Lineare Gleichungssysteme sind ein zentrales Thema in der Oberstufe - und keine Sorge, sie sind machbarer als sie... Mehr anzeigen
Das Gauß-Verfahren - Schritt für Schritt
Das Gauß-Verfahren ist euer bester Freund beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ihr bringt das System in Stufenform, sodass ihr von unten nach oben die Variablen bestimmen könnt.
Der Trick ist, dass ihr durch geschickte Addition und Subtraktion der Zeilen eine Dreiecksform erzeugt. In der letzten Zeile steht dann nur noch eine Variable, die ihr direkt berechnen könnt.
Anschließend setzt ihr diese Lösung in die Zeile darüber ein und arbeitet euch so nach oben durch. Das nennt sich Rückwärtseinsetzen und führt euch zur kompletten Lösung.
Tipp Rechnet immer sauber und kontrolliert eure Zwischenschritte - kleine Rechenfehler können das ganze Ergebnis verfälschen!
Die drei Fälle bei Gleichungssystemen
Jedes lineare Gleichungssystem kann nur drei verschiedene Ausgänge haben - und ihr könnt schon während des Rechnens erkennen, welcher Fall vorliegt!
Fall 1 Genau eine Lösung - Das ist der Normalfall. Nach dem Gauß-Verfahren könnt ihr alle Variablen eindeutig bestimmen. Beispiel Wenn am Ende "3x₃ = 6" steht, dann ist x₃ = 2.
Fall 2 Keine Lösung - Ihr erhaltet einen Widerspruch wie "0 = 4". Das bedeutet, das System ist unlösbar und die Lösungsmenge ist leer L = {}.
Fall 3 Unendlich viele Lösungen - Eine Zeile wird zu "0 = 0". Dann habt ihr eine freie Variable, die ihr als Parameter t setzen könnt. Die Lösungsmenge enthält dann unendlich viele Punkte.
Merkhilfe Widerspruch = keine Lösung, "0 = 0" = unendlich viele Lösungen, sonst genau eine!
Ebenen in Parameterform
Eine Ebene in Parameterform beschreibt ihr mit der Gleichung x=p+r⋅u+s⋅v. Das sieht kompliziert aus, ist aber eigentlich total logisch aufgebaut!
Der Stützvektorp zeigt zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene - quasi euer Startpunkt. Die beiden Spannvektorenu und v geben die Richtungen an, in die sich die Ebene erstreckt.
Durch verschiedene Werte für die Parameter r und s könnt ihr jeden Punkt der Ebene erreichen. Die Spannvektoren dürfen nur nicht parallel zueinander sein - sonst habt ihr keine Ebene, sondern nur eine Gerade.
Praktischer Tipp Wenn ihr drei Punkte der Ebene habt, nehmt einen als Stützvektor und bildet aus den anderen beiden die Spannvektoren!
Lagebeziehungen Gerade trifft Ebene
Wenn eine Gerade auf eine Ebene trifft, gibt es nur drei Möglichkeiten - und die könnt ihr durch ein lineares Gleichungssystem herausfinden!
Setzt einfach die Geradengleichung gleich der Ebenengleichung xg=xE. Je nachdem, wie viele Lösungen das entstehende Gleichungssystem hat, wisst ihr sofort, was passiert.
Eine Lösung bedeutet einen Schnittpunkt - die Gerade durchstößt die Ebene. Keine Lösung heißt, dass Gerade und Ebene parallel sind. Unendlich viele Lösungen zeigen, dass die Gerade in der Ebene liegt.
Den Durchstoßpunkt berechnet ihr, indem ihr die gefundenen Parameter in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzt. So erhaltet ihr die konkreten Koordinaten des Schnittpunkts.
Kontrolltipp Setzt den Schnittpunkt zur Kontrolle in beide ursprünglichen Gleichungen ein - er muss beide erfüllen!
Wir dachten, du würdest nie fragen...
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4.9/5
App Store
4.8/5
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Lineare Gleichungssysteme sind ein zentrales Thema in der Oberstufe - und keine Sorge, sie sind machbarer als sie auf den ersten Blick aussehen! Mit dem Gauß-Verfahren löst ihr systematisch Gleichungen und könnt dabei sogar vorhersagen, ob ein System überhaupt lösbar... Mehr anzeigen
Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!
Das Gauß-Verfahren ist euer bester Freund beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ihr bringt das System in Stufenform, sodass ihr von unten nach oben die Variablen bestimmen könnt.
Der Trick ist, dass ihr durch geschickte Addition und Subtraktion der Zeilen eine Dreiecksform erzeugt. In der letzten Zeile steht dann nur noch eine Variable, die ihr direkt berechnen könnt.
Anschließend setzt ihr diese Lösung in die Zeile darüber ein und arbeitet euch so nach oben durch. Das nennt sich Rückwärtseinsetzen und führt euch zur kompletten Lösung.
Tipp: Rechnet immer sauber und kontrolliert eure Zwischenschritte - kleine Rechenfehler können das ganze Ergebnis verfälschen!
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Jedes lineare Gleichungssystem kann nur drei verschiedene Ausgänge haben - und ihr könnt schon während des Rechnens erkennen, welcher Fall vorliegt!
Fall 1: Genau eine Lösung - Das ist der Normalfall. Nach dem Gauß-Verfahren könnt ihr alle Variablen eindeutig bestimmen. Beispiel: Wenn am Ende "3x₃ = 6" steht, dann ist x₃ = 2.
Fall 2: Keine Lösung - Ihr erhaltet einen Widerspruch wie "0 = 4". Das bedeutet, das System ist unlösbar und die Lösungsmenge ist leer: L = {}.
Fall 3: Unendlich viele Lösungen - Eine Zeile wird zu "0 = 0". Dann habt ihr eine freie Variable, die ihr als Parameter t setzen könnt. Die Lösungsmenge enthält dann unendlich viele Punkte.
Merkhilfe: Widerspruch = keine Lösung, "0 = 0" = unendlich viele Lösungen, sonst genau eine!
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Eine Ebene in Parameterform beschreibt ihr mit der Gleichung x=p+r⋅u+s⋅v. Das sieht kompliziert aus, ist aber eigentlich total logisch aufgebaut!
Der Stützvektorp zeigt zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene - quasi euer Startpunkt. Die beiden Spannvektorenu und v geben die Richtungen an, in die sich die Ebene erstreckt.
Durch verschiedene Werte für die Parameter r und s könnt ihr jeden Punkt der Ebene erreichen. Die Spannvektoren dürfen nur nicht parallel zueinander sein - sonst habt ihr keine Ebene, sondern nur eine Gerade.
Praktischer Tipp: Wenn ihr drei Punkte der Ebene habt, nehmt einen als Stützvektor und bildet aus den anderen beiden die Spannvektoren!
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Wenn eine Gerade auf eine Ebene trifft, gibt es nur drei Möglichkeiten - und die könnt ihr durch ein lineares Gleichungssystem herausfinden!
Setzt einfach die Geradengleichung gleich der Ebenengleichung: xg=xE. Je nachdem, wie viele Lösungen das entstehende Gleichungssystem hat, wisst ihr sofort, was passiert.
Eine Lösung bedeutet einen Schnittpunkt - die Gerade durchstößt die Ebene. Keine Lösung heißt, dass Gerade und Ebene parallel sind. Unendlich viele Lösungen zeigen, dass die Gerade in der Ebene liegt.
Den Durchstoßpunkt berechnet ihr, indem ihr die gefundenen Parameter in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzt. So erhaltet ihr die konkreten Koordinaten des Schnittpunkts.
Kontrolltipp: Setzt den Schnittpunkt zur Kontrolle in beide ursprünglichen Gleichungen ein - er muss beide erfüllen!
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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ist Knowunity wirklich kostenlos?
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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4.9/5
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4.8/5
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.