Analytische Geometrie

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der Geraden in E? nein A Die Gerade g liegt ganz in E Bespiel E: 2x₁-6x₂ + x = 7 |9₁:7² = +t. Die Ebenen sind identisch Sin (f) = Bespiel ZWEIER EBENEN Sind die Koordinaten gleichungen vielfache von ein ander ? & d? Die Gerade g ist parallel zu E, liegt aber nicht in ihr. ja Die beiden Ebenen sind zueinander parallel. E: 2x1-6к2+*z=² 9₂: P= +t. lv nºl VI. IRI Gill=0? Schnitt winkel zw. Gerade 9 und Ebene E mit Sind die Normalenvektorenn, undin, der beiden Ebenen Vielfache voneinander? nein Die beiden Ebenen sind parallel, aber nicht identisch. und solve |-19| √33-√26 11- Lange Winkel zwischen Gerade u. Ebene n'von E und vong Berechnung des Schnittwinkels: sin (p)=- Lange * Länge und Betrag ist das gleiche E P 6= Eng 8 in E einsetzen: 3. (2) (3) (2 (3+) + 3 (2-r) - 7. (1) = 11 ₁r) r=-6 enecmen ing: S- nein Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeladen. Ex:x₁+x₂-x₂=1 Ez: 4x₁-x₂-x8=3 Beispiel: Gegeben sind die Ebene E: 2x, - 2x₂ + 5x3-18=0 und die Gerade g: x = nu= =-190, somit schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt. Betrag DEG le-t Beispiel 0° ≤p ≤ 90° E: 2x₁-6x₂ + x3 = 7 Pa: ² = 1) ++ (8) 93: X +t 0,649, also = 40,4° →g:x³ Sin 110,649) = 4040 +t Fox solve oder Gleichunge Eystem x₁ + x₂ -xz =d x₁ = 2(t+²) = ².²; x₂= 36t; x-t ઇકિવ.નો) Abstand zueinander windschiefer Geraden Wann wind schief? :1. Richtungsvektoren & vielfache 2. Bei Gleichsetzung kein Schnittpunkt Abstand bestimmung. Gerade på x²= 2² L> PQ² +²²=0 4) in und 9 Abstand - IP21 Orthogonal zu muss hıx²= 5 +5.v und P = 0 S in h g und h sein (solve) einsetzen Allgemein räumliches koordinatensystem: A Spiegelung an der VALYTISCRE GEOMETRIC Vektoren und Geraden ++ Spiegelung an Vektoren: A (901) -3 +4 +²2 ↓ ↓ ↓ A' (31413) ? Kein 0 Punkt doping Adrean pasal {x1200) [ming (Ori (x103) 2 Kästchen P. (21-3 1-3.5) - Baywriter Agung Unsering divin in der Reihen folge *** →→→Anderung x3 Vorzeichen Spiegelung an der x₂-x₂- Ebene. → Anderung x₁ Vorzeichen 1) Yer sy. x₁-x2₂ -Ebene Anderung x₂ Vorzeichen Spiegelung am ursprung der x₁-x₂-Ebene → Anderung aller Vorzeichen B (21-215) 666 B'(-11217) , ((01-411.5) C'(-31013,5) Vektor Verschiebung Definition Vektoren: • Vektor mit Abkürzung mit . Zahlentripel kleinen Buchstaben + Pfeil Lônge eines Vektors = • Nullvektor 3- pa - 12) Verbindung (1) (2) Jeder Vektor ✓= vi hat einen Gegenvektor === 10²1: 101 von ² = √√₁² + √² + √² ↳ Maßeinheiten nur Ortsvektor - Ausgangshoordinate Punkt A- z. B. Addition und Subtraktion von Vektoren: • zwei Vektoren. werden Ls Summenvehtor B im Sachverhalt! u. Differenzucktor Th Abstand zweier Punkte: 1AB1 = 103-0²| = √ (b₁-a₂)² + (b₂-az) V T P(61411) nach koordinatenweise addirt u. Subtrahiert Hinten | vorne Vektoren vereinfachen: 2.B.: AB + BC + CD X1 AC +36 = AA - (8) = Nullvektor - (RP Dreiecksregel: PQ+OR = PR a:= -> TR zum Berechnen: C:= 6-a →vereinfachte = 191 LS TR + AD V 2 To Vektor bestimme geometrische Bedeutung. 57 menu 7.1.1 -> Zeilenanzahl 3. Spalten & eintippen xy ₁2 not. Definition: Vielfache Ventor: Ventor ✓ koordinatenweise mit 5 3 + a TR @ -> 645 zwei Vektoren heißen parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind =hollinear Langenberechnung WC²+ C₂²+ C3² menu 77, 1 (c) (norm) b linear unabhängig. nicht linear abhängig. selbe Richtung Vektor Langevektor menu 7. Cu) aber Länge ۱۸۷ : (unit V) Viereck ABCD = Parallelogramm: AB =DC -> Parallelogramm → kein Parallelogramm L> kann gleicher Vektör sein, wenn auch der Mittelpunkt Leiner Strecke: Mittelpunkt M einer Strecke 13: OM = = 10A +0²B) AB ٦٨ ما ABC #52 besonders?: a = BC 67 AC auf nicht selben Gerade (wenn Werte gleichi) Veltor bestimmen (=:), mit a. /b dann paralel egal ob M- Besondere Dreiecke : Besondere Dreiecke --> JACI C=AB →→→>> 143 Gleichschenkliges Dreieck Please don't use injections for images. Change [...) to [...(...) Es gibt einige Dreiecke, die besondere Eigenschaften haben. Durch diese kann man Berech- nungen oft leichter machen. Besonderheit alle ->1821 Punktprobe: Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang Parameter darstellung: ・g: 0x² = 0² + k· v² mit KER reallon Zahlen & vervielfacher. Vektorgleichung - Parameter darstellung mit Parameter k ŌA = Stützucktor (von g) / Anfangs-bozu. Aufpunkt = &-fache des Vektors 3 3 } Gleichseitiges Drei- eck Beispiel: Please don't use injections for images. Change [...) to [...](...) Richtungsvektor. für 1 = zahlen 0x = 04 + ku Ls Punkt außerhalb von g Definition: ALGE Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Selten gleich lang (Velitoren gleich) 2 gleich Rechtwinkliges Drei- eck Pankt Please don't use injections for images. Change ...(...) to [...](...) Beim rechtwinkligen Drei- eck hat ein Innenwinkel my 0x = 0² + k. V = OP -> Beispiel: A (-71413) B (11101-5) OA als Stützrektor wählen öt = (3) AB als Richtungsvektor wählen Parameter darstellung der Gerade durch g: Aund B. +k Wenn eine Gerade durch (01010). Ursprungsgerade A Gerade verschiedene Parameter darstellungen. Jeder Ortsvento. auf Gerace wann Stützuektor sein als Richtungsvektor jedes vielfaches eines Richtungsuchfor Strecke * auf Gerade g keine Zahli h besonders (gleichschentlich) (6) -1-1-2) -> I gent € () Solive (... k) → wenn keine Zahl ist Punkt auf Gerade 2. 3. . 1. entsprechende Koordinate -> Sul (x₁1x₂10) S2 (01x₂1x3) ->83 (x₁ 10 (x3) Ortvektor der Schnitt punkte Zeile Wert L> liegt Punkt P Ortsvektor von P (OP) mit Geradengleichung g gleichsetzen OP = OAK. ✓, mit KER Spurpunkte bei Geraden 1-3 Spurpunkte pro Si ist Spurpunket von ist Spurpunket von ist Spurpunkt von Spurpunkte der Gerade bestimmen: aus S2 S 3 einer k einsetzen in g 1. Schritt Punktprobe 2. Schritt رون Spurpunkte Schnittpunkte gund n sind parallel zueinander und sogar identisch:g=h Gerade für k gih Liegt ein Punkt vong auf h? I und I und I und des Schnittpunktes = 0 Lagebeziehung zwischen Geraden Sind die Richtungsvektoren der Geraden gund h Vielfache voneinander? auf der Gerade nein Geradengleichung ->k berechnen g und h sind zueinander parallel, abe verschieden gl/h mit gh x₁-x₂ Ebene x₂-x₂ Ebene x₁-x₂-Ebene Skalar produkt: · Berechnung: (21) * (3) = (1-4) + (2:5)+(36) = 0 => orthogonal (90°) mit den Koordinaten ebenen nein gHh Habeng und in einen gemeinsamen Punkt 5) g und n schneiden sich in einem und S. nein g und h sind zudmander Windschief. g Welinkel im Raum 8 ? distributingesetz für das skalar produkt: a +(b + c) = a +b + 2 * 2 2 WEI 2051 (1) zur lin selve VEKTOREN: GERADEN: E: O=O Punktprobe (1) Für un bestimmen CA 3 Winkel zwischen Vektoren und Geraden h Ebenen durch Punkte und tin salve •CA - 3 (2) UI-² bestimmen am Beispiel von BS 213 M 2 a) E: 078) + S. (E5³), C.SER 9 2.0₁ +1₂=0 ·m₁-2nz +ng=0 OORDINATEN FORM 22² 2 13 3 B Parameter darstellung einer Ebene + s.ű it.ū s. tER Normalen vektor orthogonal zur Ebene (somit zu beiden Richtungs vektoren) Bestimmung der Normalen form Koordinaten form 1-gleichung: Bedingung cos (x) = 11.131 s und t der Ebene (2) Für jeden Punkt P →> OP = ⒸA + Su² +t.v² (2-0₁ +12=0 -m-2n₂ +ng=0 === 02 2²³ 2 113 3 3 muss einen Schnittpunkt S geben L> kleinster eingeschlossener Winkel V Bedingung: {-.m +13) Liegt der Punkt nicht in der Ebene Geraden: ²³+ (?) = 0 mit (3) 1.1. 1.1. Schritt IMMER Parameter darstellung bilden! ~² + (-1) = 0 R² = (3) , {m₁.1². 003) mit 0° ≤ x ≤ 180° (DEG) ²+(-0 und zwei Ortsvektor So ergibt sich der Ebene E NORM beliebige Zahlen Lo Nenner und => ₁ = = (^²; 1₂ = 2:²; MB=CA Lo Nenner (4) + (1)-0 => ^ = = (^; n₂ = 2; C²; n3 = CA einsetzen I well so einfache Losung) Ziel E: M₁ X₂+₂ x₂ + ₂xy =d Ziel: E: (57-62) = 0 Schnitt winkel gibt es n (ox-01) -0 für CA ER O n₁·x₁ + 1₂.x₂ + 1₂ ·x3 =d @....... F einsetzen (weil so einfache Lisung) in Parameter darstellung O für Punkt x der Ebene E S. tER Zahlen für CER gibt es keine Zahlen für O EINER O au Ber O an Ber O EBENE (2) AUFSTELLEN od bestimmen d=²²₂² / d=²³* (3) + (8) -3 (3) Koordinaten form Ex₁ + 2x₂ + 3x8 = -3 s & t (2) Or bestimmen in 5:02=0/10.00 beliebige Werte für sito R ensetzen und aus rechnen for OR (3) Umkehr methode: Vektor produkt Vektor produkt Kreuz produkt Spurpunkte eine Koordinaten form E ist gegeben z. B. E: x₁ + 2x₂ - 4x3 = 6 1 Die Gleichung wird ->X₁6+2x2 - 4x3 nach *₁ aufgelist (bekommen gleiche Bedeutung) Koordinatenform zueinander paralleler Ebenen aufstellen u. erkennen Beispiel g() ++ (3) an Gerade →nur + 2 à u. 6 keine vielfachen voneinander 3. Zusammenfassend ₂ AL 4. in Parameter darstellung einsetzen & x₂ = t X4-62-41 sind Lange des Vektorprodukts = 121.151 · sin(x) Berechnung von Flachenin halten A = 2 · 1³² x 1 x₂ + x3 =1 a 92 a3 zweier Vektoren ein Spurpunkt => →E() + (7) einer Ebene bestimmen 0 2+1t It → mit t anderen beiden Werte ausrechnen So ằ xổ ist der Vektor axb parallel zu (³) ++ (1)→→ für x1=2+1+ Spurpunkt x2-x3- +t und a₁0₁a270₁9370 Achsenabschnittsform einer Ebene Spurpunkle Z.B. E: 2x₁ + 3x2 + 4x3 = 12 orthogonal zu Ebene ♥ immer das was fehlt in einer anderen Ebene Rechnung a u. B TR: crossf P(33) S₁ (61010) S₂ (01410) 53 (01013) 2x₁ = 1212 Y₁ = 6 3x2=121:3 Y₂=4 44%=121:4 x3 = 3 Salarl010), Sz(Olazlo), S3 (010las) Lage bezukung zwischen n ist ein Normalenvektor der Ebene. ist ein Richtungsvektor der Geraden. 1. Schritt 2. Schritt Die Gerade g liegt ganz in E Die Gerade g ist parallel zur Ebene E. Liegt ein Punkt A der Geraden in E? nein Beispiel E: 2x₁-6x₂ + x₂ = 7 |9₁: Y = +t. Schnittwinkel P Die Ebenen sind identisch Bespid 41 Die Gerade g ist parallel zu E, liegt aber nicht in ihr. ZWEIER E: 2x1-6к2+Xz=2 92²-1) ++ (8) P²= +t- Die beiden Ebenen sind zueinander parallel. Gilt=0? Sind die Koordinatengle: Chungen vielfache von ein ander ? & d? solve nein EBENEN Sind die Normalenvektorenn, undin, der beiden Ebenen Vielfachevoneinander? \nein Die Gerade g schneidet die 8 Ebene Ein einem Punkt Die beiden Ebenen sind parallel, aber nicht identisch. - 6= Eng g in E einsetzen (2. (3+) + 3 (2-r) - 7. (1) = 11 ₁r) r=6 erecten ing: S-3 Beispiel Abstand (1) Lotgerade mit: g: t'e of trins u. E 12) Lolfußpunkt bestimmen: Schnittpunkt gu (3) IPFI ausrechnen E: 2x₁-6x₂ + x3 =7 | ² = ( 2 ) + + (8) 93: X +t nein Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeladen. Ex:x₂+x₂-xz=1 E2: 4x₁-x₂-x8=3 → 9:² Winkel zwischen Gerade u. Ebene S.237 ff. Punkt u. Ebene X₁ = +t. EI solve 2 (2) trời → Glochsetzen (featment (xe the rood , {x12.1983) -x₂-x8=3 oder Gleichungs system X₂= 3.4+1 S = ²³² + ¹²/²; x₁² t