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11. Feb. 2021

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Analytische Geometrie Zusammenfassung für das Abitur: Vektoren und mehr als PDF

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Melina Helberg

@melinahelberg

Die Analytische Geometrieist ein fundamentaler Bereich der Mathematik, der... Mehr anzeigen

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

Lagebeziehungen und Schnittwinkel

Die Lagebeziehung zwischen Geraden und Ebenen ist ein zentrales Thema der Analytischen Geometrie. Dabei unterscheidet man verschiedene Fälle:

Highlight: Bei der Untersuchung der Lage einer Geraden zu einer Ebene prüft man:

  • Ob die Gerade die Ebene schneidet
  • Ob die Gerade parallel zur Ebene verläuft
  • Ob die Gerade in der Ebene liegt

Der Winkel zwischen Gerade und Ebene wird über die Formel sinφφ = |n • v| / ∣n∣•∣v∣|n| • |v| berechnet, wobei n der Normalenvektor der Ebene und v der Richtungsvektor der Geraden ist.

Beispiel: Für eine Ebene E: 2x₁ - 2x₂ + 5x₃ - 18 = 0 und eine Gerade g bestimmt man zunächst die Normalenvektoren und wendet dann die Winkelformel an.

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

Abstände und Windschief-Beziehungen

Bei der Berechnung des Abstands Gerade Gerade ist es wichtig zu unterscheiden, ob die Geraden sich schneiden, parallel sind oder windschief zueinander liegen.

Definition: Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben.

Der Abstand windschiefer Geraden wird über einen Hilfsvektor h berechnet, der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Geraden sein muss. Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Prüfung auf Windschief-Lage
  2. Bestimmung des orthogonalen Vektors h
  3. Berechnung des kürzesten Abstands
Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

Vektoren und Koordinatensysteme

Im räumlichen Koordinatensystem spielen Vektoren eine fundamentale Rolle für die Analytische Geometrie.

Vokabular:

  • Ortsvektor: Vektor vom Ursprung zu einem Punkt
  • Verbindungsvektor: Vektor zwischen zwei Punkten
  • Richtungsvektor: Vektor, der die Richtung einer Geraden angibt

Die Spiegelung von Punkten an Koordinatenebenen erfolgt durch Vorzeichenwechsel der entsprechenden Koordinaten:

  • Spiegelung an der x₁-x₂-Ebene: x₃-Koordinate ändert Vorzeichen
  • Spiegelung an der x₂-x₃-Ebene: x₁-Koordinate ändert Vorzeichen
  • Spiegelung an der x₁-x₃-Ebene: x₂-Koordinate ändert Vorzeichen

Beispiel: Ein Punkt A2∣−3∣42|-3|4 wird an der x₁-x₂-Ebene gespiegelt zu A'2∣−3∣−42|-3|-4

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

Analytische Geometrie: Winkel und Abstände im Raum

Die Analytische Geometrie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung geometrischer Objekte im Raum. Besonders wichtig sind dabei die Berechnung von Winkeln zwischen verschiedenen geometrischen Objekten sowie Abstandsberechnungen.

Definition: Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird über deren Normalenvektoren bestimmt. Für den Schnittwinkel θ zwischen zwei Ebenen E₁ und E₂ gilt: cosθθ = |n₁ • n₂| / ∣n1∣•∣n2∣|n₁| • |n₂|, wobei n₁ und n₂ die Normalenvektoren der Ebenen sind.

Bei der Berechnung des Abstands Punkt Gerade wird der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g ermittelt. Dafür bestimmt man zunächst den Lotfußpunkt F auf der Geraden und berechnet dann den Abstand |PF|. Der Lotfußpunkt ist dabei der Punkt auf der Geraden, bei dem der Verbindungsvektor PF orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden steht.

Beispiel: Für eine Gerade g: x = a + t•u und einen Punkt P berechnet man den Parameter t aus der Orthogonalitätsbedingung P−(a+t•uP - (a + t•u) • u = 0. Der Abstand ergibt sich dann als |P - F|.

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

Winkel und Abstände in der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie bietet präzise Methoden zur Berechnung von Winkeln und Abständen im dreidimensionalen Raum. Diese Seite konzentriert sich auf die Berechnung des Winkels zwischen Ebenen und die Bestimmung von Abständen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten.

Winkel zwischen Ebenen

Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird mithilfe ihrer Normalenvektoren berechnet. Die Formel lautet:

cosθθ = |n₁ • n₂| / ∣n1∣•∣n2∣|n₁| • |n₂|

Dabei gilt:

  • n₁ und n₂ sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen
  • θ ist der gesuchte Winkel 0°≤θ≤90°0° ≤ θ ≤ 90°

Example: Für die Ebenen E₁: x₁ - 8x₂ + 4x₃ = 25 und E₂: 6x₁ + 9x₂ - 2x₃ = 17 beträgt der Schnittwinkel etwa 41,6°.

Abstand Punkt zu Gerade

Um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

  1. Bestimme den Parameter t, für den gilt: OP−OA−t•uOP - OA - t•u • u = 0
  2. Setze t in die Parameterdarstellung der Geraden ein, um den Lotfußpunkt F zu erhalten
  3. Berechne den Abstand zwischen P und F: AbstP;gP; g = |PF|

Highlight: Der Vektor PF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u der Geraden g.

Abstand Punkt zu Ebene

Die Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene erfolgt ähnlich, nutzt aber den Normalenvektor der Ebene.

Vocabulary: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene liegen.

Diese Berechnungsmethoden sind fundamental für die analytische Geometrie und finden Anwendung in vielen praktischen Problemen der Raumgeometrie.

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.
Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.
Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Stefan S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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11. Feb. 2021

•

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Analytische Geometrie Zusammenfassung für das Abitur: Vektoren und mehr als PDF

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Melina Helberg

@melinahelberg

Die Analytische Geometrie ist ein fundamentaler Bereich der Mathematik, der geometrische Probleme mithilfe algebraischer Methoden löst.

In der Analytischen Geometrie spielen Vektoreneine zentrale Rolle bei der Beschreibung von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Besonders wichtig sind dabei die... Mehr anzeigen

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

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Lagebeziehungen und Schnittwinkel

Die Lagebeziehung zwischen Geraden und Ebenen ist ein zentrales Thema der Analytischen Geometrie. Dabei unterscheidet man verschiedene Fälle:

Highlight: Bei der Untersuchung der Lage einer Geraden zu einer Ebene prüft man:

  • Ob die Gerade die Ebene schneidet
  • Ob die Gerade parallel zur Ebene verläuft
  • Ob die Gerade in der Ebene liegt

Der Winkel zwischen Gerade und Ebene wird über die Formel sinφφ = |n • v| / ∣n∣•∣v∣|n| • |v| berechnet, wobei n der Normalenvektor der Ebene und v der Richtungsvektor der Geraden ist.

Beispiel: Für eine Ebene E: 2x₁ - 2x₂ + 5x₃ - 18 = 0 und eine Gerade g bestimmt man zunächst die Normalenvektoren und wendet dann die Winkelformel an.

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

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Abstände und Windschief-Beziehungen

Bei der Berechnung des Abstands Gerade Gerade ist es wichtig zu unterscheiden, ob die Geraden sich schneiden, parallel sind oder windschief zueinander liegen.

Definition: Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben.

Der Abstand windschiefer Geraden wird über einen Hilfsvektor h berechnet, der orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Geraden sein muss. Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Prüfung auf Windschief-Lage
  2. Bestimmung des orthogonalen Vektors h
  3. Berechnung des kürzesten Abstands
Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

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Vektoren und Koordinatensysteme

Im räumlichen Koordinatensystem spielen Vektoren eine fundamentale Rolle für die Analytische Geometrie.

Vokabular:

  • Ortsvektor: Vektor vom Ursprung zu einem Punkt
  • Verbindungsvektor: Vektor zwischen zwei Punkten
  • Richtungsvektor: Vektor, der die Richtung einer Geraden angibt

Die Spiegelung von Punkten an Koordinatenebenen erfolgt durch Vorzeichenwechsel der entsprechenden Koordinaten:

  • Spiegelung an der x₁-x₂-Ebene: x₃-Koordinate ändert Vorzeichen
  • Spiegelung an der x₂-x₃-Ebene: x₁-Koordinate ändert Vorzeichen
  • Spiegelung an der x₁-x₃-Ebene: x₂-Koordinate ändert Vorzeichen

Beispiel: Ein Punkt A2∣−3∣42|-3|4 wird an der x₁-x₂-Ebene gespiegelt zu A'2∣−3∣−42|-3|-4

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Analytische Geometrie: Winkel und Abstände im Raum

Die Analytische Geometrie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung geometrischer Objekte im Raum. Besonders wichtig sind dabei die Berechnung von Winkeln zwischen verschiedenen geometrischen Objekten sowie Abstandsberechnungen.

Definition: Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird über deren Normalenvektoren bestimmt. Für den Schnittwinkel θ zwischen zwei Ebenen E₁ und E₂ gilt: cosθθ = |n₁ • n₂| / ∣n1∣•∣n2∣|n₁| • |n₂|, wobei n₁ und n₂ die Normalenvektoren der Ebenen sind.

Bei der Berechnung des Abstands Punkt Gerade wird der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g ermittelt. Dafür bestimmt man zunächst den Lotfußpunkt F auf der Geraden und berechnet dann den Abstand |PF|. Der Lotfußpunkt ist dabei der Punkt auf der Geraden, bei dem der Verbindungsvektor PF orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden steht.

Beispiel: Für eine Gerade g: x = a + t•u und einen Punkt P berechnet man den Parameter t aus der Orthogonalitätsbedingung P−(a+t•uP - (a + t•u) • u = 0. Der Abstand ergibt sich dann als |P - F|.

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

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Winkel und Abstände in der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie bietet präzise Methoden zur Berechnung von Winkeln und Abständen im dreidimensionalen Raum. Diese Seite konzentriert sich auf die Berechnung des Winkels zwischen Ebenen und die Bestimmung von Abständen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten.

Winkel zwischen Ebenen

Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird mithilfe ihrer Normalenvektoren berechnet. Die Formel lautet:

cosθθ = |n₁ • n₂| / ∣n1∣•∣n2∣|n₁| • |n₂|

Dabei gilt:

  • n₁ und n₂ sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen
  • θ ist der gesuchte Winkel 0°≤θ≤90°0° ≤ θ ≤ 90°

Example: Für die Ebenen E₁: x₁ - 8x₂ + 4x₃ = 25 und E₂: 6x₁ + 9x₂ - 2x₃ = 17 beträgt der Schnittwinkel etwa 41,6°.

Abstand Punkt zu Gerade

Um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu berechnen, folgt man diesen Schritten:

  1. Bestimme den Parameter t, für den gilt: OP−OA−t•uOP - OA - t•u • u = 0
  2. Setze t in die Parameterdarstellung der Geraden ein, um den Lotfußpunkt F zu erhalten
  3. Berechne den Abstand zwischen P und F: AbstP;gP; g = |PF|

Highlight: Der Vektor PF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u der Geraden g.

Abstand Punkt zu Ebene

Die Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene erfolgt ähnlich, nutzt aber den Normalenvektor der Ebene.

Vocabulary: Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf allen Vektoren, die in der Ebene liegen.

Diese Berechnungsmethoden sind fundamental für die analytische Geometrie und finden Anwendung in vielen praktischen Problemen der Raumgeometrie.

Beispiel: Winkel cos (6)=- Schnittwinkel o zw. Ebene f und Ebene E mit nivon F und n von E 10₁ ²1 cas (0) 0° ≤0 ≤ 90° Ind zwischen Ebene u.

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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