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Aktualisiert Mar 14, 2026
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Ebenen: Lagebeziehungen und Gaußverfahren
Jolina
@jolina.22
1 / 5
Das Gauß-Verfahren - Schritt für Schritt
Das Gauß-Verfahren ist euer bester Freund beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ihr bringt das System in Stufenform, sodass ihr von unten nach oben die Variablen bestimmen könnt.
Der Trick ist, dass ihr durch geschickte Addition und Subtraktion der Zeilen eine Dreiecksform erzeugt. In der letzten Zeile steht dann nur noch eine Variable, die ihr direkt berechnen könnt.
Anschließend setzt ihr diese Lösung in die Zeile darüber ein und arbeitet euch so nach oben durch. Das nennt sich Rückwärtseinsetzen und führt euch zur kompletten Lösung.
Tipp: Rechnet immer sauber und kontrolliert eure Zwischenschritte - kleine Rechenfehler können das ganze Ergebnis verfälschen!
Die drei Fälle bei Gleichungssystemen
Jedes lineare Gleichungssystem kann nur drei verschiedene Ausgänge haben - und ihr könnt schon während des Rechnens erkennen, welcher Fall vorliegt!
Fall 1: Genau eine Lösung - Das ist der Normalfall. Nach dem Gauß-Verfahren könnt ihr alle Variablen eindeutig bestimmen. Beispiel: Wenn am Ende "3x₃ = 6" steht, dann ist x₃ = 2.
Fall 2: Keine Lösung - Ihr erhaltet einen Widerspruch wie "0 = 4". Das bedeutet, das System ist unlösbar und die Lösungsmenge ist leer: L = {}.
Fall 3: Unendlich viele Lösungen - Eine Zeile wird zu "0 = 0". Dann habt ihr eine freie Variable, die ihr als Parameter t setzen könnt. Die Lösungsmenge enthält dann unendlich viele Punkte.
Merkhilfe: Widerspruch = keine Lösung, "0 = 0" = unendlich viele Lösungen, sonst genau eine!
Ebenen in Parameterform
Eine Ebene in Parameterform beschreibt ihr mit der Gleichung . Das sieht kompliziert aus, ist aber eigentlich total logisch aufgebaut!
Der Stützvektor zeigt zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene - quasi euer Startpunkt. Die beiden Spannvektoren und geben die Richtungen an, in die sich die Ebene erstreckt.
Durch verschiedene Werte für die Parameter r und s könnt ihr jeden Punkt der Ebene erreichen. Die Spannvektoren dürfen nur nicht parallel zueinander sein - sonst habt ihr keine Ebene, sondern nur eine Gerade.
Praktischer Tipp: Wenn ihr drei Punkte der Ebene habt, nehmt einen als Stützvektor und bildet aus den anderen beiden die Spannvektoren!
Lagebeziehungen: Gerade trifft Ebene
Wenn eine Gerade auf eine Ebene trifft, gibt es nur drei Möglichkeiten - und die könnt ihr durch ein lineares Gleichungssystem herausfinden!
Setzt einfach die Geradengleichung gleich der Ebenengleichung: . Je nachdem, wie viele Lösungen das entstehende Gleichungssystem hat, wisst ihr sofort, was passiert.
Eine Lösung bedeutet einen Schnittpunkt - die Gerade durchstößt die Ebene. Keine Lösung heißt, dass Gerade und Ebene parallel sind. Unendlich viele Lösungen zeigen, dass die Gerade in der Ebene liegt.
Den Durchstoßpunkt berechnet ihr, indem ihr die gefundenen Parameter in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzt. So erhaltet ihr die konkreten Koordinaten des Schnittpunkts.
Kontrolltipp: Setzt den Schnittpunkt zur Kontrolle in beide ursprünglichen Gleichungen ein - er muss beide erfüllen!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Ebenen: Lagebeziehungen und Gaußverfahren
Jolina
@jolina.22
Lineare Gleichungssysteme sind ein zentrales Thema in der Oberstufe - und keine Sorge, sie sind machbarer als sie auf den ersten Blick aussehen! Mit dem Gauß-Verfahren löst ihr systematisch Gleichungen und könnt dabei sogar vorhersagen, ob ein System überhaupt lösbar... Mehr anzeigen
Das Gauß-Verfahren - Schritt für Schritt
Das Gauß-Verfahren ist euer bester Freund beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ihr bringt das System in Stufenform, sodass ihr von unten nach oben die Variablen bestimmen könnt.
Der Trick ist, dass ihr durch geschickte Addition und Subtraktion der Zeilen eine Dreiecksform erzeugt. In der letzten Zeile steht dann nur noch eine Variable, die ihr direkt berechnen könnt.
Anschließend setzt ihr diese Lösung in die Zeile darüber ein und arbeitet euch so nach oben durch. Das nennt sich Rückwärtseinsetzen und führt euch zur kompletten Lösung.
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Die drei Fälle bei Gleichungssystemen
Jedes lineare Gleichungssystem kann nur drei verschiedene Ausgänge haben - und ihr könnt schon während des Rechnens erkennen, welcher Fall vorliegt!
Fall 1: Genau eine Lösung - Das ist der Normalfall. Nach dem Gauß-Verfahren könnt ihr alle Variablen eindeutig bestimmen. Beispiel: Wenn am Ende "3x₃ = 6" steht, dann ist x₃ = 2.
Fall 2: Keine Lösung - Ihr erhaltet einen Widerspruch wie "0 = 4". Das bedeutet, das System ist unlösbar und die Lösungsmenge ist leer: L = {}.
Fall 3: Unendlich viele Lösungen - Eine Zeile wird zu "0 = 0". Dann habt ihr eine freie Variable, die ihr als Parameter t setzen könnt. Die Lösungsmenge enthält dann unendlich viele Punkte.
Merkhilfe: Widerspruch = keine Lösung, "0 = 0" = unendlich viele Lösungen, sonst genau eine!
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Ebenen in Parameterform
Eine Ebene in Parameterform beschreibt ihr mit der Gleichung . Das sieht kompliziert aus, ist aber eigentlich total logisch aufgebaut!
Der Stützvektor zeigt zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene - quasi euer Startpunkt. Die beiden Spannvektoren und geben die Richtungen an, in die sich die Ebene erstreckt.
Durch verschiedene Werte für die Parameter r und s könnt ihr jeden Punkt der Ebene erreichen. Die Spannvektoren dürfen nur nicht parallel zueinander sein - sonst habt ihr keine Ebene, sondern nur eine Gerade.
Praktischer Tipp: Wenn ihr drei Punkte der Ebene habt, nehmt einen als Stützvektor und bildet aus den anderen beiden die Spannvektoren!
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Lagebeziehungen: Gerade trifft Ebene
Wenn eine Gerade auf eine Ebene trifft, gibt es nur drei Möglichkeiten - und die könnt ihr durch ein lineares Gleichungssystem herausfinden!
Setzt einfach die Geradengleichung gleich der Ebenengleichung: . Je nachdem, wie viele Lösungen das entstehende Gleichungssystem hat, wisst ihr sofort, was passiert.
Eine Lösung bedeutet einen Schnittpunkt - die Gerade durchstößt die Ebene. Keine Lösung heißt, dass Gerade und Ebene parallel sind. Unendlich viele Lösungen zeigen, dass die Gerade in der Ebene liegt.
Den Durchstoßpunkt berechnet ihr, indem ihr die gefundenen Parameter in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzt. So erhaltet ihr die konkreten Koordinaten des Schnittpunkts.
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Was ist der Knowunity KI-Begleiter?
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Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?
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4.6/5
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4.7/5
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Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
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