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Zentrale Klausur EF Mathematik

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Zentrale Klausur EF Mathematik

 Ministerium für
Schule und Bildung
des Landes Nordrhein-Westfalen
Name:
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase
2018
Mathematik
Prüfu
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Schule und Bildung
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Eine Zentrale Klausur aus 2 Teilen aus dem Jahr 2018 mit Lösungen

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2018 Mathematik Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1/2 ·Xx²³ + x = +x²-x+2, XER. a) Berechnen Sie f'(2). (3 Punkte) b) In der Abbildung sind zwei Graphen A und B abgebildet, einer davon ist der Graph der Funktion f. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 Für die Ableitung der Funktion f an der Stelle 0 gilt: f'(0)=−1. Entscheiden Sie mit Hilfe dieser Eigenschaft begründet, welcher der beiden Graphen der Graph von fist. Abbildung Ty A Nur für den Dienstgebrauch! B X (3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: In einem Land sind 20% der Bevölkerung mindestens 65 Jahre alt. Diese Personen werden im Folgenden Senioren genannt. 10% der Bevölkerung des Landes sind Senioren, die das Internet nutzen. Insgesamt sind 85 % der Bevölkerung des Landes Internetnutzer. a) Stellen Sie den oben beschriebenen Sachverhalt dar, indem Sie alle Prozentsätze in der folgenden Tabelle angeben. Nutzer Nicht-Nutzer Summe Nicht-Senioren Hinweis: Tabelle Senioren ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. Nur für den Dienstgebrauch! Summe b) Eine Person nutzt das Internet. Stellen Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Person ein Senior ist. [Eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nicht erforderlich.] 100 % (4 Punkte) (2 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Unterlagen für die...

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Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2018 Mathematik Aufgabe 1: Analysis Aufgabe 2: Stochastik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe) Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext) 2. Aufgabenstellung ¹ siehe Prüfungsaufgaben 3. Materialgrundlage entfällt ZK M HT 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch! Seite 1 von 12 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2018 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. ● Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) • Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen ● 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ZK M HT Seite 2 von 12 Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch! 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der ge- wählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung"). Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung a) 3 f'(x) = ²/1.x² f'(2)=9. 2 x² +2.x-1. Aufgabe 2: Modelllösung a) Nutzer Modelllösung b) Wegen f'(0)=-1 hat der Graph von f an der Stelle x=0 eine negative Steigung, d. h. er fällt. Da der Graph A an der Stelle x = 0 steigt, muss es sich bei dem Graphen B um den Gra- phen von f handeln. Nicht-Nutzer Summe Modelllösung b) P(„Senior“,, Nutzer“) = Nicht-Senioren 0,10 0,85 75 % 5% 80% Senioren 10 % 10% 20 % ZK M HT Seite 3 von 12 Nur für den Dienstgebrauch! Summe 85 % 15 % 100 % Aufgabe 3: Modelllösung a) Aus der Gleichung f(x)=0 ergibt sich mit dem GTR/CAS als kleinste Nullstelle a≈-1,74. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Modelllösung b) f'(x) = 4 x³ −24. x² +12·x+40. Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die drei Lö- sungen x = -1, x=2 und x = 5. Modelllösung c) Da zusätzlich f'(0)=40>0 und f'(3)=-32<0 gilt, liegt an der Stelle x=2 ein Vorzei- chenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von f' vor. x=2 ist also eine loka- le Maximalstelle von f. (1) m. $1 0-56 4-2 -2 | + I a = -28. -1 ↑f(x) -60- -50 -40- 30- 20- -1-0- 0/ 10- -20- 2 t 3 ZK M HT (2) Ansatz: t: y=m.x+b. m= f'(4)=-40. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P₁ (4|0) liefert: 0= 40.4+ b ⇒b=160. Damit ist eine Gleichung der Tangente t : y = -40.x+160. (3) Siehe Lösung von c) (1). Seite 4 von 12 Nur für den Dienstgebrauch! X Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen P₂ (Funktionswerte ggf. gerundet) (4) Eine geringe Abweichung der Sekantensteigung von der Tangentensteigung wird erreicht, wenn der Punkt P₂ „nah“ am Punkt På liegt. Die folgende Tabelle soll die Korrektur erleichtern. P₂(3,9|4,0521) P₂ (3,99|0, 400592) P₂ (3,999 0,0400060) P₂ (4,11-3,9319) P₂ (4,01-0,399392) P₂ (4,001-0,0399940) -39,9940 Modelllösung d) g(x) == f(x-3). Modelllösung b) h(3)-h(1) 400 2 27 Sekantensteigung m (Ggf. gerundet) = ≈ 14,8. - 40,521 - 40,0592 - 40,0060 - 39,319 - 39,9392 0,521 Nur für den Dienstgebrauch! == Unterschied von m² zu m - 0,0592 < 0,1 0,0060 < 0,1 0,681 Aufgabe 4: Modelllösung a) h(1,5) = 150. Am 21.10.2016 um 12:00 Uhr betrug der Wasserstand am Pegel in Bonn 150 cm. 0,0608 <0,1 ZK M HT Seite 5 von 12 0,0060 < 0,1 - 40 Im Zeitraum vom 21.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 0:00 Uhr, stieg das Wasser des Rheins am Pegel in Bonn mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ungefähr 14,8 cm pro Tag an. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2018 Mathematik Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln f(x) = xª − 8 · x³ +6·x² +40·x, x€ IR. Der Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung dargestellt. nau. ↑f(x) -60- -50 -40 -30 IN 20 -1-0- 0 a ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 -20 Abbildung Nur für den Dienstgebrauch! 6 | f a) Ermitteln Sie die in der Abbildung markierte Nullstelle a auf zwei Nachkommastellen ge- X (2 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass x=2 eine lokale Maximalstelle der Funktion f ist. (6 Punkte) c) (1) Zeichnen Sie die Sekante s, durch die Punkte H₁ (2|56) und P₁(4|0) des Graphen von f in die Abbildung ein und berechnen Sie die Steigung von ₁. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P₁ (410). [Zur Kontrolle: Die Steigung von t ist m (3) Zeichnen Sie die Tangente t in die Abbildung ein. (4) Die Steigung einer Sekante s₂ durch den Punkt P₁ (40) und einen weiteren Punkt P₂ des Graphen von f soll sich um weniger als 0,1 von der Steigung der Tangente t unter- scheiden. -40.] == Ermitteln Sie durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes P₂ so, dass diese Bedingung erfüllt ist. (3 + 4 + 2 + 3 Punkte) d) Der Graph der Funktion f wird nacheinander folgenden Transformationen unterzogen: Der Graph wird in Richtung der y-Achse so gestaucht, dass der gestauchte Graph den lokalen Hochpunkt H₂ (2|28) besitzt. Im Anschluss wird der gestauchte Graph um drei Einheiten nach rechts verschoben. Die Funktion, die zum so veränderten Graphen gehört, wird mit g bezeichnet. Geben Sie eine Gleichung von g an. [Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von g ist nicht erforderlich.] Nur für den Dienstgebrauch! (4 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Aufgrund ergiebiger Regenfälle wurde in der zweiten Oktoberhälfte 2016 am Rhein ein An gen des Wassers beobachtet. Am 20.10.2016 um 0:00 Uhr wurde an der Messstelle in Bonn ein Was- serstand¹ von 130 cm gemessen. Das Wasser begann dann zu steigen und nach einiger Zeit zunächst wieder zu sinken. Eine Schülerin verwendet die auf IR definierte Funktion h mit der Funk- tionsgleichung 140 120 100 für 0≤t≤ 3,5, um den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr zu modellieren. 80 Dabei entspricht z. B. t=0 der Zeit 0:00 Uhr am 20.10.2016, t=1 der Zeit 0:00 Uhr am 21.10.2016 und t=3,5 der Zeit 12:00 Uhr am 23.10.2016. h(t) ist der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn in cm. Der Graph von h ist in der Abbildung 2 dargestellt. 180 h(t) 160 60 40 20 h(t) = 80 27 O 40 •t³ +· t² +130 | ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 Abbildung 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 20.10. | | 23.10. 21.10. | 22.10. Abbildung 2 Mit der Funktion h ist es möglich, die Aufgaben a) bis d) zu bearbeiten. Nur für den Dienstgebrauch! h 1 Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers an einer Messlatte (Pegel - siehe Abbildung 1) und entspricht nicht der Wassertiefe des Flusses. Abbildung 1 von Zeitfixierer CC BY-SA 2.0 (Ausschnitt). Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: a) Berechnen Sie den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016 um 12:00 Uhr. b) Berechnen Sie menhang. h(3)-h(1) 2 raum. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 (3 Punkte) und interpretieren Sie den berechneten Wert im Sachzusam- (4 Punkte) c) Ermitteln Sie rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeit- (9 Punkte) d) Bestimmen Sie rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwischen 140 cm und 150 cm lag. Nur für den Dienstgebrauch! (4 Punkte) In der folgenden Aufgabe e) wird der Wasserstand in einem über den 23.10.2016 hinausge- henden Zeitraum betrachtet. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: e) In der folgenden Abbildung 3 ist der Wasserstand im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr (t = 0), bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr (t = 3,5), in einem erweiterten Koordinatensystem dargestellt. ● Die Abbildung 4 zeigt die momentane Änderungsrate des Wasserstandes im verlängerten Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr (t = 8,5). 200 190 180 170 160 150 140 130 0 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 Wasserstand in cm 0.5 1 0,5 1.5 1 2 1.5 2.5 2 3 2/5 3.5 Abbildung 3 Momentane Änderungsrate des Wasserstandes in cm pro Tag 4 3.5 4 4.5 5 4.5 • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 5.5 5 5,5 6 6 Nur für den Dienstgebrauch! 6.5 6.5 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 7 7 7.5 7.5 8 Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) 8.5 t Abbildung 4 Skizzieren Sie, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr. (4 Punkte) t 8 8.5

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2018 Mathematik Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 1/2 ·Xx²³ + x = +x²-x+2, XER. a) Berechnen Sie f'(2). (3 Punkte) b) In der Abbildung sind zwei Graphen A und B abgebildet, einer davon ist der Graph der Funktion f. ZK M HT Prüfungsteil A Seite 1 von 2 Für die Ableitung der Funktion f an der Stelle 0 gilt: f'(0)=−1. Entscheiden Sie mit Hilfe dieser Eigenschaft begründet, welcher der beiden Graphen der Graph von fist. Abbildung Ty A Nur für den Dienstgebrauch! B X (3 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: In einem Land sind 20% der Bevölkerung mindestens 65 Jahre alt. Diese Personen werden im Folgenden Senioren genannt. 10% der Bevölkerung des Landes sind Senioren, die das Internet nutzen. Insgesamt sind 85 % der Bevölkerung des Landes Internetnutzer. a) Stellen Sie den oben beschriebenen Sachverhalt dar, indem Sie alle Prozentsätze in der folgenden Tabelle angeben. Nutzer Nicht-Nutzer Summe Nicht-Senioren Hinweis: Tabelle Senioren ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. Nur für den Dienstgebrauch! Summe b) Eine Person nutzt das Internet. Stellen Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Person ein Senior ist. [Eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nicht erforderlich.] 100 % (4 Punkte) (2 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 1. Aufgabenart / Inhaltsbereich Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Unterlagen für die...

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Lehrkraft Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2018 Mathematik Aufgabe 1: Analysis Aufgabe 2: Stochastik Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Aufgabe 3: Analysis (Innermathematische Argumentationsaufgabe) Aufgabe 4: Analysis (Aufgabe mit realitätsnahem Kontext) 2. Aufgabenstellung ¹ siehe Prüfungsaufgaben 3. Materialgrundlage entfällt ZK M HT 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab. Nur für den Dienstgebrauch! Seite 1 von 12 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2018 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. ● Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) • Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen ● 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ZK M HT Seite 2 von 12 Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch! 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der ge- wählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile „Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung"). Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung a) 3 f'(x) = ²/1.x² f'(2)=9. 2 x² +2.x-1. Aufgabe 2: Modelllösung a) Nutzer Modelllösung b) Wegen f'(0)=-1 hat der Graph von f an der Stelle x=0 eine negative Steigung, d. h. er fällt. Da der Graph A an der Stelle x = 0 steigt, muss es sich bei dem Graphen B um den Gra- phen von f handeln. Nicht-Nutzer Summe Modelllösung b) P(„Senior“,, Nutzer“) = Nicht-Senioren 0,10 0,85 75 % 5% 80% Senioren 10 % 10% 20 % ZK M HT Seite 3 von 12 Nur für den Dienstgebrauch! Summe 85 % 15 % 100 % Aufgabe 3: Modelllösung a) Aus der Gleichung f(x)=0 ergibt sich mit dem GTR/CAS als kleinste Nullstelle a≈-1,74. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Modelllösung b) f'(x) = 4 x³ −24. x² +12·x+40. Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die drei Lö- sungen x = -1, x=2 und x = 5. Modelllösung c) Da zusätzlich f'(0)=40>0 und f'(3)=-32<0 gilt, liegt an der Stelle x=2 ein Vorzei- chenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von f' vor. x=2 ist also eine loka- le Maximalstelle von f. (1) m. $1 0-56 4-2 -2 | + I a = -28. -1 ↑f(x) -60- -50 -40- 30- 20- -1-0- 0/ 10- -20- 2 t 3 ZK M HT (2) Ansatz: t: y=m.x+b. m= f'(4)=-40. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P₁ (4|0) liefert: 0= 40.4+ b ⇒b=160. Damit ist eine Gleichung der Tangente t : y = -40.x+160. (3) Siehe Lösung von c) (1). Seite 4 von 12 Nur für den Dienstgebrauch! X Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen P₂ (Funktionswerte ggf. gerundet) (4) Eine geringe Abweichung der Sekantensteigung von der Tangentensteigung wird erreicht, wenn der Punkt P₂ „nah“ am Punkt På liegt. Die folgende Tabelle soll die Korrektur erleichtern. P₂(3,9|4,0521) P₂ (3,99|0, 400592) P₂ (3,999 0,0400060) P₂ (4,11-3,9319) P₂ (4,01-0,399392) P₂ (4,001-0,0399940) -39,9940 Modelllösung d) g(x) == f(x-3). Modelllösung b) h(3)-h(1) 400 2 27 Sekantensteigung m (Ggf. gerundet) = ≈ 14,8. - 40,521 - 40,0592 - 40,0060 - 39,319 - 39,9392 0,521 Nur für den Dienstgebrauch! == Unterschied von m² zu m - 0,0592 < 0,1 0,0060 < 0,1 0,681 Aufgabe 4: Modelllösung a) h(1,5) = 150. Am 21.10.2016 um 12:00 Uhr betrug der Wasserstand am Pegel in Bonn 150 cm. 0,0608 <0,1 ZK M HT Seite 5 von 12 0,0060 < 0,1 - 40 Im Zeitraum vom 21.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 0:00 Uhr, stieg das Wasser des Rheins am Pegel in Bonn mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ungefähr 14,8 cm pro Tag an. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2018 Mathematik Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln f(x) = xª − 8 · x³ +6·x² +40·x, x€ IR. Der Graph der Funktion f ist in der folgenden Abbildung dargestellt. nau. ↑f(x) -60- -50 -40 -30 IN 20 -1-0- 0 a ZK M HT Prüfungsteil B Seite 1 von 5 -20 Abbildung Nur für den Dienstgebrauch! 6 | f a) Ermitteln Sie die in der Abbildung markierte Nullstelle a auf zwei Nachkommastellen ge- X (2 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass x=2 eine lokale Maximalstelle der Funktion f ist. (6 Punkte) c) (1) Zeichnen Sie die Sekante s, durch die Punkte H₁ (2|56) und P₁(4|0) des Graphen von f in die Abbildung ein und berechnen Sie die Steigung von ₁. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 (2) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P₁ (410). [Zur Kontrolle: Die Steigung von t ist m (3) Zeichnen Sie die Tangente t in die Abbildung ein. (4) Die Steigung einer Sekante s₂ durch den Punkt P₁ (40) und einen weiteren Punkt P₂ des Graphen von f soll sich um weniger als 0,1 von der Steigung der Tangente t unter- scheiden. -40.] == Ermitteln Sie durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes P₂ so, dass diese Bedingung erfüllt ist. (3 + 4 + 2 + 3 Punkte) d) Der Graph der Funktion f wird nacheinander folgenden Transformationen unterzogen: Der Graph wird in Richtung der y-Achse so gestaucht, dass der gestauchte Graph den lokalen Hochpunkt H₂ (2|28) besitzt. Im Anschluss wird der gestauchte Graph um drei Einheiten nach rechts verschoben. Die Funktion, die zum so veränderten Graphen gehört, wird mit g bezeichnet. Geben Sie eine Gleichung von g an. [Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von g ist nicht erforderlich.] Nur für den Dienstgebrauch! (4 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Aufgrund ergiebiger Regenfälle wurde in der zweiten Oktoberhälfte 2016 am Rhein ein An gen des Wassers beobachtet. Am 20.10.2016 um 0:00 Uhr wurde an der Messstelle in Bonn ein Was- serstand¹ von 130 cm gemessen. Das Wasser begann dann zu steigen und nach einiger Zeit zunächst wieder zu sinken. Eine Schülerin verwendet die auf IR definierte Funktion h mit der Funk- tionsgleichung 140 120 100 für 0≤t≤ 3,5, um den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr zu modellieren. 80 Dabei entspricht z. B. t=0 der Zeit 0:00 Uhr am 20.10.2016, t=1 der Zeit 0:00 Uhr am 21.10.2016 und t=3,5 der Zeit 12:00 Uhr am 23.10.2016. h(t) ist der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn in cm. Der Graph von h ist in der Abbildung 2 dargestellt. 180 h(t) 160 60 40 20 h(t) = 80 27 O 40 •t³ +· t² +130 | ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 Abbildung 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 20.10. | | 23.10. 21.10. | 22.10. Abbildung 2 Mit der Funktion h ist es möglich, die Aufgaben a) bis d) zu bearbeiten. Nur für den Dienstgebrauch! h 1 Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers an einer Messlatte (Pegel - siehe Abbildung 1) und entspricht nicht der Wassertiefe des Flusses. Abbildung 1 von Zeitfixierer CC BY-SA 2.0 (Ausschnitt). Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: a) Berechnen Sie den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016 um 12:00 Uhr. b) Berechnen Sie menhang. h(3)-h(1) 2 raum. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 (3 Punkte) und interpretieren Sie den berechneten Wert im Sachzusam- (4 Punkte) c) Ermitteln Sie rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeit- (9 Punkte) d) Bestimmen Sie rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwischen 140 cm und 150 cm lag. Nur für den Dienstgebrauch! (4 Punkte) In der folgenden Aufgabe e) wird der Wasserstand in einem über den 23.10.2016 hinausge- henden Zeitraum betrachtet. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: e) In der folgenden Abbildung 3 ist der Wasserstand im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr (t = 0), bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr (t = 3,5), in einem erweiterten Koordinatensystem dargestellt. ● Die Abbildung 4 zeigt die momentane Änderungsrate des Wasserstandes im verlängerten Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr (t = 8,5). 200 190 180 170 160 150 140 130 0 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 Wasserstand in cm 0.5 1 0,5 1.5 1 2 1.5 2.5 2 3 2/5 3.5 Abbildung 3 Momentane Änderungsrate des Wasserstandes in cm pro Tag 4 3.5 4 4.5 5 4.5 • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 5.5 5 5,5 6 6 Nur für den Dienstgebrauch! 6.5 6.5 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 7 7 7.5 7.5 8 Zugelassene Hilfsmittel: GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) 8.5 t Abbildung 4 Skizzieren Sie, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr. (4 Punkte) t 8 8.5