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Aktualisiert Mar 12, 2026
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Berechnung von Extrem- und Wendepunkten
A
Anna Geiger
@annageiger_05
1 / 3
Monotonie und Extremstellen
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Berg hoch oder runter - genau so verhalten sich Funktionen! Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn sie kontinuierlich ansteigt (wie bergauf fahren). Das erkennst du daran, dass für x₁ < x₂ immer f(x₁) < f(x₂) gilt. Bei streng monoton fallend ist es umgekehrt - die Funktion fällt kontinuierlich (wie bergab fahren).
Der Monotoniesatz macht's dir einfach: Wenn f'(x) > 0 ist, steigt die Funktion. Wenn f'(x) < 0 ist, fällt sie. So musst du nicht den ganzen Graphen zeichnen, sondern schaust einfach auf das Vorzeichen der ersten Ableitung!
Extremstellen sind die Berggipfel und Täler deiner Funktion - also lokale Maxima (Hochpunkte) und Minima (Tiefpunkte). Diese findest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest.
Merktipp: f'(x) = 0 bedeutet: Hier könnte ein Extrempunkt sein! Aber das musst du noch überprüfen.
Berechnung von Extremstellen
Extremstellen zu finden ist wie Schatzsuche - du brauchst die richtige Technik! Zuerst berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung f'(x) = 0. Das sind deine "Kandidaten" für Extremstellen.
Dann musst du checken, ob da wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Möglichkeit 1 ist das Vorzeichenwechselkriterium: Schau dir das Vorzeichen von f'(x) links und rechts von deinem Kandidaten an. Wechselt f'(x) von minus zu plus, hast du ein Minimum gefunden. Von plus zu minus bedeutet Maximum.
Möglichkeit 2 ist die zweite Ableitung: Wenn f''(x₀) > 0, dann ist x₀ ein Minimum. Wenn f''(x₀) < 0, dann ist x₀ ein Maximum. Das ist meist schneller als das Vorzeichenwechselkriterium!
Falls f''(x₀) = 0 ist, kannst du keine Aussage treffen und musst doch das Vorzeichenwechselkriterium verwenden. Manchmal hast du auch einen Sattelpunkt - da gibt's keinen Vorzeichenwechsel, sondern die Funktion "berührt" nur kurz die waagerechte Linie.
Profi-Tipp: Verwende immer zuerst die zweite Ableitung - das ist meistens schneller und einfacher!
Wendestellen und Krümmungsverhalten
Wendestellen zeigen dir, wo deine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das ist wie beim Autofahren, wenn sich die Straße von einer Rechtskurve in eine Linkskurve verwandelt.
Wendestellen findest du durch die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x) = 0. Diese musst du dann überprüfen - entweder mit der dritten Ableitung (wenn f'''(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Wendestelle) oder mit dem Vorzeichenwechselkriterium für f''(x).
Das Krümmungsverhalten erkennst du am Vorzeichen der zweiten Ableitung: Wenn f''(x) > 0, dann ist der Graph eine Linkskurve (wie ein Lächeln 😊). Wenn f''(x) < 0, dann ist er eine Rechtskurve (wie ein trauriger Mund 😔).
Die Intervalle, die du untersuchst, liegen immer zwischen zwei Wendestellen. So kannst du für jeden Abschnitt bestimmen, ob die Funktion links- oder rechtsgekrümmt ist.
Eselsbrücke: f'' > 0 = Linkskurve = Lächeln nach oben! f'' < 0 = Rechtskurve = trauriger Mund nach unten.
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Berechnung von Extrem- und Wendepunkten
A
Anna Geiger
@annageiger_05
Funktionen analysieren ist eigentlich gar nicht so schwer, wenn du weißt, worauf du achten musst! Hier lernst du, wie du mithilfe der ersten und zweiten Ableitung herausfindest, wo eine Funktion steigt oder fällt, wo ihre Hoch- und Tiefpunkte liegen und... Mehr anzeigen
Monotonie und Extremstellen
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad einen Berg hoch oder runter - genau so verhalten sich Funktionen! Monotonie beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn sie kontinuierlich ansteigt (wie bergauf fahren). Das erkennst du daran, dass für x₁ < x₂ immer f(x₁) < f(x₂) gilt. Bei streng monoton fallend ist es umgekehrt - die Funktion fällt kontinuierlich (wie bergab fahren).
Der Monotoniesatz macht's dir einfach: Wenn f'(x) > 0 ist, steigt die Funktion. Wenn f'(x) < 0 ist, fällt sie. So musst du nicht den ganzen Graphen zeichnen, sondern schaust einfach auf das Vorzeichen der ersten Ableitung!
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Berechnung von Extremstellen
Extremstellen zu finden ist wie Schatzsuche - du brauchst die richtige Technik! Zuerst berechnest du die Nullstellen der ersten Ableitung f'(x) = 0. Das sind deine "Kandidaten" für Extremstellen.
Dann musst du checken, ob da wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Möglichkeit 1 ist das Vorzeichenwechselkriterium: Schau dir das Vorzeichen von f'(x) links und rechts von deinem Kandidaten an. Wechselt f'(x) von minus zu plus, hast du ein Minimum gefunden. Von plus zu minus bedeutet Maximum.
Möglichkeit 2 ist die zweite Ableitung: Wenn f''(x₀) > 0, dann ist x₀ ein Minimum. Wenn f''(x₀) < 0, dann ist x₀ ein Maximum. Das ist meist schneller als das Vorzeichenwechselkriterium!
Falls f''(x₀) = 0 ist, kannst du keine Aussage treffen und musst doch das Vorzeichenwechselkriterium verwenden. Manchmal hast du auch einen Sattelpunkt - da gibt's keinen Vorzeichenwechsel, sondern die Funktion "berührt" nur kurz die waagerechte Linie.
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Wendestellen und Krümmungsverhalten
Wendestellen zeigen dir, wo deine Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert - von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve oder umgekehrt. Das ist wie beim Autofahren, wenn sich die Straße von einer Rechtskurve in eine Linkskurve verwandelt.
Wendestellen findest du durch die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x) = 0. Diese musst du dann überprüfen - entweder mit der dritten Ableitung (wenn f'''(x₀) ≠ 0, dann ist x₀ eine Wendestelle) oder mit dem Vorzeichenwechselkriterium für f''(x).
Das Krümmungsverhalten erkennst du am Vorzeichen der zweiten Ableitung: Wenn f''(x) > 0, dann ist der Graph eine Linkskurve (wie ein Lächeln 😊). Wenn f''(x) < 0, dann ist er eine Rechtskurve (wie ein trauriger Mund 😔).
Die Intervalle, die du untersuchst, liegen immer zwischen zwei Wendestellen. So kannst du für jeden Abschnitt bestimmen, ob die Funktion links- oder rechtsgekrümmt ist.
Eselsbrücke: f'' > 0 = Linkskurve = Lächeln nach oben! f'' < 0 = Rechtskurve = trauriger Mund nach unten.
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Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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