Winkelberechnung in der Vektorrechnung
Die Vektorrechnung Klausur PDF behandelt häufig die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren, was ein fundamentales Konzept der analytischen Geometrie darstellt. Bei der Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren spielt das Skalarprodukt eine zentrale Rolle, wie es auch in Mathe Klausuren mit Lösungen häufig vorkommt.
Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b wird durch die Formel cosα = a⋅b/∣a∣⋅∣b∣ berechnet, wobei α der gesuchte Winkel ist.
Die praktische Anwendung dieser Formel lässt sich am besten anhand eines konkreten Beispiels demonstrieren. Gegeben seien die Punkte A1,1,−1, B3,2,−4 und C1,−2,6. Zur Bestimmung des Winkels zwischen den Vektoren AB und AC müssen zunächst die Vektoren selbst berechnet werden. Der Vektor AB ergibt sich aus der Differenz der Koordinaten: AB = 2,1,−3. Analog dazu berechnet sich AC = 0,−3,7.
Beispiel:
- Berechnung der Vektorlängen:
|AB| = √22+12+(−3²) = √14
|AC| = √02+(−3² + 7²) = √58
Das Skalarprodukt AB·AC wird durch Multiplikation der entsprechenden Komponenten und anschließende Addition berechnet: AB·AC = 2·0 + 1·−3 + −3·7 = -24. Durch Einsetzen in die Winkelformel erhalten wir: cosα = -24/√14⋅√58. Der gesuchte Winkel lässt sich dann durch Anwendung des Arkuskosinus berechnen.