App öffnen

Fächer

1.467

13. Jan. 2026

8 Seiten

Analytische Geometrie – Wichtige Formeln einfach erklärt

L

Lars

@lars_8c80cc

Vektoren sind überall um dich herum - von der Geschwindigkeit... Mehr anzeigen

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
1 / 8
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Grundlagen der Vektorrechnung

Ortsvektoren sind deine Startposition im Koordinatensystem - sie zeigen vom Nullpunkt zu einem bestimmten Punkt. Du rechnest mit ihnen wie mit normalen Zahlen, nur dass jede Koordinate einzeln behandelt wird.

Bei der Vektoraddition addierst du einfach die entsprechenden Koordinaten: x₁+x₁, x₂+x₂, x₃+x₃. Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten funktioniert nach der "Spitze minus Fuß"-Regel - das merkst du dir leicht!

Den Betrag eines Vektors berechnest du mit dem dreidimensionalen Pythagoras: √x12+x22+x32x₁² + x₂² + x₃². Das ist nichts anderes als die Länge des Vektors im Raum. S-Multiplikation bedeutet, dass du jeden Koordinatenwert mit derselben Zahl multiplizierst - dadurch änderst du nur die Länge, nicht die Richtung.

Merke dir: Kollineare Vektoren (parallel zueinander) entstehen immer durch S-Multiplikation!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Winkelberechnungen. Du multiplizierst die entsprechenden Koordinaten und addierst alles zusammen - heraus kommt eine normale Zahl, kein Vektor. Damit checkst du blitzschnell, ob zwei Vektoren senkrecht stehen Ergebnis=0Ergebnis = 0.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel φ = arccos(ab)/(ab)(a⃗∘b⃗)/(|a⃗||b⃗|). Klingt kompliziert, ist aber nur Skalarprodukt geteilt durch die beiden Beträge. Winkelhalbierenden findest du durch b⃗+a⃗ und b⃗-a⃗.

Das Kreuzprodukt gibt dir einen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Seine Länge entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Für ein Dreieck teilst du diese Fläche durch zwei.

Tipp: Wenn das Kreuzprodukt null ergibt, sind die Vektoren parallel!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Spatprodukt und Volumenberechnungen

Das Spatprodukt kombiniert Kreuzprodukt und Skalarprodukt zu einer mächtigen Formel. Es sagt dir nicht nur das Volumen eines Spats (dreidimensionales Parallelogramm), sondern auch, ob drei Vektoren ein Rechtssystem bilden.

Volumenberechnungen werden super einfach: Spat = |a⃗×b⃗∘c⃗|, Prisma = ½|a⃗×b⃗∘c⃗|, Pyramide = ⅓|a⃗×b⃗∘c⃗|, Tetraeder = ⅙|a⃗×b⃗∘c⃗|. Du siehst das Muster - alles baut auf dem Spatprodukt auf!

Die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren erkennst du sofort: Ist das Spatprodukt null, sind sie abhängig (liegen in einer Ebene). Ist es ungleich null, spannen sie den ganzen dreidimensionalen Raum auf.

Praxis-Tipp: Das Spatprodukt ist dasselbe wie die Determinante einer 3×3-Matrix!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Linearkombinationen und Gleichungssysteme

Linearkombinationen zeigen, ob sich ein Vektor aus anderen zusammenbauen lässt. Du stellst dafür ein Gleichungssystem auf und löst es mit dem Gauß-Verfahren - das kennst du schon aus der Mittelstufe.

Eine Basis des ℝ³ brauchst du, um jeden Punkt im Raum eindeutig zu beschreiben. Drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Die Standard-Basis e₁, e₂, e₃ kennst du bereits - das sind die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen.

Bei linearen Gleichungssystemen entscheidet der Rang über die Anzahl der Lösungen. Genau eine Lösung: Rang = 3. Unendlich viele Lösungen: Rang < 3, aber gleiche Ränge bei erweiterter Matrix. Keine Lösung: unterschiedliche Ränge bei normaler und erweiterter Matrix.

Abitur-relevant: Lerne die Rangkriterien auswendig - sie kommen garantiert dran!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Geraden im Raum

Geradengleichungen beschreibst du mit einem Stützvektor (Punkt auf der Geraden) und einem Richtungsvektor. Die Parameterform g: x⃗ = a⃗ + τ·u⃗ ist dabei dein Standard-Werkzeug. Mit zwei Punkten A und B wird der Richtungsvektor zu AB⃗.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst nach dem Parameter auf - dann hast du den entsprechenden Spurpunkt.

Die Lage von Geraden zueinander checkst du systematisch: Parallel = gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt. Identisch = gleiche Richtung und gemeinsamer Punkt. Schneidend = verschiedene Richtungen mit Schnittpunkt. Windschief = verschiedene Richtungen ohne Schnittpunkt.

Windschief-Check: Benutze (u⃗×v⃗)∘AB⃗ ≠ 0 - das ist der direkteste Weg!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Ebenen und ihre besonderen Lagen

Ebenengleichungen kommen in drei Formen: Parameterform (mit zwei Richtungsvektoren), Normalenform (mit Normalenvektor) und Koordinatenform ax1+bx2+cx3+d=0ax₁ + bx₂ + cx₃ + d = 0. Du kannst zwischen allen drei Formen umrechnen.

Besondere Lagen erkennst du an fehlenden Koordinaten: Fehlt x₁, ist die Ebene parallel zur x₁-Achse. Fehlen x₁ und x₂, ist sie parallel zur x₁x₂-Ebene. Das ist logischer als es klingt!

Spurpunkte einer Ebene findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt. Die Achsenabschnittsform x₁/s + x₂/t + x₃/u = 1 ist besonders praktisch, wenn du die Spurpunkte direkt ablesen willst.

Trick: In der Koordinatenform ist der Normalenvektor einfach (a,b,c)ᵀ!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Winkel- und Schnittpunktberechnungen

Winkelberechnungen basieren alle auf dem Skalarprodukt. Zwischen Vektoren und Geraden nimmst du den spitzen Winkel der Richtungsvektoren. Zwischen Ebenen den spitzen Winkel der Normalenvektoren.

Der Winkel zwischen Ebene und Gerade ist speziell: Du berechnest den Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor, dann nimmst du den Komplementärwinkel (90° minus berechneter Winkel). Deshalb steht in der Formel Sinus statt Kosinus.

Schnittpunkt Gerade-Ebene findest du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Lotfußpunkte berechnest du über die Bedingung, dass der Verbindungsvektor senkrecht zur Geraden bzw. parallel zum Normalenvektor der Ebene steht.

Praxis-Tipp: Bei Lotfußpunkten immer die Senkrecht-Bedingung Skalarprodukt=0Skalarprodukt = 0 nutzen!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Abstände, Spiegelungen und komplexe Aufgaben

Abstandsberechnungen laufen fast immer über Lotfußpunkte. Punkt-Ebene: Lotfußpunkt berechnen und Distanz messen. Punkt-Gerade: Entweder über Lotfußpunkt oder über die Dreiecksflächenformel mit dem Kreuzprodukt.

Spiegelungen funktionieren nach dem Prinzip: Spiegelpunkt = Ursprungspunkt + 2·Lotvektor. Du berechnest also den Lotfußpunkt und gehst von dort nochmal die gleiche Strecke weiter. Bei Spiegelgeraden bestimmst du den Schnittpunkt und einen gespiegelten Punkt.

Projektionen und Schnittgeraden sind Abitur-Klassiker. Projektion einer Geraden in eine Ebene: Schnittpunkt + Lotfußpunkt eines Geradenpunkts ergeben die neue Gerade. Schnittgerade zweier Ebenen: Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Komplexe Aufgaben: Zerlege sie in Einzelschritte - meist sind es nur Grundoperationen in cleverer Kombination!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Beliebteste Inhalte: Koordinatengeometrie

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

 

Mathe

1.467

13. Jan. 2026

8 Seiten

Analytische Geometrie – Wichtige Formeln einfach erklärt

L

Lars

@lars_8c80cc

Vektoren sind überall um dich herum - von der Geschwindigkeit deines Handys beim Fall bis zur 3D-Grafik in Videospielen. Diese Zusammenfassung zeigt dir alle wichtigen Konzepte der Vektorrechnung und analytischen Geometrie, die du für dein Abitur brauchst.

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Grundlagen der Vektorrechnung

Ortsvektoren sind deine Startposition im Koordinatensystem - sie zeigen vom Nullpunkt zu einem bestimmten Punkt. Du rechnest mit ihnen wie mit normalen Zahlen, nur dass jede Koordinate einzeln behandelt wird.

Bei der Vektoraddition addierst du einfach die entsprechenden Koordinaten: x₁+x₁, x₂+x₂, x₃+x₃. Der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten funktioniert nach der "Spitze minus Fuß"-Regel - das merkst du dir leicht!

Den Betrag eines Vektors berechnest du mit dem dreidimensionalen Pythagoras: √x12+x22+x32x₁² + x₂² + x₃². Das ist nichts anderes als die Länge des Vektors im Raum. S-Multiplikation bedeutet, dass du jeden Koordinatenwert mit derselben Zahl multiplizierst - dadurch änderst du nur die Länge, nicht die Richtung.

Merke dir: Kollineare Vektoren (parallel zueinander) entstehen immer durch S-Multiplikation!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Skalarprodukt und Kreuzprodukt

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund für Winkelberechnungen. Du multiplizierst die entsprechenden Koordinaten und addierst alles zusammen - heraus kommt eine normale Zahl, kein Vektor. Damit checkst du blitzschnell, ob zwei Vektoren senkrecht stehen Ergebnis=0Ergebnis = 0.

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit der Formel φ = arccos(ab)/(ab)(a⃗∘b⃗)/(|a⃗||b⃗|). Klingt kompliziert, ist aber nur Skalarprodukt geteilt durch die beiden Beträge. Winkelhalbierenden findest du durch b⃗+a⃗ und b⃗-a⃗.

Das Kreuzprodukt gibt dir einen Vektor, der senkrecht auf beiden ursprünglichen Vektoren steht. Seine Länge entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Für ein Dreieck teilst du diese Fläche durch zwei.

Tipp: Wenn das Kreuzprodukt null ergibt, sind die Vektoren parallel!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Spatprodukt und Volumenberechnungen

Das Spatprodukt kombiniert Kreuzprodukt und Skalarprodukt zu einer mächtigen Formel. Es sagt dir nicht nur das Volumen eines Spats (dreidimensionales Parallelogramm), sondern auch, ob drei Vektoren ein Rechtssystem bilden.

Volumenberechnungen werden super einfach: Spat = |a⃗×b⃗∘c⃗|, Prisma = ½|a⃗×b⃗∘c⃗|, Pyramide = ⅓|a⃗×b⃗∘c⃗|, Tetraeder = ⅙|a⃗×b⃗∘c⃗|. Du siehst das Muster - alles baut auf dem Spatprodukt auf!

Die lineare Abhängigkeit von drei Vektoren erkennst du sofort: Ist das Spatprodukt null, sind sie abhängig (liegen in einer Ebene). Ist es ungleich null, spannen sie den ganzen dreidimensionalen Raum auf.

Praxis-Tipp: Das Spatprodukt ist dasselbe wie die Determinante einer 3×3-Matrix!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Linearkombinationen und Gleichungssysteme

Linearkombinationen zeigen, ob sich ein Vektor aus anderen zusammenbauen lässt. Du stellst dafür ein Gleichungssystem auf und löst es mit dem Gauß-Verfahren - das kennst du schon aus der Mittelstufe.

Eine Basis des ℝ³ brauchst du, um jeden Punkt im Raum eindeutig zu beschreiben. Drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Die Standard-Basis e₁, e₂, e₃ kennst du bereits - das sind die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen.

Bei linearen Gleichungssystemen entscheidet der Rang über die Anzahl der Lösungen. Genau eine Lösung: Rang = 3. Unendlich viele Lösungen: Rang < 3, aber gleiche Ränge bei erweiterter Matrix. Keine Lösung: unterschiedliche Ränge bei normaler und erweiterter Matrix.

Abitur-relevant: Lerne die Rangkriterien auswendig - sie kommen garantiert dran!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Geraden im Raum

Geradengleichungen beschreibst du mit einem Stützvektor (Punkt auf der Geraden) und einem Richtungsvektor. Die Parameterform g: x⃗ = a⃗ + τ·u⃗ ist dabei dein Standard-Werkzeug. Mit zwei Punkten A und B wird der Richtungsvektor zu AB⃗.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst nach dem Parameter auf - dann hast du den entsprechenden Spurpunkt.

Die Lage von Geraden zueinander checkst du systematisch: Parallel = gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt. Identisch = gleiche Richtung und gemeinsamer Punkt. Schneidend = verschiedene Richtungen mit Schnittpunkt. Windschief = verschiedene Richtungen ohne Schnittpunkt.

Windschief-Check: Benutze (u⃗×v⃗)∘AB⃗ ≠ 0 - das ist der direkteste Weg!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ebenen und ihre besonderen Lagen

Ebenengleichungen kommen in drei Formen: Parameterform (mit zwei Richtungsvektoren), Normalenform (mit Normalenvektor) und Koordinatenform ax1+bx2+cx3+d=0ax₁ + bx₂ + cx₃ + d = 0. Du kannst zwischen allen drei Formen umrechnen.

Besondere Lagen erkennst du an fehlenden Koordinaten: Fehlt x₁, ist die Ebene parallel zur x₁-Achse. Fehlen x₁ und x₂, ist sie parallel zur x₁x₂-Ebene. Das ist logischer als es klingt!

Spurpunkte einer Ebene findest du, indem du jeweils zwei Koordinaten null setzt. Die Achsenabschnittsform x₁/s + x₂/t + x₃/u = 1 ist besonders praktisch, wenn du die Spurpunkte direkt ablesen willst.

Trick: In der Koordinatenform ist der Normalenvektor einfach (a,b,c)ᵀ!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Winkel- und Schnittpunktberechnungen

Winkelberechnungen basieren alle auf dem Skalarprodukt. Zwischen Vektoren und Geraden nimmst du den spitzen Winkel der Richtungsvektoren. Zwischen Ebenen den spitzen Winkel der Normalenvektoren.

Der Winkel zwischen Ebene und Gerade ist speziell: Du berechnest den Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor, dann nimmst du den Komplementärwinkel (90° minus berechneter Winkel). Deshalb steht in der Formel Sinus statt Kosinus.

Schnittpunkt Gerade-Ebene findest du, indem du den allgemeinen Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzt. Lotfußpunkte berechnest du über die Bedingung, dass der Verbindungsvektor senkrecht zur Geraden bzw. parallel zum Normalenvektor der Ebene steht.

Praxis-Tipp: Bei Lotfußpunkten immer die Senkrecht-Bedingung Skalarprodukt=0Skalarprodukt = 0 nutzen!

Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
a₁
(b₁
Ortsvektor
b₂
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinaten- OA=a₂; OB =
u

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Abstände, Spiegelungen und komplexe Aufgaben

Abstandsberechnungen laufen fast immer über Lotfußpunkte. Punkt-Ebene: Lotfußpunkt berechnen und Distanz messen. Punkt-Gerade: Entweder über Lotfußpunkt oder über die Dreiecksflächenformel mit dem Kreuzprodukt.

Spiegelungen funktionieren nach dem Prinzip: Spiegelpunkt = Ursprungspunkt + 2·Lotvektor. Du berechnest also den Lotfußpunkt und gehst von dort nochmal die gleiche Strecke weiter. Bei Spiegelgeraden bestimmst du den Schnittpunkt und einen gespiegelten Punkt.

Projektionen und Schnittgeraden sind Abitur-Klassiker. Projektion einer Geraden in eine Ebene: Schnittpunkt + Lotfußpunkt eines Geradenpunkts ergeben die neue Gerade. Schnittgerade zweier Ebenen: Gleichungssystem aufstellen und lösen.

Komplexe Aufgaben: Zerlege sie in Einzelschritte - meist sind es nur Grundoperationen in cleverer Kombination!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

85

Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

Probeklausur
Quiz
Flashcards
Aufsatz

Ähnliche Inhalte

Abstandsberechnung in der Analytischen Geometrie

Erfahren Sie alles über die Abstandsberechnung zwischen Geraden und Ebenen, einschließlich der Methoden für parallele und windschiefe Geraden sowie das Lotfußpunktverfahren. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Formeln zur Berechnung des Abstands zwischen Punkten, Geraden und Ebenen. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.

MatheMathe
11

Gaußverfahren und Lagebeziehungen

Erfahren Sie alles über das Gaußverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme sowie die Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. Diese Zusammenfassung enthält wichtige Konzepte wie Vektoren, orthogonale Linien und die Distanz von Punkten zu Ebenen, unterstützt durch anschauliche Beispiele.

MatheMathe
12

Parametergleichung von Ebenen

Erfahren Sie, wie Sie die Parametergleichung einer Ebene aufstellen und Punktproben durchführen. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Bestimmung der Parametergleichung mit Beispielen und erklärt, wie man überprüft, ob ein Punkt in der Ebene liegt. Ideal für Studierende der Mathematik und Geometrie.

MatheMathe
11

Vektorgeometrie: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich orthogonaler Linien, Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren, Normalenvektoren, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie die Berechnung von Abständen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über Vektor- und Kreuzprodukte sowie deren Anwendungen in der Geometrie.

MatheMathe
11

Ebenen und ihre Beziehungen

Dieser Lernzettel behandelt die Grundlagen der Ebenen in der Geometrie, einschließlich der Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen, der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen sowie der Orthogonalität. Ideal für Schüler der gymnasialen Oberstufe (LK Q2).

MatheMathe
11

Analytische Geometrie Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über die Grundlagen der analytischen Geometrie und linearen Algebra, einschließlich der Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen, Punktproben, Schnittwinkel und Vektoreigenschaften. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur 2023 in Hessen. Themen: lineare Gleichungssysteme, Orthogonalität, parametrierte Darstellungen und mehr.

MatheMathe
13

Beliebteste Inhalte: Koordinatengeometrie

Beliebteste Inhalte in Mathe

Beliebteste Inhalte

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user