Alternativer Bildtext:

Grad des Linearfaktors (Faltorisierte Form) gibt die Mehrfachheit der Nullstelle an → ungerader. Exponent=. Graph schneidet x-Achse bei x₁ (Vorzeichenwechsel) → gerader Exponent = Graph berührt x-Achse bei xo (kein Vorzeichenwechsel) 2 z. B.: f(x) = (x+1)". x3. (x-1)²1,5x ↓ vierfache Nullstelle ↳ Graph berührt x-Achse Abwandlung von Funktionen in y-Richtung in x-Richtung. dreifache Nullstelle L> Graph schneidet x-Achse (VZW) g(x) = f(x) +d : doppelte Nullstelle ↳ Graph berührt x-Achse z. B. Funktionsscharen z.B. g(x) = f(x+c) Verschiebung f(x) -3 g(x) = (x+3) ² g(x)=x²+2 f(x) = x² g(x)=x²-2 Ableitung z.B.: fa(x) = x²-a fa'(x) = 2x d>0 → Verschiebung ↑ d<0 → Verschiebung ↓ Funktionsterm mit 2 Variablen c>0 → Verschiebung ← c<0 → Verschiebung f(x) einfache Nullstelle Graph schneidet x-Achse (VZW) f(x)=x² n g(x)=(x-4)² z.B. fa (x)=x²-a. Parameter a Zahl behandeln" wie eine Streckung/Stauchung g(x)= a. f(x) a 1 → Streckung (länger) z. B. Die maximal mögliche Anzahl der Nullstellen ist durch den Grad der Funktion gegeben Z.B.: 2x² + 3x → max. 2 NST GTR: Calculate → zero g(x)=0,5x³x² z.B. f(x) J 0<a</→ Stauchung (flacher). negatives Vorzeichen → Spiegelung an x-Achse f(x)=x²-2x² ·f(x) N.Brunsmann g(x) = f(b.x) b>1 → Stauchung (enger) <b</strong (rester) } negatives Vorzeichen → Spiegelung an y-Achse g(x)= (0,5x)³-2 (0,5x)². gleiche NST g(x)=2x³-4x² Hy g(x) = (2x) ³-2-(2x)². / f(x)=x³=2x² unterschied- liche NST Exponentialfunktionen f(x) = c.a* (a>0, à‡₁) ↑ Anfangswert (01) (3 a>1 → exponentielle Zunahme (z.B. f(x) = 2×) O<a<1 → exponentielle Abnahme (z. B. f(x) = 0,5*) ! keine NST Berechnung: log (a) = x-log(a) natürliche Exponentialfunktion (Exponential funktion zur Basis e) f(x)=ex Eulersche Zahl: e 2,72 ↳Variable nicht in der Basis, Sondern im Exponenten stimmt exalt mit Ableitung überein: • f'(x) = ex f(x) = e* F(x)=e* Grenzwertverhalten ex=0* (Werte nahe O und positiv) → oberhalb der x-Achse → heine NST! → Wertemenge : Tim X-→-00 Definitionsmenge: : alle reellen Zahlen lim ex = +∞0 8+个X : alle positiven reellen Zahlen Streng monoton steigend Umgekehrte e-Funktion: In-Funktion (umgekehrte Eigenschaften) (natürliche Logarithmusfunktion) y = ex -2 -1 0,5* K (0|1) y₁ LO y-Achsenabschnitt. Pl011) →Laut Potenzgesetz gilt nämlich eᵒ=1 5 4 3 2 1 0 frxj Natürlicher Logarithmus ex=bx = ln (b) z. B.: ex = 6 | In 1 x = ln (6) = 1,8 N.Brunsmann (1|e) 2 X 4 Ableitung → Steigung der Tangente am Graphen einer Funktion in jedem möglichen Punkt. Änderungsrate Beschreibung Graph (Bsp.) Formel Ableitungsregeln Regel Potenzregel Summenregel Faktorregel Kettenregel mittlere Änderungsrate Steigung der Selante durch die Punkte P(xol f(x)) + Q(xo+h/f(xo+h)) · f(xoth). f(xo) A f(x) Differenzenquotient Ausgangsfunktion f(x)= xn f(x) = g(x)+h(x) f(x)= r. g(x) f(x) = u(v(x)) Produktregel f(x) = g(x). h(x) e-Funktionen ableiten (Tipp). f(x)= ex²-1 f'(x) = 2x.e+² -1 f(xo+h)-f(x) bzw. f(x)-f(x₂) x - xo GTR: Calculate → dy/dx. Sehante Toth Ableitungsfunktion ・n-1 Exponenten ableiten + mit e multiplizieren" f'(x)=n. f'(x) = g'(x) + h'(x) f'(x) = r. g'(x) f'(x) = u' (v(x)). v'(x) f(x) momentane Änderungsrate Steigung der Tangente im Punkt P ( xolf(xd)). Ableitung der Funktion an der Stelle xo 1.f(x). f'(x) = Differenzialquotient lim h→0 Tangente f(xo+h)-f(x₂) h lim f(x)-f(x₂) f'(xo) = x-хо x-xo Beispiel f(x)=x4 → f'(x) = 4x³ f(x)= x4+x³ f'(x) = 4x³ + 3x² f(x)= 3x4 → f'(x) = 3.4x³ =12x³ f(x)= (5-3x)² → innere Funktion v(x) = 5-3x V'(x) = -3 f'(x) = -3-4v³ =-12-(5-3x)³ f'(x) = g'(x)- h(x) + g(x)- h'(x) = f(x) = (2x-3) e* → g(x) = 2x-3 × h(x) = ex | g'(x) = 2 h'(x) = ex f'(x) =((2x-3).ex) + (2.ex) =e* (2x-3+2) = ex.(2x-1) ausklammern Produkt- + Kettenregel kombiniert 2x z.B. f(x) = (2x+3) e² bzw. →g(x)=2x+3 ·g'(x) = 2 f'(x)= (2x+3). 2e²x + 2·.e²× = 2e²x. (2x+3) N.Brunsmann äußere Funktion u(v) = v4 u(v) = 4√3 · h(x) = @²x ³Xh²(x) = 2. e²x Zeichnen einer Ableitungsfunktion In welchen Bereichen steigt / fällt der Graph? ↳ Steigung: f'(x) oberhalb der x-Achse ↳Abnahme: f'(x) unterhalb der x-Achse An welchen Stellen hat der Graph von f(x) die Steigung 0? ↳ keine Steigung, wenn Tangente parallel zur x-Achse f'(x) = Nullstelle 3 An welchen Stellen hat der Graph von f(x) einen Wendepunkt? ↳ Stärkste Steigung ⇒ f'(x) = Extrempunkt (HP/TP) Tangentengleichung Tangente: y=mx+b Steigung Beispiel y-Achsenabschnitt f(x) Tangente f(x) = 0,5x²; P(418)→ f(x) | f(x) Ⓒ Steigung am Punkit bestimmen ↳ f'(x) Ⓒ f'(x) = x f'(4) = 4 →m=4 NST 2 WP 3 Gleichung aufstellen (m und b lassen). ⇒y=mx+b TP. y = mx +b 8=4.4+b 1 -16 -8=b ⇒y=mx+b 2 Koordinaten des Punktes einsetzen, um b herauszufinden ⇒y=mx+b NST. 3 N.Brunsmann y = 4x-8 X Kurvendiskussion Monotonie → Steigungsverhalten einer Funktion 6 Extremwerte → x-Werte, an denen der Graph einer Funktion die Steigung null (f'(x) =0) besitzt → Anderung des Monotonieverhaltens (VZW) = Extrempunht, andernfalls Sattelpunkt VZW von + nach :relatives Maximum bei xo (Hochpunkt) :relatives Minimum bei xo (Tiefpunkt) VZW von - nach + kein VZW: Sattelpunkt ! Ist eine Funktion nur auf einen Teilbereich von TR definiert, kann der maximale/minimale Wert auch am Rand dieses Bereichs angenommen werden (Randextremum) Randwerte berechnen! + ...positiver Bereich" hinreichende Bedingung " negativer Bereich! kein VZW →Sattelpunkt. Extremstellen rechnerisch bestimmen -2 f'(x) > 0 streng monoton zunehmend in J-00;-2[ f'(x) >0 im Intervall I → streng monoton zunehmend f'(x) <0 im Intervall I → streng monoton abnehmend nf(x) notwendige {f(x)=0 → Nulstellen der 1. Ableitung berechnen Ⓒf'(x) →1. Ableitung bestimmen Bedingung 2 3 Maximum/Minimum ? ✓ (3.1) Vorzeichenwechsel → Für jede Nullstelle überprüfen, ob f'(x). beim Fortschreiten von links nach rechts 3 über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt vzw f' von + nach- →Hochpunkt, f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 → streng monoton → streng monoton → streng monoton zunehmend in abnehmend in J-2; 3 [ zunehmend in ] 6; +00 [ J3;6 [ ↳ beliebigen x-Wert links + rechts von xo in f'(x) einsetzen ⇒ TP ; HP ; 77/\\ Sattelpunkt If. f(x) VZU f von nach + → Tiefpunkt (32) 2. Ableitung GTR Calculate → minimum/ : maximum N.Brunsmann → f"(x) → 2. Ableitung bestimmen →xo in 2. Ableitung einsetzen (f"(x) = 0 = f(x) > 0 →TP positiv f"(x) < 0 → HP negativ f"(x)=0 → Sattelpunkt möglich ↳ VZW Beispiel Extrema bestimmen Extrema n. B.: f'(x) = 0 ✪ Funktion 1. Ableitung 2. Ableitung : ^f(x) y-Werte f(6)=0 → TP (610) f(2)=8 → HP (218). Wendepunkte /Krümmungsverhalten (f(x) 0=0,75x² - 6x +91:0,75 0=x²-8x+12 1pq nf'(x) p=-8, 9=12 X₁₁2 = ( 2² ) ± √ (£) ²³ -9 X112= 4√√√16-12 X₁₁2 = 4± √√4 + X₁,2 = 4±2 x₁=2vx₂=6 f(x)= 0,25x3-3x² + 9x f'(x) = 0,75x² - 6x +9 f"(x) = 1,5x-6 Extremstellen von f(x) WP Vinksgekrümmt rechtsgeltimmt f"(x) > 0 HP f"(x) <0 NST. Wendetangente 1 Steigung am WP bestimmen ↳ f'(x) X X X h.B.: VZW 3 Gleichung aufstellen (m und b lassen) ⇒y=mx+b VZW Xo f'(xo). GTR Calculate → value : Steigung Extremum x < 2 1 3,75 x=2 2 0 HP oder: 2. Ableitung f"(x) #0 f(2)=1,5-2-6=-3 <0 → HP f"(6)= 1,5-6-6= 3 7>0 → TP ⇒y=mx+b 2 Koordinaten des WP einsetzen, um b herauszufinden ⇒y=mx+b 2<x<6 4 -3 f"(x) <0 im Intervall I →Rechtskrümmung f"(x) >0 im Intervall I → Linkskrümmung @ x=6 6 0 f(x) Bestimmung von Wendepunkten notwendige Bedingung: f"(x) = 0 (heine Krümmung) hinreichende Bedingung: f(x) #0 / VZW TP Wendestellen = x-Werte, an denen der Graph einer Funktion seine Krümmung wechselt Wendetangente N.Brunsmann x>6 7 3,75 Steckbriefaufgaben geg.: welcher Grad? → z.B. quadratische Funktion: f(x) = ax² + bx + c Ⓒ f'(x) und f"(x) (bei WP) aufstellen 3 gegebene Punkte deuten Ⓒ 2.B.: P (314) → f(3) = 4 > f(1) = 1 HP/TP(1/1)3 - f'(1₁)=0 7 f(²)=3 WP (213) f(2)=0 4 Symmetrieeigenschaften ausnutzen z. B.: achsensymmetrisch: nur gerade Exponenten (z.B.. punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten (z. B.: 55 lineares Gleichungssystem aufstellen ↳ GTR (Matrix rref) / schriftlich 6 Funktion aufstellen z. B.: f(x) = 2x² +0,5x +4 Extremwertaufgaben ↳ Gauß-Verfahren Extrema bestimmen ↳S.S. 6 5 Bezug zur Aufgabe z. B.: Matrix = ↳ Extremwert in oder einsetzen => Antwortsatz! f'(x) = 2ax +b f"(x) = 2a 1 2 2 Extremalbedingung 2.B. Flächeninhalt: Aa₁b = a·b max/min 2 Nebenbedingungen z.B. 2a+b=30|-2a b= 30-2a 3 Zielfunktion aufstellen ( in einsetzen) Z.B.: f(x) = ax + cx² + f(x) = bx³ + dx + e) a. (1) ² + b⋅ (1) + c = 1 2a. (1) + b = 0 22 1 1 Man benöligt genauso viele Informationen wie Unbekannte 1 1 0 O Гоо = 0 rref A(a)= a. (30-2a) A(ə) = 30a-2a² 11 ܠ ܘ ܘ a + b + c = 1 2a + b 2a ܘ ܥ ܘ OO 0 0 1 N.Brunsmann 2 a=2 0,5 b=0,5 4 C = 4 Integral O A Flächenbilanz zwischen Graph + x-Achse b←obere Integrationsgrenze •Funktion Sf(x) dx auntere Integrationsgrenze Integral im Intervall a bis b der Funktion f(x)". Stammfunktion Eine Funktion F heißt Stammfunktion wenn gilt: F₁(x) = f(x) Die Ableitung der Stammfunktion 11 ergibt die Ausgangsfunktion" Berechnung f(x) = x^ f(x) dx = [F(x)] Faktorregel der Stammfunktion F(x) = n+1 Summenregel Integrationsvariable b Flächenberechnung in+1 - X Haupsatz der Differenzial - + Integralrechnung (Bestimmtes Integral) = F(b)-F(a) ..zwischen Graph + x-Achse 2.B. f(x) = 2x² : z.B.: · f(x) dx = ⋅k⋅ ( f(x) dx √ (f(x) = g(x) dx Intervalladditivität √f(x) dx = √ f(x) dx + [ f(x) dx F(x) = 3·2× ³ = ²/3 × ³ 3. 2x 3 X - {6) dx = (g(x) dx = ( f(x) dx ± Ⓒ Beträge der Einzelintegrale zwischen NST (bzw. zwischen Grenze + NST) addieren 1 f(x) Nullstellen von f im Intervall [a,b] berechnen → f(x) = 0 F(x) abgeleitet f(x) abgeleitet > f'(x) 4 x dx = [ 1² ײ] = F(4) - F(1) = 1 · 4² - ( 1½ · (1)²) = 7,5 Mit GTR : Integral f(x) dx Ал A = A₁ + A₂+ A3 N.Brunsmann 1. 2nd Calculate (Trace) 2. 7: Sf(x) dx auswählen 3. untere + obere Grenze eingeben ^ f(x). VA A3 · A₂ X | | | | f(x) dx + S f(x) dx ·|·| 1540m) 4² f(x) dx (FE) 10 zwischen zwei Graphen 4 Schnittstellen der Graphen im Intervall [a; b] berechnen. → f(x) = g(x) GTR: Calculate →intersect 2 Differenzfunktion bilden → d(x) = f(x) - g(x) 3 Beträge der Einzelintegrale zwischen Schnittstellen (bzw. zwischen Grenze + Schnittstelle) addieren A = A₁ + A₂+A3 1 m = b-a Mittelwertberechnung b 8 ( Х2 Sadro dx |- | Sara dx |· |S d(x) + d(x) xq f(x) dx NST Funktionen im Sachzusammenhang Frage im Sachzusammenhang Wann wächst die Pflanze nicht? Volumen von Rotationshörpern Wie hoch ist die Wachstumsgeschwindig- heit innerhalb der ersten 4 Wochen? f(t) Wachstumsgeschwindigkeit (in cm/Woche) Mittelwert - | | | | b V = πr. S (f(x))² dx ・S (f(e)})³ª Wachstum in den ersten 4 Wochen A 2 d(x) dx (FE) HP → maximale Wachstumsgeschwindigkeit Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit am höchsten? Wo erreicht die Ableitung von f ihr Minimum? Wann nimmt die Wachstumsgeschwin- digheit am stärksten ab? Wie viel ist die Pflanze in den ersten Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f 4 Wochen gewachsen? mit der x-Achse im Intervall [0;4] ein? A₁ Frage bei der Funktionsuntersuchung Wo hat die Funktion Nullstellen? Wo erreicht die Funktion ihr Maximum? maximale Abnahme der → Wachstumsgeschwindigkeit WP Es spielt heine Rolle, welcher Graph über. welchem liegt, da der Betrag gebildet wird (positives Ergebnis). X₂ Mit GTR: Welchen Mittelwert hat die Funktion im Intervall [0;4]? f(x) → Zeit (in Wochen) A₂ x3 A3 N.Brunsmann b 1. Funktionen eingeben 2. VARS →YVARS → Y₁-Y₂ ↳ Differenzfunktion Rechenverfahren 41. $f(t) dt f(x) = 0 Extrema (HP) bestimmen + Definitionsränder Wendepunkt(e) bestimmen + Definitionsränder Integral berechnen Šf(t) dt. 0 X 11 Punkte im Raum hartesisches Koordinatensystem Vektoren AB 8 Vektor = Pfeil mit einer Länge + Richtung ein Vektor hat unendlich viele Pfeile im Raum Berechnung eines Verbindungsvektors A(al ala); B (b₂ | b₂ lbs) b₁-2₁ b₂-22 b3-23 275/3/1/2 •P(21313) 2₁ r.||³₂| = 23 3 /r.2₁` r.a₂ r. 23 GEOMETRIE f(x) Addition + Subtraktion einzelne koordinaten der Velitoren werden addiert /subtrahiert Af(x) DA Multiplikation → jede Koordinate wird mit dem Shalar r multipliziert koeffizienten Betrag eines Veltors (Länge des Pfeils) lªi= √ (a₂)² + (a₂)² + (a3)² | 10₁ D₂ a + b² = ²₂ + b₂ = 23 Abstand zweier Punkte im Raum AB = √ (b₁-2₁)² + (b₂-a₂)² + (b3-23)²¹ /a₁ + bil a₂ + b₂ 23 + b3 Linearhombination = Summe mehrerer Vektoren mit koeffizienten Bei der Multiplikation eines Vektors verlängert man ihn um das r-fache" a-b²= ^f(x) Bei der Addition zweier Veltoren hängt man den Anfang des 2. Vektors "1 an das Ende des 1. Velitors →→Start + Ende = neuer Vektor 3 r·☎ + s.b + t·ể → Linearhombination der Vektoren 2, 5,2. OA = Ortsvektor A BC = Verbindungsvektor zwischen. Punkt B und Punkt & Gegenvektor von BC -BC = (3-6)- N.Brunsmann /2₁-b₁) a₂-b₂ 2₂-b3 Lineare (Un-) Abhängigkeit →2 Vektoren und b sind.... linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander (= kollinear) oder parallel zueinander sind 2²=h²b² bzw. 3||6. linear unabhängig, wenn 2 #4.5² bzw. 35 (12) →3 Vektoren, bound 2 sind.... ... linear abhängig, wenn sie alle in einer Ebene liegen linear unabhängig, wenn sie einen Raum aufspannen Shalarprodukt 3*5 -0-0) =a₂b₂ = a₁.b₁ + a₂·b₂ + A3·b3 to to to Winkel zwischen Vektoren 3 4. Geraden cosi = 3 ×B 121.161 Geradengleichung (Parameterform): 9:x=p+r.u ↑ T Stützvelitor Richtungsvektor Lage zweier Geraden identisch Stützveltor liegt auf der Geraden → SVg=h nein 2.8.: 3-(1) B-(²³) B= Orthogonalität 36 → 3*B=0 parallel Richtungsvektoren sind kollinear → RUg = k· RVn cosa = = ·3.B 131.161 Wenn das Shalarprodukt null ergibt, h sind orthogonal und (senkrecht) zueinander. [₂ 18 Yaal 7301 L = 7,61° nein Schnittpunkt ↳r/s in Geraden - gleichung einsetzen ·1·2+3.5+.1.1 =√1²+3² +1² √2² +5² + 1² ! cos-1 Geraden schneiden sich ·xg = xn N.Brunsmann Man hann jeden. Punkt auf einer Geraden erreichen, indem man den Statzveltor zu einem Punkt auf der Geraden festlegt + dann die in Richtung des Richtungs vektors läuft"! Sortieren: Buchstaben links, Zahlen rechts." nein wind schief 13 Beispiel 9₁* - (37) +- (3) ·* - () - ₁. (3) = 9: r. h: +S. (3³) = 4. (1) ⒸRVg = k· RVn © ²² (1) -- () - E) - (1) 2 7g xh +r. +S 2 Mit GTR : Ebenen ↑ Stützvektor Ebenengleichung (Parameterform): E: Xết rút sự S.V R 2=k 3= k = 24 3 SP berechnen r bzw. s in die Geradengleichung einsetzen →→→ Spannvektoren 1. Buchstaben links, Zahlen rechts 2. Matrix → Edit → in 3x3-Matrix nur Zahlen eintragen nutzen + Matrix einfügen k. (linear unabhängig) L 3. Math → rref- Befehl 4. Ergebnisse interpretieren ↳ Diagonale aus der Zahl 1, rechts beliebige Zahlen → wahres Ergebnis, Schnitt punkt ↳ letzte Zeile 0=1 windschief, hein SP Lage eines Punktes zu einer Ebene Punkt liegt auf der Ebene, wenn gilt. Lage einer Gerade zu einer Ebene XE X Widerspruch →g hein Vielfaches von h und somit auch weder parallel noch identisch GTR- Ergebnis (Bsp.) 7 + 2r = 4 +S -2 + 3r=-6 +S 2 + r = -1 +2s BX Gauß- Verfahren, 6TR,... Durchstoßpunkt ло 1 01 05 0012 → eine Lösung wahres Ergebnis →g schneidet h +1. oš - (1) ++ (2) - (5) → SP (51-511) parallel zueinander 1 0 1 0 0 1 10 0001 → keine Lösung Aufstellen der Gleichung mit 3 gegebenen Punkten (A, B, C) N.Brunsmann E:X = OÀ + r· AB + 5 - AC S. g liegt in E 1012 1-22 оооо → unendlich viele Lösungen 14 Mehrstufige Zufallsexperimente z.B.: Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments دام داع b 16 Ergebnis Ergebnisse e Wahrscheinlichheit P(e) Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis erhält man, Pfades multipliziert Z.B.: P(rb) = 24 = 1 STOCHASTIK Ergebnismenge S = alle mögliche Ergebnisse des Zufall experiments s={rr; rb; br; bb} ws': Im ersten Zug wurde eine role und im zweiten Zug eine blaue Kugel gezogen" rr 16. Wahrscheinlichkeitsverteilung (,, Tabelle zum Baumdiagramm") rb 3 16. "I br | | heinmal rot" 3 Ereignis E= Teilmenge der Ergebnismenge S E = {rr; rb; br} Es wird mindestens 1x rot gezogen' "1 16 h , " indem man die Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen bb 1 16 Summenregel: : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert z. B.: P(E) = P(T) + P(rb) + P(br) = 1 + 2 + 2 = 15 3766=1₁1 Gegenereignis E = alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören (" begenteil eines Ereignisses") z.B.: E = {rr; rb; br} E = 1- P(E) = 1 - 15 = 4/ E = { bb} N.Brunsmann Laplace-Experimente → Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Würfeln) 45 B B Erklärung Baumdiagramm Vierfeldertafel Formel x = «Mü" A Ā ६ P(ANB) P(ANB) P(B) X1₁ Xi P(X=x₁) P₁ Bedingte Wahrscheinlichkeit PA (B) # P(B): Ereignisse A und B sind Stochastisch abhängig PA(B) = bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraus- setzung, dass A eingetreten ist" P(ANB) P(ANB) P(B) P(A) P(A) 1 X₂ P₂ PA(B) = Mittelwert/Arithmetisches Mittel Summe aller Werte Anzahl der Werte geschnitten" P(ANB) P(A). Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten z. B.: P₁(B) = P(AMB) .P(A). abhängig, wenn P(ANB) + P(A). P(B) Zufallsgrößen • ordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu → Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X: P(ANB) PA(B) P(A) Xn → Ergebnisse Pn → zugehörige Wahrscheinlichkeiten z.B. Notendurchschnitt M = x₁ · P₁ + x₂: P₂ + x3 · P3 + ... Xn`Pn Stochastische Unabhängigkeit P₁ (B) = P(B): Ereignisse A und B sind Stochastisch unabhängig Das Eintreten von A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von B nicht" 10. P(ANB)=P(A). P(B) P₁(B) id P(A) Bsp.: Gewinn-/Verlust auf lange Sicht (<0= unfair ; ≥ 0=fair) B B P(ANB) P(ANB) · ... P(A) Ā Erwartungswert erwarteter Mittelwert bei einer großen Anzahl von Durchführungen des Zufallsexperiments B Median alle Werte der Größe nach sortieren mittlere Zahl N.Brunsmann es kann auch mit P(B) begonnen werden. (Schnittmengen bleiben gleich) Man multipliziert jeden Wert, den X annehmen kann, mit seiner Wahrscheinligheit und addiert die Ergebnisse " 16 Standardabweichung → Streuung der Werte um den Erwartungswert M. der Zufallsgröße X 8 = √(x₂₁-M) ². P(x=x₂) + ( x₂ - M)². P(x=x₂) + (x¸-M) ². P(x=x₂) + ... + (xn-M) ². P(x=x₂) M)² i Man berechnet die Abweichungen der einzelnen Werte vorn Mittelwert, quadriert sie + multipliziert sie mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Daraus bildet man die Summe und zieht anschließend die Wurzel". Prognose für Standardabweichung bei großer Anzahl von Durchführungen. Binominalverteilung Bernoulli-Experiment Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ergebnissen (Treffer und Niete) ↳n-fache unabhängige Wiederholung eines Bernoulli- Experiments = Bernoulli-Kette der Länge n ↳p= Trefferwahrscheinlichheit → bleibt konstant ! q=1-p= Nieten-Wahrscheinlichkeit Bernoulli-Formel Wahrscheinlichkeit für & Treffer Binominalkoeffizient (Anzahl der Zweige),n über 4" ✓ n-k P(x=h) = (₁²) ² p²² (1-p) ^~ Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit (Nielen-Wahrscheinlichkeit) P Versuche Treffer Trefferwahrscheinlichkeit humulierte Wahrscheinlichkeit, Summe mehrerer Wahrscheinlichkeiten zur Trefferzahl hª P(X ≤h) = p(x=0) + P (x = 1) + ... + P(x=4) ↑ GTR : binomcdf (n,A,G) Erwartungswert. M=.n.p Berechnung Binominalkoeffizient GTR: n, Math, PRB, nCr, N.Brunsmann genau k Treffer: P(x=k) → binompdf (n.p.k) / Bernoulli-Formel höchstens & Treffer: P(x≤4) → binomcdf (n₁p, h) mindestens k. Treffer: P(x≤h) = 1- P(x≤h-1) → analog zu oben weniger als k Treffer: P(x<h) = P(x<h-1) → s.o. mehr als h Treffer: P(x>h) = 1- P(x≤h) → s.o. mindestens 4, aber höchstens h Treffer: P(k≤x≤h) = P(x ≤h) - P(x≤ h-1) Standardabweichung 5= √/ n.p. (^-p! kumulierte Wahrscheinlichkeiten (P(x64)) hönnten. sich auch mit der Bernoulli-Formel berechnen lassen, dies wär jedoch sehr umständlich. Deshalb: binom- cdf-Funktion im. GTR" 17 Problemlösen mit der Binominalverteilung Тур 1 2 3 gegeben п, р, к Ph, Wahrschein- lichkeit n,h, Wahrschein- lichkeit gesucht Lösungsweg (GTR). Wahrscheinlichheit binompdf/binomcdf→ P(x=4) 'n Tabelle erstellen mit binomcdf (x, p,k). →y-Wert passend zu der Wahrscheinlichheit suchen ↳x-Wert = n · Graphen zur Funktion binom Cdf (n,x, 4) anzeigen lassen, → Schnittpunkt mit Geraden (Wert ist die Wahrscheinlichkeit) N.Brunsmann Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte einer binominal verteilten Zufallsgröße in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert M liegen x 1. 6-Intervall [M-5₁M+6] → P(M-6 ≤X ≤ M+ 5) ≈ 68,3% 2. 26-Intervall [M-25;M+25]→ P(M-25≤X<M+26) ≈ 95,4% 3. 36-Intervall [M-35;M+35] → P(M-35≤x≤M+35) * 99,7% ! Da die Zufallsgröße X nur ganzzahlige Werte annehmen kann, müssen die Grenzen nötigenfalls aufgerundet werden (nur Richtung Inneres runden).