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Analytische Geometrie/Ebenen und Vektoren

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Analytische Geometrie/Ebenen und Vektoren

 Lineare Algebra
1
Sich schneidende Geraden
Bestimmen sie die gegenseitige Lage der Geraden g:
2
Geben Sie zwei Punkte an, die auf der Gerad

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Lineare Algebra 1 Sich schneidende Geraden Bestimmen sie die gegenseitige Lage der Geraden g: 2 Geben Sie zwei Punkte an, die auf der Geraden g:\ Punkt A(1/0/-7) und B(7/-5/14) auf der Gerade liegen. 3. 4. 5. 6. = 1+ +r +r Mra Aufstellung einer Koordinatengleichung Die Punkte A,B und C legen eine Ebene fest. a) A(2/2/0) B(4/3/1) C(5/8/2). b) A(3/-2/0) B(1/1/-1) C(0/5/-3) 8. EXX+1³3=12 E₂iX = (8) + (71)+ 5 (9) Ex:x +r (12 Berechnen Sie den Einheitsvektor a = - Bestimmen Sie den Abstand der Punkte P(4,5/-3,2/5,7) und Q(9/-2/11). Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Strecke PQ m P(2/5) und Q(4/3). Normalengleichung und Koordinatengleichung aufstellen Eine Ebene durch P(4/1/3) hat den Normalenvektor n = 7. (0) (0) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Geraden g: x = 2+t E: x = und h: X = liegen und prüfen Sie, ob (9)+ +(1) 9. Lage zweier Ebenen, eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung Schneiden sich die Ebenen. Und der Ebenen 10. Die Punkte 0(0/0/0) A(1/0/0) B(0/1/0) C0/0/1) sind Eckpunkte eines Würfels a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Mittelpunkte der Würfelkanten b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Diagonalenmittelpunkte der Seitenflächen des Würfels 1. Beispiel 2 Sich schneidende Geraden Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g: X = und h: X--6 +t- Lösung: 1. Schritt: Untersuchung der Richtungsvektoren. Weil kein Vielfaches von 1 ist, schneiden sich g und h oder sie sind windschief. (1) ist 2. Schritt: Lösen der Vektorgleichung. 2r- t--3 Die Gleichung bzw. das LGS 3r- t= -4 hat die Lösung r=-1 r-2t--3 und t-1. Setzt...

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man r=-1 in die Gleichung für g oder t=1 in die Gleichung für h ein, so er- hält man den Ortsvektor (-3) -5. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S(51-511). 5. 6.+7 8. + r. Beispiel 2 Mittelpunkt einer Strecke Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Strecke PQ mit P(215) und Q(413). bzw. Lösung: Siehe Fig. 3. OM-OP+PQ-(3)+(3=3) - (3)+(-3)-(3)+(-1)-(2) M(314) ist der Mittelpunkt der Strecke PQ. Die Lösung kann man auch durch Mittelwert bildung der jeweiligen Koordinaten erhalten: M(2241523) 3₁ erhält das LGS: - b a) 2a + 2a₂ 481 +382 + a3-b 5a, +8a2 + 2a3-b 0,4b 0,1b a3--0,9b Die Zahl b+0 ist frei wählbar. Wählt man z. B. b= 10, so erhält man a₁ = 4; 32-1 und a3-9 sowie die Koordinaten- gleichung E: 4x₁ + x₂-9x3-10. az 45- +5- 4 bzw. -3- 2 31 1. b) 3а, -202 OP Beispiel 2 Aufstellen einer Koordinatengleichung Die Punkte A, B und C legen eine Ebene fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E a) A (21210), B(4/3/1), C(518/2) b) A (31-210), B(1111-1), C(0151-3) Lösung: 1. Möglichkeit: Die Koordinatengleichung hat die Form E: a₁x₁+02X2 +03x3-b Man setzt in diese Gleichung für xs, x₂ und x3 die Koordinaten der Punkte A, B und C ein und wobei mindestens einer der Koeffizienten ungleich null ist. P OM = b a₁ + a2-a3-b 5a2-3a3-b Lineare Algebra - 1,2a3-0 а2 - 0,6 а3 - 0 0 -b PQ + r. M Beispiel Gemeinsame Punkte einer Geraden und einer = Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Geraden g: X Ebene E: X-1 + r 3 Q 4 2. Möglichkeit: Man stellt zuerst eine Parametergleichung auf. a) E: x = + r. b) E: x = Die Parametergleichung wandelt man in eine Koordinatengleichung um (s. Beispiel 3). Aus der letzten Zeile erhält man b-0. Einer der übrigen Koeffizienten + 0 ist dann frei wählbar. Wählt man z. B. a3-5, so erhält man a₂ = 3 und a₁ = 2 sowie die Koordinatengleichung E: 2x₁ + 3x₂ + 5x3 = 0. 5 +S und der 6 2+t=1+2r- 1+t-5+ r +3s s - 5. 9. Lösung: Um die gemeinsamen Punkte zu bestimmen, setzt man die rechten Seiten der Geradengleichung und der Ebenengleichung gleich. + r. +5--1 3 dies entspricht dem LGS 2-t=1 Dieses LGS hat die Lösung t-s--, r=-. Setzt man t = - in die Geradengleichung oder r- und 5 -- so erhält man jeweils den Ortsvektor des Durchstoßpunktes -- in die Ebenengleichung D(1|2|3) weler 2. 3+4 di 8 7 a) z. B. P(41-315); Q(11-11-4) b) A liegt nicht auf der Geraden g. B liegt auf der Geraden g. Beispiel 1 Betrag eines Vektors, Berechnung des Einheitsvektors Bestimmen Sie für a- den Betrag von a und den Einheitsvektor ag Lösung: Berechnung des Betrages: lal-√122+(-4)2+32 =√169 - 13. 10. Einheitsvektor Beispiel 2 Abstand zweier Punkte Bestimmen Sie den Abstand der Punkte P(4,51-3,215,7) und Q(91-2/11). Lösung: 1. Möglichkeit: |PQ|-√(9-4,5)2+(-2-(-3,2))2+(11-5,7)2 = √(49,78 = 7,06 2. Möglichkeit: PQ-00 - OP PQ = 4,5 -3,2 PQ = 1,2 5,7 5,3 Daraus ergibt sich: PQ-√4,52+1,22+5,32 und somit |PQ|=7,06. Beispiel 1 Lage zweier Ebenen, eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung Schneiden sich die Ebenen E₁: x₁ - x₂ + 3x3 - 12 und E₂: X- Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden. ☐ Lösung: Der Parametergleichung von E₂ entsprechen die Gleichungen X₁-8-4r +55, x₂ - r und x3 = 2+r-s. Eingesetzt in E₁: x₁-x₂ + 3x3 - 12 erhält man: (8-4r + 5s) -r+ 3 (2+r-s) = 12 bzw. -2r + 25 + 14 = 12. Hieraus folgt: s-r-1. Ersetzt man in der Gleichung von E₂ den Parameters durch r- 1, so erhält man +(r-1)- 0 = + r. r -1. und damit die Gleichung der Schnittgeraden: g: x = 0 + r. Ebenso könnte man auch r durch s +1 ersetzen. + 0- 8-5 0-0 2-(-1) +r. 1+0 6 a) Mittelpunkte der Grundflächenkanten: M₁ (0,51010); M₂ (110,510); M3 (0,51110); M₁ (010,510) Mittelpunkte der Deckflächenkanten: Ms (0,51011); M6 (110,511); M,(0,51111); Mg (010,511); restliche Kanten: M₂ (010 10,5); M₁0 (110 10,5); M₁ (11110,5); M₁2(01110,5) b) D₁ (0,510,510); D₂ (110,5 10,5); D3 (0,51110,5); D4 (010,510,5) Ds (0,5 10,511); D6(0,5 10 10,5)

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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man r=-1 in die Gleichung für g oder t=1 in die Gleichung für h ein, so er- hält man den Ortsvektor (-3) -5. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S(51-511). 5. 6.+7 8. + r. Beispiel 2 Mittelpunkt einer Strecke Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Strecke PQ mit P(215) und Q(413). bzw. Lösung: Siehe Fig. 3. OM-OP+PQ-(3)+(3=3) - (3)+(-3)-(3)+(-1)-(2) M(314) ist der Mittelpunkt der Strecke PQ. Die Lösung kann man auch durch Mittelwert bildung der jeweiligen Koordinaten erhalten: M(2241523) 3₁ erhält das LGS: - b a) 2a + 2a₂ 481 +382 + a3-b 5a, +8a2 + 2a3-b 0,4b 0,1b a3--0,9b Die Zahl b+0 ist frei wählbar. Wählt man z. B. b= 10, so erhält man a₁ = 4; 32-1 und a3-9 sowie die Koordinaten- gleichung E: 4x₁ + x₂-9x3-10. az 45- +5- 4 bzw. -3- 2 31 1. b) 3а, -202 OP Beispiel 2 Aufstellen einer Koordinatengleichung Die Punkte A, B und C legen eine Ebene fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E a) A (21210), B(4/3/1), C(518/2) b) A (31-210), B(1111-1), C(0151-3) Lösung: 1. Möglichkeit: Die Koordinatengleichung hat die Form E: a₁x₁+02X2 +03x3-b Man setzt in diese Gleichung für xs, x₂ und x3 die Koordinaten der Punkte A, B und C ein und wobei mindestens einer der Koeffizienten ungleich null ist. P OM = b a₁ + a2-a3-b 5a2-3a3-b Lineare Algebra - 1,2a3-0 а2 - 0,6 а3 - 0 0 -b PQ + r. M Beispiel Gemeinsame Punkte einer Geraden und einer = Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Geraden g: X Ebene E: X-1 + r 3 Q 4 2. Möglichkeit: Man stellt zuerst eine Parametergleichung auf. a) E: x = + r. b) E: x = Die Parametergleichung wandelt man in eine Koordinatengleichung um (s. Beispiel 3). Aus der letzten Zeile erhält man b-0. Einer der übrigen Koeffizienten + 0 ist dann frei wählbar. Wählt man z. B. a3-5, so erhält man a₂ = 3 und a₁ = 2 sowie die Koordinatengleichung E: 2x₁ + 3x₂ + 5x3 = 0. 5 +S und der 6 2+t=1+2r- 1+t-5+ r +3s s - 5. 9. Lösung: Um die gemeinsamen Punkte zu bestimmen, setzt man die rechten Seiten der Geradengleichung und der Ebenengleichung gleich. + r. +5--1 3 dies entspricht dem LGS 2-t=1 Dieses LGS hat die Lösung t-s--, r=-. Setzt man t = - in die Geradengleichung oder r- und 5 -- so erhält man jeweils den Ortsvektor des Durchstoßpunktes -- in die Ebenengleichung D(1|2|3) weler 2. 3+4 di 8 7 a) z. B. P(41-315); Q(11-11-4) b) A liegt nicht auf der Geraden g. B liegt auf der Geraden g. Beispiel 1 Betrag eines Vektors, Berechnung des Einheitsvektors Bestimmen Sie für a- den Betrag von a und den Einheitsvektor ag Lösung: Berechnung des Betrages: lal-√122+(-4)2+32 =√169 - 13. 10. Einheitsvektor Beispiel 2 Abstand zweier Punkte Bestimmen Sie den Abstand der Punkte P(4,51-3,215,7) und Q(91-2/11). Lösung: 1. Möglichkeit: |PQ|-√(9-4,5)2+(-2-(-3,2))2+(11-5,7)2 = √(49,78 = 7,06 2. Möglichkeit: PQ-00 - OP PQ = 4,5 -3,2 PQ = 1,2 5,7 5,3 Daraus ergibt sich: PQ-√4,52+1,22+5,32 und somit |PQ|=7,06. Beispiel 1 Lage zweier Ebenen, eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung Schneiden sich die Ebenen E₁: x₁ - x₂ + 3x3 - 12 und E₂: X- Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden. ☐ Lösung: Der Parametergleichung von E₂ entsprechen die Gleichungen X₁-8-4r +55, x₂ - r und x3 = 2+r-s. Eingesetzt in E₁: x₁-x₂ + 3x3 - 12 erhält man: (8-4r + 5s) -r+ 3 (2+r-s) = 12 bzw. -2r + 25 + 14 = 12. Hieraus folgt: s-r-1. Ersetzt man in der Gleichung von E₂ den Parameters durch r- 1, so erhält man +(r-1)- 0 = + r. r -1. und damit die Gleichung der Schnittgeraden: g: x = 0 + r. Ebenso könnte man auch r durch s +1 ersetzen. + 0- 8-5 0-0 2-(-1) +r. 1+0 6 a) Mittelpunkte der Grundflächenkanten: M₁ (0,51010); M₂ (110,510); M3 (0,51110); M₁ (010,510) Mittelpunkte der Deckflächenkanten: Ms (0,51011); M6 (110,511); M,(0,51111); Mg (010,511); restliche Kanten: M₂ (010 10,5); M₁0 (110 10,5); M₁ (11110,5); M₁2(01110,5) b) D₁ (0,510,510); D₂ (110,5 10,5); D3 (0,51110,5); D4 (010,510,5) Ds (0,5 10,511); D6(0,5 10 10,5)