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Funktionen Definitionsmenge (ID): Menge aller x-Werte Wertemenge (W): Menge aller y-Werte Quadratische Funktionen (Parabeln) Normalform f(x) = ax²+bx+c →y-Abschnitt (olc) ausmultiplizieren quadratische Ergänzung Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)² +e. → Scheitelpunkt (dle). Z.B.: Symmetrie Exponenten Beispiel Graph (Bsp.) Beweis Symmetrieeigenschaften Grenzwertverhalten Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ·Exponent D= R alle reellen Zahlen". " Koeffizient Grad K |f(x) = an x" + an-² X +... a₁ x + ao z.B.: 3x³-9x² +120 ganzrationale Funktion dritten Grades" achsensymmetrisch gerade 2x4+x² W = R1, alle positiven reellen -p-9-Formel (x₁,2 =- £ +7 (7³²-9¹) ausmultiplizieren Faktorisierte Form f(x) = a (x-r)⋅ (x-s) → Nullstellen (rlo); (slo) f(x) ANALYSIS Zahlen größer oder gleich 1" punktsymmetrisch ungerade x³+x. fon V. J f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) "Blitz-Form" Verhalten für X1±8 abhängig vom.. koeffizienten mit höchstem Grad (= Exponenten) + Vorzeichen lim (-3x4-2x): x4±00 Beispiel: verhält sich für x→±00 wie g(x) = -3x4 f(x)=-3x4-2x+1 →gerader Exponent, negatives Vorzeichen, daher: = -8 Z.R: unsymmetrisch gerade + ungerade 4x4 + 2x³+x f(x) f(-x) = f(x) * -f(x) Für x gegen plus minus unendlich strebt f(x) gegen minus unendlich" Lineare Funktionen f(x) = mx + b ↑ Steigung y-Achsen- Abschnitt f(x) Funktion 2. Grades Vorzeichen: X Z.B.¹ f(x) f ! lineare + quadratische Funktionen sind auch ganzrationale Funktionen. ↳ Funktion 1. Grades öffnung nach Streckung (enger): a<-1/a> 1 2.B.: 2x2 z.B.: x4+x² f(-x) = (-x) " + (-x) ² N.Brunsmann Stauchung (weiter): -1<a<1. z. B. : 0,5x² = x² + x² = f(x)→achsensymmetrisch oben unten • (-*) (-x) (-x) -~*) * - *) (*) ·X x nahe O koeffizienten mit niedrigstem Grad (= Exponenten), Vorzeichen + y-Achsen-Abschnitt überall, wo ein,x' ist, ein,-' davor' Es kommt die Funktion heraus, wenn man-x' einsetzt" verhält sich für x nahe 0 ähnlich wie der Graph der Funktion 9 mit g(x)= -2x+1, daher: ↑f(1) Mehrfache Nullstellen →Der Grad des Linearfaktors (Faltorisierte Form) gibt die Mehrfachheit...

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der Nullstelle an → ungerader. Exponent = Graph schneidet x-Achse bei x. (Vorzeichenwechsel) • gerader Exponent = Graph berührt x-Achse bei x (kein Vorzeichenwechsel) @ z. B.: f(x) = (x+1)". x3. (x-1)²1,5x ↓ vierfache Nullstelle ↳ Graph berührt x-Achse Abwandlung von Funktionen in y-Richtung in x-Richtung. dreifache Nullstelle ↳Graph schneidet x-Achse (VZW) g(x) = f(x) +d doppelte Nullstelle ↳ Graph berührt x-Achse z. B. z.B. Funktionsscharen g(x) = f(x+c) Verschiebung f(x) g(x) = (x+3) ² g(x)=x²+2 /f(x) = x² d>0 → Verschiebung ↑ d<0 → Verschiebung ↓ g(x)=x²-2 Ableitung z. B.: fa(x) = x²-a fa'(x) = 2x → Funktionsterm mit 2 Variablen c>0 → Verschiebung ← c<0 → Verschiebung → f(x) einfache Nullstelle Graph schneidet x-Achse (VZW) f(x)=x² "1 g(x)=(x-4)² z.B. fa (x)=x²-a Streckung/Stauchung g(x)= a. f(x) a 1 → Streckung (länger) z. B. Parameter a wie eine Zahl behandeln" g(x)=0,5x³x² Die maximal mögliche Anzahl der Nullstellen ist durch den Grad der Funktion gegeben Z.B.: 2x² + 3x max. 2 NST GTR Calculate → zero z.B. 0<a</→ Stauchung (flacher). negatives Vorzeichen → Spiegelung an x-Achse f(x) Smal f(x)=x²-2x²/ g(x) = f(b.x) b>1 → Stauchung (enger) N.Brunsmann -f(x) g(x)=(0,5x)³-2 (0,5x)². gleiche NST g(x)=2x³-4x2 unterschied- 0<b<1→ Streckung (breiter) liche NST negatives Vorzeichen → Spiegelung an y-Achse / f(x)=x²- 2x² g(x)= (2x) ³-2-(2x)² Exponentialfunktionen [f(x) = c.a* (a>0, à* 1) Anfangswert (01) a>→ exponentielle Zunahme (z. B. f(x) = 2*) 0<a<1 → exponentielle Abnahme (z. B. f(x) = 0,5*) ! keine NST Berechnung: log (a) = x.log(a) natürliche Exponential funktion (Exponential funlition zur Basis e) @ f(x)=ex 7 Eulersche Zahl: e²x 2,72 ↳Variable nicht in der Basis, Sondern im Exponenten stimmt exalt mit Ableitung überein: •f'(x) = ex f(x)=e* F(x)=ex Grenzwertverhalten Tim X➜-80 ex=0* (Werte nahe 0 und positiv) → oberhalb der x-Achse → heine NST! → Wertemenge: alle positiven reellen Zahlen → Definitionsmenge alle reellen Zahlen lim ex = +∞0 X+00 → streng monoton steigend Umgekehrte e-Funktion: In-Funktion (umgekehrte Eigenschaften) (natürliche Logarithmusfunktion) y = ex 0,5* I -2 -1 Natürlicher Logarithmus ·ex=b ⇒ x = ln (b) z. B.: e* = 6 | In x = ln (6) = 1,8 y 5 4 X 3 (1le) 2 (0/1) 1 0 1 N.Brunsmann y-Achsenabschnitt. P(011) →Laut Potenzgesetz gilt nämlich eᵒ=1 2 Ⓒ Ableitung → Steigung der Tangente am Graphen einer Funktion in jedem möglichen Punkt Änderungsrate mittlere Änderungsrate Beschreibung Graph (Bsp.) Formel Differenzenquotient Steigung der Selante durch die Punkte P(xol f(x))+ Q(xo+h/ f(xo+h)) f(x) Af(x). f(xoth) 1 14 f(x) f(xo) Ableitungsregeln Regel Potenzregel Ausgangsfunktion f(x)= x^ f(x) = g(x)+h(x) Summenregel Faktorregel f(x)= r. g(x) Kettenregel f(x) = u(v(x)) Produktregel f(x) = g(x).h(x) f(xo+h)-f(x₂) bzw. f(x)-f(x₂) h x xo e-Funktionen ableiten (Tipp). f(x)=x²-1 f'(x)=2x-et²-1 GTR: Calculate → dy/dx Sehante Toth Exponenten ableilen + mit e multiplizieren Ableitungsfunktion f'(x)=n.xn-₁ f'(x) = g'(x) + h'(x) f'(x) = r. g'(x) f'(x) = u' (v(x)). v'(x) Differenzialquotient momentane Änderungsrate Steigung der Tangente im Punkt P (xolf(x)). Ableitung der Funktion an der Stelle xo f'(x) = h→0 ·lim f(xo+h)-f(x₂) h Tangente lim f'(x) = x→ xo f(x)-f(x₂) x-xo Beispiel f(x)=x4 f'(x) = 4x3 f(x)=x4+x³ f'(x) = 4x³ + 3x² f(x)= 3x4 → f'(x) = 3.4x³ =12x³ f(x)=(5-3x)" →innere Funktion v(x) = 5-3x v'(x) = -3 f'(x) = -3.4v³ = -12- (5-3x)³ f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x). h'(x) f(x) = (2x-3).e*→ g(x)= 2x-3 · ³X₁ g'(x) = 2 f'(x) =((2x-3).e*) + (2.ex) =e* (2x-3+2)=e*. (2x-1) ausklammern bzw. Produkt- + Kettenregel kombiniert ·z.B.: f(x) = (2x+3) e²x → · g(x)=2x+3 g'(x) = 2 f'(x)= (2x+3) 2e2x+ 2e²x = 2e²x. (2x+3) ³Xn äußere Funktion u(u) = v4 u(v) = 4√3 N.Brunsmann ·h(x) = ex h'(x) = ex h(x) = ²x h'(x) = 2.e²x Zeichnen einer Ableitungsfunktion In welchen Bereichen steigt / fällt der Graph? ↳ Steigung: f'(x) oberhalb der x-Achse ↳Abnahme: f'(x) unterhalb der x-Achse 3 2 An welchen Stellen hat der Graph von f(x) die Steigung 0? ↳keine Steigung, wenn Tangente parallel zur x-Achse f'(x) = Nullstelle An welchen Stellen hat der Graph von f(x) einen Wendepunkt? ↳ Stärkste Steigung = f'(x) = Extrempunkt (HP/TP) Tangentengleichung Beispiel Tangente: y=mx+b Steigung y-Achsenabschnitt (f(x) Tangente f(x) = 0,5x²; P(418) → 1 Steigung am Punkt bestimmen ↳ f'(xo). f(x) Ⓒ f'(x) = x f'(4) = 4 →m=4 NST (3) Gleichung aufstellen (m und b lassen). ⇒y=mx+b (2 ⇒y=mx+b 2 Koordinaten des Punktes einsetzen, um b herauszufinden ⇒y=mx+b -8=b y=mx+b 8=4.4+b|-16 NST. N.Brunsmann 3 y= 4x-8 Kurvendiskussion Monotonie → Steigungsverhalten einer Funktion Extremwerte →x-Werte, an denen der Graph einer Funktion die Steigung null (f'(x) =0) besitzt →Anderung des Monotonieverhaltens (VZW) = Extrempunkt, andernfalls Sattelpunkt VZW von + nach - :relatives Maximum bei xo (Hochpunkt) VZW von nach + :relatives Minimum bei xo (Tiefpunkt) kein VZW: Sattelpunkt O notwendige Bedingung ! Ist eine Funktion nur auf einen Teilbereich von TR definiert, kann der maximale/minimale Wert auch am Rand dieses Bereichs angenommen werden (Randextremum) → Randwerte berechnen! hinreichende Bedingung 1 + ...positiver Bereich" kein VZW →Sattelpunkt negativer Bereich" Extremstellen rechnerisch bestimmen f'(x) >0 im Intervall I → streng monoton zunehmend f'(x) <0 im Intervall I→ streng monoton abnehmend -2 f'(x) > 0 →streng monoton zunehmend in J-001-2 [ af(x) f'(x) > 0 →→streng monoton zunehmend in J-2; 3[ (3.1) Vorzeichenwechsel → Für jede Nullstelle überprüfen, ob f'(x). beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt Ⓒ f'(x) → 1 Ableitung bestimmen f'(x) = 0 → Nullstellen der 1. Ableitung berechnen 3 Maximum/Minimum? ↳beliebigen x-Wert links + rechts von xo in f'(x) einsetzen vzw f'von+ nach- →Hochpunkt, TP; HP; 77/ Sattelpunkt If f(x), f'(x) > 0 f'(x) <0 streng monoton → streng monoton abnehmend in zunehmend in 13;6 [ J6; +00[ VZU f von - nach + →Tiefpunkt 3.2 2. Ableitung X GTR Calculate → minimum/ maximum → f"(x) → 2. Ableitung bestimmen →xo in 2. Ableitung einsetzen (f"(x) +0 ⇒f"(x) > 0→→ TP positiv f"(xo) <0 f"(x)=0 →>> N.Brunsmann → HP negativ Sattelpunkt möglich ↳ VZW Beispiel Extrema bestimmen Extrema n.B.: f'(x) = 0 Ⓒ Funktion 1. Ableitung f(x) 2. Ableitung (f(x) af'(x) 0=0,75x² - 6x +9 1:0,75 0=x²-8x+12 1pq y-Werte f(6)=0 → TP (6/0) f(2)=8 → HP (218) Wendepunkte /Krümmungsverhalten p=-8, 9=12 X1,2 = 12 = ( ² ) ± √ ( € ) ²³ - 9 -9 X112 = 4√√16-12 Х9,2 = 42 V4 X₁,2 = 4±2 Xq=2 V x₂=6 ↳ Extremstellen von f(x) f(x)= 0,25 x3-3x² + 9x f'(x) = 0,75x²-6x+9 f"(x) = 1,5x-6 WP f"(x) > 0 (f(x جا HP f"(x) < 0 NST Wendetangente (1) Steigung am WP bestimmen ⇒y=mx+b Koordinaten des WP ⇒y=mx+b h.B.: VZW VZW Хо f'(x0) 3 Gleichung aufstellen (m und b lassen) ⇒y=mx+b Steigung Extremum x < 2 3,75 oder: 2. Ableitung GTR Calculate → value x=2 2 0 um b herauszufinden HP f"(x) #0 f(2)=1,5-2-6=-3 <0 → HP f"(6)= 1,5-6-6= 37>0 → TP 2<x<6 4 -3 y f"(x) <0 im Intervall I →Rechtskrümmung f(x) >0 im Intervall I → Linkskrümmung x=6 6 0 个 f(x) Bestimmung von Wendepunkten notwendige Bedingung: f"(x) = 0 (heine Krümmung) hinreichende Bedingung: f(x) #0 / VZW TP Wendestellen = x-Werte, an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt Wendetangente N.Brunsmann x>6 7 3,75 Steckbriefaufgaben geg.: welcher Grad? → z.B. quadratische Funktion: f(x) = ax²+bx+c 2 f'(x) und f"(x) (bei WP) aufstellen gegebene Punkte deuten O z.B.: P (3/4) → f(3) = 4 f(₁) = 1 HP/TP (1/1) WP (213) ~ f'(1) = 0 7 f(²)=3 f"(2)=0 z. B.: 5 lineares Gleichungssystem aufstellen ↳ GTR (Matrix rref) / schriftlich Symmetrieeigenschaften ausnutzen z.B.: achsensymmetrisch: nur gerade Exponenten (z. B.. f(x) = ax 4 + cx² + e) punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten (z. B.: f(x) = bx³ + dx + e). 66 Funktion aufstellen f(x) = 2x² +0,5x + 4 Extremwertaufgaben Zielfunktion aufstellen ↳ Gauß-Verfahren 4 Extrema bestimmen ↳S.S. 6 5 Bezug zur Aufgabe z. B.: ↳ Extremwert in 1 oder => Antwortsatz! Extremalbedingung z.B. Flächeninhalt: Aab=a·b max/min Nebenbedingungen z.B. 2a+b=30|-2a b= 30-2a f'(x) = 2ax +b f"(x) = 2a Matrix 1 = 2 2 einsetzen a⋅ (1)² + b⋅ (1) + c = 1 2a. (1) + b = 0 2a = 0 Man benötigt genauso viele Informationen wie Unbekannte 1 1 0 0 O ܓ ܘ ܘ 1 rref in einsetzen) Z.B.: A(a) = a. (30-2a) A(ə) = 30a-2a² 1 0 0 a 2a + b 2a + b + c = 1 = 0 = 0 0 1 0 Oor 0 N.Brunsmann 2 a=2 0,5 b=0,5 4 |C=4 Integral Flächenbilanz zwischen Graph + x-Achse bobere Integrationsgrenze Sf(x) dx Integrationsvariable auntere Integrationsgrenze • Integral im Intervall a bis b der Funktion. f(x)" Stammfunktion Eine Funktion F heißt Stammfunktion wenn gilt: Die Ableitung der Stammfunktion 11 ergibt die Ausgangsfunktion" F₁(x) = f(x) Berechnung f(x) = x^ der Stammfunktion F(x) = √²+₁ ·x² Faktorregel Intervalladditivität in+1 Flächenberechnung Z.B.: f(x) = 2x² Haupsatz der Differenzial - + Integralrechnung (Bestimmtes Integral) ${(0) 4x = [F(x)] = F(b)-F(6) f(x) dx z.B.: Sk-f(x) dx = k· {f(e) dx ...zwischen Graph + x-Achse b (g(x) dx Summenregel (460) = g(1) dx = {(6) dx = $360) 4x f(x) b ${flo) de = {f(s) ds + ${(a) d f(x) dx f(x) F(x)=2x³ = 3 2 Beträge der Einzelintegrale zwischen NST (bzw. zwischen Grenze + NST) addieren f(x) 4 Nullstellen von f im Intervall [a; 6] berechnen →f(x) = 0 F(x) abgeleitet f(x) Integral f(x) dx 4 4 [x dx = [ 1×¹] = F(4)-F(4) = 4-4²-(1-(4)²) = 3,5 ` Mit GTR : abgeleitet A = A₁+ A₂+ A3 → f'(x) N.Brunsmann 1. 2nd Calculate (Trace) 2. 7: Sf(x) dx auswählen 3. untere + obere Grenze eingeben A f(x) ALA · | 5 ordu | - | Sonrdu | | | f(x) dx f(x) dx f(x) dx (FE) zwischen zwei Graphen Ⓒ 4 Schnittstellen der Graphen im Intervall [a,b] berechnen. → f(x) = g(x) GTR: Calculate →intersect Differenzfunktion bilden →d(x)=f(x)-g(x) 3 Beträge der Einzelintegrale zwischen Schnittstellen (bzw zwischen Grenze + Schnittstelle) addieren A = A₁+ √₂ + A3 = Mittelwertberechnung. 1 m = b-a | 54 | | | | | (d(x) dx a f(x) dx NST Volumen von Rotationskörpern Funktionen im Sachzusammenhang Frage im Sachzusammenhang Wann wächst die Pflanze nicht? Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am höchsten? Wann nimmt die Wachstumsgeschwin- digheit am stärksten ab? b V= πr. (f(x))² dx Wie viel ist die Pflanze in den ersten 4 Wochen gewachsen? Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindig- heit innerhalb der ersten 4 Wochen? f(t) Wachstumsgeschwindigkeit (in cm/Woche) d(x) dx (FE) Wachstum in den ersten 4 Wochen HP maximale Wachstumsgeschwindigkeit WP Es spielt heine Rolle, welcher Graph über. welchem liegt, da der Betrag gebildet wird (positives Ergebnis). X₂ Mit GTR: maximale Abnahme der Wachstumsgeschwindigkeit Frage bei der Funktionsuntersuchung Wo hat die Funktion Nullstellen? Wo erreicht die Funktion ihr Maximum? Wo erreicht die Ableitung von f ihr Minimum? Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;4] ein? Welchen Mittelwert hat die Funktion im Intervall [0;4]? f(x) → Zeit (in Wochen) A₂ N.Brunsmann A3 1. Funktionen eingeben 2. VARS→YVARS → Y₁-Y₂ ↳ Differenzfunktion Rechenverfahren f(x)=0 Extrema (HP) bestimmen + Definitionsränder Wendepunkt(e) bestimmen + Definitionsränder Integral berechnen Šf(t) dt 4. Setidt 3 Punkte im Raum kartesisches Koordinatensystem Vektoren Berechnung eines Verbindungsvektors A(alla); B (b₁|b₂ lbs) AB = → Vektor = Pfeil mit einer Länge + Richtung → ein Vektor hat unendlich viele Pfeile im Raum Po b-да b₂-a2 b3 -аз r. P(21313) 2 GEOMETRIE (3). →x₂/y = r. 3₂ Addition + Subtraktion einzelne koordinaten der Velitoren werden addiert / subtrahiert f(x) f(x) a+b= 8₁ Multiplikation → jede Koordinate wird mit dem Shalar r multipliziert Betrag eines Veltors (Länge des Pfeils) |Tai = √ (a₂)² + (a₂)² + (a3)² ¹ + b₂ = Abstand zweier Punkte im Raum AB=√(b₁-2₁)² + (b₂-3₂)² + (b3-ǝ3)² ₁+ b₁\ a₂ + b₂ a3 + b3 Linearhombination = Summe mehrerer Vektoren mit koeffizienten Bei der Multiplikation eines Vektors verlängert man ihn um das r-fache" a = b = ---- () Bei der Addition zweier Vektoren hängt man den Anfang des 2. Vektors an das Ende des 1. Vektors →→Start + Ende = neuer Vektor "1 f(x) r·a+s.b+ ·→Linearkombination der Vektoren a, b, c ·³···· Î koeffizienten OA = Ortsvektor A BC= Verbindungsvektor zwischen. Punkt B und Punkt & -BC= Gegenvektor von BC X 3 N.Brunsmann 3 12 Lineare (Un-) Abhängigkeit →2 Vektoren und b sind... ... linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander (=kollinear) oder parallel zueinander sind a = k·b bzw. 3116 ... linear unabhängig, wenn #4.5² bzw. 315 →3 Vektoren, bound 2 sind..... .... linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene liegen · linear unabhängig, wenn sie einen Raum aufspannen Shalarprodukt 3*5 = Winkel zwischen Vektoren z. 4 Geraden = a₁∙by + a₂.b₂ + 23-b3 cose= 3. B 121.161 Geradengleichung (Parameterform): 9:x=p+r.u ↑ 5 Stistzveltor Richtungsvektor identisch Lage zweier Geraden Z.B.: nein Stütevektor liegt auf der Geraden → SVg=h Orthogonalität parallel ⇒3*5=0 Richtungsveltoren sind kollinear → RUg = k· RVn coso= 3-(1) 6-(³²) = →→X₂ nein 3. B. ·1·2+3.5+1.1 121.161 √1²+3² +1²√√2² +5² +1²! cos-1 L = 7,61° Wenn das Shalarprodukt null ergibt, sind und orthogonal (senkrecht) zueinander" 3 18 Ye 7301 = Schnittpunkt ↳r/s in Geraden - gleichung einsetzen Geraden schneiden sich • xg₁= xh N.Brunsmann I Man hann jeden Punkt auf einer Geraden erreichen, indem man den Stützvektor zu einem Punkt auf der Geraden festlegt + dann die in Richtung des Richtungs vektors läuft"! Sortieren Buchstaben links, Zahlen rechts." nein wind schief Beispiel 9:* = hix +S. - (-1) + - (13) · * - (-1) + - (1) (1) ---(1) ₂ (²) RVg = k· RVn = k· 2=k 3= k 1=24 ℗ ² ² × (-1) - -(1)-(3) + - (1) +r. +S. Mit GTR : Ebenen 1. Buchstaben links, Zahlen rechts 2. Matrix → Editin 3x3-Matrix nur Zahlen eintragen 3. Math → rref-Befehl nutzen + Matrix einfügen SP berechnen r bzw. s in die Geradengleichung einsetzen → Ebenengleichung (Parameterform): E:=P²+ r₁u+ s. V ↑ Stützvektor Spannvektoren 1+ k·v (linear unabhängig) Widerspruch 9 hein Vielfaches von h und somit auch weder parallel noch identisch Lage eines Punktes zu einer Ebene Punkt liegt auf der Ebene, wenn gilt. 7 +2r= 4 +S -2 + 3r=-6 + S 2 + r = -1 +2s 4. Ergebnisse interpretieren ↳ Diagonale aus der Zahl 1, rechts beliebige Zahlen →wahres Ergebnis, Schnitt punkt Lletzte Zeile 0=1 windschief, hein SP Lage einer Gerade zu einer Ebene. XE X GTR- Ergebnis (Bsp.) BX Gauß- Verfahren, 6TR,... Durchstoßpunkt 1 0 0 1 05 0 1 0012 → eine Lösung →→x₂ aš ³ - () +₁ (1)-(³) → SP (51-511) = +1. wahres Ergebnis →g schneidet h parallel zueinander 1 0 1 0 0 1 1 0 0004 → keine Lösung 4 Aufstellen der Gleichung mit 3 gegebenen Punkten (A, B, C) EX = OA+r. AB+ S. AC g liegt in E 1012 01 0 0 0 0 00 N.Brunsmann → unendlich viele Lösungen 14 Mehrstufige Zufallsexperimente z. B.: Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments 16 16 ←Ergebnis Ergebnisse e Wahrscheinlichkeit P(e) Ergebnismenge S = alle mögliche Ergebnisse des Zufall experiments S = {rr; rb; br; bb} STOCHASTIK Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades multipliziert Z.B.: P(rb) = 2 · 4 = 2 rr 9 16. Wahrscheinlichkeitsverteilung (.. Tabelle zum Baumdiagramm") rb 3 16 br " heinmal rot" Al | ws': Im ersten Zug wurde eine rote und im zweiten Zug eine blaue Kugel gezogen" " 20 Ereignis E = Teilmenge der Ergebnismenge S E = {rr; rb; br} Es wird mindestens 1x rot gezogen "1 bb 4 Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert 2.B.: P(E)= P() + P(rb) + P(br) = 1 + 2 + 16 |Gegenereignis E = alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören ( begenteil eines Ereignisses) 2.B.: E = {rr;rb; br} E = { bb} 16 16 = 1 = 15 45 E = 1- P(E) = 1 - 15² = 1 16 N.Brunsmann Laplace-Experimente. → Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Würfeln) 45 B Erklärung Baumdiagramm Vierfeldertafel € Formel A Ā M P(ANB) P(ANB) P(B) BP(ANB) P(ANB) P(B) P(A) P(A) 1 X₁ P(X=x;) P₁ x = Bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B) # P(B): Ereignisse A und B sind stochastisch abhängig PA(B) = bedingle Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraus- setzung, dass A eingetreten ist" do X₁ X₂ P₂ PA(B) = Summe aller Werte Anzahl der Werte P(ANB) P(A). z.B.: P₁(B) = Mittelwert/Arithmetisches Mittel xn geschnitten" Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten P(ANB) P(A) abhängig, venn P(ANB) + P(A). P(B) P(ANB) P₁(B) P(A) Zufallsgrößen →ordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu →Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X: → Ergebnisse Pnzugehörige Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit P₁(B) = P(B): Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig Das Eintreten von A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von 3 nicht" z.B. Notendurchschnitt مجھ میں P(ANB) = P(A). P(B) P₁ (8) P(A) Bsp. Gewinn-/Verlust auf lange Sicht (<0 = unfair ; ≥ 0=fair) P(ANB) P(ANB) *** N.Brunsmann P(A) es kann auch mit P(B) begonnen werden. Median alle Werte der Größe nach sortieren → mittlere Zahl (Schnittmengen bleiben gleich) Erwartungswert → erwarteter Mittelwert bei einer großen Anzahl von Durchführungen des Zufallsexperiments M = X₁ · P₁ + x₂: P₂ + x3 · P3 + ... Xn Pn Man multipliziert jeden Wert, den X annehmen kann, mit seiner Wahrscheinligheit und addiert die Ergebnisse Standardabweichung → Streuung der Werte um den Erwartungswert M der Zufallsgröße X 8 = √(x₁ - M)² · P(X=x₂) + ( x₂ - M)². P(X=×₂) + (x3− M)². P(x=x3) + ... + ( xn -M) ². P(x=x₂) Man berechnet die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert, quadriert sie + multipliziert sie mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Daraus bildet man die Summe und zieht anschließend die Wurzel → Prognose für Standardabweichung bei großer Anzahl von Durchführungen. Binominalverteilung Bernoulli-Experiment → Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) ↳n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments = Bernoulli-Kette der Länge n p= Trefferwahrscheinlichheit → bleibt konstant ! q=1-p= Nieten-Wahrscheinlichheit Bernoulli-Formel Wahrscheinlichkeit für Treffer Binominalkoeffizient (Anzahl der Zweige). P(x=4) = (h) ² p² ·p². (^-p) ^-k Versuche Treffer Erwartungswert M = n.p Trefferwahrscheinlichkeit Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit (Nieten-Wahrscheinlichkeit) P(x≤k) = P(x=0) + P(x =1) +...+ P(x=4) ↑ GTR binomcdf (n,A,G) in über 4" humulierte Wahrscheinlichkeit, Summe mehrerer Wahrscheinlichkeiten zur Trefferzahl h" Berechnung Binominalkoeffizient GTR: n, Math, PRB, nr, Standardabweichung 8=√√/n.p. (^-p! N.Brunsmann genau k Treffer: P(x=k) → binompdf (n₁p,k) / Bernoulli-Formel höchstens k Treffer: P(x≤4) → binomcdf (n₁p₁4) mindestens k Treffer: P(x ≤k) = 1- P(x≤k-1) → analog zu oben weniger als h Treffer: P(x<h) = P(x&h-1) → so. mehr als & Treffer: P(x>k) = 1- P(x≤h) → s.o. mindestens 4, aber höchstens h Treffer: P(4≤ x ≤h) = P(x ≤h) - P(x≤h-1) kumulierte Wahrscheinlichkeiten (P(x64)) hönnten sich auch mit der Bernoulli-Formel berechnen lassen, dies wär jedoch sehr umständlich. Deshalb: binom- cdf-Funktion im GTR" 17 Problemlösen mit der Binominalverteilung Typ 2 3 gegeben n, p,k Pik, Wahrschein- lichkeit n, h, Wahrschein- lichheit gesucht Lösungsweg (GTR). Wahrscheinlichheit binompdf/binomcdf→ P(x=4) n P Tabelle erstellen mit binomcdf (x, p,k). →y-Wert passend zu der Wahrscheinlichheit suchen x-Wert = n Graphen zur Funktion binom Cdf (n,x, 4) anzeigen lassen, → Schnittpunkt mit Geraden (Wert ist die Wahrscheinlichkeit) Sigma-Regeln →geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binominal verteilten Zufallsgröße in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert M liegen 1. 5-Intervall [M-5₁M+6] → P(M-6≤x≤M + 5) ≈ 68,3% 2. 26-Intervall [M-25;M+25] → P(M-25≤X<M+26) ≈ 95,4% 3. 36-Intervall [M-35;M+35] → P(M-35 ≤X<M+36) ≈ 99,7% ² Р N.Brunsmann Da die Zufallsgröße X nur ganzzahlige Werte annehmen hann, müssen die Grenzen nötigenfalls aufgerundet werden (nur Richtung Inneres runden).

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Funktionen Definitionsmenge (ID): Menge aller x-Werte Wertemenge (W): Menge aller y-Werte Quadratische Funktionen (Parabeln) Normalform f(x) = ax²+bx+c →y-Abschnitt (olc) ausmultiplizieren quadratische Ergänzung Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)² +e. → Scheitelpunkt (dle). Z.B.: Symmetrie Exponenten Beispiel Graph (Bsp.) Beweis Symmetrieeigenschaften Grenzwertverhalten Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ·Exponent D= R alle reellen Zahlen". " Koeffizient Grad K |f(x) = an x" + an-² X +... a₁ x + ao z.B.: 3x³-9x² +120 ganzrationale Funktion dritten Grades" achsensymmetrisch gerade 2x4+x² W = R1, alle positiven reellen -p-9-Formel (x₁,2 =- £ +7 (7³²-9¹) ausmultiplizieren Faktorisierte Form f(x) = a (x-r)⋅ (x-s) → Nullstellen (rlo); (slo) f(x) ANALYSIS Zahlen größer oder gleich 1" punktsymmetrisch ungerade x³+x. fon V. J f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) "Blitz-Form" Verhalten für X1±8 abhängig vom.. koeffizienten mit höchstem Grad (= Exponenten) + Vorzeichen lim (-3x4-2x): x4±00 Beispiel: verhält sich für x→±00 wie g(x) = -3x4 f(x)=-3x4-2x+1 →gerader Exponent, negatives Vorzeichen, daher: = -8 Z.R: unsymmetrisch gerade + ungerade 4x4 + 2x³+x f(x) f(-x) = f(x) * -f(x) Für x gegen plus minus unendlich strebt f(x) gegen minus unendlich" Lineare Funktionen f(x) = mx + b ↑ Steigung y-Achsen- Abschnitt f(x) Funktion 2. Grades Vorzeichen: X Z.B.¹ f(x) f ! lineare + quadratische Funktionen sind auch ganzrationale Funktionen. ↳ Funktion 1. Grades öffnung nach Streckung (enger): a<-1/a> 1 2.B.: 2x2 z.B.: x4+x² f(-x) = (-x) " + (-x) ² N.Brunsmann Stauchung (weiter): -1<a<1. z. B. : 0,5x² = x² + x² = f(x)→achsensymmetrisch oben unten • (-*) (-x) (-x) -~*) * - *) (*) ·X x nahe O koeffizienten mit niedrigstem Grad (= Exponenten), Vorzeichen + y-Achsen-Abschnitt überall, wo ein,x' ist, ein,-' davor' Es kommt die Funktion heraus, wenn man-x' einsetzt" verhält sich für x nahe 0 ähnlich wie der Graph der Funktion 9 mit g(x)= -2x+1, daher: ↑f(1) Mehrfache Nullstellen →Der Grad des Linearfaktors (Faltorisierte Form) gibt die Mehrfachheit...

Funktionen Definitionsmenge (ID): Menge aller x-Werte Wertemenge (W): Menge aller y-Werte Quadratische Funktionen (Parabeln) Normalform f(x) = ax²+bx+c →y-Abschnitt (olc) ausmultiplizieren quadratische Ergänzung Scheitelpunktform f(x) = a(x-d)² +e. → Scheitelpunkt (dle). Z.B.: Symmetrie Exponenten Beispiel Graph (Bsp.) Beweis Symmetrieeigenschaften Grenzwertverhalten Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ·Exponent D= R alle reellen Zahlen". " Koeffizient Grad K |f(x) = an x" + an-² X +... a₁ x + ao z.B.: 3x³-9x² +120 ganzrationale Funktion dritten Grades" achsensymmetrisch gerade 2x4+x² W = R1, alle positiven reellen -p-9-Formel (x₁,2 =- £ +7 (7³²-9¹) ausmultiplizieren Faktorisierte Form f(x) = a (x-r)⋅ (x-s) → Nullstellen (rlo); (slo) f(x) ANALYSIS Zahlen größer oder gleich 1" punktsymmetrisch ungerade x³+x. fon V. J f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) "Blitz-Form" Verhalten für X1±8 abhängig vom.. koeffizienten mit höchstem Grad (= Exponenten) + Vorzeichen lim (-3x4-2x): x4±00 Beispiel: verhält sich für x→±00 wie g(x) = -3x4 f(x)=-3x4-2x+1 →gerader Exponent, negatives Vorzeichen, daher: = -8 Z.R: unsymmetrisch gerade + ungerade 4x4 + 2x³+x f(x) f(-x) = f(x) * -f(x) Für x gegen plus minus unendlich strebt f(x) gegen minus unendlich" Lineare Funktionen f(x) = mx + b ↑ Steigung y-Achsen- Abschnitt f(x) Funktion 2. Grades Vorzeichen: X Z.B.¹ f(x) f ! lineare + quadratische Funktionen sind auch ganzrationale Funktionen. ↳ Funktion 1. Grades öffnung nach Streckung (enger): a<-1/a> 1 2.B.: 2x2 z.B.: x4+x² f(-x) = (-x) " + (-x) ² N.Brunsmann Stauchung (weiter): -1<a<1. z. B. : 0,5x² = x² + x² = f(x)→achsensymmetrisch oben unten • (-*) (-x) (-x) -~*) * - *) (*) ·X x nahe O koeffizienten mit niedrigstem Grad (= Exponenten), Vorzeichen + y-Achsen-Abschnitt überall, wo ein,x' ist, ein,-' davor' Es kommt die Funktion heraus, wenn man-x' einsetzt" verhält sich für x nahe 0 ähnlich wie der Graph der Funktion 9 mit g(x)= -2x+1, daher: ↑f(1) Mehrfache Nullstellen →Der Grad des Linearfaktors (Faltorisierte Form) gibt die Mehrfachheit...

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der Nullstelle an → ungerader. Exponent = Graph schneidet x-Achse bei x. (Vorzeichenwechsel) • gerader Exponent = Graph berührt x-Achse bei x (kein Vorzeichenwechsel) @ z. B.: f(x) = (x+1)". x3. (x-1)²1,5x ↓ vierfache Nullstelle ↳ Graph berührt x-Achse Abwandlung von Funktionen in y-Richtung in x-Richtung. dreifache Nullstelle ↳Graph schneidet x-Achse (VZW) g(x) = f(x) +d doppelte Nullstelle ↳ Graph berührt x-Achse z. B. z.B. Funktionsscharen g(x) = f(x+c) Verschiebung f(x) g(x) = (x+3) ² g(x)=x²+2 /f(x) = x² d>0 → Verschiebung ↑ d<0 → Verschiebung ↓ g(x)=x²-2 Ableitung z. B.: fa(x) = x²-a fa'(x) = 2x → Funktionsterm mit 2 Variablen c>0 → Verschiebung ← c<0 → Verschiebung → f(x) einfache Nullstelle Graph schneidet x-Achse (VZW) f(x)=x² "1 g(x)=(x-4)² z.B. fa (x)=x²-a Streckung/Stauchung g(x)= a. f(x) a 1 → Streckung (länger) z. B. Parameter a wie eine Zahl behandeln" g(x)=0,5x³x² Die maximal mögliche Anzahl der Nullstellen ist durch den Grad der Funktion gegeben Z.B.: 2x² + 3x max. 2 NST GTR Calculate → zero z.B. 0<a</→ Stauchung (flacher). negatives Vorzeichen → Spiegelung an x-Achse f(x) Smal f(x)=x²-2x²/ g(x) = f(b.x) b>1 → Stauchung (enger) N.Brunsmann -f(x) g(x)=(0,5x)³-2 (0,5x)². gleiche NST g(x)=2x³-4x2 unterschied- 0<b<1→ Streckung (breiter) liche NST negatives Vorzeichen → Spiegelung an y-Achse / f(x)=x²- 2x² g(x)= (2x) ³-2-(2x)² Exponentialfunktionen [f(x) = c.a* (a>0, à* 1) Anfangswert (01) a>→ exponentielle Zunahme (z. B. f(x) = 2*) 0<a<1 → exponentielle Abnahme (z. B. f(x) = 0,5*) ! keine NST Berechnung: log (a) = x.log(a) natürliche Exponential funktion (Exponential funlition zur Basis e) @ f(x)=ex 7 Eulersche Zahl: e²x 2,72 ↳Variable nicht in der Basis, Sondern im Exponenten stimmt exalt mit Ableitung überein: •f'(x) = ex f(x)=e* F(x)=ex Grenzwertverhalten Tim X➜-80 ex=0* (Werte nahe 0 und positiv) → oberhalb der x-Achse → heine NST! → Wertemenge: alle positiven reellen Zahlen → Definitionsmenge alle reellen Zahlen lim ex = +∞0 X+00 → streng monoton steigend Umgekehrte e-Funktion: In-Funktion (umgekehrte Eigenschaften) (natürliche Logarithmusfunktion) y = ex 0,5* I -2 -1 Natürlicher Logarithmus ·ex=b ⇒ x = ln (b) z. B.: e* = 6 | In x = ln (6) = 1,8 y 5 4 X 3 (1le) 2 (0/1) 1 0 1 N.Brunsmann y-Achsenabschnitt. P(011) →Laut Potenzgesetz gilt nämlich eᵒ=1 2 Ⓒ Ableitung → Steigung der Tangente am Graphen einer Funktion in jedem möglichen Punkt Änderungsrate mittlere Änderungsrate Beschreibung Graph (Bsp.) Formel Differenzenquotient Steigung der Selante durch die Punkte P(xol f(x))+ Q(xo+h/ f(xo+h)) f(x) Af(x). f(xoth) 1 14 f(x) f(xo) Ableitungsregeln Regel Potenzregel Ausgangsfunktion f(x)= x^ f(x) = g(x)+h(x) Summenregel Faktorregel f(x)= r. g(x) Kettenregel f(x) = u(v(x)) Produktregel f(x) = g(x).h(x) f(xo+h)-f(x₂) bzw. f(x)-f(x₂) h x xo e-Funktionen ableiten (Tipp). f(x)=x²-1 f'(x)=2x-et²-1 GTR: Calculate → dy/dx Sehante Toth Exponenten ableilen + mit e multiplizieren Ableitungsfunktion f'(x)=n.xn-₁ f'(x) = g'(x) + h'(x) f'(x) = r. g'(x) f'(x) = u' (v(x)). v'(x) Differenzialquotient momentane Änderungsrate Steigung der Tangente im Punkt P (xolf(x)). Ableitung der Funktion an der Stelle xo f'(x) = h→0 ·lim f(xo+h)-f(x₂) h Tangente lim f'(x) = x→ xo f(x)-f(x₂) x-xo Beispiel f(x)=x4 f'(x) = 4x3 f(x)=x4+x³ f'(x) = 4x³ + 3x² f(x)= 3x4 → f'(x) = 3.4x³ =12x³ f(x)=(5-3x)" →innere Funktion v(x) = 5-3x v'(x) = -3 f'(x) = -3.4v³ = -12- (5-3x)³ f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x). h'(x) f(x) = (2x-3).e*→ g(x)= 2x-3 · ³X₁ g'(x) = 2 f'(x) =((2x-3).e*) + (2.ex) =e* (2x-3+2)=e*. (2x-1) ausklammern bzw. Produkt- + Kettenregel kombiniert ·z.B.: f(x) = (2x+3) e²x → · g(x)=2x+3 g'(x) = 2 f'(x)= (2x+3) 2e2x+ 2e²x = 2e²x. (2x+3) ³Xn äußere Funktion u(u) = v4 u(v) = 4√3 N.Brunsmann ·h(x) = ex h'(x) = ex h(x) = ²x h'(x) = 2.e²x Zeichnen einer Ableitungsfunktion In welchen Bereichen steigt / fällt der Graph? ↳ Steigung: f'(x) oberhalb der x-Achse ↳Abnahme: f'(x) unterhalb der x-Achse 3 2 An welchen Stellen hat der Graph von f(x) die Steigung 0? ↳keine Steigung, wenn Tangente parallel zur x-Achse f'(x) = Nullstelle An welchen Stellen hat der Graph von f(x) einen Wendepunkt? ↳ Stärkste Steigung = f'(x) = Extrempunkt (HP/TP) Tangentengleichung Beispiel Tangente: y=mx+b Steigung y-Achsenabschnitt (f(x) Tangente f(x) = 0,5x²; P(418) → 1 Steigung am Punkt bestimmen ↳ f'(xo). f(x) Ⓒ f'(x) = x f'(4) = 4 →m=4 NST (3) Gleichung aufstellen (m und b lassen). ⇒y=mx+b (2 ⇒y=mx+b 2 Koordinaten des Punktes einsetzen, um b herauszufinden ⇒y=mx+b -8=b y=mx+b 8=4.4+b|-16 NST. N.Brunsmann 3 y= 4x-8 Kurvendiskussion Monotonie → Steigungsverhalten einer Funktion Extremwerte →x-Werte, an denen der Graph einer Funktion die Steigung null (f'(x) =0) besitzt →Anderung des Monotonieverhaltens (VZW) = Extrempunkt, andernfalls Sattelpunkt VZW von + nach - :relatives Maximum bei xo (Hochpunkt) VZW von nach + :relatives Minimum bei xo (Tiefpunkt) kein VZW: Sattelpunkt O notwendige Bedingung ! Ist eine Funktion nur auf einen Teilbereich von TR definiert, kann der maximale/minimale Wert auch am Rand dieses Bereichs angenommen werden (Randextremum) → Randwerte berechnen! hinreichende Bedingung 1 + ...positiver Bereich" kein VZW →Sattelpunkt negativer Bereich" Extremstellen rechnerisch bestimmen f'(x) >0 im Intervall I → streng monoton zunehmend f'(x) <0 im Intervall I→ streng monoton abnehmend -2 f'(x) > 0 →streng monoton zunehmend in J-001-2 [ af(x) f'(x) > 0 →→streng monoton zunehmend in J-2; 3[ (3.1) Vorzeichenwechsel → Für jede Nullstelle überprüfen, ob f'(x). beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt Ⓒ f'(x) → 1 Ableitung bestimmen f'(x) = 0 → Nullstellen der 1. Ableitung berechnen 3 Maximum/Minimum? ↳beliebigen x-Wert links + rechts von xo in f'(x) einsetzen vzw f'von+ nach- →Hochpunkt, TP; HP; 77/ Sattelpunkt If f(x), f'(x) > 0 f'(x) <0 streng monoton → streng monoton abnehmend in zunehmend in 13;6 [ J6; +00[ VZU f von - nach + →Tiefpunkt 3.2 2. Ableitung X GTR Calculate → minimum/ maximum → f"(x) → 2. Ableitung bestimmen →xo in 2. Ableitung einsetzen (f"(x) +0 ⇒f"(x) > 0→→ TP positiv f"(xo) <0 f"(x)=0 →>> N.Brunsmann → HP negativ Sattelpunkt möglich ↳ VZW Beispiel Extrema bestimmen Extrema n.B.: f'(x) = 0 Ⓒ Funktion 1. Ableitung f(x) 2. Ableitung (f(x) af'(x) 0=0,75x² - 6x +9 1:0,75 0=x²-8x+12 1pq y-Werte f(6)=0 → TP (6/0) f(2)=8 → HP (218) Wendepunkte /Krümmungsverhalten p=-8, 9=12 X1,2 = 12 = ( ² ) ± √ ( € ) ²³ - 9 -9 X112 = 4√√16-12 Х9,2 = 42 V4 X₁,2 = 4±2 Xq=2 V x₂=6 ↳ Extremstellen von f(x) f(x)= 0,25 x3-3x² + 9x f'(x) = 0,75x²-6x+9 f"(x) = 1,5x-6 WP f"(x) > 0 (f(x جا HP f"(x) < 0 NST Wendetangente (1) Steigung am WP bestimmen ⇒y=mx+b Koordinaten des WP ⇒y=mx+b h.B.: VZW VZW Хо f'(x0) 3 Gleichung aufstellen (m und b lassen) ⇒y=mx+b Steigung Extremum x < 2 3,75 oder: 2. Ableitung GTR Calculate → value x=2 2 0 um b herauszufinden HP f"(x) #0 f(2)=1,5-2-6=-3 <0 → HP f"(6)= 1,5-6-6= 37>0 → TP 2<x<6 4 -3 y f"(x) <0 im Intervall I →Rechtskrümmung f(x) >0 im Intervall I → Linkskrümmung x=6 6 0 个 f(x) Bestimmung von Wendepunkten notwendige Bedingung: f"(x) = 0 (heine Krümmung) hinreichende Bedingung: f(x) #0 / VZW TP Wendestellen = x-Werte, an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt Wendetangente N.Brunsmann x>6 7 3,75 Steckbriefaufgaben geg.: welcher Grad? → z.B. quadratische Funktion: f(x) = ax²+bx+c 2 f'(x) und f"(x) (bei WP) aufstellen gegebene Punkte deuten O z.B.: P (3/4) → f(3) = 4 f(₁) = 1 HP/TP (1/1) WP (213) ~ f'(1) = 0 7 f(²)=3 f"(2)=0 z. B.: 5 lineares Gleichungssystem aufstellen ↳ GTR (Matrix rref) / schriftlich Symmetrieeigenschaften ausnutzen z.B.: achsensymmetrisch: nur gerade Exponenten (z. B.. f(x) = ax 4 + cx² + e) punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten (z. B.: f(x) = bx³ + dx + e). 66 Funktion aufstellen f(x) = 2x² +0,5x + 4 Extremwertaufgaben Zielfunktion aufstellen ↳ Gauß-Verfahren 4 Extrema bestimmen ↳S.S. 6 5 Bezug zur Aufgabe z. B.: ↳ Extremwert in 1 oder => Antwortsatz! Extremalbedingung z.B. Flächeninhalt: Aab=a·b max/min Nebenbedingungen z.B. 2a+b=30|-2a b= 30-2a f'(x) = 2ax +b f"(x) = 2a Matrix 1 = 2 2 einsetzen a⋅ (1)² + b⋅ (1) + c = 1 2a. (1) + b = 0 2a = 0 Man benötigt genauso viele Informationen wie Unbekannte 1 1 0 0 O ܓ ܘ ܘ 1 rref in einsetzen) Z.B.: A(a) = a. (30-2a) A(ə) = 30a-2a² 1 0 0 a 2a + b 2a + b + c = 1 = 0 = 0 0 1 0 Oor 0 N.Brunsmann 2 a=2 0,5 b=0,5 4 |C=4 Integral Flächenbilanz zwischen Graph + x-Achse bobere Integrationsgrenze Sf(x) dx Integrationsvariable auntere Integrationsgrenze • Integral im Intervall a bis b der Funktion. f(x)" Stammfunktion Eine Funktion F heißt Stammfunktion wenn gilt: Die Ableitung der Stammfunktion 11 ergibt die Ausgangsfunktion" F₁(x) = f(x) Berechnung f(x) = x^ der Stammfunktion F(x) = √²+₁ ·x² Faktorregel Intervalladditivität in+1 Flächenberechnung Z.B.: f(x) = 2x² Haupsatz der Differenzial - + Integralrechnung (Bestimmtes Integral) ${(0) 4x = [F(x)] = F(b)-F(6) f(x) dx z.B.: Sk-f(x) dx = k· {f(e) dx ...zwischen Graph + x-Achse b (g(x) dx Summenregel (460) = g(1) dx = {(6) dx = $360) 4x f(x) b ${flo) de = {f(s) ds + ${(a) d f(x) dx f(x) F(x)=2x³ = 3 2 Beträge der Einzelintegrale zwischen NST (bzw. zwischen Grenze + NST) addieren f(x) 4 Nullstellen von f im Intervall [a; 6] berechnen →f(x) = 0 F(x) abgeleitet f(x) Integral f(x) dx 4 4 [x dx = [ 1×¹] = F(4)-F(4) = 4-4²-(1-(4)²) = 3,5 ` Mit GTR : abgeleitet A = A₁+ A₂+ A3 → f'(x) N.Brunsmann 1. 2nd Calculate (Trace) 2. 7: Sf(x) dx auswählen 3. untere + obere Grenze eingeben A f(x) ALA · | 5 ordu | - | Sonrdu | | | f(x) dx f(x) dx f(x) dx (FE) zwischen zwei Graphen Ⓒ 4 Schnittstellen der Graphen im Intervall [a,b] berechnen. → f(x) = g(x) GTR: Calculate →intersect Differenzfunktion bilden →d(x)=f(x)-g(x) 3 Beträge der Einzelintegrale zwischen Schnittstellen (bzw zwischen Grenze + Schnittstelle) addieren A = A₁+ √₂ + A3 = Mittelwertberechnung. 1 m = b-a | 54 | | | | | (d(x) dx a f(x) dx NST Volumen von Rotationskörpern Funktionen im Sachzusammenhang Frage im Sachzusammenhang Wann wächst die Pflanze nicht? Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am höchsten? Wann nimmt die Wachstumsgeschwin- digheit am stärksten ab? b V= πr. (f(x))² dx Wie viel ist die Pflanze in den ersten 4 Wochen gewachsen? Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindig- heit innerhalb der ersten 4 Wochen? f(t) Wachstumsgeschwindigkeit (in cm/Woche) d(x) dx (FE) Wachstum in den ersten 4 Wochen HP maximale Wachstumsgeschwindigkeit WP Es spielt heine Rolle, welcher Graph über. welchem liegt, da der Betrag gebildet wird (positives Ergebnis). X₂ Mit GTR: maximale Abnahme der Wachstumsgeschwindigkeit Frage bei der Funktionsuntersuchung Wo hat die Funktion Nullstellen? Wo erreicht die Funktion ihr Maximum? Wo erreicht die Ableitung von f ihr Minimum? Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;4] ein? Welchen Mittelwert hat die Funktion im Intervall [0;4]? f(x) → Zeit (in Wochen) A₂ N.Brunsmann A3 1. Funktionen eingeben 2. VARS→YVARS → Y₁-Y₂ ↳ Differenzfunktion Rechenverfahren f(x)=0 Extrema (HP) bestimmen + Definitionsränder Wendepunkt(e) bestimmen + Definitionsränder Integral berechnen Šf(t) dt 4. Setidt 3 Punkte im Raum kartesisches Koordinatensystem Vektoren Berechnung eines Verbindungsvektors A(alla); B (b₁|b₂ lbs) AB = → Vektor = Pfeil mit einer Länge + Richtung → ein Vektor hat unendlich viele Pfeile im Raum Po b-да b₂-a2 b3 -аз r. P(21313) 2 GEOMETRIE (3). →x₂/y = r. 3₂ Addition + Subtraktion einzelne koordinaten der Velitoren werden addiert / subtrahiert f(x) f(x) a+b= 8₁ Multiplikation → jede Koordinate wird mit dem Shalar r multipliziert Betrag eines Veltors (Länge des Pfeils) |Tai = √ (a₂)² + (a₂)² + (a3)² ¹ + b₂ = Abstand zweier Punkte im Raum AB=√(b₁-2₁)² + (b₂-3₂)² + (b3-ǝ3)² ₁+ b₁\ a₂ + b₂ a3 + b3 Linearhombination = Summe mehrerer Vektoren mit koeffizienten Bei der Multiplikation eines Vektors verlängert man ihn um das r-fache" a = b = ---- () Bei der Addition zweier Vektoren hängt man den Anfang des 2. Vektors an das Ende des 1. Vektors →→Start + Ende = neuer Vektor "1 f(x) r·a+s.b+ ·→Linearkombination der Vektoren a, b, c ·³···· Î koeffizienten OA = Ortsvektor A BC= Verbindungsvektor zwischen. Punkt B und Punkt & -BC= Gegenvektor von BC X 3 N.Brunsmann 3 12 Lineare (Un-) Abhängigkeit →2 Vektoren und b sind... ... linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander (=kollinear) oder parallel zueinander sind a = k·b bzw. 3116 ... linear unabhängig, wenn #4.5² bzw. 315 →3 Vektoren, bound 2 sind..... .... linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene liegen · linear unabhängig, wenn sie einen Raum aufspannen Shalarprodukt 3*5 = Winkel zwischen Vektoren z. 4 Geraden = a₁∙by + a₂.b₂ + 23-b3 cose= 3. B 121.161 Geradengleichung (Parameterform): 9:x=p+r.u ↑ 5 Stistzveltor Richtungsvektor identisch Lage zweier Geraden Z.B.: nein Stütevektor liegt auf der Geraden → SVg=h Orthogonalität parallel ⇒3*5=0 Richtungsveltoren sind kollinear → RUg = k· RVn coso= 3-(1) 6-(³²) = →→X₂ nein 3. B. ·1·2+3.5+1.1 121.161 √1²+3² +1²√√2² +5² +1²! cos-1 L = 7,61° Wenn das Shalarprodukt null ergibt, sind und orthogonal (senkrecht) zueinander" 3 18 Ye 7301 = Schnittpunkt ↳r/s in Geraden - gleichung einsetzen Geraden schneiden sich • xg₁= xh N.Brunsmann I Man hann jeden Punkt auf einer Geraden erreichen, indem man den Stützvektor zu einem Punkt auf der Geraden festlegt + dann die in Richtung des Richtungs vektors läuft"! Sortieren Buchstaben links, Zahlen rechts." nein wind schief Beispiel 9:* = hix +S. - (-1) + - (13) · * - (-1) + - (1) (1) ---(1) ₂ (²) RVg = k· RVn = k· 2=k 3= k 1=24 ℗ ² ² × (-1) - -(1)-(3) + - (1) +r. +S. Mit GTR : Ebenen 1. Buchstaben links, Zahlen rechts 2. Matrix → Editin 3x3-Matrix nur Zahlen eintragen 3. Math → rref-Befehl nutzen + Matrix einfügen SP berechnen r bzw. s in die Geradengleichung einsetzen → Ebenengleichung (Parameterform): E:=P²+ r₁u+ s. V ↑ Stützvektor Spannvektoren 1+ k·v (linear unabhängig) Widerspruch 9 hein Vielfaches von h und somit auch weder parallel noch identisch Lage eines Punktes zu einer Ebene Punkt liegt auf der Ebene, wenn gilt. 7 +2r= 4 +S -2 + 3r=-6 + S 2 + r = -1 +2s 4. Ergebnisse interpretieren ↳ Diagonale aus der Zahl 1, rechts beliebige Zahlen →wahres Ergebnis, Schnitt punkt Lletzte Zeile 0=1 windschief, hein SP Lage einer Gerade zu einer Ebene. XE X GTR- Ergebnis (Bsp.) BX Gauß- Verfahren, 6TR,... Durchstoßpunkt 1 0 0 1 05 0 1 0012 → eine Lösung →→x₂ aš ³ - () +₁ (1)-(³) → SP (51-511) = +1. wahres Ergebnis →g schneidet h parallel zueinander 1 0 1 0 0 1 1 0 0004 → keine Lösung 4 Aufstellen der Gleichung mit 3 gegebenen Punkten (A, B, C) EX = OA+r. AB+ S. AC g liegt in E 1012 01 0 0 0 0 00 N.Brunsmann → unendlich viele Lösungen 14 Mehrstufige Zufallsexperimente z. B.: Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments 16 16 ←Ergebnis Ergebnisse e Wahrscheinlichkeit P(e) Ergebnismenge S = alle mögliche Ergebnisse des Zufall experiments S = {rr; rb; br; bb} STOCHASTIK Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades multipliziert Z.B.: P(rb) = 2 · 4 = 2 rr 9 16. Wahrscheinlichkeitsverteilung (.. Tabelle zum Baumdiagramm") rb 3 16 br " heinmal rot" Al | ws': Im ersten Zug wurde eine rote und im zweiten Zug eine blaue Kugel gezogen" " 20 Ereignis E = Teilmenge der Ergebnismenge S E = {rr; rb; br} Es wird mindestens 1x rot gezogen "1 bb 4 Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert 2.B.: P(E)= P() + P(rb) + P(br) = 1 + 2 + 16 |Gegenereignis E = alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören ( begenteil eines Ereignisses) 2.B.: E = {rr;rb; br} E = { bb} 16 16 = 1 = 15 45 E = 1- P(E) = 1 - 15² = 1 16 N.Brunsmann Laplace-Experimente. → Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Würfeln) 45 B Erklärung Baumdiagramm Vierfeldertafel € Formel A Ā M P(ANB) P(ANB) P(B) BP(ANB) P(ANB) P(B) P(A) P(A) 1 X₁ P(X=x;) P₁ x = Bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B) # P(B): Ereignisse A und B sind stochastisch abhängig PA(B) = bedingle Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraus- setzung, dass A eingetreten ist" do X₁ X₂ P₂ PA(B) = Summe aller Werte Anzahl der Werte P(ANB) P(A). z.B.: P₁(B) = Mittelwert/Arithmetisches Mittel xn geschnitten" Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten P(ANB) P(A) abhängig, venn P(ANB) + P(A). P(B) P(ANB) P₁(B) P(A) Zufallsgrößen →ordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu →Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X: → Ergebnisse Pnzugehörige Wahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit P₁(B) = P(B): Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig Das Eintreten von A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von 3 nicht" z.B. Notendurchschnitt مجھ میں P(ANB) = P(A). P(B) P₁ (8) P(A) Bsp. Gewinn-/Verlust auf lange Sicht (<0 = unfair ; ≥ 0=fair) P(ANB) P(ANB) *** N.Brunsmann P(A) es kann auch mit P(B) begonnen werden. Median alle Werte der Größe nach sortieren → mittlere Zahl (Schnittmengen bleiben gleich) Erwartungswert → erwarteter Mittelwert bei einer großen Anzahl von Durchführungen des Zufallsexperiments M = X₁ · P₁ + x₂: P₂ + x3 · P3 + ... Xn Pn Man multipliziert jeden Wert, den X annehmen kann, mit seiner Wahrscheinligheit und addiert die Ergebnisse Standardabweichung → Streuung der Werte um den Erwartungswert M der Zufallsgröße X 8 = √(x₁ - M)² · P(X=x₂) + ( x₂ - M)². P(X=×₂) + (x3− M)². P(x=x3) + ... + ( xn -M) ². P(x=x₂) Man berechnet die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert, quadriert sie + multipliziert sie mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Daraus bildet man die Summe und zieht anschließend die Wurzel → Prognose für Standardabweichung bei großer Anzahl von Durchführungen. Binominalverteilung Bernoulli-Experiment → Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) ↳n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments = Bernoulli-Kette der Länge n p= Trefferwahrscheinlichheit → bleibt konstant ! q=1-p= Nieten-Wahrscheinlichheit Bernoulli-Formel Wahrscheinlichkeit für Treffer Binominalkoeffizient (Anzahl der Zweige). P(x=4) = (h) ² p² ·p². (^-p) ^-k Versuche Treffer Erwartungswert M = n.p Trefferwahrscheinlichkeit Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit (Nieten-Wahrscheinlichkeit) P(x≤k) = P(x=0) + P(x =1) +...+ P(x=4) ↑ GTR binomcdf (n,A,G) in über 4" humulierte Wahrscheinlichkeit, Summe mehrerer Wahrscheinlichkeiten zur Trefferzahl h" Berechnung Binominalkoeffizient GTR: n, Math, PRB, nr, Standardabweichung 8=√√/n.p. (^-p! N.Brunsmann genau k Treffer: P(x=k) → binompdf (n₁p,k) / Bernoulli-Formel höchstens k Treffer: P(x≤4) → binomcdf (n₁p₁4) mindestens k Treffer: P(x ≤k) = 1- P(x≤k-1) → analog zu oben weniger als h Treffer: P(x<h) = P(x&h-1) → so. mehr als & Treffer: P(x>k) = 1- P(x≤h) → s.o. mindestens 4, aber höchstens h Treffer: P(4≤ x ≤h) = P(x ≤h) - P(x≤h-1) kumulierte Wahrscheinlichkeiten (P(x64)) hönnten sich auch mit der Bernoulli-Formel berechnen lassen, dies wär jedoch sehr umständlich. Deshalb: binom- cdf-Funktion im GTR" 17 Problemlösen mit der Binominalverteilung Typ 2 3 gegeben n, p,k Pik, Wahrschein- lichkeit n, h, Wahrschein- lichheit gesucht Lösungsweg (GTR). Wahrscheinlichheit binompdf/binomcdf→ P(x=4) n P Tabelle erstellen mit binomcdf (x, p,k). →y-Wert passend zu der Wahrscheinlichheit suchen x-Wert = n Graphen zur Funktion binom Cdf (n,x, 4) anzeigen lassen, → Schnittpunkt mit Geraden (Wert ist die Wahrscheinlichkeit) Sigma-Regeln →geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binominal verteilten Zufallsgröße in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert M liegen 1. 5-Intervall [M-5₁M+6] → P(M-6≤x≤M + 5) ≈ 68,3% 2. 26-Intervall [M-25;M+25] → P(M-25≤X<M+26) ≈ 95,4% 3. 36-Intervall [M-35;M+35] → P(M-35 ≤X<M+36) ≈ 99,7% ² Р N.Brunsmann Da die Zufallsgröße X nur ganzzahlige Werte annehmen hann, müssen die Grenzen nötigenfalls aufgerundet werden (nur Richtung Inneres runden).