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Klausur
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Klasse 11 Name: Teil A ohne Hilfsmittel Aufgabe 1 Bilde jeweils die Ableitungsfunktion: a) f(x) = (5x² + 3)4 b) f(x) = (3x-4) · cos(2x) MATHEMATIK LEISTUNGSFACH c) f(x) = ¹2 - 2x 4x² a) b) KLAUSUR NR. 1 29,5 /30 VP 15 NP mdl.: 15 Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -x³ + 3x² - 2x,x E R. Die Abbildung zeigt ihren Graphen Gf, der bei x = 1 den Wendepunkt W hat. Zeige, dass die Tangente an Gf im Punkt W die Steigung 1 hat. Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung m, die durch W verlaufen. Gib die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit Gf in Abhängigkeit von m an. 6.11.2019 Beachte: Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein! (4 VP) Ø 8,0 a) Der Graph von f' hat genau zwei Nullstellen b) f'(1) = f(1) c) f" besitzt im Bereich -1 ≤ x ≤ 1 eine Nullstelle d) f'(f(-2)) > 0 (2,5 VP) 0 Aufgabe 3 (3,5 VP) Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deren Ableitungsfunktion f' ist etc. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. st 4- 3+ 21 1- -1 0 2 Teil B: mit Hilfsmitteln Beachte: Der mathematische Ansatz muss aufgeschrieben werden! Aufgabe 4 (6 VP) Für den Wasen soll eine neue Achterbahn entworfen werden. Der Wagen bewegt sich auf einer Bahn, die in einem bestimmten Abschnitt durch den Graphen der Funktion f mit 4 f(x) = x³-x+ 5 beschrieben...
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wird (x in 10-Metern, -7 ≤ x ≤ 3, f(x) in Metern über 27 3 der Grundebene). Für x ≥ 3 soll die Bahn ohne Knick und geradlinig bis zur Grundebene verlängert werden: a) Skizziere den Sachverhalt. b) Erläutere, was in diesem Zusammenhang ,ohne Knick" bedeutet. c) An welcher Stelle trifft die Verlängerung die Grundebene? d) Welche Länge hat die geradlinige Verlängerung bis zu diesem Punkt? Aufgabe 5 Gegeben sind die Funktionen f und g durch f(x) = -1x³ + 3x und g(x)=x² 16 a) Berechne für die Funktion f alle Nullstellen sowie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f. b) Berechne alle Stellen u, für die die Graphen von f und g die gleiche Steigung besitzen. c) An der Stelle a besitzen die Graphen von f und g zueinander senkrechte Tangenten. Gib die Gleichung an, die für dieses a gelten muss. d) Vom Punkt (01-8) aus sollen Tangenten an den Graphen von g gelegt werden. Ermittle ihre Gleichungen. e) Für jeden Wert von k mit 0 <k < 6 bilden die Punkte P(k|f(k)) und Q(k|g(k)) mit dem Koordinatenursprung ein Dreieck. Berechne den Wert von k so, dass dieses Dreieck einen möglichst großen Flächeninhalt hat. Tipp: Eine Höhe im Dreieck kann auch außerhalb des Dreiecks liegen! Viel Erfolg! (14 VP) /Gg Teil A 4 1) a) f(x) = (5x² +3) 3 f(x) = 4(5x² + 3) = 10x = 40x (5x²+3)²³ ✓ b) f(x) = (3x-4)· cos(2x) (x)= 3· cos(2x) + (3x-4) (-sin (2x))-2 v = 3cos(2x) - 2 (3x-4) sin(2x) c) ((x)= q=2-2x 42 ((x) = -2 3-2 ✓ 2) ((x) = x² + 3x² -2x a) f(x) = -3x² + 6×-2 wenn (´(1) = 1, hat die Tangente an Gr in W& Steigung 1 € (1) ²-3 · 1² +6·1-2 Tha -(x-1) 4 WP bei x = 1 ≥10(10) 245 74. 31+6125M 458x1 1²13-2²-24-M (+1) 4(4) Geraden =MXUM f(x) = g(x) ges positive in fur alle Anzahlen der Schnittpunkte verschiedener ga) durch W Anzahl Schnittpunkte für 0cmc 1: 43✓ Anzahl Schnittpunkte für m² 1: 1 ✓ (((x)=(x-x₂) + ((+₂) × = 1 (Gol = 0 f(x)=m 2,5 (25) 3,5 (3,5) 3) a) wahr, da an 2 Stellen in & die Steigung ist v b) wahr, ((1) and ((1) sind beides Nullstellen in ihrem zugehörigen Graphien ✓ c) wahc, in x = 0 in f ist eine Wendestelle, d.h. f"(0) = 0 d) falsch, f(-2)=0 and der Graph von & sinkt in x=0₁ d.h. € (0) <0 Tell B 4) f(x) = 2 7 × ²³ - ¾ × +5 f(x) = ²x² - 3³3 Yinm 8 8 U -5 (3)=1-1/ -4 -3 -2 -7 ㅋ e 4 لی 3 2 S 1 O 1 GA Zm 2 Verlauf Achterbahn für-7≤x≤9 P 3 q 5 b) Ohne (nick bedeutet, dass der geradlinige Tangente im Punkt x=3 darstellt, der Pa die wollständig or who unvoll 07 Bereich die Steigung der Bahn verandert sich ab dem Punkt bis zur 90m - Macke Nicht mehc. ✔ c) bei x = 9 (90m), siehe Skizze La How fete 27 d) Cange V=√ √(60m)² + (2m) 2²=6003m 6 Σ19,5 (20) COM ght | 8 Q 9 Eine mein Zeichnerische Lösung mich nicht, das ist zu ungenan. ? Wie bist du auf x = 9 gekommen? xia 10m (-> litte immo alle Nebenrichinger norven!) +1ZP 616)
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