Analytische Geometrie: Winkel, Flächen und Volumina

Die analytische Geometrie bietet mathematische Methoden zur Berechnung von Winkeln zwischen Geraden und Ebenen, Flächeninhalten und Volumina geometrischer Objekte. Dieser Abschnitt behandelt wichtige Formeln und Konzepte.

Winkelberechnungen

Winkel zwischen Geraden

Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden lautet:

cos(φ) = |a · b| / (|a| · |b|)

Dabei sind a und b die Richtungsvektoren der Geraden.

Beispiel: Für die Geraden mit Richtungsvektoren a = (2,3,-3) und b = (1,-3,4) wird das Skalarprodukt gebildet und die Längen bestimmt, um den Winkel zu berechnen.

Winkel zwischen Ebenen

Für den Winkel zwischen zwei Ebenen gilt:

cos(φ) = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|)

Hierbei sind n1 und n2 die Normalenvektoren der Ebenen.

Highlight: Die Berechnung des Sinus des Winkels kann in manchen Fällen vorteilhaft sein.

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Die Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden lautet:

sin(φ) = |ng · a| / (|ng| · |a|)

Dabei ist ng der Normalenvektor der Ebene und a der Richtungsvektor der Geraden.

Flächenberechnung

Die Flächenberechnung von Figuren erfolgt je nach Form:

• Quadrat: A = |AB|²
• Rechteck: A = |AB| · |AD|
• Raute/Drachen: A = ½ · |AC| · |BD|
• Dreieck: A = ½ · |AB × AC|
• Parallelogramm: A = |AB × AD|
• Trapez: A = (|AB| + |CD|) · h / 2
• Beliebiges Viereck: A = ½ · |AB × AC + AC × AD|

Definition: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren wird zur Flächenberechnung vieler Figuren verwendet.

Volumina von Körpern

Die Volumenberechnung verschiedener Körper basiert oft auf dem Spatprodukt:

• Spat: V = |(a × b) · c|
• Prisma: V = ½ · |(AB × AC) · AD|
• Dreiseitige Pyramide: V = ⅙ · |(AB × AC) · AD|
• Vierseitige Pyramide: V = ⅓ · |(AB × AC) · AD|
• Oktaeder: V = ⅔ · |(AB × AC) · AD|

Vocabulary: Das Spatprodukt ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren mit einem dritten Vektor.

Vektoroperationen

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als:

a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Highlight: Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ: a × b ≠ b × a

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist definiert als:

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Definition: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Diese Zusammenfassung bietet einen umfassenden Überblick über wichtige Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Winkel zwischen Gerade und Ebene Aufgaben, Flächeninhalt von Figuren berechnen und Kreuzprodukt Rechenregeln.