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27.11.2025
Mathe
Lineare Algebra/Analytische Geometrie
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Lineare Gleichungssysteme und Vektorgeometrie sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik. Hier... Mehr anzeigen
Das Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren sind deine wichtigsten Werkzeuge zum Lösen von Gleichungssystemen. Beim Additionsverfahren multiplizierst du eine Gleichung so, dass sich beim Addieren eine Variable eliminiert.
Beim ersten Beispiel multiplizierst du Gleichung II mit 2, addierst beide Gleichungen und erhältst y = 2. Danach setzt du diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und findest x = 1.
Bei drei Unbekannten gehst du schrittweise vor: Eliminiere zunächst eine Variable aus zwei Gleichungspaaren, löse das entstehende 2×2-System und setze die Werte zurück ein.
Tipp: Die Koeffizientenmatrix hilft dir, den Überblick zu behalten und systematisch zu arbeiten.
Nicht jedes Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Du musst drei Fälle unterscheiden: eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.
Wenn du beim Lösen eine wahre Aussage wie "0 = 0" erhältst, gibt es unendlich viele Lösungen. Entsteht eine falsche Aussage wie "0 = 3", ist das System unlösbar.
Geometrisch stellst du dir jede Gleichung als Ebene vor. Bei eindeutiger Lösbarkeit schneiden sich drei Ebenen in genau einem Punkt. Unendlich viele Lösungen entstehen meist durch eine Schnittgerade, keine Lösung durch parallele Ebenen.
Merke: Eine falsche Aussage beim Lösen bedeutet immer: Das System hat keine Lösung!
Unterbestimmte Systeme haben weniger Gleichungen als Unbekannte. Hier führst du einen Parameter c ein und drückst alle anderen Variablen durch c aus. Das Ergebnis ist eine Lösungsmenge mit unendlich vielen Punkten.
Bei der Lösung x = 9-2c, y = -4+2c, z = c kannst du für jeden Wert von c eine gültige Lösung finden. Die Lösungsmenge schreibst du als L = { | c∈ℝ}.
Überbestimmte Systeme haben mehr Gleichungen als Unbekannte. Du löst zunächst zwei Gleichungen und prüfst dann, ob die dritte Gleichung erfüllt ist. Geometrisch bedeutet das: Schneiden sich alle drei Geraden in einem Punkt?
Praxis-Tipp: Bei überbestimmten Systemen immer alle Gleichungen zur Kontrolle einsetzen!
Im dreidimensionalen Koordinatensystem beschreibst du jeden Punkt durch drei Koordinaten (x|y|z). Vektoren sind Verschiebungen zwischen Punkten und werden als Pfeile dargestellt.
Den Vektor von A nach B berechnest du durch AB⃗ = b⃗ - a⃗. Du ziehst also den Ortsvektor von A vom Ortsvektor von B ab. Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt.
Vektoren addierst du komponentenweise und multiplizierst sie mit Zahlen (Skalaren). Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist - sie zeigen dann in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung.
Visualisierung: Stelle dir Vektoren immer als Pfeile vor - das macht Rechnungen anschaulicher!
Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge und wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet: |a⃗| = √. Das ist gleichzeitig der Abstand zwischen zwei Punkten.
Das Skalarprodukt multipliziert entsprechende Komponenten und addiert sie: a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Es ist fundamental für Winkel- und Orthogonalitätsberechnungen.
Den Winkel zwischen Vektoren findest du mit der Kosinusformel: cos α = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|). Ist das Skalarprodukt null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander (orthogonal).
Merkregel: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer: Die Vektoren sind orthogonal (90° Winkel)!
Eine Gerade beschreibst du durch einen Punkt und eine Richtung: g: x⃗ = a⃗ + r · b⃗. Dabei ist a⃗ der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und b⃗ der Richtungsvektor.
Für eine Punktprobe setzt du die Koordinaten des zu testenden Punktes in die Geradengleichung ein. Findest du einen Parameter r, liegt der Punkt auf der Gerade. Ist 0 ≤ r ≤ 1, liegt er sogar auf der Strecke zwischen den Endpunkten.
Bei Ebenen brauchst du drei Punkte: E: x⃗ = a⃗ + r · b⃗ + s · c⃗. Hier hast du zwei Parameter r und s sowie zwei Richtungsvektoren. Eine Ebene entsteht durch alle Linearkombinationen der beiden Richtungsvektoren.
Wichtig: Bei Strecken prüfe immer: 0 ≤ r ≤ 1 für Geraden, bei Dreiecken: r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s ≤ 1!
Für die Punktprobe in einer Ebene setzt du die Koordinaten in die Parametergleichung ein und erhältst ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (r und s).
Im Beispiel führt die Punktprobe zu drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Du löst zwei davon und prüfst die dritte als Kontrolle. Stimmt sie auch, liegt der Punkt in der Ebene.
Ob der Punkt im Dreieck liegt, erkennst du an den Parameterwerten: r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s ≤ 1. Diese Bedingungen stellen sicher, dass du dich innerhalb der Dreiecksgrenzen befindest.
Systematisch arbeiten: Löse immer nur zwei Gleichungen und nutze die dritte zur Kontrolle - das spart Zeit und verhindert Fehler!
Zwei Geraden können vier verschiedene Lagebeziehungen haben: identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Der Schlüssel liegt in den Richtungsvektoren.
Sind die Richtungsvektoren kollinear (Vielfache voneinander), sind die Geraden parallel oder identisch. Eine Punktprobe entscheidet: Liegt der Stützvektor der einen Gerade auf der anderen?
Bei nicht kollinearen Richtungsvektoren setzt du die Geradengleichungen gleich. Ist das entstehende Gleichungssystem eindeutig lösbar, schneiden sich die Geraden. Ist es unlösbar, sind die Geraden windschief.
Systematisches Vorgehen: 1. Richtungsvektoren prüfen, 2. Bei Kollinearität Punktprobe, 3. Bei Nicht-Kollinearität Gleichungen gleichsetzen.
Im ersten Beispiel sind die Richtungsvektoren kollinear mit dem Faktor t = -0,5. Die Punktprobe zeigt verschiedene s-Werte, also sind die Geraden echt parallel.
Beim zweiten Beispiel sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Das Gleichsetzen der Geraden führt zu einem eindeutig lösbaren System mit r = 2 und s = 1.
Den Schnittpunkt berechnest du, indem du einen der gefundenen Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. Der Schnittwinkel ergibt sich über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren.
Kontrolle: Setze beide Parameter in ihre jeweiligen Geraden ein - du musst denselben Schnittpunkt erhalten!
Nach dem Gleichsetzen der Geraden löst du das Gleichungssystem systematisch. Durch geschickte Addition und Substitution findest du r = 2 und s = 1.
Den Schnittpunkt erhältst du, indem du r = 2 in die erste Gerade einsetzt: SP(8|3|1). Zur Kontrolle kannst du s = 1 in die zweite Gerade einsetzen - das Ergebnis muss identisch sein.
Der Schnittwinkel wird über die Kosinusformel mit den Richtungsvektoren berechnet. Bei einem Skalarprodukt von 0 beträgt der Winkel 90° - die Geraden stehen senkrecht aufeinander.
Besonderheit: Ein Schnittwinkel von 90° bedeutet, dass die Geraden orthogonal sind - das ist geometrisch sehr bedeutsam!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Lineare Gleichungssysteme und Vektorgeometrie sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik. Hier lernst du, wie du systematisch Gleichungssysteme löst und mit Vektoren im Raum arbeitest.
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Das Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren sind deine wichtigsten Werkzeuge zum Lösen von Gleichungssystemen. Beim Additionsverfahren multiplizierst du eine Gleichung so, dass sich beim Addieren eine Variable eliminiert.
Beim ersten Beispiel multiplizierst du Gleichung II mit 2, addierst beide Gleichungen und erhältst y = 2. Danach setzt du diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und findest x = 1.
Bei drei Unbekannten gehst du schrittweise vor: Eliminiere zunächst eine Variable aus zwei Gleichungspaaren, löse das entstehende 2×2-System und setze die Werte zurück ein.
Tipp: Die Koeffizientenmatrix hilft dir, den Überblick zu behalten und systematisch zu arbeiten.
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Geometrisch stellst du dir jede Gleichung als Ebene vor. Bei eindeutiger Lösbarkeit schneiden sich drei Ebenen in genau einem Punkt. Unendlich viele Lösungen entstehen meist durch eine Schnittgerade, keine Lösung durch parallele Ebenen.
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Bei der Lösung x = 9-2c, y = -4+2c, z = c kannst du für jeden Wert von c eine gültige Lösung finden. Die Lösungsmenge schreibst du als L = { | c∈ℝ}.
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Den Vektor von A nach B berechnest du durch AB⃗ = b⃗ - a⃗. Du ziehst also den Ortsvektor von A vom Ortsvektor von B ab. Der Ortsvektor zeigt vom Ursprung zu einem Punkt.
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Das Skalarprodukt multipliziert entsprechende Komponenten und addiert sie: a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Es ist fundamental für Winkel- und Orthogonalitätsberechnungen.
Den Winkel zwischen Vektoren findest du mit der Kosinusformel: cos α = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗| · |b⃗|). Ist das Skalarprodukt null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander (orthogonal).
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Eine Gerade beschreibst du durch einen Punkt und eine Richtung: g: x⃗ = a⃗ + r · b⃗. Dabei ist a⃗ der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und b⃗ der Richtungsvektor.
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Bei Ebenen brauchst du drei Punkte: E: x⃗ = a⃗ + r · b⃗ + s · c⃗. Hier hast du zwei Parameter r und s sowie zwei Richtungsvektoren. Eine Ebene entsteht durch alle Linearkombinationen der beiden Richtungsvektoren.
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Für die Punktprobe in einer Ebene setzt du die Koordinaten in die Parametergleichung ein und erhältst ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten (r und s).
Im Beispiel führt die Punktprobe zu drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Du löst zwei davon und prüfst die dritte als Kontrolle. Stimmt sie auch, liegt der Punkt in der Ebene.
Ob der Punkt im Dreieck liegt, erkennst du an den Parameterwerten: r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s ≤ 1. Diese Bedingungen stellen sicher, dass du dich innerhalb der Dreiecksgrenzen befindest.
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Zwei Geraden können vier verschiedene Lagebeziehungen haben: identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Der Schlüssel liegt in den Richtungsvektoren.
Sind die Richtungsvektoren kollinear (Vielfache voneinander), sind die Geraden parallel oder identisch. Eine Punktprobe entscheidet: Liegt der Stützvektor der einen Gerade auf der anderen?
Bei nicht kollinearen Richtungsvektoren setzt du die Geradengleichungen gleich. Ist das entstehende Gleichungssystem eindeutig lösbar, schneiden sich die Geraden. Ist es unlösbar, sind die Geraden windschief.
Systematisches Vorgehen: 1. Richtungsvektoren prüfen, 2. Bei Kollinearität Punktprobe, 3. Bei Nicht-Kollinearität Gleichungen gleichsetzen.
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Im ersten Beispiel sind die Richtungsvektoren kollinear mit dem Faktor t = -0,5. Die Punktprobe zeigt verschiedene s-Werte, also sind die Geraden echt parallel.
Beim zweiten Beispiel sind die Richtungsvektoren nicht kollinear. Das Gleichsetzen der Geraden führt zu einem eindeutig lösbaren System mit r = 2 und s = 1.
Den Schnittpunkt berechnest du, indem du einen der gefundenen Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. Der Schnittwinkel ergibt sich über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren.
Kontrolle: Setze beide Parameter in ihre jeweiligen Geraden ein - du musst denselben Schnittpunkt erhalten!
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Nach dem Gleichsetzen der Geraden löst du das Gleichungssystem systematisch. Durch geschickte Addition und Substitution findest du r = 2 und s = 1.
Den Schnittpunkt erhältst du, indem du r = 2 in die erste Gerade einsetzt: SP(8|3|1). Zur Kontrolle kannst du s = 1 in die zweite Gerade einsetzen - das Ergebnis muss identisch sein.
Der Schnittwinkel wird über die Kosinusformel mit den Richtungsvektoren berechnet. Bei einem Skalarprodukt von 0 beträgt der Winkel 90° - die Geraden stehen senkrecht aufeinander.
Besonderheit: Ein Schnittwinkel von 90° bedeutet, dass die Geraden orthogonal sind - das ist geometrisch sehr bedeutsam!
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Erfahre, wie man die Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden bestimmt. Diese Zusammenfassung enthält Aufgaben, Lösungen und Erklärungen zu parallelen Linien und Schnittpunkten. Ideal für das Verständnis der Geometrie und zur Vorbereitung auf Prüfungen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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