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Analysis Lernzettel
23.5.2023
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Analysis - Lernzettel Ganzrationale Funktion f(x) = "+an-x-t. f(x) = 2x4-5x³ + 2x²-x+8 y = m.x+n Lineare Funktion: Geraden X Pl010,51 Q(112) xy y = 1,5x+0,5 2x Beispiel Geradengleichung bestimmen: f(x) = ax²²+bx+c flx) = 2x² + 3x + 1 m= Normalparabel Steigung n=y-Achsenabschnitt f(x)=x² f(x)=x²+3 f(x)=x²-5 f(x) = (x+2)² f(x) = (x-4)² f(x) = 8.x² f(x)=0.5.x² Quadratische Funktion tax+ao -2 -N ->> a positiv →> Öffnung oben a negativ - Öffnung unten -D 3 nach oben 5 nach unten. 2 nach links 4 nach rechts gestreckt gestaucht ( P +2 ^ + ^ 2 1 -2 a>1 ac a positiv m berechnen: m = y ₂ - Y₁ X₂-X₁ 2=1,5+n →0₁5= n n-Grad (höchste Hochstellzahl). a = Koeffizient 1-1,5 Exponenten: natürliche Zahlen 2-0,5 1-0 = 1,5 = 1,5 1 n berechnen: y = 1,5x +n =>y &x eines Punktes einsetzen 2=1,51+n a negativ y = 1,5x+n Kubisch f(x) = ax³+bx+cx+d A a positiv -Symmetrie Monotonie Wichtige Begriffe zum analysieren der Funktion - Nullstellen - Extrema -Wendestellen - Ableitungen Symmetrie Achsensymmetrie zur y- •Achse f(-x) = f(x) =D kommt die normale Fkt. raus, dann achsensymmetrisch nur gerade Exponenten? Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x) = sind alle Qutienten verändert. dann punktsymmetrisch nur ungerade Exponenten ! Keine Standartsymmetrie f(-x) = ? => gemischte Lösung Exponenten gemischt? Monotonie + +∞ a negativ streng monoton Des steigt die ganze monoton" ins too. Zeit Streng f monoton Des steigt es x4+x² - 6x6 = f(x) Klappt man diese Funktion. zusammen, liegt sie übereinander x³ + x² + 3x = f(x) Die Funktion muss gedreht. werden, damit sie übereinander Liegt zwar monoton" ins +∞∞o, gibt aber Sattelpunkte. Sattelpunkt: Steigung =O Nullstellen Lo Schnittpunkte mit der x-Achse = f(x) = 0 Beispiele Ⓒflx)=x²-4 x²-4 = 01 +4 x²=417√ x₁ = 2 x₂ = -2 Y x₁=-2 Extremstellen Faktorisierte Form f(x) = (x+2)⋅ (x²-4).X (x+2). (x²-y)-x=0 / Satz vom Nullpr. X+2=01-2x²-4-01+4 xy=0 x² = 41+√ X2=2 x3 = -2 flx)=x²-3x Lo Hoch-/Tief-/Sattelpunkt Notwendige Bedingung f'(x)=0 Hinreichende Bedingung f'(x)=0& F"(x) #0 - Wert f(..) errechnete x-Werte der notw. Bed....
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einsetzen x²-3x = 0 lausklammern x(x-3)=0 |Satz vom Nullprodukt X₁=0 oder x-3=0 +3 x₂ = 3 Ableitungen f(x) = 8x3-4x² +7x-5 f(x)=24x²-8x+7 Wendestellen notwendige Bedingung f'(x)=0 hinreichende Bedingung f"(x) = 0 & f"(x) +0 y Wert (f(... x) errechnete x-Werte der notw. Bed. einsetzen. 1. Ableitung ↳ Steigungsfunktion: f'(x) > 0 positiv Substitution f(x) = x+-5x²+4 x-5x² +4 -0 | x² = u u²-5u+4 = 0 1pq Formel. U₁=1 x² = 11+√ X₁=1 X₂=-1 errechnete x Werte in 2. Ableitung einsetzen falls f(x)=0 - Saltelpunkt g(x)=2x+3x²³x g'(x) = 4x³+x²-27/0 = 2x³ + 2x²- → steigt f f'(x) < 0 negativ - fällt f 42=4 x²=4 / ± √ X3= 2 X4 = -2 Momentane/Momentane Änderungsrate Lo Steigung an einem Punkt ; x in 1. Ableitung einsetzen 2.3. flx)=2x³-4x²+5 P(117) f(x)=6x²-8x #Tangente f(1) = 6.1²-8.1 = -2 |pq-Formel: X₁/2 = -√2 ) ² - q f(x) = 1/2x² + 1/2x-3 errechnete x-Werte in 3. Ableitung einsetzen x>0 Rechts-Links-WP, XCO Links-Rechts-UP x²+2x-30 1.2 x² + 1x-6=0 | pq Formel X₁12 = -1/2 ± √1²+6 - 1/2 ± √ ₁ +6 XAR == X112=-2/2 ± √√6,25 X112 = -0,57 2,5 x₁=2 x₂ = -3 Taschenrechnerbefehl: poly Roots (fx), x) Wörter, die darauf hinweisen: minimal / maximale Anzahl, am wenigsten/meisten/höchsten Wörter, die darauf hinweisen. stärkste Steigung, sinkd/steigt am stärksten Weg-Zeit 1. Ableitung: Geschwindigkeit (km/h) 2. Ableitung: Beschleunigung Anderung pro Mittlere Änderungsrate * Sekante m = y₂ - Y₁ X₂-X1 = 1 X 1 = Integrale --> zum Ausrechnen von Flächeninhalt Händisch: + sind 2 x-Punkte & eine Funktion angegeben, dann die x-Werte für x einsetzen, um y zu erlangen. Beispiel: f(x)=x² f(x)=2²= 4 = Y/₁ f(x₂) = 3² = 9 = y ₂ f(x₂)-f(x₁) X₂-X1 2 => P₁ (214) = P₂ (319) 1. Stammfunktion bilden. - Flache nur positiv / negativ oder gemischt? 401 [F(x)]³|=F1 d .7 muss in Flx) eingesetzt werden und "1" auch! x₂ = 3 Stammfunktion bilden Beispiel: f(x)=3,4 x² - 17, 1 x² + 10,08 x F(x)=34x4-131x² 4₂ | [F(x)]₁² | + | [F(x)]}² | = FI GTR: • Fläche nur positiv/negativ oder gemischt? to $flxilde Fläche zwischen zwei Graphen 40 | $flx\id | + | $fx\a || A-Sf(x) dx - g(x) dx Differenzenquotient 10,08 x² + c 2 m= 9-4 3-2 = 5 = 5 + प Bilanz Fläche gemischt", so wird die Bilanz dessen ausgerechnet. LD positiv & negativ wird verrechnet E-Funktionen werden nie null? Ableiten f(x) = ex f'(x) = ex g(x) = 2x²+7x g'(x)= (4x+7) flx) = ex. (x²-4) d ↓ ex #0 x²-4=01 +4 x² =41± √ хла-2 X2=2 Beispiel flx)= x². x³ innere Ableitung/ äußere Ableitung Produktregel Lo durch das muss die Produktregel angewendet werden? Formel: f'(x) = u· v² ·u·v f(x)= x² 3x²+2x x³ = 3x² + 2x4 = 5x4 Kettenregel Lo bei zusammengesetzten Funktionen? Formel: f(x)=u' (v(x)) v²(x) Beispiel: f(x)=3-x3-4)² 2x²+7x f(x1= 21 (x³-416 3x² u(x)= 3x² -> v/x)=x²-4 h(x) = 2x³ e h'(x) = 2x³ (12x²+4x). e4x³+2x² + 6x² + 4x³ + 2x² ₂4x³ + 2x² (2x³ (12x² + 4x] + 6x² / = e 4x3 ²³²+2x² · (24x³ + 8x² + 6x²) = e innere Ableitung/ äußere Ableitung h(x)=u.v'+u'v 4x²+2x² g(x) = 3(sin x) g'(x) = 1,5 (sin x) 4. Sin x A h(x)= ex sinx h'(x) e cos x + ex. sinx lausklammern ex( cosxt sinx) COS X -COS X Asin xó X COS X lausklammern glx)=(2x4 (3x4) g(x) = 2x² 12x³+4x3x4 =24x5 + 12x5 = 36x5