Analysis

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2x+58 → Plan ² 28x+2 fra) 2x²+2x+4a - l'an 1² +4 FOR-21² +4 foo 5x -Plan- 4x fax-5 A Schritt f'on bestimmen 2. Schritt: Y-Wert berechnen, falls nicht gegeben →→→x in fox einsetzen zB PG-113) in for (x-1²-2 = f(-4)= (-1-1 ²-2-2-y-Wert 3 Schritt Steigung m ausrechnen →x-Wert von Punkt in flanenseteen 4 Schritt ny-mxtt ensetzen und nacht auflisep 5. Schritt Tangentengleichung angeben 2²-²-²-²ext- - ANN 20 RATIONALE FUNKTIONEN des max Definitionsbereichs Non-0 Bap 2x-5x3+ 3.xs Opmax-R/{m} Lösungen Bruchform Bop Afon DF-18/25 Not yo Por- (x+5)(x-32 X-45-0 Summenforma De max-R/{-5,33 mys lm (+5)(x-3)²00 1 + Xo =X f(xo) X₁ X₂- p²(x) Bestimmung Gebeaflet ads x5 enes Pol shoe VPW Es gilt DF-H wp-que Beispiel fixo) p'(xo): Xo+t |- (P(x)-xo) + P(x) (1²(80) x0) y= P²(xol·x + P(x) ['(x) xo 0-P'(x) x + (xo) - P'(x0) Xo -Foxo) +P/(x) xo - Px -x | P'(x) - Pixo). p'(x) Beispiela In X-2-0 244 314 X+0d 1 mk fo-x² und D-R und D-R NEWTON VERFAHREN allgemein Startstelle xo y= ((x) m-P'(xo) y=mx+ →> Iterationsformel der Nullstellen 700 -0 De Umkehrfunktion Funkt? wad mot f besaachnek. (1 Achtung F Se macht die Zundnung venf wieder rückgangg Lösungen X₁ X2 X3 Kontrolle UMKEHRFUNKTION/ नहु Next +0 Noxx) + ,etc bzw. X1 €OP ↓ X₁-Nst F(x) XoM" Xn plexn) Fes- x2 € DF ↓ xt-Not Problem 2 F68-47 > Einführungsbeispiel fog- Bestimmung von Demax 2x+3 X -0 >Rationale Funktionen/Bezeichnungen a) allgemeiner Fall b) Sonderfall 2x --Dm-R/-R for-3x²+1²+1 Bop a) f(x= x+1 Regel n Gf besitzt ads x-2 einen Pol mit Vereichenwechsel sowie enesekehte Asymptole mit der Gleichung x-2 6) Nutellenbestimmung 2(x-1)-0 2-3-0 2x -31+z Fox) = 2x²+x+100 STAMMFUNKTIONEN Festlegung: Eine Funktion F heißt: Stammfunktion zu, Es nk kene endeutige Unkerung möglich. Eine Funktion Lässt sich nicht umkehren, wenn es zwei verschiedene x-Werte gibt, die dem gleichen y-Wert zugeordnet werden FICA-FCA gilt f besitzt ene enfache Nullstelle bex gebrochen Funktion generationale Funktion b) foxl-5x+3x³ Fox-x5+2x+ De Funktion F mit fox-ax" besitzt eine Stammfunktion mik Fon- x^* WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DER SINUS-UND KOSINUSFUNKTION Fon-sin x gal-casx -T fox-tan x • Sinx cosx F'(x)= Demax R/1-₁-T, I m.} -R/ {x|I-KT, ke Z} = ABLEITUNG DER TANGENSFUNKTION A tan (g) sin (f) / cos (fl 플 AY C VCOSA DE-IR WF-[-1; 1] GF ist punktsymmetrisch un Ursprung sin(-x) = - sinx Nullstellen ХК- кт kez My 1 (cosx) GRAPHISCHES ABLEITEN COSX COSA- sinx - (-sinx) (cosx1² Icosxlg (sinxe (cosx) 3/ Dg- R Wg-[-1,13 Gg ist achsensym aur y-Achse Cos (-x) cosx A | Xưa k Regel (tax)-(Casx)² T? ZTT Gron Dort wo der Graph von fix) Steigung m-O hat, hat der Graph von f(x) seine Nullstellen In den Bereichen wo der Graph von fix) eine positive Steigung hat, verläuft der Graph von flx) oberhalb der x-Achse-hellrot markiert In den Bereichen wo der Graph von fix) eine negative Steigung hat, verläuft der Graph von f'(x) unterhalb der x-Achse -> blau markiert k ez God 2. Schritt. 2TT 7x Schritt Der Graph von fod hat zwei Punkde an denen die Steigung Null ist, namlich: P(2,5/2) und Q(5/-)-> Bilden die Nullstellen des Ableitungegraphen von bisx-2 ist die Steigung positiv -> Ableitung verlauft oberhalb der x-Achse von x-2 bis x-5 ist die Steigung negativ-Ableitung verlauf unterhalb der x-Achse von x-5 bis ist die Steigung positiv → Ableitung verlauft oberhalb der x-Achse Beispiels Beispiel f mit for-x²-1 Dp - Ro A- y-smx REGEL f mit fox-2x-1 DF-IR 1. ABLEITUNG DER WURZELFUNKTION Die Ableitung der Wurzelfunktion f(x)=√x = x^²/₂ F'(x)= 1/2x¹2 = 1/2 Merke: (√) - SIN UND COS "X Graph der Standardeinus-bew Standardkosinusfunktion ben y- cos x Bsp.: - = 2√7 Pod-x PC-SITE 700- cox ---Fon 3 Es gelten (sinx'- cos x (cos x'= -sin x Rezept Wp = [-1₁00] =DF-1 2. yux²-1 |+4 Ir 10-3-1-30+20 Swxxx GF-1 you x² x = ²√x+₁ WF-^ De- Ro Wegen WIR wählt man. X- -√² 3.₁x¹ y = -√x+A →F²α-√x+₁; 0x-1= [-1;00[ 11 0x² = 1-00₁ +00⁰[ W₁" - R 2) 3. Y=2x-1 2y = 2x 2x (y+1) X F²(x0= ²(x+1) - 2x + 2 1+2 1:2 yox c) foxx cusx Poocx (-500 DIR Auflisen nach x Vertauschen von rund y -2 y²-1²-1² y = ± √/₁²-2² fom ± √√₁²-₂² HALBKREISE ALS GRAPHEN GF ist der obere Halbkreds Wohl voo FOR √re Bsp 3 fox-√32.4² a) f(x) = sin(x) 4 m²0 x b) g(x) = cos(x) Wichtige Eigenschaften der Umkehrfunktion (W₁-D Dp-WF (2) Gf ergibt sich aus Gf 5 --1 durch Spiegelung d Winkelhalbierenden des I/II-Quadranten (y-x) er d Satz 1st eine Funktion in einem Intervall streng meneto, sa ist sie dart umkehrbar Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion Bestemmen des De 1²-1² 201² ZM -rExSr Satz Der Graph der Funktionf mit fext-vie-k Op=[-xx] Habe Radius r und Mittelpunkt (0) y=- sinx * Dp[r] -_y=cos x →X STEIGUNGS-UND SCHNITTWINKEL BEI GRAPHEN MONOTONIE UND EXTREMA Foo TY % <0 smf xi хо zB WEP (11); fon relativ >0 EXTREM PUNKTE 1. Schritt: Foo berechnen sms Schräge Asymptote: WENDETANGENTE x² - 8x² + 6x² - 3x² [x²-3x+18] 2. Schritt x-Wert in f'xl einsetzen I Fon x²-3x²+2x -x3-8x² + 12x Pra) 3.1²-²4-1²+12·1 3. Schritt m und WEP in y mxrt einsetzen y=mx+t 3. 4. Schritt Tangentengleichung aufstellen Tepunk ASYMPTOTEN sm.s >0 1 I 6x²-1 28 xl-3x² i REGEL ganz groß wird -x ganz klein wird absolut X3 smf <0 2.B. fol. x++ 3 mart foxl-² // 1 6x²-1 y=2 da Lim 3x² "2 X- Xu relativ Der Steigungswinkel, einer Tangente ist der spitze Winkel, um den man die x-Achse um den gemeinsamen Punkt drehen muss, damit die Tangente zusammenfallt. Der Tangens des Steigungswinkels &m- Funktion kann höchstens 2 waagrechte Asymptoten haben, wenn Ungerade Vielfachheit: senkrechte Asymptote bei x mit Vorzeichenwechsel Gerade Vielfachheit: senkrechte Asymptote bei x ohne Vorzeichenwechsel >0 sms ks weder x noch y-Werte sind konstant, wird durch allgemeine Geradengleichung angegeben Für den Steigungswinkel & des eine Funktion for Graphan 365 xu besitet, git: tan ol - Plco) Bezeichnungen HOP tand-m 7X x a Funktionswert fon gibt den y-Wert an der Stelle x an. faxx >0 fai <0. über der x-Achse unter der x-Achse U tand - -m => f'(x) Funktsamwert f'o.dh der Wert der 1. Ablenkung gibt die Tangenkensteigung ad5 x at foo> 0 Graph fon steigt F'on <0 Graph fon Fallt Definition: Gegeben sei eine Funktion f(x) mit ihrem Graphen Gf. Eine Kurve k ist eine Asymptote von Gf, wenn Gf sich beliebig an k annähert, ohne k jemals zu berühren Waagrechte Asymptote: parallel zur x-Achse senkrechte Asymptote: parallel zur y-Achse K Pon gibt Auskunft über Extrempunkte fox - (x-2)² -3 Spiegelung an der x-Achse Spiegelung an der y-Achse um 3 nach unten verschoben →x um 2 nach links verschoben mit dem Fakter 2 in y-Richtung gestreckt LINEARE TRANSFORMATION pron→ Werk der 2. Ablastung fon gibt das Maß der Krümmung a.ds x und die Tangentensteigung von 'cl ads x en bon-fox-[6-2-3] =(x-2)² +3 S(2/3) hox Fex) [fx-2)]-3-(x+2)²-5 S(-21-5) hon fix-3 (x-21²-3-3- (x-2)²-6 S(21-6) hon fixez) [(x+2)-23²-5. (x²-5-x²-3 5(01-5) hoxl- 2500 26x-21²-3] 2(x-21²-6 S(21-6) (x-2]²-5= ((x-4) ²-3 -4-41¹-3 um nach rechts und 2 nach oben ho f(x)+2(x-1)-21²-3+2 (x-31²-1 (31-1) 2 i X-Richtung gestreckt hox F($x Fax) ³0 → Links gekrümmt → m van Poo nimmt zu Pan <0 → rechts gekrümmt →m von f'on nimmt 16 2.8 Foxl- Geraden, die parallel zur y-Achse laufen, heißen Polstellen → Beachten der Nullstellen des Nenners nach dem Kürzen x-2 senkrechte Asymptote SYMMETRIEVERHALTEN Punkt symmetrie →nur gerade Exponentero →Fox-x³-12x ď Achsensymmetne →→→gerade Exponenten →Pou-x²-x²+7 TIP(-21-161 TIP(21-14) f-cx-Fon achsensym zury-Achse WEITERE EIGENSCHAFTEN DER SINUS- UND KOSINUSFUNKTION 1.) Sinus- und Kosinusfunktionen haben die Definitionsmenge R und die Wertemenge (-1;1) 2.) Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch mit der Periode 21 für alle XER gilt daher: sin(x+2 km)+sin(x) KEZ COS (x + 2KT) = cos(x) 3.) Der Graph der Kosinusfunktion entsteht durch Verschiebung des Graphen der Sinusfunktion um- in x-Richtung. F-(x) = F-x punktsym. zum Ursprung 4.) Der Graph der Sinusfunktion ist symmetrisch zum Ursprung Der Graph der Kosinusfunktion ist symmetrisch zur y-Achse. sin (-x) sin(x) cas (-x) = cosk) 5.) Die Nullstellen der Sinusfunktion liegen bei und die Nullstellen der Kosinusfunktion liegen bei fox-a sin [P. (x-c)] +d (KEZ) 6.) Die Sinusfunktion ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden x= Daher gilt: sin sin(5-d TRANSFORMATION DER SINUS-KOSINUSFUNKTIONEN Sonstige →gerade u. ungerade Exponente tr Verschiebung um rd in y-Richtung Verschiebung um +c in x-Richtung er De Periode beträgt Die Amplitude beträgt Zwischen den Graphen zweier Funktionen und ihren Funktionstermen gelten nachfolgende Zusammenhänge: g(x)=.. f(x) + d a-f(x) f(x-c) f(b-x) Gist gegenüber Gr. um d in y-Richtung verschoben in y-Richtung mit Faktor lal gestreckt und im Falle a < 0 zusätzlich an der X-Achse gespiegelt um c in x-Richtung verschoben. In x-Richtung mit Faktor gestreckt und im Falle b< 0 zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.