ANALYTISCHE GEOMETRIE - Abstandsberechnungen leicht erklärt

Abstand Gerade/Ebene

Wenn du den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen willst, verwendest du die praktische Abstandsformel. Diese funktioniert nur, wenn Gerade und Ebene parallel zueinander sind - sonst schneiden sie sich und der Abstand ist null.

Die Formel lautet: d(g,E) = |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ - b| / √$n₁² + n₂² + n₃²$. Dabei nimmst du einfach einen beliebigen Punkt P von der Geraden und setzt ihn in die Abstandsformel für Punkt-Ebene ein.

Bei dem Beispiel mit g: x⃗ = $1,4,-3$ + r$-2,3,-1$ und E: -X₁ - X₂ - X₃ = -8 ergibt sich der Abstand zu 2√3 LE. Der Normalenvektor der Ebene ist n⃗ = $-1,-1,-1$ und der Punkt P$1|4|-3$ liegt auf der Geraden.

Merktipp: Gerade parallel zur Ebene = Abstand konstant. Gerade schneidet Ebene = Abstand null!

Abstand zwischen zwei Ebenen

Der Abstand zwischen zwei Ebenen hängt davon ab, wie sie zueinander liegen. Schneiden sich die Ebenen oder sind sie identisch, ist der Abstand null. Nur bei parallelen Ebenen gibt es einen echten Abstand zu berechnen.

Für parallele Ebenen ist der Trick einfach: Du nimmst einen beliebigen Punkt P von einer Ebene und berechnest dessen Abstand zur anderen Ebene. Das machst du mit der bewährten Punkt-Ebene-Abstandsformel.

Im Beispiel mit E₁: -2x₁ + x₂ + x₃ = 3 und E₂: -6x₁ + 3x₂ + 3x₃ = 3 liegt der Punkt P(0|0|1) auf E₂. Der Abstand beträgt dann √6/3 ≈ 0,82 LE. Wichtig: Die Normalenvektoren müssen proportional sein, damit die Ebenen parallel sind.

Praxistipp: Prüfe zuerst, ob die Ebenen wirklich parallel sind - sonst sparst du dir die ganze Rechnung!

Abstand windschiefer Geraden - Teil 1

Windschiefe Geraden verlaufen weder parallel noch schneiden sie sich - sie "verfehlen" sich im Raum. Den Abstand zwischen ihnen zu berechnen ist etwas aufwendiger, aber mit System machbar.

Zuerst brauchst du einen Normalenvektor n⃗, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren steht. Dafür stellst du zwei Gleichungen auf: n⃗ · u⃗ₐ = 0 und n⃗ · u⃗ₕ = 0. Bei den Geraden g und h aus dem Beispiel ergibt sich n⃗ = (2,2,1).

Dann erstellst du eine Hilfsebene E mit diesem Normalenvektor und einem Stützvektor von einer der Geraden. Diese Ebene ist parallel zur anderen Geraden und hilft dir beim nächsten Schritt.

Wichtig: Der Normalenvektor muss wirklich senkrecht zu beiden Richtungsvektoren stehen!

Abstand windschiefer Geraden - Teil 2

Jetzt wird's konkret: Du suchst den Schnittpunkt der ersten Geraden g mit der Hilfsebene E. Das gibt dir den Punkt Fₐ. Im Beispiel ergibt sich mit r = -1 der Punkt Fₐ(1|1|2).

Als nächstes stellst du eine Lotgerade k durch Fₐ mit dem Normalenvektor als Richtungsvektor auf: k: x⃗ = (1,1,2) + t(2,1,2). Der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit der zweiten Geraden h ist dein Lotfußpunkt Fₕ.

Den Abstand berechnest du als Länge des Vektors zwischen den beiden Lotfußpunkten: |F⃗ₐFₕ|. Im Beispiel ergibt sich ein Abstand von 3 LE zwischen den windschiefen Geraden.

Merksatz: Windschiefe Geraden haben genau eine kürzeste Verbindungsstrecke - und die findest du mit diesem Verfahren!

Abstand paralleler Geraden

Bei parallelen Geraden ist die Sache viel einfacher als bei windschiefen! Der Abstand ist überall gleich, deshalb kannst du einfach einen beliebigen Punkt von einer Geraden nehmen und seinen Abstand zur anderen Geraden berechnen.

Die Technik ist die gleiche wie beim Abstand Punkt-Gerade: Du stellst eine Hilfsebene H auf, die senkrecht zur zweiten Geraden durch den gewählten Punkt verläuft. Dann suchst du den Schnittpunkt (Lotfußpunkt F) und berechnest die Entfernung.

Im Beispiel mit den Geraden g und h nimmst du den Aufpunkt P(1|3|3) von g und stellst die Hilfsebene H: $x⃗ - (1,3,3)$ · $4,-2,8$ = 0 auf. Der Rest funktioniert wie beim Standard-Verfahren für Punkt-Gerade-Abstände.

Zeitspartipp: Bei parallelen Geraden reicht ein einziger Punkt - der Abstand ist überall identisch!

Abstand Punkt/Gerade - Berechnung

Beim Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden verwendest du das bewährte Lotfußpunktverfahren. Zuerst erstellst du eine Hilfsebene H, die senkrecht zur Geraden durch den gegebenen Punkt P verläuft.

Die Hilfsebene hat die Form: $x⃗ - P⃗$ · u⃗ = 0, wobei u⃗ der Richtungsvektor der Geraden ist. Im Beispiel mit P$-1|4|5$ und der Geraden ergibt sich: $x⃗ - (-1,4,5)$ · $-1,-3,2$ = 0.

Den Lotfußpunkt F findest du als Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Hilfsebene H. Dafür setzt du die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löst nach dem Parameter r auf. Mit r = 1 erhältst du F$0|-1|5$.

Kontrolltipp: Der Vektor PF muss senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden stehen!

Abstand Punkt/Gerade - Endergebnis

Zum Schluss berechnest du den Abstandsvektor PF⃗ zwischen dem ursprünglichen Punkt P und dem Lotfußpunkt F. Dessen Länge ist der gesuchte Abstand.

Mit P$-1|4|5$ und F$0|-1|5$ ergibt sich PF⃗ = $1,1,-1$. Die Länge dieses Vektors ist |PF⃗| = √$1² + 1² + (-1)²$ = √3 ≈ 1,73 LE.

Das Lotfußpunktverfahren ist zwar etwas aufwendiger als eine direkte Formel, aber dafür sehr systematisch und weniger fehleranfällig. Du kannst jeden Schritt einzeln überprüfen.

Erfolgstipp: Zeichne dir eine Skizze - das hilft beim Verständnis und bei der Fehlerkontrolle!

Abstand Punkt/Ebene mit Lotfußpunktverfahren

Beim Punkt-Ebene-Abstand mit dem Lotfußpunktverfahren gehst du sehr systematisch vor. Du stellst eine Lotgerade durch den Punkt P senkrecht zur Ebene auf - der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene.

Die Lotgerade hat die Form g: x⃗ = P⃗ + r·n⃗. Mit P(4|4|5) und dem Normalenvektor (1,1,2) der Ebene E: x + y + 2z = 6 ergibt sich: g: x⃗ = (4,4,5) + r(1,1,2).

Den Lotfußpunkt F findest du als Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene. Setze die Koordinaten x = 4+r, y = 4+r, z = 5+2r in die Ebenengleichung ein: $4+r$ + $4+r$ + 2$5+2r$ = 6. Das ergibt r = -2 und damit F(2|2|1).

Der Abstand ist die Länge von PF⃗ = $-2,-2,-4$, also |PF⃗| = √24 ≈ 4,9 LE. Das Verfahren ist zwar länger als die Abstandsformel, aber sehr anschaulich und sicher.

Vorteil: Mit dem Lotfußpunktverfahren siehst du geometrisch genau, was passiert!