Vektoren und Geraden - Die Basics

Vektoren sind im Grunde genommen Verschiebungen im Raum - stell dir vor, du beschreibst jemandem den Weg von A nach B. Die Formel dafür ist super einfach: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1\b_2 - a_2\b_3 - a_3 \end{pmatrix}$.

Den Betrag (also die Länge) berechnest du mit $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ - das ist im Prinzip der Satz des Pythagoras in 3D. Für rechte Winkel zwischen Vektoren checkst du einfach, ob ihr Skalarprodukt null ist: $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.

Geraden stellst du mit der Parameterform auf: $\vec{x} = \vec{p} + r\vec{u}$. Dabei ist $\vec{p}$ dein Startpunkt und $\vec{u}$ die Richtung. Bei Lagebeziehungen fragst du dich: Sind die Richtungsvektoren kollinear? Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Falls nein, schneiden sie sich oder sind windschief.

Merktipp: Das Skalarprodukt verrät dir den Winkel - positiv bedeutet spitz, negativ bedeutet stumpf!

Spurpunkte und Ebenen

Spurpunkte sind die Stellen, wo deine Gerade die Koordinatenebenen durchstößt. Setze einfach die entsprechende Koordinate auf null: $P_{12}$ bei $x_3=0$, $P_{23}$ bei $x_1=0$, $P_{13}$ bei $x_2=0$.

Ebenen beschreibst du mit drei Komponenten: $E: \vec{x} = \vec{p} + r\vec{v} + s\vec{w}$. Der Stützvektor $\vec{p}$ gibt einen Punkt an, die beiden Spannvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ spannen die Ebene auf. Wichtig: Die Spannvektoren dürfen nicht kollinear sein!

Beim Aufstellen von Ebenen hast du verschiedene Möglichkeiten: Bei zwei schneidenden Geraden nimmst du deren Richtungsvektoren als Spannvektoren. Bei einer Geraden und einem Punkt bildest du einen Vektor zwischen dem Punkt und einem Punkt auf der Geraden.

Die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene checkst du durch Einsetzen: Eine Lösung bedeutet Durchstoßung, keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele bedeutet die Gerade liegt in der Ebene.

Praxistipp: Für Punktlage fragst du dich: Liegt der Schnittpunkt zwischen den Punkten (t zwischen 0 und 1) oder dahinter?

Normalenvektoren und Ebenenformen

Der Normalenvektor steht senkrecht auf deiner Ebene. Du berechnest ihn mit dem Kreuzprodukt: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$.

Die Normalenform einer Ebene lautet $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ - hier siehst du sofort den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene. Daraus leitest du die Koordinatenform ab: $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$.

Bei Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene setzt du die Geradengleichung in die Koordinatenform ein und löst nach t auf. Eine Lösung = Durchstoßung, keine Lösung = parallel, unendlich viele = Gerade liegt in der Ebene.

Merkregel: Der Normalenvektor ist wie ein Pfeil, der senkrecht aus der Ebene herausragt!

Spurgeraden und Ebenenlage

Spurgeraden sind die Schnittlinien deiner Ebene mit den Koordinatenebenen. Spurpunkte zeigen dir, wo die Ebene die Koordinatenachsen schneidet - ein Spurpunkt bedeutet parallel zu einer Achse, zwei Spurpunkte bedeutet parallel zur nicht geschnittenen Achse.

Bei Lagebeziehungen zwischen Ebenen hast du drei Möglichkeiten: identisch, parallel oder sie schneiden sich. In der Koordinatenform checkst du, ob die Normalenvektoren kollinear sind und ob die d-Werte im gleichen Verhältnis stehen.

In der Parameterform gleichst du die Ebenen gleich und erhältst ein Gleichungssystem. Keine Lösung = parallel, eine Lösung = schneidend, unendlich viele = identisch.

Strategietipp: Koordinatenform ist oft schneller für Lagebeziehungen - die Normalenvektoren verraten dir sofort alles!

Schnittwinkel berechnen

Schnittwinkel zwischen Ebenen berechnest du über ihre Normalenvektoren: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$. Die Betragsstriche sorgen dafür, dass du immer den spitzen Winkel erhältst.

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene sind etwas tricky: Der Winkel zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor ist der Komplementärwinkel! Deshalb gilt $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{r} \cdot \vec{n}|}{|\vec{r}| \cdot |\vec{n}|}$.

Alternativ kannst du auch mit $\alpha = 90° - \beta$ arbeiten, wobei $\beta$ der Winkel zwischen Richtungs- und Normalenvektor ist.

Eselsbrücke: Bei Ebenen verwendest du Kosinus, bei Gerade-Ebene Sinus - wegen des Komplementärwinkels!

Abstandsberechnungen

Abstand Punkt-Ebene: Stelle eine Gerade durch den Punkt mit dem Normalenvektor als Richtung auf, finde den Schnittpunkt mit der Ebene und berechne den Abstand zwischen den beiden Punkten.

Abstand Punkt-Gerade geht mit zwei Methoden: Entweder stellst du eine Ebene durch den Punkt senkrecht zur Geraden auf, oder du nutzt die Bedingung, dass der nächste Punkt F auf der Geraden erfüllt: $\vec{PF} \perp \vec{r}$.

Parallele Geraden und Ebenen: Nimm einen beliebigen Punkt von einer Seite, stelle eine senkrechte Gerade zur anderen Seite auf und berechne den Durchstoßpunkt.

Bei parallelen Ebenen in Koordinatenform nimmst du einen Punkt aus einer Ebene und verfährst genauso.

Erfolgstipp: Bei Abständen führen viele Wege zum Ziel - wähle den, bei dem du dich am sichersten fühlst!

Windschiefe Geraden

Windschiefe Geraden haben keinen Schnittpunkt, sind aber auch nicht parallel - sie "verfehlen" sich im Raum. Den kürzesten Abstand findest du so:

Schreibe beide Geraden als Punkte P und Q auf (abhängig von den Parametern r und s). Bilde den Vektor $\vec{PQ}$ zwischen diesen Punkten.

Dieser Verbindungsvektor muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren stehen: $\vec{PQ} \perp \vec{r_1}$ und $\vec{PQ} \perp \vec{r_2}$. Das gibt dir zwei Gleichungen für r und s.

Setze die berechneten Parameter ein, bestimme die beiden nächstliegenden Punkte und berechne deren Abstand.

Visualisierungshilfe: Stell dir zwei Bleistifte vor, die sich im Raum "vorbei" schweben - der kürzeste Abstand ist wie eine Brücke zwischen ihnen!

Ebenenformen umwandeln

Du kennst drei Ebenenformen: Parameterform $\vec{x} = \vec{a} + s\vec{v_1} + t\vec{v_2}$, Normalenform $(\vec{x} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ und Koordinatenform $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$.

Parameter- zu Normalenform: Berechne den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der Spannvektoren. Normal- zu Koordinatenform: Multipliziere das Skalarprodukt aus und löse nach d auf.

Koordinaten- zu Parameterform: Setze $x_1 = s$ und $x_2 = t$, löse nach $x_3$ auf und lies die "Spalten" als Stütz- und Spannvektoren ab.

Beispiel: $6x_1 - 8x_2 - x_3 = 14$ wird zu $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\0\-14 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1\0\6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0\1\-8 \end{pmatrix}$.

Zeitsparer: Lerne diese Umwandlungen auswendig - in Klausuren sparst du damit wertvolle Minuten!