Globale und Lokale Extremstellen, Wendepunkt und Monotonie berechnen - Aufgaben mit Lösungen

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Marlene

10.4.2021

Mathe

Extrem-und Wendestellen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Kurvendiskussion einzelschritte

Grenzwert

Globale und Lokale Extremstellen, Wendepunkt und Monotonie berechnen - Aufgaben mit Lösungen

Die Funktion f beschreibt mathematische Konzepte der Extremstellen berechnen und Monotonie mit besonderem Fokus auf lokale und globale Extrempunkte sowie Wendestellen.

Die Dokumentation behandelt grundlegende Konzepte der Monotonie Definition und deren Eigenschaften
Detaillierte Erklärungen zu lokalen Maximum und Minimum berechnen
Ausführliche Behandlung von Wendepunkt berechnen und Krümmungsverhalten
Praktische Extrempunkte berechnen Beispiele mit Lösungswegen
Anwendung der hinreichenden Bedingung Extremstellen in verschiedenen Kontexten

10.4.2021

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MATHC VA
mathe pa
enfassun
ZOSITUT TOSING TLNI
ZULICAMMENIÇARCLINIC
zus
Extrem
1) Monotonie
geg.: Funktion f
Interval I
x und X₂ aus I
I h

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Seite 2: Lokale Extremstellen

Diese Seite widmet sich den lokalen Extremstellen einer Funktion. Es werden die Definitionen für lokale Maxima und Minima vorgestellt sowie notwendige Bedingungen für deren Existenz erläutert.

Definition: Ein Funktionswert f $x₀$ heißt lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U von x₀ gibt, sodass für alle x ∈ U gilt: f $x$ ≤ f $x₀$ . Analog wird ein lokales Minimum definiert.

Highlight: Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum an einer Stelle x₀ ist, dass die erste Ableitung an dieser Stelle Null ist: f' $x₀$ = 0.

Vocabulary: "Differenzierbar" bedeutet, dass sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle oder in einem Intervall ableiten lässt.

Die Seite legt den Grundstein für das Berechnen von Extrempunkten und erklärt die Bedingungen für Extrempunkte. Diese Konzepte sind essentiell für das Verständnis von lokalen Maxima und Minima sowie globalen und lokalen Extremstellen.

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Seite 3: Nachweis von Extremstellen

Diese Seite behandelt den Nachweis von Extremstellen und stellt zwei wichtige Sätze vor: den Vorzeichenwechselsatz und den Satz über die hinreichende Bedingung für Extremstellen.

Highlight: Der Vorzeichenwechselsatz besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f' $x₀$ = 0 ist und f' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat. Für ein lokales Minimum gilt der umgekehrte Vorzeichenwechsel.

Definition: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f' $x₀$ = 0 und f'' $x₀$ < 0 gilt. Für ein lokales Minimum muss f'' $x₀$ > 0 sein.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = -⅓x³ + x² werden mögliche Extremstellen bestimmt und untersucht. Es wird gezeigt, wie man Sattelpunkte identifiziert und die Koordinaten von Extrempunkten berechnet.

Diese Seite ist besonders wichtig für das Berechnen von Extremstellen ohne 2. Ableitung und liefert ein anschauliches Beispiel für die hinreichende Bedingung von Extremstellen.

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Seite 4: Wendestellen

Diese Seite führt das Konzept der Wendestellen ein und erläutert deren Bedeutung für den Funktionsverlauf.

Definition: Eine Wendestelle ist eine Stelle x₀, an der der Graph einer Funktion f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht $oder umgekehrt$ .

Highlight: An einer Wendestelle ist die Steigung der Funktion $also f'$ maximal oder minimal. Das bedeutet, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle Null sein muss: f'' $x₀$ = 0.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist der Punkt W $x₀, f(x₀$ ) auf dem Funktionsgraphen an einer Wendestelle.

Die Seite vermittelt grundlegende Kenntnisse zum Berechnen von Wendepunkten und zeigt den Zusammenhang zwischen Wendestellen und dem Krümmungsverhalten einer Funktion auf.

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Seite 5: Krümmungsverhalten und Wendestellen

Diese Seite vertieft das Thema Wendestellen und behandelt das Krümmungsverhalten von Funktionen. Es werden notwendige und hinreichende Kriterien für Wendestellen vorgestellt.

Definition: Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen lässt sich mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmen. Für f'' $x$ > 0 liegt eine Linkskurve vor, für f'' $x$ < 0 eine Rechtskurve.

Highlight: Für Wendestellen gilt als notwendiges Kriterium f'' $x₀$ = 0 und als hinreichendes Kriterium, dass f'' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel hat.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x³ - 6x² + 1 werden die Intervalle mit Links- und Rechtskurve bestimmt.

Diese Seite ist besonders relevant für das Berechnen von Wendepunkten und zeigt die Verbindung zwischen dem Krümmungsverhalten und den Wendestellen einer Funktion auf.

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Seite 6: Praktische Anwendung

Diese Seite demonstriert die praktische Anwendung der zuvor gelernten Konzepte anhand eines konkreten Beispiels.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x³ + 1 werden die Koordinaten des Wendepunktes und die Gleichung der Wendetangente bestimmt.

Highlight: Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten: Bestimmung der Ableitungen, Lösen der Gleichung f'' $x$ = 0, Berechnung der Funktionswerte und Aufstellen der Tangentengleichung.

Diese Seite bietet ein ausführliches Beispiel zum Berechnen von Extrempunkten und zeigt, wie man die Gleichung der Wendetangente bestimmt.

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Seite 7: Zusätzliche Beispiele und Anwendungen

Diese Seite enthält weitere Beispiele und Anwendungen der behandelten Konzepte.

Beispiel: Es wird eine Funktion f $x$ = x³ + 3x² + x gegeben und verschiedene Aspekte wie Grenzwertverhalten und Symmetrie untersucht.

Highlight: Die Analyse umfasst das Erkennen der Grundfunktion, die Untersuchung des Verhaltens für x → ±∞ und die Bestimmung von Symmetrieeigenschaften.

Diese Seite vertieft das Verständnis für die praktische Anwendung der Differentialrechnung und zeigt, wie man komplexere Funktionen analysiert.

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Seite 8 und 9: Keine Inhalte vorhanden

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Seite 8: Anwendungsaufgaben

Praktische Aufgaben zum Extremstellen berechnen ohne 2 Ableitung.

Example: Analyse der Funktion f $x$ = $x+2$ / $x-3$ ² Highlight: Bestimmung von Nullstellen und Extremstellen

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10. Apr. 2021

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Globale und Lokale Extremstellen, Wendepunkt und Monotonie berechnen - Aufgaben mit Lösungen

Marlene

@marlene_0112

Die Funktion f beschreibt mathematische Konzepte der Extremstellen berechnen und Monotonie mit besonderem Fokus auf lokale und globale Extrempunkte sowie Wendestellen.

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Definition: Ein Funktionswert f $x₀$ heißt lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U von x₀ gibt, sodass für alle x ∈ U gilt: f $x$ ≤ f $x₀$ . Analog wird ein lokales Minimum definiert.

Highlight: Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum an einer Stelle x₀ ist, dass die erste Ableitung an dieser Stelle Null ist: f' $x₀$ = 0.

Vocabulary: "Differenzierbar" bedeutet, dass sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle oder in einem Intervall ableiten lässt.

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Highlight: Der Vorzeichenwechselsatz besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f' $x₀$ = 0 ist und f' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat. Für ein lokales Minimum gilt der umgekehrte Vorzeichenwechsel.

Definition: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass eine Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum hat, wenn f' $x₀$ = 0 und f'' $x₀$ < 0 gilt. Für ein lokales Minimum muss f'' $x₀$ > 0 sein.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = -⅓x³ + x² werden mögliche Extremstellen bestimmt und untersucht. Es wird gezeigt, wie man Sattelpunkte identifiziert und die Koordinaten von Extrempunkten berechnet.

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Definition: Eine Wendestelle ist eine Stelle x₀, an der der Graph einer Funktion f von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht $oder umgekehrt$ .

Highlight: An einer Wendestelle ist die Steigung der Funktion $also f'$ maximal oder minimal. Das bedeutet, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle Null sein muss: f'' $x₀$ = 0.

Vocabulary: Ein Wendepunkt ist der Punkt W $x₀, f(x₀$ ) auf dem Funktionsgraphen an einer Wendestelle.

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Seite 5: Krümmungsverhalten und Wendestellen

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Definition: Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen lässt sich mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmen. Für f'' $x$ > 0 liegt eine Linkskurve vor, für f'' $x$ < 0 eine Rechtskurve.

Highlight: Für Wendestellen gilt als notwendiges Kriterium f'' $x₀$ = 0 und als hinreichendes Kriterium, dass f'' bei x₀ einen Vorzeichenwechsel hat.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x³ - 6x² + 1 werden die Intervalle mit Links- und Rechtskurve bestimmt.

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Beispiel: Für die Funktion f $x$ = x³ + 1 werden die Koordinaten des Wendepunktes und die Gleichung der Wendetangente bestimmt.

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Beispiel: Es wird eine Funktion f $x$ = x³ + 3x² + x gegeben und verschiedene Aspekte wie Grenzwertverhalten und Symmetrie untersucht.

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Seite 8: Anwendungsaufgaben

Praktische Aufgaben zum Extremstellen berechnen ohne 2 Ableitung.

Example: Analyse der Funktion f $x$ = $x+2$ / $x-3$ ² Highlight: Bestimmung von Nullstellen und Extremstellen

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Seite 1: Monotonie und Extremstellen

Diese Seite führt in die grundlegenden Konzepte der Monotonie und Extremstellen ein. Die Monotonie einer Funktion wird definiert und der Monotoniesatz vorgestellt. Anhand eines Beispiels wird die praktische Anwendung zur Bestimmung von Monotoniebereichen demonstriert.

Definition: Eine Funktion heißt streng monoton wachsend auf einem Intervall I, wenn für alle x₁ und x₂ mit x₁ < x₂ gilt: f $x₁$ < f $x₂$ .

Highlight: Der Monotoniesatz besagt, dass eine Funktion streng monoton wachsend ist, wenn ihre erste Ableitung positiv ist, und streng monoton fallend, wenn die erste Ableitung negativ ist.

Beispiel: Für die Funktion f $x$ = -⅓x³ - 3x² - 5x wird die Monotonie im Intervall $-5; -1$ untersucht. Die erste Ableitung wird berechnet, Nullstellen bestimmt und das Vorzeichen in den resultierenden Abschnitten geprüft.

Die Seite vermittelt wichtige Grundlagen für das Berechnen von Extremstellen und das Verständnis des Monotonieverhaltens von Funktionen.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Samantha Klich

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Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

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