Analysis (Matheabi 23)

Alternativer Bildtext:

V'(x) Bsp.: f(x)=(x²³-2) ² f'(x)= 2 (x³-2) 3x² = 6x². (x³-2) HR Steigung Ⓒ WP Graphisches Differenzieren f(x) f(x) NEW f'(x) f"(x) f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 Dort wo f(x) eine Extremstelle hat, hat f'(x) eine Nullstelle Bei der Wendestelle von f'(x) hat f'(x) eine Extremstelle. Der Y-Wert der Extremstelle von f'(x) entspricht der Steigung der WS in f(x). NEW NS • Ist die Steigung von f(x) positiv, so verläuft f'(x) überhalb der X-Achse & bei negativer Steigung unterhalb TPX NEW f'(x) N- Nullstelle mit VzW! E- Extremstelle W-Wendestelle charakteristische punkte Sonderfälle Hochpunkt f'(x)-07 X1 Wendepunkt f"(x)=0 | X2 X3 f(x) f'(x)=0 Tiefpunkt Extremstellen f'(x)=0-> notwendige Bedingung, d.h. die Bedingung ist bei einer ES stets erfüllt, garantiert jedoch keine Hinreichende Bedingung Hochpunkt: VzW in f'(x) von →→→→ oder wenn f"(x) < 0 Tiefpunkt: VzW in f'(x) von oder wenn f"(x) > 0 +← In besonderen Fällen gibt es Extremstellen, die mit keiner der beiden hinreichenden Bedingungen erfasst werden können 1. Funktion fist auf einem abgeschlossenen Intervall definiert -2 -1 3- 2 globales min bzw. max 2. Die Funktion ist (auf einem Teilintervall) konstant Auf dem Teilintervall gibt es unendlich viele Punkte (ES), bei denen f"(x)=0 & es 4 kein VzW bei f'(x) gibt 14 3-2 23:4 1 2 3 3- 2. 1+ Randwerte in f einsetzen, um auf sog. Randextrema zu testen. lokales min bzw. max 3. Die Funktion f ist nicht differenzierbar ने ES bei x-0 kann daher nicht mit der Bedingung f'(x) = 0 berechnet werden Wendestelle Eine Wendepunkte liegt in der Mitte von zwei Extremstellen. Hier wechselt also die Krümmung von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum. Die Krūmmung (f"(x) ist in diesem Punkt null. notwendige Bedingung: f"(x) = 0 hinreichende Bedingung: f(x) + 0 Krümmung: f(x) > 0 Kurve von rechts → links f" (Xw)0 Kurve von links → rechts ! Wenn f"(x)=0 ist, ist dies nur Hinweis auf einen Sattelpunkt. Es muss jedoch mit dem VzW bestätigt werden. zB. f(x)=x4 f'(x) = 4x³ f"(x)=12x² f'(x) = 0 f'(-1) = 4 (-1) = -4 f(1) = 4·1=4 0=4x³ X = 0 f"(0)-12-0² = 0 VzW von → + = TD nullstellen Man setzt die Funktionsgleichung gleich Null und löst die so entstandene Gleichung. Quadratische Gleichung - ax²+bx+c=0 kann man mit der Mitternachtsformel lösen Bsp.: 2x²-7x+6=0 b C Х112 = a 7± √7²-4·2·6 2.2 7± √√49-48 = X112 = -b± √b²-4ac Za 7+1 x₁ - 2 + 1 - 2 - 2 = 4 4 7-1 6 X₂+²+1 = = 1,5 X2= 4 4 4 7 ± 1 4 nur eine Potenz von x xn-r=0 (r ist eine reelle Zah)) →Wurzel ziehen Bsp.: x²-81-0 1+81 x=81 √ X= ±3 -Biquadratische Gleichung ax"+ bx² + c = 0 Substitution x² = Z az²+bz+c=0 mit MNF lösen Resubstitution x² = Z₁1√ = +√Z X = Bsp.: x4-2x²-15-0 Substitution z²-2z-15 0 MNF Z₁12 x² = Z₂ √ x= ± √7₂ Z₁ = 218-5 2 = 2-8-3 2+√√(-2)²-4-1-(-15) 2 Resubstitution x²=5 X112 = ± √5 x² = -3 X₁12 = 4 - Produkt- aus Term 1 Term 2-0 Satz vom Nullprodukt Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren Oist Bsp. (x-1)-(x²+4)=0 X₁² 0 = x - x₂ ² 0 = x² +4 X- x==3 -4-x² H√ -x²4 ohne konstantes Glied d.h. jeder Summand enthält ein x z. B. ax³ + bx² + cx=0 Ausklammern der höchstmöglichen Potenz von xx. (ax²+bx+c) = 0 S.v.NP. M.N.F Bsp: 2x³-7x²+6x = 0 X (2x²-7x+6)=0 = 0 → MNF X₁² 0= 2x²-7x+6→siehe Quadratische Gl. x₂ = 2 x3 = 4 Nullstellen - Linearfaktordarstellung In der Linearfaktorzerlegung der Funktion f kommen Linearfaktoren mehrfach vor: f(x) = (x+3)²(x-3) (x-1)² Da der Linearfaktor zur NS-3 dreifach vorkommt, bezeichnet man-3 als 3-fache Nullstelle. Sie sieht aus wie y=x³ Entsprechend ist 1 eine doppelte Nullstelle. Sie sieht aus wie y=x². 3ist eine einfache Nullstelle. Sie sieht aus wie y=x Dreifache Nullstelle Doppelte Nullstelle X Einfache Nullstelle Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt, d.h. wie oft ein Linearfaktor in der Linearfaktor zerlegung vorkommt Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit handelt es sich um Schnittpunkt mit der x-Achse Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der x-Achse Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n Nullstellen Eine ganzrationale Funktion f mit ungeradem Grad n hat mindestens eine Nullstelle stetigkeit Eine funktion ist stetig, wenn an jeder Stelle des Definitionbereichs der Grenzwert von links dem Grenzwert von rechts entspricht, d.h. man kann den Graph zeichnen ohne abzusetzen Eine Funktion ist an der Stelle xo stetig, wenn diese 3 Bedingungen erfüllt sind: 1. Die Funktion ist an der Stelle x. definiert f(x)=√x² für x≤ 1 Xo = 1 X + 1 für x> 1 X=1 ist Teil der Definitionsmenge 2. Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind an der Stelle x. gleich Der beidseitige Grenzwert f(x) existiert lim x→+xo lim x → 1 f(x) = 1 lim f(x)=2 X→ 1+ lim + lim, f(x) ist nicht stetig X→ 1- X→ 1+ X→ Xo ✓ 3. Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert lim, f(x) = f(x) definitionslücken Vorraussetzung gebrochenrationale Funktion f(x)-g(x)/h(x) sei f(x)= (x); xo isteine Definitionslucke wenn h(x)=0 Bsp.: f(x) = X²+1 D-R\{2} Xo 2 ist eine Definitiaslücke. Man unterscheidet zwischen Polstelle & hebbarer Lücke (1) polstelle Gilt g(x) +0,so ist xo eine Polstelle von f und f besitzt an der Stelle x. eine senkrechte Asymptote Bsp.: F(X) = 2X₁ D = IR \ {9} X-9 senkrechte Asymptote bei x= 9 (da g(x)=2x für x=9+0 Polstelle) Mögliche Polstelle: mit VzW ohne VzW + H (2) hebbare lücke Gilt g(x)=0, so ist xo eine sogenannte hebbare lucke (Die Definitionslücke lässt sich beheben"→ Erweiterung des Definitionbereichs) Bsp. f(x)=x²-2² DF = R \ {0,23 X-2 X (X-2) X f(x) = X-2 x²-2x ул f(x)= lim = -2 lim = -2 X→-1+ = f(x) 2 X Was meint stetig hebbar? X Bsp. f(x)=x²-1 D-R\ {-1} → f ist nicht stetig! + • 1/² D² = R\ {0} = Da g(2)=0 handelt es sich um stetig hebbare Definitionslucke X²-1 (x-1)-(x+1) X + 1 X + 1 = x - 1 g(x) ist an der Stelle Xo-1 stetig fortsetzbar f x→ X² X+-1 -2 x= -1 verhalten von funktionen 1 Von gebrochenrationalen Funktionen f(x)-p(x)/¶(x) Zahlergrad Nennergrad Verhalten von f(x) Z < N Z Z > N f(x) = -In(x) N f(x)= In(x) f(x)0 für X→-∞ f(x)0 für X→+∞ f(x)→ für x→±∞ 3. Logarithmusfunktionen Funktionsgleichung f(x) = ln (x) f(x) für X → -∞ f(x) + für X→ +∞ f(x) - →∞ f(x) → +∞ Verhalten von f für x→±00 Asymptote f(x) →∞ nicht definiert f(x) → +∞ für X→ +00 f(x) → ∞ f(x) → +∞ nicht definiert für X-∞0 Asymptote Y-0 nicht definiert für X→ +∞ y= y=0 2. Exponentialfunktionen funktionsgleichung f(x) = ex f(x)= ex f(x) = -ex f(x) = -ex Verhalten von f für x →±00 X f(x) → O f(x) → +∞ f(X) - → +∞ f(x) → O f(x) > 0 f(X)→ →-8 f(x) >-∞ F(X) → O f(x) > 0 f(x) + für X → -∞ für X→ +00 für X→-00 für X→+∞ für X→ -∞0 für X→ +∞ für X→ -∞ für X-> +∞ far x→ -∞ für X → +∞ Asymptote Y=0 Y=O Y=O Y=0 f(x)= ex ! Für die Funktion f mit f(x)= x setzt sich für das Verhalten g(x) im Unendlichen der Termteil der Exponentialfunktion durch. Y=O monotonie (f'(x)) Funktionswerte nehmen zu f'(X)>0 f(X₁) < f(X₂) X₁ X₂ ту Funktionswerte nehmen ab: f'(x) < 0 f(x3) > f(x4) X3 X4 Gegeben ist eine Funktion fauf einem Intervall I. f heißt... ... streng monoton wachsend auf I, wenn \x₁, x₂ € I mit x₁ < x₂ gilt: f(x₁) <f(X2) ... streng monoton fallend auf I, wenn XX₁, X₂ € I mit x₁x₂ gilt f(x₁)f(X₂) monoton steigend auf I, wenn x₁, x₂ € I mit X₁ < X₂ → f(x₁) ≤ f(x₂) X1, X2 krümmung (f'(x)) 67 у ... monoton fallend auf I, wenn ¥x₁, x₂ € [ mit x₁ > X₂ → f(x₁) = f(X₂) Monotoniesatz Ist die Funktion fauf I differenzierbar so gilt: i) Ist f'(x) > 0 \x € I, so ist f streng monoton wachsend auf I Ist f'(x) < 0 \x € I, so ist f streng monoton fallend aufl WP Tangentensteigung nimmt ab WP ab Tangenten steigung nimmt ab WP zu 2 4 symmetrie `f(-x) = f(x)" Achsensymmetrie zur Y-Achse f(x) = f(-x) f'(X) beschreibt das Steigungsverhalten der Tangenten. Dieses nimmt bis zum WP zu und nimmt dann ab =>Die Ableitung von f(x) muss erst positiv und dann negativ sein Um Symmetrie nach zuweisen ganzen Funktionsterm f"(x) >0 bedeutet, dass die Steigung wächst ↳ Linkskurve f"(x) <0 bedeutet, dass die Steigung sinkt ↳ Rechtskurve Merkhilfe positiv Links negativ → Rechts f(x) f # -X - f(-x) = -f(x) f(x) - f(-x) keine Symmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x) nicht nur einen X-Wert einsetzen sondern den ganzrationale funktionen Eine Funktion f mit der Form f(x)=an X+an-1 X¹+...+ a₁X¹ + Xº mit ne IN & an + O heißt ganzrationale Funktion vom Grad n. Der Definitionsbereich ist DF = TR # Die reelen Zahlen a.;a;a;2. heißen Koeffizienten von f 1. Verhalten für x→± ∞ Bei einer ganzrationalen Funktion wird das Verhalten für xə±∞ vom Summanden an x bestimmt. Man unterscheidet vier Fälle n_gerade an> 0 f(x) +∞ für x → ±00 an <0 f(x)→∞ für X→ ∞ an > 0 f(x)→- fur x→-8 f(x) + für X→+∞ an <0 n ungerade f(x)→- f(x) + fur x→+∞ für X-∞ 2. Symmetrie Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann... ...achsensymmetrisch zur Y-Achse, wenn alle Hochzahlen der x-Potenzen gerade sind ... punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Hochzahlen der x-Potenzen ungerade sind. 3. Linearfaktordarstellung _ Hat die ganzrationale Funktion f vom Grad n eine Nullstelle x₁, dann lässt sich der Funktionsterm als Produkt darstellen f(x)=(x-x₁) · g(x) g(x) ist der Term einer ganz- rationalen Funktion vom Grad n-1 Faktor (x-x₁) heißt Linearfaktor Lässt sich die Funktion komplett aus Linear faktoren darstellen spricht man von Linearfaktordarstellung f(x)= a (x-x₁)(x-X₂) · ... · (X-Xn) Bsp.: f(x)=5(x-1) (x + √₂) NS: X₁=1 X₂= -√2 trigonometrische funktionen NA MA f(x)=sin(x) f(x) = cos(x) Die Sinus- & Kosinusfunktion sind periodische Funktionen mit der Periode 2πT *punktsymmetrisch zum Ursprung Nullstellen bei k. π - Wendestelle achsensymmetrisch zur Y-Achse Nullstellen bei k - Wendestelle Allgemeine Sinusfunktion f(x)= a-sin (b(x+c))+d 1) Strecken mit dem Faktor a in Y-Richtung (Amplitude) 2) Strecken mit dem Faktor 1/b in X-Richtung (Periode) p=2 3) Verschiebung um c in X-Richtung 4) Veschiebung um d in Y-Richtung ! Es muss in dieser Reihen vorgegangen werden, wenn man beschreiben soll wie sich ein Graph verändert sin (X) - cos (X) Ableiten Gradmaß Bogenmaß cos (X) Cosinus -sin (X) 0⁰ 0 sin (X) - cos (X) 30° 60° 90° 1 숨ㅠ ㅠ ㅠ ㅠ Sinus 1N0 NT 112 113 114 √ √3 √2 √ √O 45° → Aufleiten ! sin² (X) + sin(x) = 0 sin (x) + 1 = 0 cos (X) Lösen Sie die Gleichung (cos(x))² + 2 cos(x) = 0 für 0≤x≤ 2. -sin (X) I sin(x) falsch man kurzt NS heraus stattdessen ausklammern cos(x) (COS(X) + 2) = 0 exponentiafunktionen Exponentielles Wachstum Während bei linearem Wachstum Werte je Zeiteinheit mit einem gleichbleibenden Summanden addiert wird, wird beim er exponentiellen Wachstum mit einem gleichbleibenden Faktor multipliziert 3 +1 +1 +1 쉬우 1 2 3 1,5 2 2,5 3 +0,5 +0,5 +0,5 +0,5 6- 4- 2- y ··2+ 0 1 +1 3 4 +1 +1 1 2 2 4 8 ·2 ·2 .2 • Für a<0. R- - Der Wert a entspricht dem Anfangswert der Veränderung ·2 Für das exponentielle Wachstum gilt: f(x)= a·b* -Definitionsbereich: R -Wertebereich ist abhängig vom Faktor a: Für a>0 R+ KR 4 16 -Ist b>0, so spricht man von exponent. Wachstum - Ist 0<b< 1, so spricht man von exponent. Zerfall Die Euler'sche Zahl Die positive Zahl b, für die die Exponentialfunktion f mit f(x)=b* mit ihrer Ableitungsfunktion f'übereinstimm, heißt Euler'sche Zahle. Die zugehörige Exponentialfunktion f mit f(x)=e* heißt natürliche Exponentialfunktion f(x)=e* f'(x)=e* Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion.... ist auf ganz R streng monton wachsend hat keine Hoch oder Tiefpunkte hat keine Wendepunkte ist auf ganz R eine Linkskurve f(x)= ex f(x)= e Spiegelung an der Y-Achse f(x)=-ex Spiegelung an der X-Achse f(x)=-e* 1Spiegelung an der X & Y Achse Verhalten im Unendlichen X → +00 X→ -∞ |f(x)=x^.e-x | f(x)=ex/x^ | f(x)= x^.ex | f(x) = ex- x^ n f(x) → +∞0 f (x) → 0 f(x) → 0 f(X) - → +∞ f(x) → -∞0 f(x) + →>> f(x) → 0 f(x) → +∞ f(x) → +∞ f (x) → -∞ Nähert sich der Graph für x→ oder x → -∞ einer Geraden an, so nennt man diese Gerade waagrechte Asymptote. Funktionenschar Die Funktionsterme haben alle die gleiche Struktur und unterscheiden sich nur durch eine Zahl. Schreibt man t für diese Zahl, so erhält man den allgemeinen Term. Man nennt t einen Parameter. bei Exponentialfunktionen: i) f(x)=(x+t).2 Verschiebung in negative X-Richtung ii) f(x)=-e0,5x-t · Verschiebung in negative Y-Richtung ii) f(x). e(x-t)²t · Verschiebung in pos. X- & Y-Richtung t=2 t= 1 t=jpy t = 0 FUU!!.. t=3 t=2 t = 1 X ! Ein Parameter ist keine Variable! Beim Ableiten wird er einfach als Konstante behandelt, da für ihn beliebige Zahlen eingesetzt werden können. Ortskurve einer Funktionenschar Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte einer funktionenschar. die eine bestimmte Eigenschaft erfülle, bspw. alle Hochpunkte Bsp. Gegeben ist die Funktionenscharf, mit f(x) = (t-x) ex; te R. Untersuchen Sie die Graphen f auf Extrempunkte und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ortskurve der Extrempunkte. 1.Extrempunkte in Abhängigkeit von t bestimmen f(x)=e* (t-x)-e* f(x)=e* (t-x) - Ze* f(x)=0= e(t-x)-e* *e*t-ex-e* =e* (t-x-1) *0¥XEDF f"(t-1)=e¹¹ (t-(t-1)) - 2e¹¹ =et-1-(t-t+1)-2e¹-1 =e¹.t-e¹t+e-1-2e²-1 -et-1-2e¹¹0 => HP X=t-1 > t = x + 1 f"(t-1) = f₂(t-1)=e¹¹ (t-(t-1)) =>HP(t-11e¹-1) 2. Stelle die X-Koordinate des EP nach t um 0= t-x-1 1+x x=t-1 = e²-¹ (t-t+1) =et-1-t-et-1 tret-1 =et-1 3. Setze tx+1 in die Y-Koordinate ein Y=et-1 = ex+1-1 X => Y- e* ist die Ortskurve aller Hochpunkte Gemeinsame Punkte einer Schar bestimmen Bsp. . Gegeben ist die Funktionenschar f, mit f(x) = (x - 1) e-tx. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar. 1 Die Funktionswerte 2er beliebiger Funktionen der Schar mit t₁ und t₂ müssen gleich sein → f₁₁(X) = ft₂(X) mił t₁+ t₂ (x-1). etx=(x-1)- e-t₂-x |-(x-1)- e-t₂x е 15.v. NP е 0=(x-1)-et₁x 0=(x-1)-le -(x-1). e-t₂-x -t₁² x _ e-t²-x) 2. Gleichung nach x lösen 0=(x-1). (etxe-t₂-x) X X₁=1 P1|f₂ (1))=P(110) 0=et₁x-e-t₂ x e-t₂x = e-t₁²x -t₂-x = -t₁.x Da t₁t₂ ist x₂ = 0 => Q(01 ft (0))>Q(01-1) → P(110) und Q(01-1) liegen auf allen Graphen der Funktionenschar | +e-t₂-X | In logarithmusfunktion Exponentialgleichung wie e*=6, bei denen die Variable im Exponenten steht, kann die Gleichung mithilfe des natürlichen Logarithmus gelöst werden. Der Logarithmus log. (b) von b zur Basis a ist diejenige Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten (a;b>0). Für x= loga(b) gilt also a* = b. um Exponentialgleichungen zu lösen: 5×-32; x = log5 (32) X Für die Basis 10 schreibt man statt log₁0 (b) kurz log(b) Für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponentialgleichung ex=b der natürliche Logarithmus von b. Man schreibt x= [n(b) Es gilt eb) = In(1)=0 n(e) = c In(e) = 1 Die Funktion f mit f(x)=e*ordnet jeder reellen Zahl x genau eine positive Zahl y=e* zu. Häufig kennt man den funktionswert y und sucht den zugehörigen x-Wert mit_y=e* Diese Zahl ist x-In(y), denn es ist e" In(y) =y. f(x)=e* & f(x)=In(x) sind gespiegelt an der Winkelhalbierenden (X und Y-Werte werden vertauscht) ↳ f(x)=e* f¹(x)=\n(x) Ableitung von f(x)=\n(x) ist f'(x)=1/x Ableitung: f(x) = 2x f'(x)= In(2)-2* Bsp: f(x)=3x f(x) = ex f'(x)= In(e) ex 1 f'(X) = 3x 3 Vor faktor kommt mit in den Nenner f(x)=en(2x) en (2).x f'(x)= In (2).en(2)-x = In (2)-2x f(x)= x-In(x+1) f'(x)=1.In(x+1)+ x. In (X) पुम Produktregel Summe in den Nenner + tangente Die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt B(bl f(b)) erhält man wie folgt. 1. Die Tangente ist eine Gerade mit der allgemeinen Gleichung y=mx+c 2. Die Steigung m der Tangente entspricht der Steigung von f an der Stelle b = m = f'(b) 3. Der Punkt B liegt auf der Tangente; d.h. x-b & y = f(b) und lost nach cauf: f(b) = f'(b) ·b+c Bsp. f(x)-x³-1 B (213) f'(x)=x² 3= 6.2 + C -9=C (2)- 2²=b+m-b Tangentengleichung y-b-x-9 Allgemeine Tangentengleichung an den Graphen von fim Punkt B(blf(b)) :` Y= f'(b) (x-b) + f(b) normale Eine Gerade die senkrechte zur Tangente ist und durch den Berührpunkt der Tangente verläuft heißt Normale Hat die Tangente die Steigung m= f'(b) so gilt für die Steigung der Normalen m =- f(b) Allgemeine Normalengleichung an den Graphen von f im Punkt B(blf(b)): Y= -f'(b) · (x−b) + f(b) tangente von außen Bisherige Tangentenaufgabe W Neue Ausgangslage E A Graph f Gegeben eine Funktion f(x) - ein Punkt auf dem Graphen von f, der der Berührpunkt der Tangente g ist Man muss eine Tangente van Punkt E, der nicht auf dem Graphen liegt, an den Graphen legen. Man spricht von der Tangente von außen & muss die Berührpunkte bestimmen. Vorgehensweise am Beispiel Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = x³ und der Punkt A(01-1). Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f, die durch den Punkt A verläuft. 1. f(x) Ableiten und im Anschluss x durch u ersetzen f(u) und f'(u) angeben flu) - u³ flu)-2-x² 2. Allgemeine Tangentengleichung aufstellen _y=f'(u)(x-u) + f(u) y• 2u²(x-u) + -u² 3. Punkt probe für den gegebenen Punkt P(xly) und nach u auflösen -1-² (0-u) U²³ 1=1/12-u²³² + 1/12-u²³ 1=2.u³ 3=u³ 5 Tangentengleichung aufstellen y-2-(x-1) + 1/ → u=1 4. Einsetzen der Punkte u, in f→ Berührpunkte f(1) == -1²³ = 1/2 f(1) = -1² = // extremwertprobleme mit Nebenbedingung Ziel: Das Erarbeiten einer Problemlosestrategie, um mithilfe der Differenzialrechnung das Minimum oder Minimum von Funktionen zu bestimmen, die am Anfang von mehreren Variablen abhängen, aber durch eine Bedingung auf eine Variable reduziert werden können Vorgehen am Beispiel einer zylinder förmigen Dose mit einem Volumen von V-330 ml. Bei welcher Form ist der Materialverbrauch möglichst gering? 1. Aufstellen der Funktion/des Terms, der extremal werden soll Oberfläche eines Zylinders: 0=2π·²+2πr.h 4 abhängig vom Radius und der Höhe soll minimal sein ܥܐ 2. Formulierung der Nebenbedingung V= πr².h=330 nach h umstellen h=330/π r² 3. Aufstellen der Zielfunktion, in der die Nebenbedingung enthalten ist (abhängig von nur einer Varriablen) O(r) 2π²-2πr· (330/π·r²) = 2π· r²+ 660/r mit r > 0 4. Zielfunktion auf Extrema untersuchen Werte an den Randern der Definitionsmenge beachten O'(r)-4-r-bbo r O"(r) 4+ 132or-³ -2 0'(r)=0= 4r-660.r²² 0"(r) = 4π+ 1320 /3,745² > 0 -= 3,3745 5. Ergebnis formulieren. Die Maße der optimalen Limo-Dose sind r=3,745cm und h= 330/-3,745 7,5cm. ≈ umkehrfunktionen Geben sei eine Funktion f: DeWe mit dem Definitionsbereich De und dem Wertebereich We Die Umkehr funktion f¹: D¹W f¯¨¹ zu der Funktion f ist die jedem Element y e We sein eindeutig xe De zuweist, bestimmtes Urbildelement Allgemein gilt: 1. f-^(f(x)) = X 2. D¹- We und Wf"1= Df 3. Ist die Umkehrfunktion zu einer Funktion f, dann ist f auch die Umkehrfunktion zu f-1 4. f(x) ist umkehrbar wenn sie über ganz De streng monoton steigend o. fallend ist. Dann ist f¹ ebenfalls s.m.s bzw. s.m.f.. Der Graph von f(x) · Liegt der Punkt P(alb) auf dem Graphen von f, so ist f(a)=b und somit f-¹(b)=a. Folglich liegt der Punkt P(bla) auf dem Graphen von f1 Der Punkt Plalb) geht somit in den Punkt P(bla) über, indem man die x-Koordinate & y-Koordinate vertauscht. Berechnung der Umkehrfunktion: 1. Prüfen, ob f(x) auf ganz De umkehrbar ist. Falls nicht den De - wenn möglich- einschränken. f(x)=√√4x2+1 Dr=R>0,5 W₁ = R=1 f'(x) = -(4x-2) ¹¹-4-2-(4x-2)* ² f'(x) = 0X f(x) hat keine NS & ist >0 ¥XED s.m.s 2. y = f(x) nach x auflösen y = -√4x-2² +1 (y-1)² +2 4 X = 3. Die Variablen x & y vertauschen y = 1² + 4·(x-1) ² z · (x-1) ²2. Binom. Forme) 2 2 f(x) + (x-1)² - 4(x² - 2x + 1) + 1 = ² - 1 x + ² = <+ 4. Definitions- & Wertebereich der Umkehr funktion bestimmen und ggf. anpassen Df¹ = R = 1 = Wf Wf ^ = IR = 0,5 = Df Am Ende müssen sie über einstimmen,d.h. man passt es nach der größten Einschränkung an. Dies gilt sowohl für D&W von f(x) & f'(X) Nullstellen f(X)=0 Extremstellen Notwendige Bedingung f'(x) = 0 Hinreichende Bedingung f"(x) < 0 f"(x) > 0 Hochpunkt Tiefpunkt oder VzW bei f'(x) von zu → Hochpunkt von zu+ → Tiefpunkt Wendepunkt Notwendige Bedingung F"(x)=0 Hinreichende Bedingung f(x) +0 f(x) >0→Linkskurve f" (x) <0 Rechtskurve Symmetrie Achsensymmetrie f(x) = f(-x) zur Y-Achse Punktsymmetrie zum Ursprung f(-x) = -f(x) Eigenschaften zur Untersuchung von Funktionen & Graphen strenge Monotonie streng monoton steigend Für x₁ < x₂ gilt. f(x₁) < f(x₂) Streng monoton fallend für x₁ < x₂ gilt. f(x₁) > f(X₂) Verhalten für x→±00 Strebt f(x) für x→ +0.-∞ gegen einen bestimmten Wert, so hat f(x) eine senkrechte Asymptote Definitionsmenge bzw. -lücken g(x) h(x) f(x) = Polstelle mit der Definitionslucke x. hebbare Lücke g(x0) +0 senkrechte Asymptote g(x)=0