Umkehrfunktionen und Stammfunktionen
In diesem Abschnitt werden die Konzepte der Umkehrfunktionen und Stammfunktionen behandelt. Die Umkehrfunktion wird als eine Funktion definiert, die die Zuordnung der ursprünglichen Funktion rückgängig macht.
Definition: Eine Umkehrfunktion f⁻¹ macht die Zuordnung der Funktion f rückgängig. Es gilt: f⁻¹(f(x)) = x für alle x im Definitionsbereich von f.
Es wird betont, dass nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Eine wichtige Bedingung für die Existenz einer Umkehrfunktion ist die Injektivität der ursprünglichen Funktion.
Highlight: Eine Funktion lässt sich nicht umkehren, wenn es zwei verschiedene x-Werte gibt, die demselben y-Wert zugeordnet werden.
Der Lernzettel geht auch auf Stammfunktionen ein, die als Gegenstück zur Ableitung verstanden werden können.
Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu f, wenn F'(x) = f(x) für alle x im Definitionsbereich gilt.
Es wird darauf hingewiesen, dass die Bestimmung von Stammfunktionen nicht eindeutig ist, da sich Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden können.
Beispiel: Für die Funktion f(x) = x² ist F(x) = (1/3)x³ + C eine Stammfunktion, wobei C eine beliebige reelle Konstante ist.
Abschließend werden einige Beispiele für Stammfunktionen gegeben, darunter die Stammfunktion für f(x) = ax^n, die als F(x) = (a/(n+1))x^(n+1) + C angegeben wird.
