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12.10.2021

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3.
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fus=2x-1
Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
3= 1/2
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
3= 1/2
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fus=2x-1
Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
3= 1/2
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
3= 1/2
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
3= 1/2
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
3= 1/2
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Funktion aufstellen
1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen
2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen
Bsp: P(213) f(x)=√x+b
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3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2+b (nach b umstellen b=2 → f(x)=x+2 Normalparabel: x² -Definition- fox)= mx +b (m.b ETR) max Definitions menge D₁=TR graphische Darstellung: Gerade m - Steigung, b-y-Achsen abschnitt Schnittpunkt zweier Geraden Bedingung: Die zwei Graphen müssen eine unterschiedliche Steigung haben, da sie sonst parallel verlaufen (f(x)=2x+1; g(x)=2x) LINEARE FUNKTIONEN vorgehensweise: f(x) = g(x) | gleichsetzen 2x+1=x+2 I nach x auflösen •d<0: verschiebung um d nach links verschiebung in X-Richtung: •d>0: Verschiebung um d nach rechts x = Q4 | y-Wert ausrechnen Y = 2.(0,4) +1 y = 1,8 • a>0: Parabel nach oben geöffnet • aco: Parabel nach unten geöffnet Schnittpunkte Achsen- f(x)=2x-1 →y-Achsenabschnitt ablesbar Y=-1 →x-Achsenabschnitt: f(x) = 0 <=> 0=2x-1 → Xn=0,5 →SC0,411,8) • lak<1: Parabel Richtung y-Achse gestaucht • lal> 1: Parabel Richtung y-Achse gestreckt. (x+1)² V -Definition f(x) = ax² +bx+c a,b,c ETR und a*o max Definitions menge D₁ = TR Einfluss der Parameter in Scheitelform Öffnungsrichtung und Streckung / Stauchung: Steigung •wenn m>0, steigt der Graph •wenn m<o, fällt der Graph • wenn m=0 verläuft die Gerade waagerecht parallel zur x-Achse Steigung berechnen- allgemein: m = tan(x) = f(x₂)-f(x₁), (X₁ + X₂) Bsp: P₁(21-3), P₁₂ (416) X₂-X₁ 16-(-3) 2=4₁5 → f(x) = 4,5x+b 1x² Orthogonale Geraden: D f(x) = g(x) 0 m = m/m¹ 2= 1 Nullstellen → Anzahl der Nullstellen wird durch die Diskriminante D= b²-4ac angegeben ¥ →PQ-Formel: X₁,2 = -1/2 ± √(1) ²-q" (f(x)= x² +px+q) PQ-Formel funktioniert nicht mit vorfaktor a! QUADRATISCHE FUNKTIONEN: keine Lösung D40 Katein 1-2x² eine Lösung D=O Scheitelpunktform: f(x)= a.cx-d)²+e → HP (dle) direkt ablesbar verschiebung in y-Richtung: •e>o:...

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verschiebung um e nach oben /(x-1)² •e<o: verschiebung um e nach unten - 1x² m= Punktprobe nachweisen, ob Punkt auf dem Graphen liegt 1. Punkt in Gleichung einsetzen 2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Bsp.: P₁(213) f(x)= x+2 1. 3=42+2 2. 3 3 ->> Bsp: P₂ (115) f(x) = x+2 1.5=1/2·1+2 52,5 → Punkt liegt nicht auf der Geraden • Xov + m=1 zwei Lösungen D>O x²+1 V X²1 = |m=-2 Punkt tiegt auf der Geraden Umformungen von Normalform in Scheitelform: f(x)=x² +6x +8 IQE = x² + 6x + ( 2 ) ²³ ( ²2 )² +8 | berechnen = x² +6x +9-9 +8 | binomische Formel = (x+)²-9+8 I vereinfachen = (x+3)²-1 Scheitelform von Scheitelform in Normalform. 1. f(x)=(x-4)² +5 I binomische Formel =x²-8x+16+5 I vereinfachen =x²-8x+21 (→ Normalform 2. f(x) = 4(x-3)² +61 2.binomische Formel = 4(x²-6x+8) +6 (ausmultiplizieren = 4x²-24x+42 → allgemeine Form Schnittpunkte mit den Achsen: f(x)=0 Schnittpunkt x-Achse f(0) =s Schnitt punkt y-Achse f'(x)= 2ax +b F(x)=x²+2x² +cx+d -Definition. f(x)= anx"+an-x+an-zx-²+A₁x +ao, nEIN Df=TR ganzrationale Funktion n-ten Grades ! Die höchste Potenz gibt den Grad der Funktion an Lineare Gleichungssysteme lösen. Form: fox) = ax² +bx+c I a 2¹+ b 2 + c = 8 II: a (-²+b^)² +C = -1 II a.(-4)²+b⋅(4)² + c = -4 I: 40+2b+c=8 I 10-b+c= -1 III: 16a-4b+c= -4 "b" ausrechnen: 9= 3-1 + 3b bb= f(x)=x²+x+y HP Amplitude Rechenweg (Lim fox)): 2. (x).(-x).(x). (x).(-x).(-x) = ∞ X-∞ Y₁ f(x)=sin(x) f(x) = cos(x) (TT11) 20 th Verhalten für x = ∞ Das Verhalten von f für x→± ∞ wird allein durch den höchsten Exponenten (anxn) bestimmt Punkte: f(2)=8, f(-11-1), f(-41-4) "C" eliminieren: I.-T.:9-3a+ 3b II I-II. 3-15a +36 I "a" ausrechnen: -:6=180 &=04 a und bin I einsetzen: ---+ T 21 *(T\) Tangensfunktion POLYNOMFUNKTIONS 2+ T Einfluss der Parameter in Scheitelform Streckung /Stauchung ₁ - in y-Richtung: ·a>1: Streckung •1>a>0 Stauchung streckung /stauchung in x-Richtung: •Streckung 0<b<^ • Stauchung b>1 A of H 1 g(x)=sin(x) = f(x) = 1,5 sin(x) I TT Beispiel: 3x4+7x²+x+9 => Funktion 4. Grades (Sy(019)) 2TT 1 g(x)=sin(x) fox) = sin(0,sx) TT Bir TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN -Definition- |fx)= a.sin(b⋅ (x-C) +d;X ETR fox= a.cas (b.(x-c)+d Dmax R ist a oder b negativ wird die Funktion an der x- Achse gespiegelt b= Länge der Periode 2TT H - Symmetrie • nur gerade Exponenten f(-x) = f(x) → Achsensymmetrisch zur Y-Achse •nur ungerade Exponenten f(-x) = -f(x) Bsp.: f00= 1,5x7 +4,5x³ → Punktsymmetrisch zum Ursprung LITT nullstellen Eine Polynomfunktion mit dem Grad f=n>o hat höchstens n verschiedene Nullstellen Bsp: f(x)= 3x6 +5x²... (Xn=max.6) 2. Substitution: 1. X-ausklammern: 0=-3x³+2x²-2x 1x auskl. 0= x(-3x²+2x-2) 1:X 0=-3x²+2x-2 I PQ-Formel X₁=0, X₂=1,54, X3 = 0,23 x₁=0,23 3. Klammernschreibweise: gerade Funktionen: Ein Produkt wird null, wenn ein Faktor=0' 0= (x+s) (x-² x₁=-5 doppelte X₂,3 = 3 ungerade Funktionen: fux)=2x-x² (im f(x) = ∞0 Lim f(x) = ∞0 x →∞ Sin( )= Verhältnis sint) - winkel verschiebung in y-Richtung: •d>0 nach oben • d<0 nach unten verschiebung in x-Richtung: • nach rechts C<0 • nach links Occ Punktsymmetrisch zum Koordinaten ursprung Definition fox)= tancx) tan(x) = sin(x) COS(X) D=Rly* (k+¹) TT, KEZ, W=TR nullstellen Bsp: fox)= 63.sin((x-7,5))+10 1-10 -10=63 Sin (2)(x-7,5) 1:63 1: Sin (²) -0,763 = x-7,5 1+7,5 6,7xx Ceine von vielen Nullstellen) 1- Bsp: fox) = 2x6-x² +1 Ableitung Tangens: (tan(x)) = 1+tan²(x) Stammfunktion: F(x) = -(n) (1 cos(X)I) fix) x4-13x²+36 | x² = z 2²-13z +36 1 PQ-Formel Z₁ = 4₁ Z₂ =9|1=√√ x₁ = ±2 x₂ = ±3 TT M. 2TT BIT 1 g(x)=sin(x) fox) = sin(x) + 1 -COS(X) g(x)=-1,5x7+4x5-2x³ Lim g(x) = +∞o x444 211 Lim g(x=-00 ∞04x 1 g(x)=sin(x) fox) = sin(x-1) Ableitung sin(x) Bir -sincx) ATT COS(X) Ableitung Bsp: f(x) = 2-sin(6x-2) + COS(X) +18 f'(x) = 12 cos(6x-2)-Sin (2x) Lineares Wachstum Die Differenz d=B(n)-B(n-1) ist konstant und heißt Wachstumsrate ↳ Explizite Rechnung: B(n)= B(0) + n'd Definition f(x)= a.q (x-d) (+b) q>1=zunehmend Anfangswert Wachstumsfaktor 9<^= abnehmend Berechnung von 9: BS/Q: B(0)=0,3 f(6) = 0²² =2=9615² B(6)=0,6 91,2 EXPONENTIALFUNKTIONEN f hox 15X1 fox)= ex g(x)=2ex 2X ^+^ 5- 1.2 /90062-4,5%/ +27 -Definition- f(x)=a.ex+b natürliche Exponentialfunktion max Definitionsmenge: D₁ = ⓇR WF-R¹ - Eigenschaften. •Y-Achsenabschnitt: Der Schnittpunkt ist bei der Grundform bei Sy (OK). Hat die Funktion einen Vorfaktor oder einen lineaten Faktor ergibt sich daraus ein neuer Achsenalbschnitt •Monotonie: für 0<a<^ streng monoton abnehmend, für a>^ streng monoton zunehmend. Es existieren keine Extrema Ableitungen Eine E-Funktion ist grundsätzlich sehr leicht abzuleiten, weil sie an jeder Stelle die eigene Steigung angibt. fox=ex f'(x) = ex f(x)=²x f'(x=2e²x Want die Funktion von der Normalform ab Verkettung innerhalb der Funktion - Exponentielles Wachstum- 9= kommt von der Exponentialfunktion fox)=ax to to to -et b⇒ verschiebung entlang der y-Achse verknüpfung von ganzrationalen Funktionen & E-Funktionen: f(x) = k·ex + g(x) = f'(x) = k·e* + g'∞x) f(x)=15x Eigenschaften 1. Nullstellen: Exponential funktionen haben keine Nullstellen wenn b=0 ist 2. Asymptote: die x-Achse ist ist Asymptote der Exponentialkurven. Es gilt für 0<a<1: Lim ax=0 und für a>1: lim ax=0 X-X X-6 ynte-Yn Yn explizite Rechnung: B(n)= B(o)-qh -Logarithmus Der Logarithmus von b zur Basis a ax=b x=Loga (6) ist diejenige zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Man schreibt kurz: loga (b) natürlicher Logarithmus: Die Zahl e ist auch gleichzeitig die Basis des natürlichen Logarithmus (n(x) = loge (x) E-FUNKTIONEN K(x) = 1,5×-2 Der Quotient ist konstant und heißt Wachstumsfaktor 3 Streckung des Graphen: f(x) = 1,5* g(x) = 2.1,5*: Um Faktor 2 in y-Richtung verschiebung in y-Richtung: h(x)=1,5x+1 : 1st um AE nach oben verschoben verschiebung in x-Richtung: KW) = 1,5-2 1st um 2E nach rechts verschoben x=9*=+ Logarithmusgesetze 1. log (u.v) = Log (u) + log (v) 2. Log (+) = Log (u)- (og (u) Euler'sche zahl e≈2,71.... Die euler'sche Zahl ist eine irrationale Zahl, da sie unendlich viele kommastellen hat. (ähnlich wie TT) •Sie ist die Basis einer natürlichen Exponential funktion. x-1,94 nullstellen Die Grundform besitzt keine Nullstellen, sofern die Funktion sich von dieser unterscheidet können Nullstellen entstehen 1. Logarithmus nutzen: 2. ex ausklammern: e²x 7ex=0 lex = z f(x)= ex. (2x-5) f'(x)= ex. (2x-3) 1¹ex =2x-3 1+3 1:2 Z²-77=0 Z(z-7)=0 1:2 2=7 lex=zex = 7 in () 3. Log (u) = v. Log (u) 4. Log/√= log (u) x = 1,54 ! Funktioniert nur, wenn jede zahl mit ex als Produkt vebunden ist. Stammfunktion um die E-Funktion aufzuleiten wird durch die Ableitung des Exponenten geteilt. f(x) = eux F(x)= Bsp: f(x)= x³ + e* F(x)=√1/2x4+ =12x4+ euoxx) (I'(X) gw=²x-2x G(x)=2x-x² 1600- 1200 800+ 400- 0 /a=24 Q=26 a=22 a=20 2 2 4 6 1- nullstellen Nullstellen einer Funktionsschar sind häufig abhängig von dem Parameter Bsp f(x)= x3-12+²x 0 = x³-12+²x 0= x (x²-12t²) 1:X 0= x² 12t² i +12+² 12t²=X² x₁ = 12t 8 10 1 x₂ = -12t Kunvendiskussion Beispiel. f(x)=x.ekx fk (k>0) f'(x) = kx + x·(-k).ekx = e-kx (1-kx) f"(x) = -ke-kx. (1-kx) + ekx(K) =-k.exx (2-kx) 12 K=O k=95 aus 3 4 Definition Eine Funktionschar (= ist eine Menge von Funktionen, da sie neben der Variable x noch einen weiteren Parameter hat • Für jedes t ER ist dabei eine Funktion gegeben • Mit dem Parameter rechnet man so, als wäre es eine reele zahl, die für den Moment noch nicht genauer bekannt ist. FUNKTIONSSCHAR Parameter berechnen Für welchen Wert vonk verläuft der Graph von fe durch P(11-3): Bsp.: fk (x) x³-kx (k>0) -3=1³-k-1 -3-1-k 1-1 −4=k verhalten: lim -00 X→-0 Integralrechnung Fläche in Abhängigkeit von k berechnen. 8p: (kex-1)dx=3 Lim = ∞ X->00 Symmetrie: keine PS und As [k·•ex -x]= (k⋅e²-4)-K = 3 K = 24-1 -=> K=4 Schnittstellen: Sy(010) Sx (010) TP() WP(12²) e4k-4-k=3 1+4 e4k-k=7 (4-1)-K-7 Extrempunkte: f'k(x)=e**(1-x) 0=e-kx (1-kx) 1:e-kx 0 1-kx 1-1 1-(-1) 1 = kx 1: K =x (= 1/²e²²² ke f'(x)=-kek (2-kx) f(1) = -k.e^(2-1) = -K. 0,37 => TP = Steigung berechnen Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? f(x) = 3x² - K 03.0²-k 1tk k=0 Gemeinsame Punkte aller Graphen 1. Funktionen mit allgemeinen Punkten aufstellen 2. Funktionen gleichsetzen und lösen ftx=x³-tx fu(x)=x²-t₁(x) ft₂(X) = x³-t₂(x) ft₁ (x) = ft₂(x) x³-t₁.x = x³-t₂x 1-x³ -t₁x = -t₂-x 1+t₂x -t₁x+t₂x = 0 x(-t₁+t₂)=0-t₁+t₂=0 Beispiel: facx) = ax³+x²-x fácx= 30x²+2x-1 ⇓ x=0 f₁cx)=1x³+x²- 1x fs(x) = 5x³+x²-x wendepunkte: f"kx)=-k-ekx (2-kx) 0=-kekx (2-kx) = (-k.e**) 1-2 1-(-1) = (2-kx) 2 = kx 1: K 3/2=X fk (²) = ²/2 · ek.. k. Z = t₂ = t₁² = /²/2-e² -2.2² Differenzenquotient. Der Differenzenquotient beschreibt die Steigung zwischen zwei Punkten x, (Selcantensteigung) m = Af = dy = f(x₂)-f(x₂) X₂-X1 →wird auch oft als "mittlere Änderungsrate" bezeichnet Ableitungsregeln Potenzregel: Summenregel: f(x)=x" Beispiel: f(x) = u(x) + VOX) f'ox=n.xn-1 fox)=x5 = f'(x) = 5x4 f'(x)=U'(x) +V'(X) Kettenregel fox) = u(v(x)) → f'(x) = ('(v(x))- V'(X) Bsp.: fox)= 3e²x g(x) = 3sin (2x) f'w=6e²x gox) = 6COS (2X) äußere mal innere Aldeitung" Grad 3: kubische Funktion f'(x) O 1 nxnx क्षेत्र -1/2 COS(X) COS²(x) ax. (n(a) ex Zeex 1 x. (n(b) u(x) Quotientenregel: f(x) = 40 → f'(x) = ('(X). V(X) - U(X) · V'(X) V²(x) f(x) a; GER X xn = ax+c 4x²+c 4x+1 x+C Ln(x)+c -COS(X) +C tan(x) -In Itan(x)) 숫 sin(x) хо dx ax ex ezx Logo (x) DIFFERENTIALRECHNUNG F(X) e4x ((4-x^²)+(-x²) =e4x ((*) - ²) ex+c 12.6²x - Geometrische Bedeutung von Ableitungen Die Ableitung gibt die Steigung der Grundfunktion an. So kommt es immer wieder zu einem vorzeichen wechsel im negativen Bereich, was zu einer veränderung des verlaufs der Funktion im negativen Bereich führt. * Grad 2: Qadratische Funktion = 1·¹+(x-1)-(-4). ex (1-x+1) Differentialquotient Der Differentialquotient entspricht der Steigung der Tangente in einem Punkt AY y₂-y₁ X₂-X1 Produktregel f(x) = u(x). Vcx) → f'(x) = ('(x) · V(X) + u(x). V'(x) Bsp.: f(x)= 3+(x-1). ex fox) ---- f(x)+ fox=x².ex WT Graph von fox) HP/TP/Sattelpunkt monoton steigend monoton fallend Wendepunkt weitere wichtige Ableitungsbeispiele: 1. f(x)= x=24x₁x²₁ 2. f(x)=√x².ex (x) = 4e4x₁x¹₁+e4x. (x²) = 4x² ²²²e²²x + √x².1.e¹x = 1⁄ex (x²²² + √x²) Graphisches Ableiten HP = 1/2ex(√x+√x) {dy -2 Faktorregel: f(x) = 3x+2x³+6 fox)=c-gcx) fox)=3+6x² f'(x)=c. g' →→→X Der Abstand zwischen fox) und f(x) soll unendlich klein werden um eine Steigung = m= lim fox)-f(x) = f'(x₂) X-DX₂ X-Xo Wendetangente aufstellen Grad 1: Lineare Funktion Graph von f'(x) Nullstelle kurve liegt uber derx-Achse Kurve liegt unter der x-Achse Hoch-/Tiefpunkt 3. f(x)= (x²+6) (x²4651 f'(x) = -(x²+6)²2x -(x²+6)² - 2x = dy x = f'(x) dy = f'(x). dy dx f(x)=-3x² f'(x) = 2.(-3√x f(x) = 2x ex + x². ex = ex.(2x+x²) f" = ex (x²+x+2) •x f'(x)= ex (x²+6x+6) 2x -2 (+48)² Konstantenregel: f(x) = K k' = 0 Regeln bei wurzeln und kehrwerten: fox) = = x₁ f'(x)= -x ² = -1/2 fWx==x²³ → f'wx=-3x4= -24 f(x)==x²²fx) = -1/2 x ² + . fox)=√x = x² f(x) = = 2√² f(x) = 5 f'(x)=0 (x³ = x + ²√x²³¹ = (x³)²) x² = √√x³1 Graph von f"(x) Sattelpunkt: Nullstelle Nullstelle Grad O konstante Funktion f'(x) = m = ex. (x²+2x) Kriterium f'(x)=0 f'(x) >0 f'(x) <0 f"(x)=0 f"(x)= x (x²+4x+2) 0=ex (x² + 4x + 2) 1:ex 1pq-Formel X₁₁2 = -2± √(2)²-2 x₁ = -2+√²² |X₂=-2-√2¹ WP(-2-√2¹10,384) = e(-2-√2¹) ((-2-√2²) +2.(-2-√2¹)) = 0,159 WT = g(x) = mx +b = 0,384 = 0,159⋅ (2-√2¹) => b= 9,93 WOX)=0,159.x+ 0,93 - Kleiner Überblick • Definitionsbereich, wertebereich • Funktion auf Symmetrie untersuchen • Verhalten von x→ ± ∞o • Extrempunkte CHoch- und Tiefpunkte) • Wendepunkte (evtl. Sattelpunkte) • Monotonie • Krümmung KURVENDISKUSSION Nullstelle Definitionsbereich Die Definitionsmenge D ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion f ein Funktionswert zugeordnet werden. kann. Wichtigste zahlenmengen 1. Natürliche Zahlen: N= {0,1,2,3...) 2. Ganze Zahlen: Z-{-3,-2,-1,0,1... 3. Rationale Zahlen: Q = {m/m₁n €Z₂n=0} 4. Reele Zahlen: IR vorgehen: 1. Notwendige Bedingung: fou o potentielle Extremstelle 2. Hinreichende Bedingung: •f"(x₂) <0 Hochpunkt (HP) •f"(x)=0 Sattelpunkt ! vorher VZW •f"(XE) > 0 Tiefpunkt (TP) 3. Y-Wert des EP austechnen Schnittpunkt y-Achse Grenzverhalten •Schnittpunkte erster Schritt in einer Funktionsuntersuchung: Schnittpunkle an x- und y-Achse bestimmen Sy(x10) Sx(Olf(x)) -Symmetrie Achsensymmetrisch. nur Exponenten müssen alle gerade sein (z. B. fox)= 3x4-x²+1) Punktsymmetrisch: nur Exponenten müssen alle ungerade sein (z. B. f(x)=3x3-5x5 + 3x¹1)) Extrempunkte. ·monotonie Beispiel: 1. f(x) = 4x³+x²–2x f'(x)=x²+x-2 0= x²+x-2 1pq-Formel X₁,2 = − 4 ± √( 4 ) ² + 2 x₁=1 x₂ = -2 2. f"(1)=2.1+1=1>0 → TP f"(-2)=2(2)+1=-3<0 → HP 3. TPC11-) HP(-211) f'(x)=0 fox) ist moroton wachsend/steigend fix) ≤0 f(x) ist monoton fallend f'(x) >0 ➜ f(x) ist streng monoton wachsend /Steigend f'kofix) ist streng monoton fallend vorgenen: Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen und werte, die links und rechts von den Nullstellen liegen auf eine Änderung der Steigung überprüfen Wichtige Begriffe Extrempunkt (HP) Nullstelle Wendepunkt fux)=2x-x² (im f(x) = ∞0 X-60 Lim f(x) = ∞0 X 00 Extrempunkt (TP) •Wertebereich Der Wertebereich w ist die Menge von y-werten, die man erhält, wenn man jedes möglich x in die Funktion fox einsetzt → Alles, was für y rauskommen Beispiel: AY W Grenzverhalten - Verhalten für x→ ± ∞ Das verhalten von f für x→± ∞ wird allein durch den höchsten Exponenten (anx") bestimmt gerade Funktionen: ungerade Funktionen: -8 ist der niedrigste y-wert, der erreicht wird. Nach oben gibt es jedoch keine Begrenzung → es kann jeder y-Wert angenommen werden •Wendepunkte- Nullstelle Rechenweg (Lim f(x)): 2. (x).(x).(x). (x)-(-x)-(-x) = ∞ Beispiel: 1. f(x) = x³ f"(x)=6x 0=6x 1:6 x=0 g(x)=-1,5x7+4x5-2x³ Lim g(x)= +∞o X-∞ Lim 90x=-00 X→∞ f"(x) <0 →flx) ist rechtsgekrümmt. bzw. konkav n vorgenen: 1. Notwendige Bedingung: f(x)=0 potentieller Wendepunkt 2. Hinreichende Bedingung: •f"(x) <0 unks-rechts-WP •f (XW) *0 •f" (Xw) >0 Rechts-links-WP 3. y-Wert des WP ausrechnen En sattelpunkt ist ein WP mit einer Steigung von 0 (f'(x)=0) LIK →→X 2. f (6)=0f" (6) >0 = WP 3. f(0)-3.03-0 WP (010) f'(x) = 3x² f(x) = 6 -Krümmung zur Beurteilung der Krümmung verwendet man häufig die II. Ableitung • fox) F"(x) >0 fox) ist linksgekrümmt bzw konvex U WP RK →X EXTREMWERTAUFGABEN Wozu dienen Extremwertprobleme? → Es geht darum Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder volumen zu erhalten. → Funktion wird gesucht, um das Problem zu beschreiben → Nur eine Variable darf vorliegen, wenn mehrere dann, eliminieren" durch NB Beispiel Gegeben sei die Funktion fox) im ersten Quadranten. Welche Koordinaten muss Punkt P besitzen, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist 2 1. Hauptbedingung aufstellen: Fläche des Dreiecks جا 3. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen: ↳ A₂ (u) = 1·u· (-1/4² +4,5) - 2. Nebenbedingung schreiben: In diesem Fall, dass der Punkt P auf dem Funktionsgraphen liegen mus ↳ So kann man die Grundseite g und die Höhe ʼn durch die Koordinaten von Persetzen g=u und n=f(u) = - 44² +4,5 5. Restliche Werte bestimmen: A(3)=-4·3² +4,5 = 3 An P(313) ist das Dreieck maximal -124³ +2,25u → zielfunktion a max Fläche nur 400m zaun WT - Typische Olufgaben 1.) Fläche - Seitenlange begrenzt HB: A (a,b)= a·b NB: V(a,b)= 2.(a+b) = 400 →b-200-a in HB ZF: A(a)= -a² +200 A₂ = 4.g.h QW b ft(x) = (x+t)-ex f(x)= ex(-x-t+1) f'(x)= x (x+t-2) m =-e²+t A₁ = -3.3 flu) { Extremwertproblem mit Funktionsschar Steigung der WT: f't(2-t) = (²-). (-(2-t)-t+1) =e=²++ (-1) = 4,5 cm² f"(x)=ex (x+t-2) 1:ex 0= x+t-2 1+2 1-t X2-twendepunkt AY 3a max. volumen nur 84cm Draht flw= -1/u²+4₁5 P(ulf(u)) 2.) Quader-kantenlänge begrenzt HB: V(a,h) = 3a².h NB: K(a,h)=16a+ 4h=84 →h= 21-4a ZF: v(a) = 30² (21-4a) Die wendetangente von f+(x) = (x++) · ex und die koordinaten achsen begrenzen ein Dreieck. Für welches & wird A maximal ? A" (u) = - u y-Achsenabschnitt: Wt(x)=mx+b zet-2-et-2 (2-t) +b 1 +et-² (2-t) b=2et-2 +etz (2-6) b= (4-t)-et-2 4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen: f'(x)=0 A₁ (u) = -4u²+2,25 = 0 1-2,25 -1u²=-2,25 1-(-4) IMM u² = 9 1473 -1.3= -3/<0 → HP des Maximum ft(x) = (x++) ex ft (x)=((2-t) +t). e²tt = 2.e²tt Wp = (2-t12e-2) -Vorgehensweise 1. Hauptbedingung aufstellen: was soll maxi-/minimal werden? 2. Rand bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text 3. Nebenbedingung nach einer Variable umstellen und in Haupt- bedingung einsetzen → Zielfunktion 4. Zielfunktion auf Extrem Stellen untersuchen 5. Alle fehlenden werte bestimmen CRandwerte beachten!) Wt(x) = -²+x+((4-t). et-2)) 3) Dase-Material begrenzt nur HB: V(r,h)=Tr².h 300cm² NB: 0C(r,h) = 21T1²+r.h=300 Material >h=300-r in HB ZF: VCr)-150r -πt.r³ max. volumen 1. Hauptbedingung. A₁ = 1.g.h g= Nullstelle WT (Xo) h=y-Achsenabschnitt WT и=3 U₂ = -3 3. Act) = (4-)². et-2 2. Nebenbedingung: g= Wt(t)=0=4-t h= (4-t).et-2 = (t²-4t+8).et-2 4. Act)= et-2. (t²-3++4) 1:2²-² 0²-3t+4 1-2 0 = t²-6t+8 1pq-Formel t₁ = 4t₂ = 2 A" (4) >0 → min. A" (2) <0 - max. t=2=max A A=19h A(2)=(2²-4.2+8) = 2 INTEGRALRECHNUNG Der orientierte Flächeninhalt Der orientierte Flächeninhalt eines Ableitungsgraph (momentane Änderungsrate), zwischen Graph und x Achse beschreibt die Gesamfänderung der Funktion. 2.B. um welche Menge sich das Volumen des Wassers im Tank ändert. Bei normalen Polynomfunktionen muss man den Flächeninhalt mit Rechteck- summen berechnen. f(x). Ax Je kleiner die Abschnitte sind, desto besser ist die Annäherung an die Funktion F bzw. den Grenzwert. 8. 4- s Funktion f Stammfunktion M3 Potenzregel xh 1 1 M₁ M₂ mu M₂ M3 Eine Funktion F heißt integrierbar im Intervall [a, b], wenn die Annäherungen duch Rechtecksummen von unten und von oben denselben Grenzwert liefern. Diesen Grenzwent nennt man (bestimmtes) Integral von f im Intervall [a,b]. Das Integral entspricht dem orientierten Flacheninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse zwischen der unteren Grenze a un der oberen Grenze 6 einschließt. nhi xnt 1 3 f(x)=1.ex F(x)=1/ex+d F(1)=100 1/e^+d=100 1-1.e^ d=100-1/2-e¹ = 98,64 F(x)=1/2.ex+ 98'64 Stammfunktionen zu einfachen Funktionen: f(x) x² Sin(x) COS(X) F(X) 3X³ 4X² X X² -COSCX) sin(x) Bestimmen der Stammfunktion mit F(1) = 100: Ś Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung [to dx = [Fox)]" = (FCD) - (F(0) Ist die Funktion f im Intervall [a,b] integrierbar und ist eine Stammfunktion von f im Intervall [a,b], so gilt der Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung. Der konstante summand fällt bei der Differenz weg, weshalb man mehrere Stammfunktionen einer Funktion zuordnen kann. Bsp.: f(x)= 3x² F(x)=x³ F'(x=3x² GOX= x³ +5 G'(X) = 3x² Bestimmen von Stammfunktionen Konstanter Faktor f(x) = c.g(x) F(x)= (-G(X) ex ex Bei einem Graph aus geradlinigen Teilstücken kann man den orientierten Flächeninhalt durch addieren der 3- Flächen berechnen. 6+2-3=SFE 2. 1- A₁ A₁+ A₂-A3=SFE A3,m= f(m₁) - 2 + f(m₂)·2+ f(m₂). 2~ 49,21 Beide Annäherungen (Annäherung von unten) Streben denselben Grenzwert an: 52,80 A3,m= f(m) 2+f(m₂).2 + f(m₂): 2~57,49 (Annäherung von oben) (=integrierbar) √³x². e²x)dx= [(-x³²-2x-2)] = (-10e²)-(-2.eº) = 0,6466 2 3 4 Summentegel f(x) = g(x) +h(x) FX)=G(X) +H(X) ・obere Grenze fox) dx Integrationsvariable Beispiele kettenregel: f(x) = (₁²³5) 4 = 3.(1-5x); = 3.GAT (-5X3G) = £ ((-Sx) 3 - suਕੈs ・Integrand untere Grenze Lineare Substitution f(x) = g.(a.x+b) F(x)=G(a x+b) Rechenregeln für Integrale: a) 1) fc fox) dx = cffcxax 61 figo+h(x) dx = fax + fixdx b) f(x)=√9-4x=(9-x) ½ = ²³ (9-3x)² 3 = 2.9-³ -Koeffizientenvergleich Um die Stammfunktion zusammengesetzter Funktionen aufzustellen kann man nicht wie beim Ableiten die Produlatregel nutzen, sondern muss den koeffizientenvergleich anwenden fox)= x².ex F'(x)= (2ax+b).ex + (-ax²-bx-c) ex f(x)=x².ex FIX) - Cax² +bx+().ex = ex(zax+b-ax²-bx-c) =(1x² +0x +0) ex ((-a)x² + (2a-b)x+(b-c)) a = -1 b=-2 C=-2 -a = 1 2a-6-0 <=> b-c=0 F(x)= (-x²-2x-2). ex Berechnung von Flächeninhalten Fläche zwischen Funktion und x-Achse: Vorgehensweise: 1. Funktion im Intervall auf Nullstellen untersuchen 2. Integral aufstellen 3. Stammfunktion bilden 4. Beträge addieren Fläche zwischen zwei Funktion: vorgehensweise: 1. Schnittstelle bestimmen 2. Integral aufstellen 3. Flächen ausrechnen 4. Beträge addieren 4. A = |Aal+ | A₂l /f-8- Beispiel: А1 vorgehensweise: 1. Funktionen voneinander subtrahieren 2. neue Funktion ableiten 3. auf Extrem stellen untersuchen 4. Y-Wert austechnen A=281,25+24= 305,25 →X A₂ Idmin gcx) 1. f(x)=3(x+2)(x-3)(x-S) ↳ x₁=-2 X₂= 3 X3=5 2 | 1³3X²-18) -3x+90dx=A 3x³-18x²-3x+90 dx 3 [4x²-6x³-4x²+90x]"|-|(1455, 25)-(-126)| = A₁ =1281, 251 3. <“- 6x³ −¾×² +90x] |-|(131,25)-(155,25)|=A₂=|-24| g(x) = 0,2x²-1,7x-1 f(x) = 0,1x³-x² +2 1. g(x) = f(x) X₁=-1; X₂=3; X3=10 0=0,1x³-0,2x² +1,7x+3 = | [ ³cfw-goxll dx | + |₁5" (fix)-gox) dx| 3 = |26|+|-429| 2. 4. A 19,61+1-42,91= 52,5 - Minimaler/maximaler Abstand zwischen zwei Graphen Cohne Schnittpunkte !) 1. d(x) = f(x)-g(x) 0,2x²-1,7x-1=0,1x²-x²+2 (3x²+2x+3)-(-0,25x²) = dcx)= 2,75x²+2x+3 2. d'(x) = 5,5 x + 2 3.0= $5x+2 1-2 15,5 x = -4/ f"(-) = 5,5>0 → TP 4. d-)~263 minimaler Abstand der 2 Funktionen: 2,63