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renee
24.9.2025
Mathe
Trigonometrische Gleichungen, Sinus- und Kosinusfunktion
4.047
•
24. Sept. 2025
•
renee
@renee.
Die Trigonometrie umfasst wichtige Konzepte wie Bogenmaß in Grad Formel... Mehr anzeigen
![• Winkel von Gradmaß zu Bogenmaß
Winkel
B
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• Sinus- und Kosinusfunktion zeichnen
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f(x) = A·sin[B(x-C)] +](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FKHItOQADrULcqWqCHImJ_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
In diesem Abschnitt werden trigonometrische Gleichungen lösen und Veränderungen der Sinus- und Kosinusfunktionen behandelt. Es werden verschiedene Arten von Streckungen und Stauchungen sowohl in y- als auch in x-Richtung erklärt.
Die Streckung oder Stauchung in y-Richtung beeinflusst die Amplitude der Funktion:
Example: 2·sin streckt die Sinusfunktion in y-Richtung, während 0,5·sin(x) sie staucht.
Die Streckung oder Stauchung in x-Richtung beeinflusst die Periode der Funktion:
Highlight: Die Sinusfunktion Parameter B in der Formel A·sin + D bestimmt die Streckung oder Stauchung in x-Richtung.
Für das Lösen trigonometrischer Gleichungen wird ein systematischer Ansatz vorgestellt:
Vocabulary: Lösungsintervall - Der Bereich, in dem alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung liegen.
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Dieser Abschnitt behandelt die Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen sowie die Anwendung der Produktregel und Kettenregel. Die grundlegenden Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen werden vorgestellt:
f = sin → f' = cos(x) f = cos → f' = -sin(x)
Definition: Ableitung - Die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt.
Die Produktregel Ableitung wird für Funktionen eingeführt, die aus einem Produkt bestehen:
f = u · v → f' = u' · v + u(x) · v'(x)
Die Kettenregel Ableitung wird für zusammengesetzte Funktionen angewendet:
f = u) → f' = u'(v(x)) · v'(x)
Highlight: Die Kombination von Produktregel und Kettenregel ermöglicht die Ableitung komplexer trigonometrischer Ausdrücke.
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Der letzte Abschnitt behandelt die Bildung von Stammfunktionen und die Berechnung von Flächen unter Kurven. Die allgemeine Form einer Stammfunktion wird als F + C dargestellt, wobei C eine Konstante ist.
Definition: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt.
Für die Flächenberechnung unter Kurven wird folgender Prozess vorgestellt:
Example: Um die Fläche unter der Funktion f = x² im Intervall zu berechnen, bilden wir zuerst die Stammfunktion F = x³ und berechnen dann A = F - F = 8/3 - 0 = 8/3.
Es wird auch erwähnt, dass Flächen miteinander verrechnet werden können, was bei komplexeren Flächenberechnungen nützlich ist.
Highlight: Die Flächenberechnung unter trigonometrischen Funktionen ist ein wichtiger Anwendungsbereich der Integration in der Trigonometrie.
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Dieses Kapitel befasst sich mit der Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß sowie dem Zeichnen von Sinus- und Kosinusfunktionen. Die Bogenmaß Formel wird vorgestellt und eine Grad in Bogenmaß Tabelle wird gezeigt. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die graphische Darstellung und Veränderung der Sinusfunktion und Kosinusfunktion gelegt.
Vocabulary: Bogenmaß - Ein alternatives Winkelmaß, das auf der Länge des Kreisbogens basiert.
Example: Die Umrechnung von 90° in Bogenmaß ergibt π/2.
Die Sinusfunktion Formel f = A·sin + D wird eingeführt, wobei die Parameter A, B, C und D verschiedene Aspekte der Funktion beeinflussen:
Highlight: Die Sinusfunktion Parameter beeinflussen die Form und Position der Sinus Kurve auf unterschiedliche Weise.
Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion werden hervorgehoben:
Definition: Periodische Funktion - Eine Funktion, die sich in regelmäßigen Intervallen wiederholt.
Das Gradmaß und Bogenmaß sind zwei verschiedene Systeme zur Winkelmessung. Während das Gradmaß einen Vollkreis in 360° einteilt, verwendet das Bogenmaß den Radius des Kreises als Maßeinheit (ein Vollkreis entspricht 2π). Die Grad in Bogenmaß Formel lautet: Bogenmaß = (Grad × π) ÷ 180. Diese Umrechnung ist besonders wichtig in der Trigonometrie und Analysis, da mathematische Funktionen wie Sinus und Kosinus standardmäßig im Bogenmaß arbeiten.
Beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen beginnt man damit, die Gleichung in die Standardform zu bringen (z.B. sin(x) = a). Man bestimmt zunächst die Basislösungen und beachtet dann die Periodizität der Funktionen. Bei Sinusfunktionen gilt für die zweite Basislösung t₂ = π - t₁, bei Kosinusfunktionen t₂ = -t₁. Wichtig ist, dass man alle Ergebnisse im Bogenmaß angibt und das geforderte Lösungsintervall berücksichtigt, da trigonometrische Funktionen unendlich viele Lösungen haben.
Die Sinusfunktion kann durch verschiedene Parameter in ihrer Form verändert werden. In der Form f(x) = A·sin[B(x-C)]+D steuert A die Amplitude (Streckung/Stauchung in y-Richtung), B beeinflusst die Periodenlänge (2π/B), C verschiebt die Kurve horizontal und D vertikal. Die Sinusfunktion Parameter C und D wirken genauso bei Kosinus: Eine Verschiebung nach rechts erfolgt bei negativem C, nach links bei positivem C. Eine Erhöhung von D verschiebt die Kurve nach oben, eine Verringerung nach unten.
Die Produktregel wird angewendet, wenn man eine Funktion der Form f(x) = u(x)·v(x) ableiten muss, also ein Produkt zweier Funktionen. Die Formel lautet f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Die Kettenregel dagegen verwendet man bei verschachtelten Funktionen der Form f(x) = u(v(x)), wobei die Ableitung f'(x) = u'(v(x))·v'(x) ist. Besonders in Kombination mit trigonometrischen Funktionen ist die Anwendung beider Regeln essenziell, etwa wenn man Ausdrücke wie sin(x)·e^x oder cos(x²) ableiten muss.
Mathematik Oberstufe: Einführung in die Analysis von Wolfgang Kuypers, Cornelsen 2021, Lehrbuch, Umfassende Einführung in trigonometrische Funktionen, Bogenmaß und Ableitungsregeln mit anschaulichen Beispielen - Link
Lambacher Schweizer Mathematik Oberstufe: Basistraining Analysis von Baum et al., Klett 2020, Übungsbuch, Praxisnahe Aufgaben zu trigonometrischen Gleichungen, Sinus- und Kosinusfunktionen mit ausführlichen Lösungswegen - Link
Formelsammlung und Aufgabensammlung zur Höheren Mathematik von Lothar Papula, Springer Vieweg 2022, Nachschlagewerk, Kompaktes Nachschlagewerk mit allen wichtigen Formeln zu Bogenmaß, trigonometrischen Funktionen und Ableitungsregeln - Link
Mathe für Nicht-Freaks: Trigonometrie verstehen von Daniel Jung, Springer 2020, Lernhilfe, Anschauliche Erklärungen zu Bogenmaß, Sinus- und Kosinusfunktionen sowie deren Ableitungen mit vielen Grafiken - Link
Erstelle eine Wertetabelle für sin und cos mit x-Werten von 0° bis 360° in 30°-Schritten, berechne sowohl in Grad als auch in Bogenmaß und skizziere die Graphen mit Hervorhebung der Amplitude, Periode und Nullstellen.
Untersuche die Funktionen f = 2·sin+1 und g = -0,5·cos-2 hinsichtlich ihrer Parameter und leite beide Funktionen mithilfe der Ketten- und Produktregel ab.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Sudenaz Ocak
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
renee
@renee.
Die Trigonometrie umfasst wichtige Konzepte wie Bogenmaß in Grad Formel, trigonometrische Gleichungen lösen und die Eigenschaften von Sinus und Cosinus Funktionen. Dieses Dokument behandelt:
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In diesem Abschnitt werden trigonometrische Gleichungen lösen und Veränderungen der Sinus- und Kosinusfunktionen behandelt. Es werden verschiedene Arten von Streckungen und Stauchungen sowohl in y- als auch in x-Richtung erklärt.
Die Streckung oder Stauchung in y-Richtung beeinflusst die Amplitude der Funktion:
Example: 2·sin streckt die Sinusfunktion in y-Richtung, während 0,5·sin(x) sie staucht.
Die Streckung oder Stauchung in x-Richtung beeinflusst die Periode der Funktion:
Highlight: Die Sinusfunktion Parameter B in der Formel A·sin + D bestimmt die Streckung oder Stauchung in x-Richtung.
Für das Lösen trigonometrischer Gleichungen wird ein systematischer Ansatz vorgestellt:
Vocabulary: Lösungsintervall - Der Bereich, in dem alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung liegen.
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Dieser Abschnitt behandelt die Ableitung von Sinus- und Kosinusfunktionen sowie die Anwendung der Produktregel und Kettenregel. Die grundlegenden Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen werden vorgestellt:
f = sin → f' = cos(x) f = cos → f' = -sin(x)
Definition: Ableitung - Die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt.
Die Produktregel Ableitung wird für Funktionen eingeführt, die aus einem Produkt bestehen:
f = u · v → f' = u' · v + u(x) · v'(x)
Die Kettenregel Ableitung wird für zusammengesetzte Funktionen angewendet:
f = u) → f' = u'(v(x)) · v'(x)
Highlight: Die Kombination von Produktregel und Kettenregel ermöglicht die Ableitung komplexer trigonometrischer Ausdrücke.
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Der letzte Abschnitt behandelt die Bildung von Stammfunktionen und die Berechnung von Flächen unter Kurven. Die allgemeine Form einer Stammfunktion wird als F + C dargestellt, wobei C eine Konstante ist.
Definition: Stammfunktion - Eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt.
Für die Flächenberechnung unter Kurven wird folgender Prozess vorgestellt:
Example: Um die Fläche unter der Funktion f = x² im Intervall zu berechnen, bilden wir zuerst die Stammfunktion F = x³ und berechnen dann A = F - F = 8/3 - 0 = 8/3.
Es wird auch erwähnt, dass Flächen miteinander verrechnet werden können, was bei komplexeren Flächenberechnungen nützlich ist.
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Dieses Kapitel befasst sich mit der Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß sowie dem Zeichnen von Sinus- und Kosinusfunktionen. Die Bogenmaß Formel wird vorgestellt und eine Grad in Bogenmaß Tabelle wird gezeigt. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die graphische Darstellung und Veränderung der Sinusfunktion und Kosinusfunktion gelegt.
Vocabulary: Bogenmaß - Ein alternatives Winkelmaß, das auf der Länge des Kreisbogens basiert.
Example: Die Umrechnung von 90° in Bogenmaß ergibt π/2.
Die Sinusfunktion Formel f = A·sin + D wird eingeführt, wobei die Parameter A, B, C und D verschiedene Aspekte der Funktion beeinflussen:
Highlight: Die Sinusfunktion Parameter beeinflussen die Form und Position der Sinus Kurve auf unterschiedliche Weise.
Wichtige Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion werden hervorgehoben:
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Das Gradmaß und Bogenmaß sind zwei verschiedene Systeme zur Winkelmessung. Während das Gradmaß einen Vollkreis in 360° einteilt, verwendet das Bogenmaß den Radius des Kreises als Maßeinheit (ein Vollkreis entspricht 2π). Die Grad in Bogenmaß Formel lautet: Bogenmaß = (Grad × π) ÷ 180. Diese Umrechnung ist besonders wichtig in der Trigonometrie und Analysis, da mathematische Funktionen wie Sinus und Kosinus standardmäßig im Bogenmaß arbeiten.
Beim Lösen von trigonometrischen Gleichungen beginnt man damit, die Gleichung in die Standardform zu bringen (z.B. sin(x) = a). Man bestimmt zunächst die Basislösungen und beachtet dann die Periodizität der Funktionen. Bei Sinusfunktionen gilt für die zweite Basislösung t₂ = π - t₁, bei Kosinusfunktionen t₂ = -t₁. Wichtig ist, dass man alle Ergebnisse im Bogenmaß angibt und das geforderte Lösungsintervall berücksichtigt, da trigonometrische Funktionen unendlich viele Lösungen haben.
Die Sinusfunktion kann durch verschiedene Parameter in ihrer Form verändert werden. In der Form f(x) = A·sin[B(x-C)]+D steuert A die Amplitude (Streckung/Stauchung in y-Richtung), B beeinflusst die Periodenlänge (2π/B), C verschiebt die Kurve horizontal und D vertikal. Die Sinusfunktion Parameter C und D wirken genauso bei Kosinus: Eine Verschiebung nach rechts erfolgt bei negativem C, nach links bei positivem C. Eine Erhöhung von D verschiebt die Kurve nach oben, eine Verringerung nach unten.
Die Produktregel wird angewendet, wenn man eine Funktion der Form f(x) = u(x)·v(x) ableiten muss, also ein Produkt zweier Funktionen. Die Formel lautet f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Die Kettenregel dagegen verwendet man bei verschachtelten Funktionen der Form f(x) = u(v(x)), wobei die Ableitung f'(x) = u'(v(x))·v'(x) ist. Besonders in Kombination mit trigonometrischen Funktionen ist die Anwendung beider Regeln essenziell, etwa wenn man Ausdrücke wie sin(x)·e^x oder cos(x²) ableiten muss.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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