuche werden in einem Baumdiagramm dargestellt: Stufe mögliche Ergebnisse 1. Stufe 1. Wurf W N Produktregel -|N |N| 2. Wurf W Z W 1/ Z (W, W) 1. Pfad (W, Z) (Z, W) (Z, Z) 2. Pfad 3. Pfad 4. Pfad MATHEMATIK Summenregel Ⓒlouis.cld