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29. Nov. 2025
•
Anna Geiger
@annageiger_05
Funktionen analysieren ist eigentlich gar nicht so schwer, wenn du... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Berg hoch oder runter - genau so verhalten sich Funktionen! Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn sie kontinuierlich ansteigt (wie bergauf fahren). Das erkennst du daran, dass für x₁ < x₂ immer f(x₁) < f(x₂) gilt. Bei streng monoton fallend ist es umgekehrt - die Funktion fällt kontinuierlich (wie bergab fahren).
Der Monotoniesatz macht's dir einfach: Wenn f'(x) > 0 ist, steigt die Funktion. Wenn f'(x) < 0 ist, fällt sie. So musst du nicht den ganzen Graphen zeichnen, sondern schaust einfach auf das Vorzeichen der ersten Ableitung!
Extremstellen sind die Berggipfel und Täler deiner Funktion - also lokale Maxima (Hochpunkte) und Minima (Tiefpunkte). Diese findest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest.
Merktipp: f'(x) = 0 bedeutet: Hier könnte ein Extrempunkt sein! Aber das musst du noch überprüfen.
Extremstellen zu finden ist wie Schatzsuche - du brauchst die richtige Technik! Zuerst berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung f'(x) = 0. Das sind deine "Kandidaten" für Extremstellen.
Dann musst du checken, ob da wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Möglichkeit 1 ist das Vorzeichenwechselkriterium: Schau dir das Vorzeichen von f'(x) links und rechts von deinem Kandidaten an. Wechselt f'(x) von minus zu plus, hast du ein Minimum gefunden. Von plus zu minus bedeutet Maximum.
Möglichkeit 2 ist die zweite Ableitung: Wenn f''(x₀) > 0, dann ist x₀ ein Minimum. Wenn f''(x₀) < 0, dann ist x₀ ein Maximum. Das ist meist schneller als das Vorzeichenwechselkriterium!
Falls f''(x₀) = 0 ist, kannst du keine Aussage treffen und musst doch das Vorzeichenwechselkriterium verwenden. Manchmal hast du auch einen Sattelpunkt - da gibt's keinen Vorzeichenwechsel, sondern die Funktion "berührt" nur kurz die waagerechte Linie.
Profi-Tipp: Verwende immer zuerst die zweite Ableitung - das ist meistens schneller und einfacher!
Wendestellen zeigen dir, wo deine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das ist wie beim Autofahren, wenn sich die Straße von einer Rechtskurve in eine Linkskurve verwandelt.
Wendestellen findest du durch die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x) = 0. Diese musst du dann überprüfen - entweder mit der dritten Ableitung (wenn f'''(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Wendestelle) oder mit dem Vorzeichenwechselkriterium für f''(x).
Das Krümmungsverhalten erkennst du am Vorzeichen der zweiten Ableitung: Wenn f''(x) > 0, dann ist der Graph eine Linkskurve (wie ein Lächeln 😊). Wenn f''(x) < 0, dann ist er eine Rechtskurve (wie ein trauriger Mund 😔).
Die Intervalle, die du untersuchst, liegen immer zwischen zwei Wendestellen. So kannst du für jeden Abschnitt bestimmen, ob die Funktion links- oder rechtsgekrümmt ist.
Eselsbrücke: f'' > 0 = Linkskurve = Lächeln nach oben! f'' < 0 = Rechtskurve = trauriger Mund nach unten.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna Geiger
@annageiger_05
Funktionen analysieren ist eigentlich gar nicht so schwer, wenn du weißt, worauf du achten musst! Hier lernst du, wie du mithilfe der ersten und zweiten Ableitung herausfindest, wo eine Funktion steigt oder fällt, wo ihre Hoch- und Tiefpunkte liegen und... Mehr anzeigen
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Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Berg hoch oder runter - genau so verhalten sich Funktionen! Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn sie kontinuierlich ansteigt (wie bergauf fahren). Das erkennst du daran, dass für x₁ < x₂ immer f(x₁) < f(x₂) gilt. Bei streng monoton fallend ist es umgekehrt - die Funktion fällt kontinuierlich (wie bergab fahren).
Der Monotoniesatz macht's dir einfach: Wenn f'(x) > 0 ist, steigt die Funktion. Wenn f'(x) < 0 ist, fällt sie. So musst du nicht den ganzen Graphen zeichnen, sondern schaust einfach auf das Vorzeichen der ersten Ableitung!
Extremstellen sind die Berggipfel und Täler deiner Funktion - also lokale Maxima (Hochpunkte) und Minima (Tiefpunkte). Diese findest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest.
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Extremstellen zu finden ist wie Schatzsuche - du brauchst die richtige Technik! Zuerst berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung f'(x) = 0. Das sind deine "Kandidaten" für Extremstellen.
Dann musst du checken, ob da wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Möglichkeit 1 ist das Vorzeichenwechselkriterium: Schau dir das Vorzeichen von f'(x) links und rechts von deinem Kandidaten an. Wechselt f'(x) von minus zu plus, hast du ein Minimum gefunden. Von plus zu minus bedeutet Maximum.
Möglichkeit 2 ist die zweite Ableitung: Wenn f''(x₀) > 0, dann ist x₀ ein Minimum. Wenn f''(x₀) < 0, dann ist x₀ ein Maximum. Das ist meist schneller als das Vorzeichenwechselkriterium!
Falls f''(x₀) = 0 ist, kannst du keine Aussage treffen und musst doch das Vorzeichenwechselkriterium verwenden. Manchmal hast du auch einen Sattelpunkt - da gibt's keinen Vorzeichenwechsel, sondern die Funktion "berührt" nur kurz die waagerechte Linie.
Profi-Tipp: Verwende immer zuerst die zweite Ableitung - das ist meistens schneller und einfacher!
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Wendestellen zeigen dir, wo deine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das ist wie beim Autofahren, wenn sich die Straße von einer Rechtskurve in eine Linkskurve verwandelt.
Wendestellen findest du durch die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x) = 0. Diese musst du dann überprüfen - entweder mit der dritten Ableitung (wenn f'''(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Wendestelle) oder mit dem Vorzeichenwechselkriterium für f''(x).
Das Krümmungsverhalten erkennst du am Vorzeichen der zweiten Ableitung: Wenn f''(x) > 0, dann ist der Graph eine Linkskurve (wie ein Lächeln 😊). Wenn f''(x) < 0, dann ist er eine Rechtskurve (wie ein trauriger Mund 😔).
Die Intervalle, die du untersuchst, liegen immer zwischen zwei Wendestellen. So kannst du für jeden Abschnitt bestimmen, ob die Funktion links- oder rechtsgekrümmt ist.
Eselsbrücke: f'' > 0 = Linkskurve = Lächeln nach oben! f'' < 0 = Rechtskurve = trauriger Mund nach unten.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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MatheEntdecken Sie die Lösungen zu den Aufgaben auf Seite 86 des Mathebuchs Lambacher Schweizer EF. Diese Zusammenfassung behandelt die Anwendung der Differenzierung, Nullstellen, Extrempunkte und charakteristische Punkte von Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Mathematik vertiefen möchten.
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MatheErfahren Sie, wie man Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt notwendige und hinreichende Bedingungen, das Vorzeichenwechselkriterium und bietet ein Beispiel zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Ableitungen und Extremwerten beschäftigen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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