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1.932
•
25. Dez. 2025
•
Hannah
@hannanna.banana.
Die Kurvendiskussion ist dein Werkzeug, um Funktionen komplett zu verstehen... Mehr anzeigen
Bevor du eine Funktion analysierst, musst du ihren Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen. Das ist wie das Abstecken deines Arbeitsbereichs.
Bei der Symmetrieuntersuchung ersetzt du alle x durch und vergleichst das Ergebnis. Falls f = f(x), hast du Achsensymmetrie zur y-Achse. Falls f = -f(x), liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
Für allgemeine Symmetrien gibt es zwei Fälle: Punktsymmetrie zu P(u|v) erkennst du daran, dass f + f = 2v gilt. Achsensymmetrie zur Geraden x = u liegt vor, wenn f = f ist.
Merktipp: Bei Funktionsscharen kann die Symmetrie vom Parameter t abhängen - dann brauchst du eine Fallunterscheidung!
Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Je nach Funktionstyp hast du verschiedene Lösungsmethoden zur Verfügung.
Die p-q-Formel verwendest du bei quadratischen Gleichungen der Form x² + px + q = 0. Die Lösungsformel lautet: x₁,₂ = /2. Den Satz vom Nullprodukt nutzt du, wenn du Faktoren ausklammern kannst - ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
Bei höheren Potenzen hilft oft die Substitution: Ersetze x² durch eine neue Variable (z.B. M), löse die entstandene Gleichung und setze dann zurück. Das funktioniert besonders gut bei x⁴- und x²-Termen.
Praxistipp: Versuche immer zuerst auszuklammern - das ist oft der schnellste Weg zur Lösung!
Extremstellen findest du in zwei Schritten: Erst die notwendige Bedingung f'(x) = 0, dann die hinreichende Bedingung über f''(x). Ist f''(xi) < 0, hast du einen Hochpunkt; ist f''(xi) > 0, einen Tiefpunkt.
Wendestellen berechnest du ähnlich: f''(x) = 0 als notwendige Bedingung, dann prüfst du mit f'''(xi) ≠ 0 oder dem Vorzeichenwechsel von f''. Die Wendetangente konstruierst du mit der Punkt-Steigungsform: y = f'(xw) · + f(xw).
Monotonie erkennst du an der ersten Ableitung: f'(x) > 0 bedeutet streng monoton steigend, f'(x) < 0 bedeutet streng monoton fallend. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn f'(xi) = 0 und f''(xi) = 0, aber f'''(xi) ≠ 0 ist.
Wichtig: Vergiss nicht, die y-Werte zu berechnen, indem du die x-Werte in die ursprüngliche Funktion einsetzt!
Asymptoten sind Geraden, denen sich der Funktionsgraph immer mehr annähert. Du unterscheidest drei Typen: senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten (Pole) entstehen bei Definitionslücken, wo der Grenzwert gegen ±∞ geht. Die Gerade x = k ist ein Pol, wenn lim(x→k) f(x) = ±∞. Bei geradem Exponenten im Nenner hast du keinen Vorzeichenwechsel.
Waagerechte Asymptoten findest du durch Grenzwertbildung für x → ±∞. Bei gebrochenrationalen Funktionen gilt: Zählergrad > Nennergrad → keine Asymptote, Zählergrad = Nennergrad → y = Quotient der Leitkoeffizienten, Zählergrad < Nennergrad → y = 0.
Merkhilfe: Ganzrationale Funktionen haben grundsätzlich keine waagerechten Asymptoten!
Schnittpunkte zweier Funktionen findest du durch Gleichsetzen: f(x) = g(x). Ein Berührpunkt liegt vor, wenn zusätzlich die Steigungen gleich sind: f'(x) = g'(x). Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse , y-Achsenschnittpunkte erhältst du durch Einsetzen von x = 0.
Die Tangente in einem Punkt P(x₀|f(x₀)) hat die Steigung m = f'(x₀) und die Gleichung y = f'(x₀) · + f(x₀). Sie berührt den Graphen in diesem Punkt.
Die Normale steht senkrecht zur Tangente und hat die Steigung m = -1/f'(x₀). Ihre Gleichung lautet: y = · + f(x₀). Normalen schneiden den Graphen rechtwinklig.
Praxistipp: Kontrolliere deine Tangenten- und Normalengleichungen, indem du den Berührpunkt einsetzt - er muss die Gleichung erfüllen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Jana V
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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Hannah
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Die Kurvendiskussion ist dein Werkzeug, um Funktionen komplett zu verstehen und ihre Graphen zu analysieren. Du lernst hier alle wichtigen Schritte - von Definitionsbereich bis zu Asymptoten - die dir in Klausuren immer wieder begegnen werden.
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Bevor du eine Funktion analysierst, musst du ihren Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen. Das ist wie das Abstecken deines Arbeitsbereichs.
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Für allgemeine Symmetrien gibt es zwei Fälle: Punktsymmetrie zu P(u|v) erkennst du daran, dass f + f = 2v gilt. Achsensymmetrie zur Geraden x = u liegt vor, wenn f = f ist.
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Nullstellen findest du, indem du f(x) = 0 setzt. Je nach Funktionstyp hast du verschiedene Lösungsmethoden zur Verfügung.
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Extremstellen findest du in zwei Schritten: Erst die notwendige Bedingung f'(x) = 0, dann die hinreichende Bedingung über f''(x). Ist f''(xi) < 0, hast du einen Hochpunkt; ist f''(xi) > 0, einen Tiefpunkt.
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Asymptoten sind Geraden, denen sich der Funktionsgraph immer mehr annähert. Du unterscheidest drei Typen: senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten (Pole) entstehen bei Definitionslücken, wo der Grenzwert gegen ±∞ geht. Die Gerade x = k ist ein Pol, wenn lim(x→k) f(x) = ±∞. Bei geradem Exponenten im Nenner hast du keinen Vorzeichenwechsel.
Waagerechte Asymptoten findest du durch Grenzwertbildung für x → ±∞. Bei gebrochenrationalen Funktionen gilt: Zählergrad > Nennergrad → keine Asymptote, Zählergrad = Nennergrad → y = Quotient der Leitkoeffizienten, Zählergrad < Nennergrad → y = 0.
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Schnittpunkte zweier Funktionen findest du durch Gleichsetzen: f(x) = g(x). Ein Berührpunkt liegt vor, wenn zusätzlich die Steigungen gleich sind: f'(x) = g'(x). Nullstellen sind Schnittpunkte mit der x-Achse , y-Achsenschnittpunkte erhältst du durch Einsetzen von x = 0.
Die Tangente in einem Punkt P(x₀|f(x₀)) hat die Steigung m = f'(x₀) und die Gleichung y = f'(x₀) · + f(x₀). Sie berührt den Graphen in diesem Punkt.
Die Normale steht senkrecht zur Tangente und hat die Steigung m = -1/f'(x₀). Ihre Gleichung lautet: y = · + f(x₀). Normalen schneiden den Graphen rechtwinklig.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen der Analysis, einschließlich Funktionsarten, Differentialrechnung, Kurvendiskussion (Nullstellen, Extremstellen, Monotonie, Krümmung) und Integralrechnung (Flächeninhalte, Volumen von Rotationskörpern). Diese umfassende Zusammenfassung bietet auch Einblicke in Funktionsscharen und Extremwertaufgaben. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheDiese Zusammenfassung behandelt die Analyse von Funktionen, einschließlich der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und der Anwendung von Ableitungen. Sie umfasst auch die Berechnung von Laktatkonzentrationen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sowie die Modellierung von Flugbahnen. Ideal für Studierende der Differential- und Integralrechnung, die sich auf Klausuren vorbereiten.
MatheErlerne die Berechnung von Ober- und Untersummen anhand der Funktion f(x) = 1 - x² im Intervall [0, 1]. Diese Zusammenfassung bietet eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur grafischen Darstellung, Zerlegung des Intervalls und zur Berechnung der Summen. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich mit Integrationsmethoden vertraut machen möchten.
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MatheEntdecken Sie die Methoden zur Grenzwertbestimmung von Funktionen, einschließlich Testeinsetzung, Termvereinfachung und der h-Methode. Diese Zusammenfassung behandelt die Grenzwerte für x gegen unendlich sowie an kritischen Stellen, und bietet anschauliche Beispiele zur Veranschaulichung der Konzepte. Ideal für Studierende der Analysis und Mathematik.
MatheVertiefte Analyse des Produktlebenszyklus mit Fokus auf Markteinführung, Reifephase und Produkteliminierung. Diese Zusammenfassung behandelt die mathematischen Funktionen zur Berechnung von Absatz und Umsatz sowie deren grafische Darstellung. Ideal für Studierende der Wirtschaftsmathematik, die ein besseres Verständnis für Preisbildung und Angebotskurven entwickeln möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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