Tangentengleichungen und rationale Funktionen

Dieser Teil des Lernzettels konzentriert sich auf die Bestimmung von Tangentengleichungen und die Eigenschaften rationaler Funktionen. Die Schritte zur Ermittlung einer Tangentengleichung werden detailliert erläutert:

1. Bestimmung der Ableitung f'(x)
2. Berechnung des y-Wertes, falls nicht gegeben
3. Berechnung der Steigung m
4. Einsetzen in die allgemeine Tangentengleichung y = mx + t
5. Angabe der endgültigen Tangentengleichung

Beispiel: Für die Funktion f(x) = (x-1)² - 2 und den Punkt P(-1|2) wird die Tangentengleichung Schritt für Schritt bestimmt.

Der Zusammenhang zwischen Tangenten- und Normalengleichung wird ebenfalls behandelt, wobei auf Sonderfälle hingewiesen wird.

Bei den rationalen Funktionen wird besonderes Augenmerk auf die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs und die Analyse von Polstellen gelegt.

Definition: Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynomfunktionen. Ihr Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, außer den Nullstellen des Nenners.

Die Umformung rationaler Funktionen in Bruch- und Summenform wird demonstriert, und die Bedeutung von Polstellen wird hervorgehoben.

Highlight: Polstellen sind entscheidend für das Verständnis des Verhaltens rationaler Funktionen und treten auf, wenn der Nenner Null wird.

Abschließend wird das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung vorgestellt, ein iteratives Verfahren zur Annäherung an die Nullstellen einer Funktion.

Umkehrfunktionen und Stammfunktionen

In diesem Abschnitt werden die Konzepte der Umkehrfunktionen und Stammfunktionen behandelt. Die Umkehrfunktion wird als eine Funktion definiert, die die Zuordnung der ursprünglichen Funktion rückgängig macht.

Definition: Eine Umkehrfunktion f⁻¹ macht die Zuordnung der Funktion f rückgängig. Es gilt: f⁻¹(f(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f.

Es wird betont, dass nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Eine wichtige Bedingung für die Existenz einer Umkehrfunktion ist die Injektivität der ursprünglichen Funktion.

Highlight: Eine Funktion lässt sich nicht umkehren, wenn es zwei verschiedene x-Werte gibt, die demselben y-Wert zugeordnet werden.

Der Lernzettel geht auch auf Stammfunktionen ein, die als Gegenstück zur Ableitung verstanden werden können.

Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn F'(x) = f(x) für alle x im Definitionsbereich gilt.

Es wird darauf hingewiesen, dass die Bestimmung von Stammfunktionen nicht eindeutig ist, da sich Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden können.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² ist F(x) = (1/3)x³ + C eine Stammfunktion, wobei C eine beliebige reelle Konstante ist.

Abschließend werden einige Beispiele für Stammfunktionen gegeben, darunter die Stammfunktion für f(x) = ax^n, die als F(x) = (a/(n+1))x^(n+1) + C angegeben wird.