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Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

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12. Okt. 2021

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Mathe Abi Zusammenfassung: Analysis & Stochastik PDF

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Gretalorz

@gretalorz

Die Analysis und Stochastikbilden zentrale Säulen der gymnasialen Oberstufe... Mehr anzeigen

3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2

Lineare und Quadratische Funktionen

Die linearen Funktionen bilden die Grundlage der Analysis Abitur Zusammenfassung. Eine lineare Funktion fxx = mx + b ist durch ihre Steigung m und den y-Achsenabschnitt b eindeutig bestimmt. Die Steigung m gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder fällt:

  • Bei m > 0 steigt die Gerade
  • Bei m < 0 fällt die Gerade
  • Bei m = 0 verläuft sie parallel zur x-Achse

Definition: Eine lineare Funktion hat die Form fxx = mx + b mit m,b ∈ ℝ. Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.

Bei quadratischen Funktionen fxx = ax² + bx + c spielt der Parameter a eine besondere Rolle. Er bestimmt die Öffnungsrichtung und Streckung der Parabel:

  • Für a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben
  • Für a < 0 öffnet sich die Parabel nach unten
  • Für |a| > 1 wird die Parabel gestreckt
  • Für 0 < |a| < 1 wird die Parabel gestaucht

Die Nullstellen lassen sich mit der p-q-Formel oder durch Faktorisierung bestimmen. Die Diskriminante D = b² - 4ac gibt Auskunft über die Anzahl der Nullstellen.

Beispiel: fxx = 2x² - 4x + 1

  • a = 2, b = -4, c = 1
  • D = −4-4² - 4·2·1 = 16 - 8 = 8 > 0
  • Also zwei Nullstellen
3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2

Exponential- und Trigonometrische Funktionen

Die Mathe Analysis Zusammenfassung PDF behandelt als wichtiges Thema die Exponentialfunktionen. Die allgemeine Form lautet fxx = a·qˣ mit der Basis q > 0 und q ≠ 1. Die natürliche Exponentialfunktion fxx = eˣ nimmt dabei eine Sonderrolle ein.

Wichtige Eigenschaften:

  • Definitionsbereich ist ganz ℝ
  • Wertebereich sind die positiven reellen Zahlen
  • Streng monoton steigend für q > 1
  • Streng monoton fallend für 0 < q < 1

Highlight: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung: fxx = eˣ → f'xx = eˣ

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind periodisch mit der Periode 2π. Bei fxx = a·sinb(x−cb(x-c) + d bedeuten:

  • a: Amplitude Streckung/StauchungStreckung/Stauchung
  • b: Periodenänderung
  • c: Verschiebung in x-Richtung
  • d: Verschiebung in y-Richtung
3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2

Funktionsuntersuchung und Extremwertaufgaben

Für die Extremwertaufgaben mit Lösungen ist eine systematische Vorgehensweise wichtig. Bei der Kurvendiskussion werden untersucht:

  1. Definitionsbereich
  2. Symmetrie
  3. Nullstellen
  4. Grenzverhalten
  5. Extrempunkte
  6. Wendepunkte

Definition: Ein lokales Maximum/Minimum liegt vor, wenn f'xx = 0 und f''xx ≠ 0.

Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen wird oft die Substitutionsmethode verwendet:

  1. Zielfunktion aufstellen
  2. Nebenbedingung einsetzen
  3. Ableiten und Nullstellen bestimmen
  4. Extrema klassifizieren

Die zweite Ableitung gibt Auskunft über die Art des Extremums:

  • f''x0x₀ < 0: Maximum
  • f''x0x₀ > 0: Minimum
3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2

Integralrechnung und Flächenberechnung

Die Integrale mit Parametern Aufgaben erfordern besondere Aufmerksamkeit. Das bestimmte Integral ∫a,ba,b fxxdx berechnet die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Wichtige Integrationsregeln:

  • Summenregel: ∫f(xf(x + gxx)dx = ∫fxxdx + ∫gxxdx
  • Faktorregel: ∫c·fxxdx = c·∫fxxdx
  • Substitutionsregel für zusammengesetzte Funktionen

Beispiel: ∫eˣdx = eˣ + c ∫sinxxdx = -cosxx + c

Bei Flächenberechnungen ist zu beachten:

  • Vorzeichenwechsel der Funktion
  • Schnittpunkte mit der x-Achse
  • Einschränkungen des Integrationsintervalls

Der Integral Parameter bestimmen erfolgt oft durch:

  1. Aufstellen der Integralgleichung
  2. Integration durchführen
  3. Gleichung nach Parameter auflösen
3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2

Lineare Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen linearer Funktionen, die für das Analysis Mathe Abi essentiell sind. Es wird die allgemeine Form fxx = mx + b erklärt, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Bedeutung der Steigung wird detailliert erläutert, einschließlich ihrer Auswirkungen auf den Graphen.

Definition: Eine lineare Funktion hat die Form fxx = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.

Highlight: Die Steigung m bestimmt, ob der Graph steigt m>0m > 0, fällt m<0m < 0 oder horizontal verläuft m=0m = 0.

Es werden auch Methoden zur Berechnung der Steigung und zum Aufstellen von Funktionsgleichungen vorgestellt. Ein wichtiger Aspekt ist die Bestimmung von Schnittpunkten zwischen zwei Geraden, was für viele Extremwertaufgaben mit Lösungen relevant ist.

Example: Um die Steigung zwischen zwei Punkten P₁2∣−32|-3 und P₂4∣64|6 zu berechnen, verwendet man die Formel m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁ = 6−(−36 - (-3) / 4−24 - 2 = 4,5.

Abschließend wird die Punktprobe erklärt, eine Methode zur Überprüfung, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt. Diese Technik ist besonders nützlich für Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF.

3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2
3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2
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App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Formen von quadratischen funktionen

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Mathe Abi Zusammenfassung: Analysis & Stochastik PDF

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@gretalorz

Die Analysis und Stochastik bilden zentrale Säulen der gymnasialen Oberstufe im Fach Mathematik. Besonders im Bereich der Analysis sind Extremwertaufgaben von großer Bedeutung für das Abitur.

Bei Extremwertaufgabengeht es darum, Maxima und Minima von Funktionen zu bestimmen. Dies... Mehr anzeigen

3. i fus=2x-1 Funktion aufstellen 1. PCX₁Y₁) P₂ (X₂lY₂)→ Steigung berechnen 2. Ein Punkt in Gleichung einsetzen Bsp: P(213) f(x)=√x+b 3= 1/2

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Lineare und Quadratische Funktionen

Die linearen Funktionen bilden die Grundlage der Analysis Abitur Zusammenfassung. Eine lineare Funktion fxx = mx + b ist durch ihre Steigung m und den y-Achsenabschnitt b eindeutig bestimmt. Die Steigung m gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder fällt:

  • Bei m > 0 steigt die Gerade
  • Bei m < 0 fällt die Gerade
  • Bei m = 0 verläuft sie parallel zur x-Achse

Definition: Eine lineare Funktion hat die Form fxx = mx + b mit m,b ∈ ℝ. Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.

Bei quadratischen Funktionen fxx = ax² + bx + c spielt der Parameter a eine besondere Rolle. Er bestimmt die Öffnungsrichtung und Streckung der Parabel:

  • Für a > 0 öffnet sich die Parabel nach oben
  • Für a < 0 öffnet sich die Parabel nach unten
  • Für |a| > 1 wird die Parabel gestreckt
  • Für 0 < |a| < 1 wird die Parabel gestaucht

Die Nullstellen lassen sich mit der p-q-Formel oder durch Faktorisierung bestimmen. Die Diskriminante D = b² - 4ac gibt Auskunft über die Anzahl der Nullstellen.

Beispiel: fxx = 2x² - 4x + 1

  • a = 2, b = -4, c = 1
  • D = −4-4² - 4·2·1 = 16 - 8 = 8 > 0
  • Also zwei Nullstellen
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Exponential- und Trigonometrische Funktionen

Die Mathe Analysis Zusammenfassung PDF behandelt als wichtiges Thema die Exponentialfunktionen. Die allgemeine Form lautet fxx = a·qˣ mit der Basis q > 0 und q ≠ 1. Die natürliche Exponentialfunktion fxx = eˣ nimmt dabei eine Sonderrolle ein.

Wichtige Eigenschaften:

  • Definitionsbereich ist ganz ℝ
  • Wertebereich sind die positiven reellen Zahlen
  • Streng monoton steigend für q > 1
  • Streng monoton fallend für 0 < q < 1

Highlight: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung: fxx = eˣ → f'xx = eˣ

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind periodisch mit der Periode 2π. Bei fxx = a·sinb(x−cb(x-c) + d bedeuten:

  • a: Amplitude Streckung/StauchungStreckung/Stauchung
  • b: Periodenänderung
  • c: Verschiebung in x-Richtung
  • d: Verschiebung in y-Richtung
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Funktionsuntersuchung und Extremwertaufgaben

Für die Extremwertaufgaben mit Lösungen ist eine systematische Vorgehensweise wichtig. Bei der Kurvendiskussion werden untersucht:

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  2. Symmetrie
  3. Nullstellen
  4. Grenzverhalten
  5. Extrempunkte
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Definition: Ein lokales Maximum/Minimum liegt vor, wenn f'xx = 0 und f''xx ≠ 0.

Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen wird oft die Substitutionsmethode verwendet:

  1. Zielfunktion aufstellen
  2. Nebenbedingung einsetzen
  3. Ableiten und Nullstellen bestimmen
  4. Extrema klassifizieren

Die zweite Ableitung gibt Auskunft über die Art des Extremums:

  • f''x0x₀ < 0: Maximum
  • f''x0x₀ > 0: Minimum
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Integralrechnung und Flächenberechnung

Die Integrale mit Parametern Aufgaben erfordern besondere Aufmerksamkeit. Das bestimmte Integral ∫a,ba,b fxxdx berechnet die orientierte Fläche zwischen Graph und x-Achse.

Wichtige Integrationsregeln:

  • Summenregel: ∫f(xf(x + gxx)dx = ∫fxxdx + ∫gxxdx
  • Faktorregel: ∫c·fxxdx = c·∫fxxdx
  • Substitutionsregel für zusammengesetzte Funktionen

Beispiel: ∫eˣdx = eˣ + c ∫sinxxdx = -cosxx + c

Bei Flächenberechnungen ist zu beachten:

  • Vorzeichenwechsel der Funktion
  • Schnittpunkte mit der x-Achse
  • Einschränkungen des Integrationsintervalls

Der Integral Parameter bestimmen erfolgt oft durch:

  1. Aufstellen der Integralgleichung
  2. Integration durchführen
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Lineare Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen linearer Funktionen, die für das Analysis Mathe Abi essentiell sind. Es wird die allgemeine Form fxx = mx + b erklärt, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Bedeutung der Steigung wird detailliert erläutert, einschließlich ihrer Auswirkungen auf den Graphen.

Definition: Eine lineare Funktion hat die Form fxx = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Der Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen.

Highlight: Die Steigung m bestimmt, ob der Graph steigt m>0m > 0, fällt m<0m < 0 oder horizontal verläuft m=0m = 0.

Es werden auch Methoden zur Berechnung der Steigung und zum Aufstellen von Funktionsgleichungen vorgestellt. Ein wichtiger Aspekt ist die Bestimmung von Schnittpunkten zwischen zwei Geraden, was für viele Extremwertaufgaben mit Lösungen relevant ist.

Example: Um die Steigung zwischen zwei Punkten P₁2∣−32|-3 und P₂4∣64|6 zu berechnen, verwendet man die Formel m = y2−y1y₂ - y₁ / x2−x1x₂ - x₁ = 6−(−36 - (-3) / 4−24 - 2 = 4,5.

Abschließend wird die Punktprobe erklärt, eine Methode zur Überprüfung, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt. Diese Technik ist besonders nützlich für Extremwertaufgaben Übungen mit Lösungen PDF.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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