Kurvendiskussion: Allgemeiner Ablauf

Die Kurvendiskussion ist ein systematisches Verfahren zur Analyse einer Funktion. Sie umfasst folgende Schritte:

1. Ableitungen bilden (f'(x), f''(x), f'''(x))
2. Definitionsmenge/-bereich bestimmen
3. Symmetrie untersuchen
4. Grenzverhalten analysieren
5. Monotonie ermitteln
6. Schnittpunkte mit Koordinatenachsen finden
7. Nullstellen berechnen
8. Extrema bestimmen
9. Wendepunkte finden
10. Graph skizzieren

Definition: Die Definitionsmenge einer Funktion umfasst alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist.

Besonderheiten bei der Bestimmung der Definitionsmenge:

• Bei Wurzelfunktionen muss der Radikand nicht-negativ sein
• Bei Bruchfunktionen darf der Nenner nicht null werden
• E-Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert

Highlight: Die Kenntnis der Definitionsmenge ist entscheidend für die korrekte Analyse einer Funktion.

Lineare und ganzrationale Funktionen

Lineare Funktionen werden durch die Gleichung f(x) = mx + b beschrieben, wobei m die Steigung und b den Y-Achsenabschnitt darstellt. Ganzrationale Funktionen sind Polynome, die je nach Grad unterschiedliche Eigenschaften aufweisen können.

Definition: Der Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion die y-Achse schneidet.

Ganzrationale Funktionen können Hoch- und Tiefpunkte (Extrema) sowie Wendepunkte haben. Die Anzahl möglicher Extrema und Wendepunkte hängt vom Grad der Funktion ab.

Beispiel: Eine quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c hat maximal einen Extrempunkt, während eine Funktion dritten Grades bis zu zwei Extrempunkte und einen Wendepunkt haben kann.

Die Interpretation der Parameter einer quadratischen Funktion ist wichtig für das Verständnis ihres Graphen:

• a bestimmt die Öffnungsrichtung und Streckung der Parabel
• b beeinflusst die Verschiebung entlang der x-Achse
• c gibt die Verschiebung entlang der y-Achse an

Highlight: Um den Y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion zu berechnen, setzt man x = 0 in die Funktionsgleichung ein.