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x-Achse bei x. (Vorzeichenwechsel) → gerader Exponent = Graph berührt x-Achse bei x (kein Vorzeichenwechsel) 2 z.B.: f(x) = (x+1). x3. (x-1)². 1,5x vierfache Nullstelle ↳Graph berührt x-Achse Abwandlung von Funktionen in y-Richtung in x-Richtung dreifache Nullstelle L>Graph schneidet x-Achse (VZW) g(x) = f(x) +d doppelte Nullstelle Graph berührt x-Achse z. B.. z.B. Funktionsscharen g(x) = f(x+c) Verschiebung f(x) -3 g(x) = (x+3) ² g(x)=x²+2 f(x) = x² g(x)=x²-2 d>0→→ Verschiebung ↑ d<0 → Verschiebung ↓ Ableitung: z.B.: fa(x) = x²-a fa'(x) = 2x Funktionsterm mit 2 Variablen c>0 → Verschiebung ← c<0 → Verschiebung f(x) einfache Nullstelle Graph schneidet x-Achse (VZW) f(x)=x² " g(x)=(x-4)² z.B. fa(x)=x²-a. ·Parameter a wie eine Zahl behandeln" Streckung/Stauchung g(x)= a. f(x) a 1 → Streckung (länger) 0<a</→ Stauchung (flacher). z. B. Die maximal mögliche Anzahl der Nullstellen ist durch den Grad der Funktion gegeben Z.B.: 2x²+ 3x → max. 2 NST GTR: Calculate → zero g(x)=0,5x²x² z.B. negatives Vorzeichen → Spiegelung an x-Achse N.Brunsmann Jy f(x)=x²-2x² -f(x) gleiche NST g(x) = f(b·x) b>1 → Stauchung (enger) Ocb</strong (breiter) } negatives Vorzeichen → Spiegelung an y-Achse g(x) = (0,5x)³-2 (0,5x)². g(x)=2x³-4x² g(x) = (2x) ³-2-(2x)². unterschied- liche NST / f(x)=x³=2x² La Exponentialfunktionen f(x) = c·a* (a>0, à‡1) ↑ Anfangswert (01) a>1 → exponentielle Zunahme (z.B. f(x) = 2×) 0<a<1 → exponentielle Abnahme (z. B. f(x) = 0,5*) ! keine NST Berechnung: log (ax) = x-log(a) natürliche Exponentialfunktion (Exponential funktion zur Basis e) f(x) = ex Eulersche Zahl: e²x 2,72 L>Variable nicht in der Basis, Sondern im Exponenten 3 stimmt exakt mit Ableitung überein: • f'(x) = e* f(x)=e* F(x)=e* Grenzwertverhalten ·lim e* = 0+ (Werte nahe O und positiv) X→-80 → oberhalb der x-Achse → heine NST! : Wertemenge alle positiven reellen Zahlen Definitionsmenge: : alle reellen Zahlen lim X→ +00 streng monoton steigend Umgekehrte e-Funktion: In-Funktion (umgekehrte Eigenschaften) (natürliche Logarithmusfunktion) y = ex -2 −1 0,5x K (0|1) Y₁ 5 4 y-Achsenabschnitt: P(011) →→Laut Potenzgesetz gilt nämlich eᵒ=1 3 2 1 0 | fix) Natürlicher Logarithmus e* =bx=ln (b) z. B.: ex = 6 | In 1 x=In(6)=1,8 N.Brunsmann (1|e) 2 X Ⓒ Ableitung → Steigung der Tangente am Graphen einer Funktion in jedem möglichen Punkt Anderungsrate mittlere Anderungsrate Beschreibung Graph (Bsp.) Formel Ableitungsregeln Regel Potenzregel Summenregel Faktorregel Kettenregel Steigung der Selante durch die Punkte P(xol f(x)) + Q(xo+hl f(xo+h)) · f(xoth). f(xo) Differenzenquotient 1 f(x) f(xo+h)-f(x₂) bzw. f(x)-f(x₂) h x - xo Ausgangsfunktion f(x)= xn f(x) = g(x)+h(x) f(x)= r. g(x) f(x) = u(v(x)) Produktregel f(x) = g(x).h(x) e-Funktionen ableiten (Tipp): f(x)= ex²-1 f'(x) = 2x-e+² -1 GTR: Calculate → dy/dx. Both Ableitungsfunktion f'(x)=n.xn-^ f'(x) = g'(x) + h'(x) f'(x) = r. g'(x) f'(x) = u' (v(x)). v'(x) Exponenten ableiten + mit multiplizieren momentane Änderungsrate Steigung der Tangente im Punkt P ( xolf(x)) Ableitung der Funktion an der Stelle xo (f(x). L f(x) f'(x) = Differenzialquotient f'(x) = lim h→0 Tangente f(xo+h)-f(x₂) h lim f(x)=f(x₂) x-хо x-xo Beispiel f(x)=x4 → f'(x) = 4x³ f(x)= x4+x³ f'(x) = 4x³+ 3x² f(x)= 3x4 f'(x) = 3.4x³ =12x³ f(x) = (5-3x)" → innere Funktion bzw. v(x)=5-3x V'(x) = -3 f'(x) = -3-4v³ =-12-(5-3x)³ f'(x) = g'(x)-h(x) + g(x). h'(x) |f(x) = (2x-3)∙c* → g(x) = 2x-3 × g'(x) = 2 f'(x) =((2x-3).ex) + (2.ex) =e* (2x-3+2) - e*. (2x-1) ausklammern Produkt- + Kettenregel kombiniert · z.B.: f(x) = (2x+3) · e ²* → · g(x)=2x+3 ·g'(x) = 2 f'(x)= (2x+3). 2e²x+ 2.e²x = 2e²x. (2x+3) äußere Funktion u(u) = √ 4 u(v) = 4√3 N.Brunsmann h(x) = ex h'(x) = ex ·h(x) = ²x Xh'(x) = 2. e²x Zeichnen einer Ableitungsfunktion 3 In welchen Bereichen steigt / fällt der Graph? ↳ Steigung: f'(x) oberhalb der x-Achse ↳ Abnahme: f'(x) unterhalb der x-Achse An welchen Stellen hat der Graph von f(x) die Steigung 0? ↳ keine Steigung, wenn Tangente parallel zur x-Achse = f'(x) = Nullstelle 3 An welchen Stellen hat der Graph von f(x) einen Wendepunkt? ↳ Stärkste Steigung ⇒ f'(x) = Extrempunkt (HP/TP) Tangentengleichung Tangente: y=mx+b Steigung y-Achsenabschnitt f(x) Tangente Beispiel f(x) = 0,5x²; P(418)→ Ⓒ (f(x) f(x) Ⓒ Steigung am Punkt bestimmen ↳ f'(x). f'(x) = x f'(4) = 4 →m=4 NST 4 WP Gleichung aufstellen (m und b lassen) ⇒y=mx+b TP. y = mx +b 8=4.4+b 1 -16 -8=b ⇒y=mx+b Koordinaten des Punktes einsetzen, um b herauszufinden y=mx+b NST. N.Brunsmann 3 y= 4x-8 X