Mathematik

Geometrische Systeme und Modelle

Koordinatengeometrie

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27. Jan. 2026

•

9 Seiten

Analytische Geometrie Zusammenfassung für das Abitur: Vektoren und mehr als PDF

Melina Helberg

@melinahelberg

Die Analytische Geometrieist ein fundamentaler Bereich der Mathematik, der... Mehr anzeigen

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Beispiel:
Winkel
cos (6)=-
Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E
10₁ ²1
cas (0)
0° ≤0 ≤ 90°
Ind
zwischen Ebene u.

Lagebeziehungen und Schnittwinkel

Die Lagebeziehung zwischen Geraden und Ebenen ist ein zentrales Thema der Analytischen Geometrie. Dabei unterscheidet man verschiedene Fälle:

Highlight: Bei der Untersuchung der Lage einer Geraden zu einer Ebene prüft man:

Ob die Gerade die Ebene schneidet
Ob die Gerade parallel zur Ebene verläuft
Ob die Gerade in der Ebene liegt

Der Winkel zwischen Gerade und Ebene wird über die Formel sin(φ) = |n • v| / (|n| • |v|) berechnet, wobei n der Normalenvektor der Ebene und v der Richtungsvektor der Geraden ist.

Beispiel: Für eine Ebene E: 2x₁ - 2x₂ + 5x₃ - 18 = 0 und eine Gerade g bestimmt man zunächst die Normalenvektoren und wendet dann die Winkelformel an.

Abstände und Windschief-Beziehungen

Bei der Berechnung des Abstands Gerade Gerade ist es wichtig zu unterscheiden, ob die Geraden sich schneiden, parallel sind oder windschief zueinander liegen.

Definition: Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben.

Der Abstand windschiefer Geraden wird über einen Hilfsvektor h berechnet, der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Geraden sein muss. Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten:

Prüfung auf Windschief-Lage
Bestimmung des orthogonalen Vektors h
Berechnung des kürzesten Abstands

Vektoren und Koordinatensysteme

Im räumlichen Koordinatensystem spielen Vektoren eine fundamentale Rolle für die Analytische Geometrie.

Vokabular:

Ortsvektor: Vektor vom Ursprung zu einem Punkt
Verbindungsvektor: Vektor zwischen zwei Punkten
Richtungsvektor: Vektor, der die Richtung einer Geraden angibt

Die Spiegelung von Punkten an Koordinatenebenen erfolgt durch Vorzeichenwechsel der entsprechenden Koordinaten:

Spiegelung an der x₁-x₂-Ebene: x₃-Koordinate ändert Vorzeichen
Spiegelung an der x₂-x₃-Ebene: x₁-Koordinate ändert Vorzeichen
Spiegelung an der x₁-x₃-Ebene: x₂-Koordinate ändert Vorzeichen

Beispiel: Ein Punkt A(2|-3|4) wird an der x₁-x₂-Ebene gespiegelt zu A'(2|-3|-4)

Analytische Geometrie: Winkel und Abstände im Raum

Die Analytische Geometrie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung geometrischer Objekte im Raum. Besonders wichtig sind dabei die Berechnung von Winkeln zwischen verschiedenen geometrischen Objekten sowie Abstandsberechnungen.

Definition: Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird über deren Normalenvektoren bestimmt. Für den Schnittwinkel θ zwischen zwei Ebenen E₁ und E₂ gilt: cos(θ) = |n₁ • n₂| / (|n₁| • |n₂|), wobei n₁ und n₂ die Normalenvektoren der Ebenen sind.

Bei der Berechnung des Abstands Punkt Gerade wird der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g ermittelt. Dafür bestimmt man zunächst den Lotfußpunkt F auf der Geraden und berechnet dann den Abstand |PF|. Der Lotfußpunkt ist dabei der Punkt auf der Geraden, bei dem der Verbindungsvektor PF orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden steht.

Beispiel: Für eine Gerade g: x = a + t•u und einen Punkt P berechnet man den Parameter t aus der Orthogonalitätsbedingung $P - (a + t•u)$ • u = 0. Der Abstand ergibt sich dann als |P - F|.

Winkel und Abstände in der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie bietet präzise Methoden zur Berechnung von Winkeln und Abständen im dreidimensionalen Raum. Diese Seite konzentriert sich auf die Berechnung des Winkels zwischen Ebenen und die Bestimmung von Abständen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten.

Winkel zwischen Ebenen

Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird mithilfe ihrer Normalenvektoren berechnet. Die Formel lautet:

cos(θ) = |n₁ • n₂| / (|n₁| • |n₂|)

Dabei gilt:

n₁ und n₂ sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen
θ ist der gesuchte Winkel (0° ≤ θ ≤ 90°)

Example: Für die Ebenen E₁: x₁ - 8x₂ + 4x₃ = 25 und E₂: 6x₁ + 9x₂ - 2x₃ = 17 beträgt der Schnittwinkel etwa 41,6°.

Abstand Punkt zu Gerade

Um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

Bestimme den Parameter t, für den gilt: $OP - OA - t•u$ • u = 0
Setze t in die Parameterdarstellung der Geraden ein, um den Lotfußpunkt F zu erhalten
Berechne den Abstand zwischen P und F: Abst(P; g) = |PF|

Highlight: Der Vektor PF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u der Geraden g.

Abstand Punkt zu Ebene

Die Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene erfolgt ähnlich, nutzt aber den Normalenvektor der Ebene.

Vocabulary: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene liegen.

Diese Berechnungsmethoden sind fundamental für die analytische Geometrie und finden Anwendung in vielen praktischen Problemen der Raumgeometrie.

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