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Ganzrationale Funktionen
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Melina
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Lernzettel
Inhalt dieser Lernzettel ist die Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen. Es ist jeweils zu jedem Analysis-Punkt erklärt wie es mit aber auch ohne Taschenrechner funktioniert und anhand von Beispielen erklärt.
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Klasse 12 Mathe LK-Klausur Nr. 1). - Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion Symmetrie -ohne TR • Punktsymmetrisch (zum Ursprung) → nur ungerade Exponenten von x • Achsensymmetrisch (zur y-Achse) → nur gerade Exponenten von x ↳ sonst keine Symmetrie erkennbar →> •grade kunguade Exponenten von x D -mit TR •nur ungerade Exponenten von x [oder] höchster Exponent von x ist ungerade •nur gerade Exponenten von x lader höchster Exponent von x ist gerade oder • Verhalten am Rand / Grenzwerte - Glied mit höchster Potenz bestimmt das Verhalten für x→± ∞ →Der Graph verläuft vom zum Quadranten, da f eine leitkoeffizient Grades ist mit ganzrationale Funktion... lim f(x) = X4-6 WAX lim f(x) = x48 Schnittpunkte mit den Achsen - mit TR a) Schnittpunkt mit der y-Achse f(0) = → Sy (0/F(0)) b) Schnittpunkt mit der x-Achse TR f(x) = 07/³/ ↳ Sx₁ (x₁70) I.AN X₂ = Sx₂ (x₂10) auf Punktsymmetrie testen. ↳[f(x) = -f(-x) auf Achsensymmetrie testen ↳[F(X)= F(-X) -ohne TR -00 F(x) +00 848 f (x) -→-00 durch Lösungsverfahren Ableitungen - Allgemein f(x) = x^ ['(x) = n・x Schneidet die x-Achse, wo Staigung des Graphen o ist. • Extrema & Monotonieverhalten -shne TR not. Bed.: f'(x) = 0 hin Bed: f'(x) = 0 oder 0-1 f(x) < 0 f" (x) 0 f'(x) = 0 1 + zu ZU + X = ^f" (x) #0 → HP TP VZW bei f → HP → TP Extrempunkte: y-Wert berechnen Monotonie intervalle: M] - mit TR Berechne Extrema von f(x) Sonderformen f(x) = x → P'(x) = 1 -A A f(x)= = = x^²^ → {'(²-) = -x ² = = // ² ₁ → ·f'(x) = = d · f(x)...
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= [ f'(x) > 0 → str. monoton steigend f'(x) < 0 → fallend 01x y= Monotonie siehe ohne TR ! → H( 7 ) / T ( / Wendepunkte & Krümmungsverhalten - ohne TR . not. Bed. f"(x) = 0 hin. Bed.: f'(x) = 0 oder : ⇒ x₁= oder f(x₁) = + zu Wendepunkte y-Wert berechnen Krümmungsintervalle: K]; [ Berechne => x₁= zu + V₂W bei f" → links-rechts-Krümmung → rechts-links-krümmung ^ f'"" (x) # 0 - mit TR Berechne Extremstellen von f'(x) f(x₁) = A f"(x) = 0 f(x) > 0 → rechts-links-Krümmung f"" (x) < 0 → links-rechts-krümmung f" (x) < 0: rechtsgekrümmt f" (x) > 0. links gekrümmt Maximal-/Minimalstelle von f'(x), also Wendestelle mit => W ( 7 ) Nullstellen von f"(x) --Krummung von f(x) →ist Nullstelle von f"(x) mit VZW von also Wendestelle mit => W (/) krümmungsintervall stehe mit ohne TR ! ناح ... Krümmung von f(x)' 140+ 40 100+ SO- 60 20 Kurvendiskussion ökonomische Anwendungen. yin GENE ♥ graphisch y in GE . крік BEP GS +*+ 2 Wrl! Y Gmax 6 Emax 10 Gg kv (x) = Kv(x) x Funktionen aufstellen [E(x) = p(x)• x K(x) = Kv (x) + Kfix G (X) = E(X) - K(x) X |p(x) = E(X) K(x) k (x) = X ! Wende stelle von K → bei der Menge K(X) SM 12 SM, Dök, HP P(x) = 0 Dok- LOME; SM ME ] i p (0) 'x in ME 60 8 40- 30 ↳> niedrigste Grenzkosten 20 20 2 → Die SM liegt bei 4 → Der HP liegt bei +c BM → Erlosfunktion → Kastenfunktion → Gewinnfuntion → Prasabsatzfunktion → Stuck Costerfunktion → variable Stuct Fostenfunction C 6 ME 8 GE/ME BO +(x) AD kult 8M Xx in ME AZ S ● Gewinnschwelle 1-grenze /-zone G(x) = C oder [E(x) = K (x) XGS . X6G = ↳ XF ] XGS ME¡XGG ME XE HE ME [ Gewinnmaximum Hochpunkt van G(x) Gmax (xy) • Cournotschenpunkt Xamax in p(x) CMEY GE/ME) . • Betriebsminimum (BM) - Erlösmaximum Hochpunkt von E(x) Emax (x/y) → Setzt du Monopolist einen Preis von ... GE/ME fest, kann er die gewinnmaximale Ausbringungsmenge HE absetzen und somit maximalen Gewinn in Hohe von ... GE erwirtschaften. von Tiefpunkt von kv(x) BM (X ME / GEME variable Stückkosten sind hier am geringsten deckt hur variablen Kosten = kurzfristige Preisuntergrenze Betriebsoptimum (BO) Tiefpunkt von k (x) BO (X ME/Y GEIME ) - Stückkosten sind hier om geringsten deckt Kosten, tein Verlust / Gewinn langfristige Presuntergrenze
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