Laden im
Google Play
Die moderne industriegesellschaft zwischen fortschritt und krise
Friedensschlüsse und ordnungen des friedens in der moderne
Imperialismus und erster weltkrieg
Der mensch und seine geschichte
Herausbildung moderner strukturen in gesellschaft und staat
Deutschland zwischen demokratie und diktatur
Das 20. jahrhundert
Großreiche
Frühe neuzeit
Europa und globalisierung
Europa und die welt
Die zeit des nationalsozialismus
Das geteilte deutschland und die wiedervereinigung
Bipolare welt und deutschland nach 1953
Demokratie und freiheit
Alle Themen
Entwicklungsperspektiven
Mensch-umwelt-beziehungen
Die subpolare und polare zone
Russland
Herausforderungen an die menschen des 21. jahrhunderts
Europa
Klima und vegetationszonen
Entwicklung in tropischen räumen
Planet erde
China
Globalisierung
Ressourcenkonflikte und ressourcenmanagement
Australien und ozeanien
Klimawandel und klimaschutz
Usa
Alle Themen
18.1.2022
6895
299
Teilen
Speichern
Herunterladen
. Mathe Klausur Nr. 2 11 Ebenengleichung geg. Geradengleichung aufstellen ✓ Punkt Lage Punktprobe aufstellen, am 15.12.21 Länge von Vektoren ✓ Winkel zwischen Vektoren. Räumliche darstellungen Schattenpunkte. Lage von Geraden zueinander von Ebenen u. Geraden zueinander untersuchen. bei Ebenen u. Geraden Exp. fkt 3 pkt. oder 1 Gerade + 1 weiteren Exponentialfkt aufstellen können 1 Punkt + Wachstumsfaktor 2 Punkten Aussehen" von Bsp. 2*, 0,5.3* Wachstumsfaktor gesucht Zeitraum ist gesucht. Ebenengleichung aufstellen: E ↳ 1 ul لیا r, s Beispiel mit geg.: E: a АР 11 E: * a + Stützvektor bestimmen. = - (3) X X = 2. Richtungsvektoren bestimmen L AB (3)} 11 = Stützvektor Richtungsvektor Ebenenparameter. Beispiel mit дед: д 3 Punkten : A (11213) B (11416), C(01512) 4-2 6-3 1 1 AC = (₁:3) - (²) } * 5-2 3 23 1 3 Gleichung aufstellen. (3) = 12-3 22 1-2 u J 3 (2²2) 9 = * = ( ₁² ) + 3 2 2 + + r = S + r V 2 + S () () 2 3 个 FE AB 1 Geraden 5 + r. 1 2 5 2 (hier wird + ) S u. 1 Pkt. P(21211) A genommen) O 1 Geradengleichung aufstellen: prüfen, ob liegt Man kann auch auf der Geraden 9 X = Ortsvektor + t 1 2 3 9 : ܚ ܝ -1 Ortsvektor bestimmen OÀà Richtungsvektor bestimmen G AB= 6 - a X Gleichung aufstellen X = +- ( 3 ) g Beispiel: Prüfen Sie, ob der Punkt A (-71-518) auf der Graden liegt = + III 2 3 + I 3+5+ II. -1 + 2 + 21 + = 1 mm 3 + 3 + t + + nam 2 5 + = + 3 1) 11 11 = = + 11 11 = -7 || J 8 = 8 = 6 OB = b = (3) (9) 5 -5 8 - 3 -10:5 2 -5 + 1 -4 : 2 -2 Richtungsvektor co - 2 |:(-3) Gleichungen aufstellen. 3 + 5+ 7 1 + 2 + I Im - ein = falls nicht, liegt der Punkt nicht auf der Geraden 3 + = Punkt 5 8 A. Da bei allen 3 Gleichungen + = - 2 gilt, liegt der Punkt auf der Geraden g Lage Ebenen u. Geraden 1 - 2 7 + r = ; ++. + a) 9² - ( ² ) ・・ (²) E² (3) · () (3) S. x 8 4 1 -1 1 4 6 1. Gleichsetzen 1 1 -2 7 + + = r -1 (0) (0) (0) (3) 1 8 3 1 4 6 2. Gleichungen bilden I II III T HEE f II von -2 +7 + 1 + t 6+ + r + - 3 ساس د - 3 1 = 1 = 5 = Alle Parameter (r,s,t) in...
Durchschnittliche App-Bewertung
Schüler:innen lieben Knowunity
In Bildungs-App-Charts in 11 Ländern
Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen
iOS User
Philipp, iOS User
Lena, iOS Userin
gleicher Reihenfolge auf eine Seite bringen, Zahlen auf die andere. = -4 = = = = →>> + 1 + 15 4 + (-1) r 3+ 1 r S Or (-1) r 1 r 7 9-²-(2²)+(-4) (2) 1 8 + 3 S + + 1 5 - 7 + + OS 8 + +3 s · 6 t zueinander. 1 = 4 1-3 7+ nur -8+ 1- 6 t GTR liefert eindeutige Lösung und somit gibt. es den Durchstoßpkt. für Vorstellung Durchstoppkt. berechnen. Hat das LGS. unendlich viele Lösungen gibt es unterschiedlich viele gemeinsame Punkte u. 9 liegt in der Ebene + in die Geradengleichung einsetzen (oder r und s in die Ebenengleichung) Hat das LGS keine Lösung, gibt es keine gemein- samen Punkte und E und G sind parallel -26 (-39139) -20 ↳ D (-26 1-311-20) Punkt probe bei E: : x = II III HE 3 I 3 O 2 Liegt der Punkt A(813/14) 1) Gleichsetzen 2 + r (3) 1 2 II + r 2 + 2 1 2) Gleichungen bilden 3 + 2 + 3 s= +2 S= 5 5 r + S r Fr 3) Umsortieren 2r + 3 s 2 S + + 2 5 + S 4) Eingabe GTR r = 1 S = 1 = = 5 "1 Ebene = = 53 1 4 ∞3 J 14 8 in der Ebene 2 8 3 14 = n 5) Probe mit übrig gebliebenen Gleichung II 2 + 7 14 ✓ 6) Fazit: Punkt A liegt in der u. 1. Ebenen Geraden wahre Aussage Ebene ! Punktprobe bei Man kann auf der Geraden. 9 : X = *-(-:-) Beispiel: Prüfen Sie, ob der Punkt A (-7--518) auf der Graden liegt 3 -1 2 + II. 3 + 1. Geradengleichun ng. 5 I + · 2 auch prüfen, ob liegt -1+2+ 21 + - - بوش + 2. Nacht auflösen I 3+5+ -7- - 3 5 + = -10:5 + 3+ 3 + + 11 (1 = 11 = 11 = -5 4 = || = છ જી - "1 1 Ebenen = 8 0 00 = 6 -5 + 1 2 Geraden 2. Geraden Punkt - 2 :(-3) u. aufstellen. 3+5+ I 1 + 2 + 피 2 3 + - ein 11 758 A. Da bei allen 3 Gleichungen + = - 2 gilt, liegt der Punkt auf der Geraden 9. Lage von Geraden Ortsvek. mit anderen anderen Gleichung gleichsetzen Liegt Pauf der Geraden u ? ( 5 ) Punktprobe Ja gu.h iden - tisch Richtungs- vektor Definition Orthogonal (Senkrecht) Die Geraden 9 und h sie zueinander orthogonal? Beispiel 9 Richtungs- ventor h →>> 9 und 91 h → à x hx Man nennt 1. Bilden des Zwei Vektoren à = (1) und 6 (1) sind genau dann zueinander orthogonal (ab) wenn gilt b = a₁b₁ à /8 *(*) Richtungsvektoren gleich setzen (9) Richtungsvektor uu. V zueinander parralel? gu.h parra- lel -10 3. Nein + S + r schneiden sich. Zwei schneidende Geraden sind immer dann zueinander orthogonal wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind + a₂ b ₂ + a₂ b3 6 () Sind (3) O das Skalarprodukt Skalarprodukts = - 4 2 + 1 9 +1 (-1)= 8+ 9 - 1 O h sind orthogonal zueinander Ja gu.h schneiden sich → keine gem. Pkt. windschief sein/ + nicht parallel olinear eu 2 3 Gleichungen bilden I I II identisch sein → unendlich viele gemeinsame Punkte Nein beide Gleichungen gleichset- Gleichung pru= a + sv eine Nach auflösen I + = 2,5 T + = 2,5 = 2,5 Lösung ? 3 A a ist kolline- → ein gemeinsamer Punkt sich schneiden X Nein gu. h sind wind schief → keine gemeinsamen Punkte zueinander parallel sein Zwei Geraden 9 und h im Raum können. Zeige. 9:x h: x = = parallel sind. (-³₁) Da = Sie + r. (3 Untersuchung der Richtungsvektoren. ob vielfache voneinander/ kollinear / Linear abhängig 2 8 + (-²²) = = das Gleichungen bilden I 1 = 5 I 1 Шо 4 ungsvektoren kollinear + 7 + I -4 = -9r -6= 3r -4-6r (1) und (9) r 3 r 6r : I * Gleichungen aufstellen: 3 -9 + 1 = (-9) I III : 3 bei allen drei Gleichungen 1. Geradengleichung aufstellen: ( 3 ) = ( ³ ) + 2 die Geraden (-9) 1 Somit parallel oder identisch sein -5 -7 1-4 (-6) 1/3 TIM~ 3 = + 2 WIJ = = = 2 Sind sie parallel o. identisch zueinander Punktprobe: Prüfe ob der Stützvektor von gh) auf der Geraden h(ig) liegt. 3 +1:3 t -6+1: (-6) = t 1 + = 3 I HHE können I r r r → |||| Ge = ist, = عاونه براس sind. 2 und die h Alle r's unterschiedlich Richt- nur 9 liegt nicht auf der h. →nicht identisch sondern parallel Länge Die Länge eines Vektors wird auch Betrag genannt Abstand zwischen zwei Punkten A (a₁ la ₂ B (b₁16₂163) 2 1 |AB| = √ (b₁-a₂₁ )² + (b₂-a₂)² + (63-93)² 2 2. Beispiel: A (2141-1) B(31815) +|AB| = √(3-2)² + (8-4)³ + (5 -(- 1)* =√1² +4² +6² 2 √53¹ 3 D Flächeninhalt A A G von H d I B B аз F Vektoren E Pyramide A = A = V = > = V = |AB|-|BC| IB = AB जल BC G IA A BIIB C 2 |AB| ² |BC|-|CD| 2 h Quadrat . BÈ |BE| Dreieck Winkel Für den Winkel gilt bzw. 1 AB A B 12/12 10 = 3 a Beispiel: Gegeben sind die ((51-11-2), bestimme die Größe des Winkels zwischen den Vektoren. AB und AC COS (x ) = AC |AC| = √ zwischen 6 = 1a1·161· cos(x) COS (x) = Skalarprodukt von u. b Betrag von à Länge der Vektoren. 1 (AH) - 2 1 = 2²+3 + (-9) ² = X zwischen den Vektoren (11) 2 4 + (-7) ² 71 √94√65 Cos 0,91 x = 24,49° Punkte = (3) = A = = Vekto 2. Skalar produkt. AB · AC = (-3) - ( ²³ ) = 2.4 +3·0+ (-9).(-7) = 71 Formel ; 94 0,91 √65 u. 10 A (1 1-115), B (3121-4) und P u. en b Der Winkel beträgt die Größe von 24,49° 1 Schattenpunkte. A Bestimmen Sie den Schatten pkt eines Sendemast- es, wenn die Spitze des SM. in Punkt S(1015142) liegt und die Strahlen aus der Richtung mit dem Vektor ~= (²₁) kommen. Gehen Sie davon aus, dass der Schatten Ebene (Boden) liegt. auf der X₁, X₂- g CO Lösung: 2 Da der Schatten auf der X₁₁ X ₁₂ - Ebene liegt, ist die X3- Koordinate gleich O S'(x₁1x₂10) 10 5 42 Geradengleichung aufstellen für den Sonnenstrahl = X₁1 X 2 10 5 42 III + t ++ 42- 5+ 5+ t Ebene Mit S (x₂1x₂10) gleichsetzen → Punktprobe Der Schattenpunkt liegt auf der Geraden, ansonsten gäbe es kein Schatten 4 2 -5 Gleichung bilden: = * = Schattenpkt. 4 2 -5 = O S' X ₁ X₂ 1-42 -42 1: (-5) 8,4 2 t einsetzen. I A II 10+8,4 5 in I und II: 4 43,6 Schattenpunkt +8.4 2 = 21 8 = Der Schatten. dem = 43,6 21,8 0 IPS'l √33, = V = 10 = Zwischen Wie lang ist der Schatten ? |PS| 5 O verläuft auf der Strecke Bodenpunkt P (10 15 10) und s' X₁ X ₁ X 2 x 2 H S (43,6 | 21,8 10 ) 1 = 16,8² + + 33,6 16,8 O 2 11 A: Die Länge des Schattens beträgt √1411,2 = = 37,57m 37,57m Räumlichesdarstellungsvermögen (2|0|0) (41012) (0|2|0) (-21010) (-21115) (-21016) G (01-26) H (01-215) G B S کیا E с A B с D EFG P (X₁|X₂|X3) Z-1 x 2 Exponentialfunktionen aufstellen f(x) = ↑ Anfangswert Wenn eine handelt a < 1 um ↑ 0,25 Der Faktor O en x с Wachstumsfaktor Exponential funktion einen Wachstumsvorgang beschreibt, es sich für az 1 um eine Exponentielle Zunahme und für Exponentielle Abnahme eine 6 C entspricht 2 Der Graph der Exponentialfunktion f mit f(x) = c.ax verläuft durch die Punkte P und Q. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Für welches x hat die Funktion den Wert 256? a) P (014) und Q (410,5) b) P (010,25) und Q (6|16) c) P (01512) und Q (-318) b) f(x) = 0,25 Punkt Q einsetzen. 6 0,25 a = = a a = a = X 2 = 2x en 1024 en 2 10 a = = X 16 16 0,25 = 16 0,25 2 a XX dem X 1024 en 2x = en 1024 en 2* = en 10241 en 2. Anfangsbestand zum Zeitpunkt 1: 0,25 | 2560, 25 X f(x) = 0,25 2 : Gegenprobe: 0,25 2 10 11 256 ✓ Aussehen. von f(x) = f(x) = a) b c) f(x) d) f(x) e) f(x) f) f(x) g) f(x) f(x) = Punkt Q 3 50. = f(x) = c.a f(x) 50. a 3 = a a a = -0,5 2 = 2 3 = X X 0,2 -0,35 5 a 0,5.3* 3 2 ↑ Anfangswert Wachstumsfaktor gesucht X a ↑ Wachstumsfaktor gesucht. Wenn exp. Wachstum vorliegt (siehe Aufgabe) reicht es aus, zwei Bestände zu 2 Zeitpunkten zu kennen Bsp.: Mit P (0150) und Q (31 10,8) sind der Anfangsbestand. und der Bestand nach 3 std gegeben. "1 = = 0,6 X einsetzen: 10, 3-x 10, 8 50 310,8 50 X X 2x Wachstumsfaktor Exponential fkt. Y 1 L 1:50 f(x) (1 - -0,6* X 50. Zeitraum gesucht Zeit Es soll untersucht werden nach welcher Bakterienstand, dessen Entwicklung durch die X 50 0,6 9 ( x ) = (x in h) beschrieben auf reduziert wird. 50 10 = 50 5 = 50 0₁ 0, 1 0,1 1 = = 0,6 en 0,6 en 0,1 en 0,6 = X 4,51 = X X X en 0,6 X A: Nach 4,51 h hat To reduziert. 50 en T: : en 0,6 sich der nach x sich ein Fkt. wird, auflösen log Logarithmus natürl. Logarithmus - en Bakterienstand auf