Seite 7: Zusätzliche Beispiele und Anwendungen

Diese Seite enthält weitere Beispiele und Anwendungen der behandelten Konzepte.

Beispiel: Es wird eine Funktion f(x) = x³ + 3x² + x gegeben und verschiedene Aspekte wie Grenzwertverhalten und Symmetrie untersucht.

Highlight: Die Analyse umfasst das Erkennen der Grundfunktion, die Untersuchung des Verhaltens für x → ±∞ und die Bestimmung von Symmetrieeigenschaften.

Diese Seite vertieft das Verständnis für die praktische Anwendung der Differentialrechnung und zeigt, wie man komplexere Funktionen analysiert.

Seite 1: Monotonie und Extremstellen

Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Monotonie und Extremstellen ein. Die Monotonie einer Funktion wird definiert und der Monotoniesatz vorgestellt. Anhand eines Beispiels wird die praktische Anwendung zur Bestimmung von Monotoniebereichen demonstriert.

Definition: Eine Funktion heißt streng monoton wachsend auf einem Intervall I, wenn für alle x₁ und x₂ mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂).

Highlight: Der Monotoniesatz besagt, dass eine Funktion streng monoton wachsend ist, wenn ihre erste Ableitung positiv ist, und streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung negativ ist.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = -⅓x³ - 3x² - 5x wird die Monotonie im Intervall [-5; -1] untersucht. Die erste Ableitung wird berechnet, Nullstellen bestimmt und das Vorzeichen in den resultierenden Abschnitten geprüft.

Die Seite vermittelt wichtige Grundlagen für das Berechnen von Extremstellen und das Verständnis des Monotonieverhaltens von Funktionen.