Umformungen und Veränderungen quadratischer Funktionen

Diese Seite vertieft das Verständnis für quadratische Funktionen, indem sie sich auf Umformungen und Veränderungen konzentriert.

Highlight: Ein Schwerpunkt liegt auf der Umformung zwischen Scheitelpunktform und Normalform, was für viele Aufgaben zur quadratischen Funktion essentiell ist.

Die Seite demonstriert schrittweise:

1. Umformung von Scheitelpunktform in Normalform: f(x) = (x+4)² - 3 → f(x) = x² + 8x + 16 - 3 → f(x) = x² + 8x + 13

2. Umformung von Normalform in Scheitelpunktform: f(x) = x² - 4x + 3 → f(x) = x² - 4x + 2² - 2² + 3 → f(x) = (x-2)² - 4 + 3 → f(x) = (x-2)² - 1

Vocabulary: Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel und ein wichtiges Merkmal quadratischer Funktionen.

Die Seite erklärt auch Veränderungen der Parabel:

• Verschiebung: nach oben/unten oder rechts/links • Stauchung/Streckung: Einfluss des Faktors a • Öffnungsrichtung: abhängig vom Vorzeichen von a

Example: Bei f(x) = a·x² gilt:

• a > 0: Öffnung nach oben
• a < 0: Öffnung nach unten
• |a| < 1: Stauchung
• |a| > 1: Streckung

Die Seite behandelt auch praktische Anwendungen wie Punktproben und Textaufgaben. Sie gibt Tipps zur Lösung von Textaufgaben, einschließlich der Erstellung von Skizzen und der Identifizierung wichtiger Punkte.

Abschließend wird die Berechnung von Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform detailliert erklärt, was für Aufgaben zu Nullstellen quadratischer Funktionen nützlich ist.

Quote: "Fertige eine Skizze an. Notiere in der Skizze ggf. schon wichtige Punkte." - Ein wichtiger Tipp für das Lösen von Textaufgaben.

Grundlagen quadratischer Funktionen

Die Seite führt in die Grundlagen quadratischer Funktionen ein, beginnend mit der Normalparabel f(x)=x².

Definition: Die Normalparabel ist die einfachste Form einer quadratischen Funktion und dient als Ausgangspunkt für komplexere Varianten.

Wichtige Eigenschaften der Normalparabel werden erläutert:

• Symmetrie zur y-Achse • Koordinatenursprung als tiefster Punkt (Scheitelpunkt) • Fallender Verlauf im 2. Quadranten, steigender im 1. Quadranten

Die Seite stellt verschiedene Formen quadratischer Funktionen vor:

• Scheitelpunktform: f(x) = a(x+d)² + e • Normalform: f(x) = x² + px + q • Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c

Highlight: Die Umformung zwischen diesen Formen ist ein zentrales Thema, insbesondere die Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform und umgekehrt.

Binomische Formeln werden als wichtiges Werkzeug für diese Umformungen präsentiert:

1. (a+b)² = a² + 2ab + b²
2. (a-b)² = a² - 2ab + b²
3. (a+b)(a-b) = a² - b²

Die Seite erklärt detailliert, wie man die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umwandelt und umgekehrt, mit schrittweisen Anleitungen und Beispielen.

Example: Umformung von f(x) = -3(x-2)² + 1 in die allgemeine Form:

1. f(x) = -3(x² - 4x + 4) + 1
2. f(x) = -3x² + 12x - 12 + 1
3. f(x) = -3x² + 12x - 11

Abschließend werden die Nullstellen quadratischer Funktionen behandelt, einschließlich der möglichen Fälle (keine, eine oder zwei Lösungen) und ihrer grafischen Darstellung.