Zentrale Klausur EF Mathematik

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den Dienstgebrauch! Seite 1 von 12 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Inhaltsfelder und inhaltliche Schwerpunkte Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) 4. Bezüge zum Kernlehrplan und zu den Vorgaben 2018 Die Aufgaben weisen vielfältige Bezüge zu Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern des Kern- lehrplans bzw. zu den in den Vorgaben ausgewiesenen Fokussierungen auf. Im Folgenden wird auf Bezüge von zentraler Bedeutung hingewiesen. • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen (Untersuchung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad drei) Inhaltsfeld Stochastik (S) • Mehrstufige Zufallsexperimente • Bedingte Wahrscheinlichkeiten • Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A) • Grundverständnis des Ableitungsbegriffs • Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 5. Zugelassene Hilfsmittel Prüfungsteil A: • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ZK M HT Seite 2 von 12 Prüfungsteil B: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computeralgebrasystem) • Mathematische Formelsammlung • Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebrauch! 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen Die jeweilige Modelllösung stellt eine mögliche Lösung bzw. Lösungsskizze dar. Der ge- wählte Lösungsansatz und -weg der Schülerinnen und Schüler muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl bewertet (Bewertungsbogen: Zeile ,,Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung"). Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: 13 b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass x=2 eine lokale Maximalstelle der Funktion fist. (6 Punkte) ZK M HT Prüfungsteil B Seite 2 von 5 c) (1) Zeichnen Sie die Sekante s, durch die Punkte H₁ (2156) und P₁ (410) des Graphen von f in die Abbildung ein und berechnen Sie die Steigung von s₁. (2) Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P₁ (410). [Zur Kontrolle: Die Steigung von t ist m = -40.] (3) Zeichnen Sie die Tangente t in die Abbildung ein. (4) Die Steigung einer Sekante s₂ durch den Punkt P₁ (4|0) und einen weiteren Punkt P₂ des Graphen von f soll sich um weniger als 0,1 von der Steigung der Tangente t unter- scheiden. - Ermitteln Sie durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes P₂ so, dass diese Bedingung erfüllt ist. d) Der Graph der Funktion f wird nacheinander folgenden Transformationen unterzogen: Der Graph wird in Richtung der y-Achse so gestaucht, dass der gestauchte Graph den lokalen Hochpunkt H₂ (2|28) besitzt. Im Anschluss wird der gestauchte Graph um drei Einheiten nach rechts verschoben. Die Funktion, die zum so veränderten Graphen gehört, wird mit g bezeichnet. Geben Sie eine Gleichung von g an. [Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von g ist nicht erforderlich.] Nur für den Dienstgebrauch! (3+4+2+3 Punkte) (4 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 2: In einem Land sind 20 % der Bevölkerung mindestens 65 Jahre alt. Diese Personen werden im Folgenden Senioren genannt. 10 % der Bevölkerung des Landes sind Senioren, die das Internet nutzen. Insgesamt sind 85 % der Bevölkerung des Landes Internetnutzer. Nutzer a) Stellen Sie den oben beschriebenen Sachverhalt dar, indem Sie alle Prozentsätze in der folgenden Tabelle angeben. Nicht-Nutzer 13 Summe Hinweis: Nicht-Senioren Tabelle Senioren ZK M HT Prüfungsteil A Seite 2 von 2 Ein Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung ist zugelassen. Nur für den Dienstgebrauch! Summe b) Eine Person nutzt das Internet. Stellen Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Person ein Senior ist. [Eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nicht erforderlich.] 100 % (4 Punkte) (2 Punkte) Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 1: Modelllösung a) 3 f'(x) = ² ·x² +2 x² +2.X-1. f'(2)=9. Aufgabe 2: Modelllösung a) Modelllösung b) Wegen f'(0)=-1 hat der Graph von f an der Stelle x=0 eine negative Steigung, d. h. er fällt. Da der Graph A an der Stelle x = 0 steigt, muss es sich bei dem Graphen B um den Gra- phen von f handeln. Nutzer Nicht-Nutzer Summe Modelllösung b) P(,,Senior",, Nutzer") = Aufgabe 3: Nicht-Senioren 0,10 0,85 75 % 5% 80% Senioren 10 % 10% 20% ZK M HT Seite 3 von 12 Nur für den Dienstgebrauch! Summe 85% 15 % 100 % Modelllösung a) Aus der Gleichung f(x) = 0 ergibt sich mit dem GTR/CAS als kleinste Nullstelle a = -1,74. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: Aufgabe 4: Aufgrund ergiebiger Regenfälle wurde in der zweiten Oktoberhälfte 2016 am Rhein ein Ansteigen des Wassers beobachtet. Am 20.10.2016 um 0:00 Uhr wurde an der Messstelle in Bonn ein Was- serstand¹ von 130 cm gemessen. Das Wasser begann dann zu steigen und nach einiger Zeit zunächst wieder zu sinken. Eine Schülerin verwendet die auf IR definierte Funktion h mit der Funk- tionsgleichung 160 140 120 100 80 13 für 0≤t≤ 3,5, um den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr zu modellieren. 60 Dabei entspricht z. B. t=0 der Zeit 0:00 Uhr am 20.10.2016, t=1 der Zeit 0:00 Uhr am 21.10.2016 und t=3,5 der Zeit 12:00 Uhr am 23.10.2016. h(t) ist der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn in cm. Der Graph von h ist in der Abbildung 2 dargestellt. 180 h(t)- 40 20 80 27 0 40 3 h(t)= ·[³+. t² +130 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 20.10. 2.2 2.4 2.6 2.8 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 3 von 5 21.10. | 22.10. Abbildung 2 Mit der Funktion h ist es möglich, die Aufgaben a) bis d) zu bearbeiten. Abbildung 1 Nur für den Dienstgebrauch! h 3 3.2 3.4 | 23.10. ¹ Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers an einer Messlatte (Pegel - siehe Abbildung 1) und entspricht nicht der Wassertiefe des Flusses. Abbildung 1 von Zeitfixierer CC BY-SA 2.0 (Ausschnitt). Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Modelllösung b) f'(x)=4-x³-24 x² +12.x+40. Aus der notwendigen Bedingung f'(x)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die drei Lö- sungen x = -1, x=2 und x = 5. Modelllösung c) Da zusätzlich f'(0)=40>0 und f'(3)=-32 <0 gilt, liegt an der Stelle x=2 ein Vorzei- chenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von f' vor. x = 2 ist also eine loka- le Maximalstelle von f. (1) ms, = -3 0-56 4-2 1 a = -28. -1 60 50 ↑f(x) 40 30 20 10 0/ 10 -20 3 (2) Ansatz: t: y = m.x+b. m = f'(4)=-40. Einsetzen der Koordinaten des Punktes P₁ (410) liefert: 0= 40 4+ b ⇒b=160. Damit ist eine Gleichung der Tangente t: y=-40-x+160. (3) Siehe Lösung von c) (1). ZK M HT Nur für den Dienstgebrauch! Seite 4 von 12 5 X Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: a) Berechnen Sie den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016 um 12:00 Uhr. b) Berechnen Sie menhang. h(3)-h(1) 2 raum. ZK M HT Prüfungsteil B Seite 4 von 5 (3 Punkte) und interpretieren Sie den berechneten Wert im Sachzusam- (4 Punkte) c) Ermitteln Sie rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeit- Nur für den Dienstgebrauch! (9 Punkte) d) Bestimmen Sie rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwischen 140 cm und 150 cm lag. (4 Punkte) In der folgenden Aufgabe e) wird der Wasserstand in einem über den 23.10.2016 hinausge- henden Zeitraum betrachtet. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Name: e) In der folgenden Abbildung 3 ist der Wasserstand im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr (t = 0), bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr (t = 3,5), in einem erweiterten Koordinatensystem dargestellt. 200 Die Abbildung 4 zeigt die momentane Änderungsrate des Wasserstandes im verlängerten Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr (t = 8,5). Wasserstand in cm 190 180 170 160 150 140 130 0 20 15 10 0 -5 -15 -20 0.5 13 0.5 1.5 2 3.5 Abbildung 3 Momentane Änderungsrate des Wasserstandes in cm pro Tag 25 3.5 4.5 4 5 4.5 5.5 5.5 6 ZK M HT Prüfungsteil B Seite 5 von 5 6.5 Nur für den Dienstgebrauch! 6.5 7.5 7.5 8 8 Zugelassene Hilfsmittel: • GTR (Graphikfähiger Taschenrechner) oder CAS (Computer-Algebra-System) • Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung t 8.5 8.5 Abbildung 4 Skizzieren Sie, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr. (4 Punkte) t Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen P₂ (Funktionswerte ggf. gerundet) P₂ (3,9 4,0521) P₂ (3,99|0,400592) P₂ (3,999 | 0,0400060) P₂ (4,11-3,9319) P₂ (4,01-0,399392) P₂ (4,001|-0,0399940) -39,9940 (4) Eine geringe Abweichung der Sekantensteigung von der Tangentensteigung wird erreicht, wenn der Punkt P₂ „nah“ am Punkt P, liegt. Die folgende Tabelle soll die Korrektur erleichtern. Modelllösung d) 1 g(x) == -f(x-3). Modelllösung b) h(3)-h(1)_400 2 Sekantensteigung m (Ggf. gerundet) 14,8. - 40,521 -40, 0592 - 40,0060 -39,319 -39, 9392 0,521 Nur für den Dienstgebrauch! Unterschied von m zu m₁ = -40 0,0592<0,1 0,0060 <0,1 0,681 0,0608 <0,1 Aufgabe 4: Modelllösung a) h(1,5) = 150. Am 21.10.2016 um 12:00 Uhr betrug der Wasserstand am Pegel in Bonn 150 cm. ZK M HT Seite 5 von 12 0,0060 <0,1 27 Im Zeitraum vom 21.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 0:00 Uhr, stieg das Wasser des Rheins am Pegel in Bonn mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ungefähr 14,8 cm pro Tag an. Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Modelllösung c) 80 80 h' (t)= •ť² + .t. 9 3 Aus der notwendigen Bedingung h'(t)=0 für lokale Extremstellen ergeben sich die beiden Lösungen t = 0 und t = 3. Zusätzlich gilt h'(2) = 140 <0. Daher liegt an der Stelle t = 3 9 9 ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte von h' von + nach – und damit ein lokales Maxi- mum von h vor. Wegen h(0)=130, h(3)=170 und h(3,5) =- 166,3 liegt bei t = 0 das absolute Minimum und bei t = 3 das absolute Maximum von h im Intervall [0;3,5] vor. 4490 27 Modelllösung e) 200 Der niedrigste Wasserstand an der Messstelle in Bonn im betrachteten Zeitraum beträgt 130 cm, der höchste Wasserstand beträgt 170 cm. 190 Modelllösung d) Die Gleichung h(t)=140 hat im Intervall [0;3,5] nur eine Lösung t, mit t₁0,98, die Gleichung h(t) = ) = 150 hat im Intervall [0;3,5] nur die Lösung t = 1,5. 180 Damit gilt: Die Länge des Zeitraumes zwischen dem 20.10.2016, 0:00 Uhr, und dem 23.10.2016, 12:00 Uhr, in dem der Wasserstand an der Messstelle in Bonn zwischen 140 cm und 150 cm gelegen hat, beträgt ungefähr 0,5 Tage. 170 160 150 140 130 160 Wasserstand in cm 0.5 ->0 (s. o.) und h'(3,5): 1.5 == 2.5 3.5 ZK M HT Seite 6 von 12 5.5 Nur für den Dienstgebrauch! 6.5 7.5 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen 7. Name des Prüflings:_ Schule: Bewertungsbogen zur Klausur Aufgabe 1: Teilaufgabe a) 1 Anforderungen Der Prüfling gibt f'(x) an. 2 berechnet f'(2). Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) Summe Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling entscheidet mit Hilfe der Eigenschaft f'(0)=-1 begründet, welcher der beiden Graphen der Graph von f ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) Summe Teilaufgabe b) Kursbezeichnung: Summe Aufgabe 1 Nur für den Dienstgebrauch! Seite 7 von 12 Lösungsqualität maximal erreichbare Punktzahl 2 1 3 ZK M HT Lösungsqualität 3 erreichte maximal erreichbare Punktzahl Punktzahl 3 erreichte Punktzahl 6 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Aufgabe 2: Teilaufgabe a) stellt den beschriebenen Sachverhalt dar, indem er alle Prozentsätze in der Tabelle angibt. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) 1 Anforderungen Der Prüfling Summe Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling 1 stellt einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass die Person ein Senior ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) 1 Summe Teilaufgabe b) Summe Aufgabe 2 Aufgabe 3: Teilaufgabe a) Anforderungen Der Prüfling ermittelt die in der Abbildung markierte Nullstelle a auf zwei Nachkommastellen genau. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (2) Summe Teilaufgabe a) Nur für den Dienstgebrauch! Seite 8 von 12 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 4 4 ZK M HT Lösungsqualität erreichte maximal erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 6 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Teilaufgabe b) 2 1 gibt f'(x) an. weist mit einer notwendigen Bedingung nach, dass x=2 eine mögliche lokale Extremstelle der Funktion f ist. 3 weist rechnerisch nach, dass x = 2 eine lokale Maximalstelle der Funktion f ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (6) Anforderungen Der Prüfling Summe Teilaufgabe b) Teilaufgabe c) 2 Anforderungen Der Prüfling 1 (1) zeichnet die Sekante s, durch die Punkte H₁ (2156) und P₁ (410) des Graphen von f in die Abbildung ein und berechnet die Steigung von s₁. (2) bestimmt rechnerisch eine Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P, (410). 3 (3) zeichnet die Tangente t in die Abbildung ein. 4 (4) ermittelt durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes P₂ so, dass die Bedingung erfüllt ist. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (12) Summe Teilaufgabe c) Nur für den Dienstgebrauch! Seite 9 von 12 Lösungsqualität erreichte maximal erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 2 6 Lösungsqualität ZK M HT maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 3 4 2 3 12 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Teilaufgabe d) 1 Anforderungen Der Prüfling 2 gibt eine Gleichung von g an. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) 1 gibt den Faktor an. 2 1 Summe Teilaufgabe d) Aufgabe 4: Teilaufgabe a) 1 Summe Aufgabe 3 berechnet den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016 um 12:00 Uhr. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (3) Anforderungen Der Prüfling Summe Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) Anforderungen Der Prüfling berechnet h(3)-h(1) 2 und interpretiert den berechneten Wert im Sachzusammen- hang. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) Summe Teilaufgabe b) Nur für den Dienstgebrauch! Seite 10 von 12 Lösungsqualität erreichte maximal erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 4 24 ZK M HT Lösungsqualität erreichte maximal erreichbare Punktzahl Punktzahl 3 3 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 4 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Teilaufgabe c) 1 gibt h' (t) an. ermittelt mit einer notwendigen Bedingung die möglichen lokalen Extremstellen der Funktion h. 2 Anforderungen Der Prüfling ermittelt rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeitraum. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (9) 3 Summe Teilaufgabe c) Teilaufgabe d) 1 Anforderungen Der Prüfling bestimmt rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwi- schen 140 cm und 150 cm lag. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) Summe Teilaufgabe d) Teilaufgabe e) Anforderungen Der Prüfling skizziert, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in 1 Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr. Sachlich richtige Lösungsalternative zur Modelllösung: (4) Summe Teilaufgabe e) Summe Aufgabe 4 Nur für den Dienstgebrauch! Seite 11 von 12 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 2 2 5 9 Lösungsqualität ZK M HT maximal erreichbare Punktzahl 4 4 Lösungsqualität 4 maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 4 erreichte Punktzahl 24 Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen Festlegung der Gesamtnote Übertrag der Punktsumme aus der ersten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der zweiten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der dritten Aufgabe Übertrag der Punktsumme aus der vierten Aufgabe Gesamtpunktzahl Note Unterschrift, Datum Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Noten zu den Punktsummen ist folgende Tabelle zu verwenden: Note sehr gut gut befriedigend ausreichend mangelhaft ungenügend Erreichte Punktsummen 52 - 60 43-51 34-42 25-33 13-24 0-12 Nur für den Dienstgebrauch! ZK M HT Seite 12 von 12 Lösungsqualität maximal erreichte erreichbare Punktzahl Punktzahl 6 6 24 24 60