Pyramide und Prisma

In diesem Abschnitt des Lernzettels werden die geometrischen Körper Pyramide und Prisma behandelt. Beide Körper haben einzigartige Eigenschaften und spezielle Formeln für die Berechnung von Oberfläche, Volumen und Mantelfläche.

Für die Pyramide gelten folgende Formeln:

• Oberfläche: O = G + M (G = Grundfläche, M = Mantelfläche)
• Volumen: V = 1/3 · G · h
• Mantelfläche: M = 1/2 · U · s (U = Umfang der Grundfläche, s = Seitenhöhe)

Definition: Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper, dessen Grundfläche von Dreiecken, Vierecken oder Fünfecken umgeben ist. Die Spitze der Pyramide hat einen bestimmten Abstand zur Grundfläche, der als Höhe bezeichnet wird.

Eine Beispielaufgabe verdeutlicht die Anwendung dieser Formeln:

Beispiel: Für eine Pyramide mit Grundfläche G = 25 cm² und Höhe h = 15 cm:

• Oberfläche: O = 775 cm²
• Volumen: V = 125 cm³
• Mantelfläche: M = 750 cm²

Für das Prisma werden folgende Formeln angegeben:

• Oberfläche: O = 2 · G + M
• Volumen: V = G · h
• Mantelfläche: M = U · h

Definition: Ein Prisma ist ein Körper mit mindestens zwei zueinander parallelen, kongruenten Vielecken als Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Quader und Würfel sind spezielle Formen von Prismen.

Eine Beispielaufgabe für ein gerades Prisma wird ebenfalls präsentiert:

Beispiel: Für ein gerades Prisma mit Umfang u = 5 cm, Länge l = 12 cm, Mantelfläche M = 60 cm² und Grundfläche G = 25 cm²:

• Oberfläche: O = 3000 cm²
• Volumen: V = 300 cm³
• Mantelfläche: M = 60 cm²

Diese detaillierten Erklärungen und Beispiele helfen Schülern, die komplexen Konzepte von Pyramiden und Prismen besser zu verstehen und die entsprechenden Berechnungen durchzuführen.

Kegel und Kugel

Der letzte Teil des Lernzettels befasst sich mit den geometrischen Körpern Kegel und Kugel. Beide Körper haben spezielle Eigenschaften und erfordern spezifische Formeln für die Berechnung von Oberfläche, Volumen und Mantelfläche.

Für den Kegel gelten folgende Formeln:

• Oberfläche: O = π · r² + π · r · s
• Volumen: V = 1/3 · π · r² · h
• Mantelfläche: M = π · r · s

Definition: Ein Kreiskegel ist ein geometrischer Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Bei einem geraden Kegel sind alle Mantellinien gleich lang, und der Mantel bildet einen Kreisausschnitt.

Eine Beispielaufgabe veranschaulicht die Anwendung dieser Formeln:

Beispiel: Für einen Kegel mit Radius r = 5 cm und Seitenlänge s = 14 cm:

• Oberfläche: O ≈ 298,45 cm²
• Volumen: V ≈ 366,52 cm³
• Mantelfläche: M ≈ 314,16 cm²

Für die Kugel werden folgende Formeln präsentiert:

• Oberfläche: O = 4 · π · r²
• Volumen: V = 4/3 · π · r³

Definition: Die Kugel ist ein besonderer geometrischer Körper, der in vielen Punkten dem zweidimensionalen Kreis ähnelt. Sie besitzt weder Ecken noch Kanten.

Eine Beispielaufgabe für die Kugel wird ebenfalls vorgestellt:

Beispiel: Für eine Kugel mit Radius r = 5 cm:

• Oberfläche: O ≈ 314,16 cm²
• Volumen: V ≈ 523,60 cm³

Diese detaillierten Erklärungen und Beispiele helfen Schülern, die komplexen Konzepte von Kegel und Kugel besser zu verstehen und die entsprechenden Berechnungen durchzuführen.

Highlight: Die Formeln für Kegel und Kugel sind besonders wichtig in der Geometrie und finden in vielen praktischen Anwendungen Verwendung, wie beispielsweise bei der Berechnung des Volumens von kegelförmigen Behältern oder der Oberfläche von kugelförmigen Objekten.

Durch die Kombination von klaren Definitionen, präzisen Formeln und anschaulichen Beispielen bietet dieser Abschnitt des Lernzettels eine umfassende Einführung in die Berechnung von Volumen und Oberfläche von Kegel und Kugel.