Analytische Geometrie / Vektoren Lernzettel

Alternativer Bildtext:

gleicher Reihenfolge auf eine Seite bringen, Zahlen auf die andere. = -4 = = = = →>> + 1 + 15 4 + (-1) r 3+ 1 r S Or (-1) r 1 r 7 9-²-(2²)+(-4) (2) 1 8 + 3 S + + 1 5 - 7 + + OS 8 + +3 s · 6 t zueinander. 1 = 4 1-3 7+ nur -8+ 1- 6 t GTR liefert eindeutige Lösung und somit gibt. es den Durchstoßpkt. für Vorstellung Durchstoppkt. berechnen. Hat das LGS. unendlich viele Lösungen gibt es unterschiedlich viele gemeinsame Punkte u. 9 liegt in der Ebene + in die Geradengleichung einsetzen (oder r und s in die Ebenengleichung) Hat das LGS keine Lösung, gibt es keine gemein- samen Punkte und E und G sind parallel -26 (-39139) -20 ↳ D (-26 1-311-20) Punkt probe bei E: : x = II III HE 3 I 3 O 2 Liegt der Punkt A(813/14) 1) Gleichsetzen 2 + r (3) 1 2 II + r 2 + 2 1 2) Gleichungen bilden 3 + 2 + 3 s= +2 S= 5 5 r + S r Fr 3) Umsortieren 2r + 3 s 2 S + + 2 5 + S 4) Eingabe GTR r = 1 S = 1 = = 5 "1 Ebene = = 53 1 4 ∞3 J 14 8 in der Ebene 2 8 3 14 = n 5) Probe mit übrig gebliebenen Gleichung II 2 + 7 14 ✓ 6) Fazit: Punkt A liegt in der u. 1. Ebenen Geraden wahre Aussage Ebene ! Punktprobe bei Man kann auf der Geraden. 9 : X = *-(-:-) Beispiel: Prüfen Sie, ob der Punkt A (-7--518) auf der Graden liegt 3 -1 2 + II. 3 + 1. Geradengleichun ng. 5 I + · 2 auch prüfen, ob liegt -1+2+ 21 + - - بوش + 2. Nacht auflösen I 3+5+ -7- - 3 5 + = -10:5 + 3+ 3 + + 11 (1 = 11 = 11 = -5 4 = || = છ જી - "1 1 Ebenen = 8 0 00 = 6 -5 + 1 2 Geraden 2. Geraden Punkt - 2 :(-3) u. aufstellen. 3+5+ I 1 + 2 + 피 2 3 + - ein 11 758 A. Da bei allen 3 Gleichungen + = - 2 gilt, liegt der Punkt auf der Geraden 9. Lage von Geraden Ortsvek. mit anderen anderen Gleichung gleichsetzen Liegt Pauf der Geraden u ? ( 5 ) Punktprobe Ja gu.h iden - tisch Richtungs- vektor Definition Orthogonal (Senkrecht) Die Geraden 9 und h sie zueinander orthogonal? Beispiel 9 Richtungs- ventor h →>> 9 und 91 h → à x hx Man nennt 1. Bilden des Zwei Vektoren à = (1) und 6 (1) sind genau dann zueinander orthogonal (ab) wenn gilt b = a₁b₁ à /8 *(*) Richtungsvektoren gleich setzen (9) Richtungsvektor uu. V zueinander parralel? gu.h parra- lel -10 3. Nein + S + r schneiden sich. Zwei schneidende Geraden sind immer dann zueinander orthogonal wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind + a₂ b ₂ + a₂ b3 6 () Sind (3) O das Skalarprodukt Skalarprodukts = - 4 2 + 1 9 +1 (-1)= 8+ 9 - 1 O h sind orthogonal zueinander Ja gu.h schneiden sich → keine gem. Pkt. windschief sein/ + nicht parallel olinear eu 2 3 Gleichungen bilden I I II identisch sein → unendlich viele gemeinsame Punkte Nein beide Gleichungen gleichset- Gleichung pru= a + sv eine Nach auflösen I + = 2,5 T + = 2,5 = 2,5 Lösung ? 3 A a ist kolline- → ein gemeinsamer Punkt sich schneiden X Nein gu. h sind wind schief → keine gemeinsamen Punkte zueinander parallel sein Zwei Geraden 9 und h im Raum können. Zeige. 9:x h: x = = parallel sind. (-³₁) Da = Sie + r. (3 Untersuchung der Richtungsvektoren. ob vielfache voneinander/ kollinear / Linear abhängig 2 8 + (-²²) = = das Gleichungen bilden I 1 = 5 I 1 Шо 4 ungsvektoren kollinear + 7 + I -4 = -9r -6= 3r -4-6r (1) und (9) r 3 r 6r : I * Gleichungen aufstellen: 3 -9 + 1 = (-9) I III : 3 bei allen drei Gleichungen 1. Geradengleichung aufstellen: ( 3 ) = ( ³ ) + 2 die Geraden (-9) 1 Somit parallel oder identisch sein -5 -7 1-4 (-6) 1/3 TIM~ 3 = + 2 WIJ = = = 2 Sind sie parallel o. identisch zueinander Punktprobe: Prüfe ob der Stützvektor von gh) auf der Geraden h(ig) liegt. 3 +1:3 t -6+1: (-6) = t 1 + = 3 I HHE können I r r r → |||| Ge = ist, = عاونه براس sind. 2 und die h Alle r's unterschiedlich Richt- nur 9 liegt nicht auf der h. →nicht identisch sondern parallel Länge Die Länge eines Vektors wird auch Betrag genannt Abstand zwischen zwei Punkten A (a₁ la ₂ B (b₁16₂163) 2 1 |AB| = √ (b₁-a₂₁ )² + (b₂-a₂)² + (63-93)² 2 2. Beispiel: A (2141-1) B(31815) +|AB| = √(3-2)² + (8-4)³ + (5 -(- 1)* =√1² +4² +6² 2 √53¹ 3 D Flächeninhalt A A G von H d I B B аз F Vektoren E Pyramide A = A = V = > = V = |AB|-|BC| IB = AB जल BC G IA A BIIB C 2 |AB| ² |BC|-|CD| 2 h Quadrat . BÈ |BE| Dreieck Winkel Für den Winkel gilt bzw. 1 AB A B 12/12 10 = 3 a Beispiel: Gegeben sind die ((51-11-2), bestimme die Größe des Winkels zwischen den Vektoren. AB und AC COS (x ) = AC |AC| = √ zwischen 6 = 1a1·161· cos(x) COS (x) = Skalarprodukt von u. b Betrag von à Länge der Vektoren. 1 (AH) - 2 1 = 2²+3 + (-9) ² = X zwischen den Vektoren (11) 2 4 + (-7) ² 71 √94√65 Cos 0,91 x = 24,49° Punkte = (3) = A = = Vekto 2. Skalar produkt. AB · AC = (-3) - ( ²³ ) = 2.4 +3·0+ (-9).(-7) = 71 Formel ; 94 0,91 √65 u. 10 A (1 1-115), B (3121-4) und P u. en b Der Winkel beträgt die Größe von 24,49° 1 Schattenpunkte. A Bestimmen Sie den Schatten pkt eines Sendemast- es, wenn die Spitze des SM. in Punkt S(1015142) liegt und die Strahlen aus der Richtung mit dem Vektor ~= (²₁) kommen. Gehen Sie davon aus, dass der Schatten Ebene (Boden) liegt. auf der X₁, X₂- g CO Lösung: 2 Da der Schatten auf der X₁₁ X ₁₂ - Ebene liegt, ist die X3- Koordinate gleich O S'(x₁1x₂10) 10 5 42 Geradengleichung aufstellen für den Sonnenstrahl = X₁1 X 2 10 5 42 III + t ++ 42- 5+ 5+ t Ebene Mit S (x₂1x₂10) gleichsetzen → Punktprobe Der Schattenpunkt liegt auf der Geraden, ansonsten gäbe es kein Schatten 4 2 -5 Gleichung bilden: = * = Schattenpkt. 4 2 -5 = O S' X ₁ X₂ 1-42 -42 1: (-5) 8,4 2 t einsetzen. I A II 10+8,4 5 in I und II: 4 43,6 Schattenpunkt +8.4 2 = 21 8 = Der Schatten. dem = 43,6 21,8 0 IPS'l √33, = V = 10 = Zwischen Wie lang ist der Schatten ? |PS| 5 O verläuft auf der Strecke Bodenpunkt P (10 15 10) und s' X₁ X ₁ X 2 x 2 H S (43,6 | 21,8 10 ) 1 = 16,8² + + 33,6 16,8 O 2 11 A: Die Länge des Schattens beträgt √1411,2 = = 37,57m 37,57m Räumlichesdarstellungsvermögen (2|0|0) (41012) (0|2|0) (-21010) (-21115) (-21016) G (01-26) H (01-215) G B S کیا E с A B с D EFG P (X₁|X₂|X3) Z-1 x 2 Exponentialfunktionen aufstellen f(x) = ↑ Anfangswert Wenn eine handelt a < 1 um ↑ 0,25 Der Faktor O en x с Wachstumsfaktor Exponential funktion einen Wachstumsvorgang beschreibt, es sich für az 1 um eine Exponentielle Zunahme und für Exponentielle Abnahme eine 6 C entspricht 2 Der Graph der Exponentialfunktion f mit f(x) = c.ax verläuft durch die Punkte P und Q. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Für welches x hat die Funktion den Wert 256? a) P (014) und Q (410,5) b) P (010,25) und Q (6|16) c) P (01512) und Q (-318) b) f(x) = 0,25 Punkt Q einsetzen. 6 0,25 a = = a a = a = X 2 = 2x en 1024 en 2 10 a = = X 16 16 0,25 = 16 0,25 2 a XX dem X 1024 en 2x = en 1024 en 2* = en 10241 en 2. Anfangsbestand zum Zeitpunkt 1: 0,25 | 2560, 25 X f(x) = 0,25 2 : Gegenprobe: 0,25 2 10 11 256 ✓ Aussehen. von f(x) = f(x) = a) b c) f(x) d) f(x) e) f(x) f) f(x) g) f(x) f(x) = Punkt Q 3 50. = f(x) = c.a f(x) 50. a 3 = a a a = -0,5 2 = 2 3 = X X 0,2 -0,35 5 a 0,5.3* 3 2 ↑ Anfangswert Wachstumsfaktor gesucht X a ↑ Wachstumsfaktor gesucht. Wenn exp. Wachstum vorliegt (siehe Aufgabe) reicht es aus, zwei Bestände zu 2 Zeitpunkten zu kennen Bsp.: Mit P (0150) und Q (31 10,8) sind der Anfangsbestand. und der Bestand nach 3 std gegeben. "1 = = 0,6 X einsetzen: 10, 3-x 10, 8 50 310,8 50 X X 2x Wachstumsfaktor Exponential fkt. Y 1 L 1:50 f(x) (1 - -0,6* X 50. Zeitraum gesucht Zeit Es soll untersucht werden nach welcher Bakterienstand, dessen Entwicklung durch die X 50 0,6 9 ( x ) = (x in h) beschrieben auf reduziert wird. 50 10 = 50 5 = 50 0₁ 0, 1 0,1 1 = = 0,6 en 0,6 en 0,1 en 0,6 = X 4,51 = X X X en 0,6 X A: Nach 4,51 h hat To reduziert. 50 en T: : en 0,6 sich der nach x sich ein Fkt. wird, auflösen log Logarithmus natürl. Logarithmus - en Bakterienstand auf