Nullstellen und Linearfaktordarstellung in der Analysis
Die Analysis einfach erklärt beginnt mit dem fundamentalen Konzept der Nullstellen. Bei der Linearfaktorzerlegung einer Funktion ist die Vielfachheit der Nullstellen von besonderer Bedeutung. Eine Nullstelle kann einfach, doppelt, dreifach oder höher sein, was sich direkt in der grafischen Darstellung widerspiegelt.
Definition: Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft ein bestimmter Linearfaktor in der Linearfaktorzerlegung vorkommt. Bei ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die x-Achse, bei gerader Vielfachheit berührt er sie nur.
Bei einer dreifachen Nullstelle verhält sich der Graph ähnlich wie y=x³, bei einer doppelten wie y=x² und bei einer einfachen wie y=x. Diese Eigenschaften sind besonders wichtig für die Monotonie Mathe und das Verständnis des Funktionsverhaltens. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann maximal n Nullstellen besitzen, wobei Funktionen ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle haben müssen.
Die praktische Bedeutung der Nullstellenanalyse zeigt sich besonders bei Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingung. Hier hilft das Wissen über die Vielfachheit der Nullstellen bei der Bestimmung von Extrempunkten und dem generellen Funktionsverlauf.