Analytische Geometrie

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(0/0/0)→ (x1/X2/X3) DER ORTSVEKTOR: DER VERBINDUNGS-/RICHTUNGSVEKTOR: 1 NORMALENVEKTOR: 4 3 2 NE XP Definition: Der Ortsvektor beschreibt den Weg vom Ursprung (0) zu einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem. Punkt X→ Weg zu Punkt OX = x 3 Definition: Der Verbindungs-/Richtungsvektor beschreibt den Weg von einem Punkt zu einem anderen Punkt. Die Pfeilspitze gibt die Richtung an. Um den Verbindungs- /Richtungsvektor AB zu erhalten subtrahiert man à von b: AB = b - a Als Normalenvektor bezeichnet man einen Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einer Geraden, Kurve, Ebene oder Fläche steht. Die Gerade, die diesen Vektor als Richtungsvektor besitzt, heißt Normale. 1 Einzeichnen ins Koordinatensystem: OP 4 5 RECHNEN MIT VEKTOREN: Addition: Will man nun zum Punkt P (3/4/5), geht man zuerst 3 Einheiten auf der x₁ Achse. Von dem Punkt aus 4 Einheiten in Richtung der x₂ Achse. Dann 5 Einheiten in Richtung X3 Achse. (siehe Abbildung) a₁ + b₁ (3)·()-(:) = ba b3 Subtraktion: ал a₂ a3 S-Multiplikation: + ал a2 a3 b₂ Skalarprmultiplikation: (Skalar-/Punktprodukt) Vektoren Beispiel: ал 0₁ a₂ az + b₂ ).( b₂ a₁-b₁ a₂ b₂ аз b3 (3). Mit der S-Multiplikation verlängert oder verkürzt man Vektoren. Beispiel: аз b₁ b₂ b3 Beispiel: 4-0-0 2+4 6 /3\ 1 = 6+1+4=11^ 3 - ()-(1)-()-(1) Beispiel: ả ô 4 4 3. = a₁b₁ + a₂ b ₂ + az bg 2+6 dotP( 2 4 3a Class Pad: 59 1 13, 5 7 (3 2 6 3 12 Wichtig! ab=0 alb Orthogonalität: Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn sie sich an ihrem Schnittpunkt ein 90° Winkel befindet: à 1 b -16 2 DAS VEKTOR-/KREUZPRODUKT: Möchte man den Normalenvektor berechnen, muss man das Vektor-/Kreuzprodukt bilden. axb=a₂b3-a3b₂ a3b₁-a₁b3 a₁b₂-a₂b₁ ах 34 ^ Class Pad: X axbib und axbla crossP ( CE 4 -^ Class Pad: 2 norm (10 [ Vektoren 10 11 9 -2 -19) a- (a) 3 a= O -4 Die Länge des Vektors a betragt 52E. चित्र के 024 BETRAG EINES VEKTORS: Der Betrag eines Vektors entspricht der Länge des Vektors. 12. 24744871 азли a, 3₂ X 0241 azt पञ -1b₂ 2b3 4b₁ -1b₂ 203 • √(3)² + (0)² + (-4)² = √√9+0+16 = √√25 = 5 3 EINHEITSVEKTOR: Der Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1. Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilt man den normalen Vektor durch seine Länge. Beispiel: Schritt 1: Berechne die Länge/den Betrag des Vektors. a = 3 O -4 a = |(³₂) - √ (3)²+(0) + (-4)²ª = √3+0+16= √25 -5 -√√(3)² O -4 a Schritt 2: Teile den Vektor durch die Länge. ^ = +-+-(6) = 5 Vektoren LINEARKOMBINATIONEN: Beispiel: 4 Eine Linearkombination bei Vektoren ist die Summe von Vektoren. Jeder Vektor kann aber auch noch mit einer reellen Zahl multipliziert werden, um die Linearkombination zu erhalten. Das Ergebnis ist ebenfalls ein Vektor. Der Vektor a ist eine Linearkombination aus v1, v2 und v3. Der Vektor ist soll die Linearkombination aus multipliziert werden: (3) - ² ( 8 ) + ( ) + ≤ · ( 8 ) a +b C (²³7) - ² · ( 1 ) + 4·(8) + 5 ⋅ ( 8 ) 3 0<0 und 100 (8) 6 ^ O und (8) geschrieben jeweils mit einer reellen Zahl 4 KOLLINEARITÄT: Sind zwei Vektoren ein Vielfaches von einander, sind sie kollinear: a = r. b. Die Vektoren sind parallel zueinander. Beispiel: (3) 2 4 man 11 Der Vektor (²³) 4 6 (3) = 2.2 Vektoren (43) ५ ist kollinear zu dem Vektor 6 da wenn man erhält. Er ist somit ein Vielfaches des Vektors (3) 4 6 (4) mit 2 multipliziert 5 Ebenen 1.) Es gibt drei Formen, in denen man Ebenen angeben kann: 1.1) Parameterform E:x=p+tu+si - E ist der Name der Ebene - Vektor x steht stellvertretend für den allgemeinen Punkt der Ebene: /X1 X2 X3 - Vektor p ist der sogenannte Stützvektor (Ortsvektor), der die Verschiebung im Raum angibt -u und sind sogenannte Spannvektoren (Richtungsvektoren), die die Ebene aufspannen - t/s sind die namensgebenden Parameter, reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können. Die beiden Spannvektoren spannen die Ebene auf und müssen linear unabhängig voneinander sein. I Sie dürfen nicht in dieselbe Richtung zeigen. Parameterform einer Ebene mit ClassPad dargestellt: BEE +sx 2 +tx-3 →E [s+2.t -4.s-3-t-1 ls-1 6 Die vier verschiedenen Fälle, die die Voraussetzungen erfüllen, um eine Parameterform aufzustellen (Beispiele): 1. Es sind drei Punkte gegeben: Gegeben sind drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen: A (2/-3/1), B (-1/4/2), C (5/2/-3) 2 -3 8 * = (-²) + +- ( 1 ) + * - (-) E: x -3 t. 5 1 A B-A C-A 2. Es sind eine Gerade und ein Punkt gegeben: Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt: 20:² = (-2) + 6. (3) .A 12/-31/21 g: x t. , p 1 8:* = (-2) + +- (-) + *- (-²¹) (³) E: x t. 5 s. -1 15 12 7 A-p 3. Es schneiden sich zwei Geraden: Gegeben sind diese zwei Geraden, die sich schneiden: 1 (3 1 0:² - (-2) + +- (-3). ^-.² - (-) + ² (²2) g: x = +t5 h: x 3 s. 1. g 10 1 *-*-(-2) +- (-) +- (²2) E: x= t. 5 12 7 4. Zwei Geraden sind parallel: Gegeben sind zwei parallele Geraden, die nicht identisch sind: 2 1 9: x * *² = (-2) + ₁. (- -) ₁ : ² = (+1) + + -(19) t. -5, h: x 3 s. 10 0 1 p ģ v 2 E: - (-2) + ² -(-3) + - (-) x = t. -5 s. 5 1 5 13 à - p 8 1.2) Normalenform Für die Normalenform wird ein Normalenvektor (n) benötigt, der senkrecht auf der Ebene und dementsprechend auch senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht. Um den Normalenvektor zu ermitteln, benutzt man das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren. Die Normalenform einer Ebene lässt sich mithilfe des Normalenvektors und mithilfe eines Stützvektors (p) der Ebene wie folgt darstellen: E: (x − p) · ñ = 0 Normalenform einer Ebene mit ClassPad dargestellt: [1-6]. dotP(y 2)=0 3+x+2.(y+1)+5+ (z+1)=0 1.3) Koordinatenform Mit der Koordinatenform lässt sich herausfinden, ob ein Punkt auf der Ebene liegt. Um dies zu überprüfen, setzt man die Komponenten eines Punktes in die Koordinater einer Ebene ein und kontrolliert, ob die Gleichung erfüllt wird. Die Koordinatenform ist nichts anderes als die ausmultiplizierte Form der Normalenform. Sie wird wie folgt dargestellt: E: n₁ X₁ + N₂ • X₂ + N3 • X3 = b Koordinatenform einer Ebene mit ClassPad dargestellt: 3+x+2+y+5+z=-7 9 2.) Ebenen umformen, umwandeln Parameterform: E: x = p + t ·ū+ s • v Normalenform: E: (x − p) n = 0 Koordinatenform: E: n₁·x₁ + n₂ • X₂ + N3 • X3 = b Normalenform 2.1) Parameterform E: x=p+tu+ s. v E: (xp) n = 0 E: n₁ x₁ + n₂ • X₂ + N3 • X3 = b Beispiel: 1 3 1. E: x *-*-=-(-²) + · · ( - ) + - -( - ) -2 t. 6 s. -4 4 3. 2. Normalvektor mit Kreuzprodukt bestimmen: 3 8 * = ( ) × (9) = (²) ñ 6 X -3. 4 5. 3. Normalenform aufstellen: E: T-()·()- -3 = 0 4. Koordinatenform aufstellen: E: 1 x₁ + (-3) · X₂ + (−5) · X3 = b z.B. den Stützvektor der Parameterform einsetzen, um b zu erhalten: -5, E: 1.1+(-3)· (−2) + (−5) · (-2) = b 1 + 6 + 10 = b 17 = b Koordinatenform E: 1 x₁ + (-3) · X₂ + (−5) · X3 = 17 10 2.2) 2.2.1) Koordinatenform 2.2.2) Koordinatenform E:n₁ x₁ + n₂ • X₂ + N3 • X3 = b E: [xp] = 0 E:x=p+tu+ s. v 2.2.1) Beispiel: Koordinatenform 1. E: 2x₁ + 2x2 - 6x3 = 4 2. Normalvektor bestimmen: ñ = Normalenform: 6. 3. Bestimmung einer der Spurpunkte (S₁) (Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Koordinatenachsen): für X2 S₁ (2/0/0) Normalenform Parameterform - gesucht ist der Schnittpunkt mit der x₁- Achse 2x₁ = 41:2 x₁ = 2 und X3 kann 0 eingesetzt werden 4. Normalenform aufstellen: EF-6)·()- E: X = 0 11 2.2.2) Beispiel: Koordinatenform 1. E: 2x₁ + 2x2 - 6x3 = 4 2. Parameter t und s bestimmen (einsetzen in Koordinatenform): x₂ = t; x3 = S 2x₁ + 2t6s = 4 3. x₁ bestimmen: 2x₁ + 2t6s = 4 |- 2t, + 6s 2x1 = 42t + 6s |: 2 X₁ = 2t + 3s 4. sauber untereinander aufschreiben: X₁ = 2t + 3s x₂ = t x3 = Parameterform: S zerlegte Parameterform 5. mit Zahlen ,,auffüllen": X₁ = 21t+ 3s x₂ = 0 1t 0 1s x3 = 0 0 ↓↓↓ puv 6. Parameterform aufstellen: E: x= B: ² = (61) + ₁ ⋅ ( 1 ) + + - (1) t. 0 12 3.) Umwandeln der Ebenenformen mit ClassPad (Parameterform Normalenform го [1 EX® -1 +sx-4 +tx -3 E 0 crossP(-4 2 HEL [x 0 CHE dotP(y 2 expand (ans) s-7 [s+2.t -4.s-3-t-1 ls-1 325 [3 2)=0 5 3+x+2 (y+1)+5.(z+1)=0 Koordinatenform) 3.x+2+y+5+z=-7 -Ebene E dargestellt als Parameterform - mit Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren der Parameterform Normalenvektor bilden - mit Stützvektor der Paramterform und erhaltenem Normalenvektor Normalenform von E aufstellen - ausmultiplizieren und durch 3+x+2+y+5+z+7=0 umstellen der -7 die Koordinatenform von E erhalten 13 Gegenseitige Lage Ebene/ Gerade ● Koordinatenform - Allg. Geradenvektor in Ebenengleichung einsetzen Parameter der Geraden bestimmen In allg. Geradenvektor einsetzen Parameterform: Ebene gleichsetzen mit der Geraden Lösen Gleichungssystem mit 3 Unbekannten Beispiel: E₁: Lösung schneidend Widerspruch: parallel (z.B 3 = 0) Unendlich viele Lösungen -> Gerade in Ebene (z. B. 3=3) Parallel: RUO oder RV RV₂ = Identisch: g in E: Punktprobe Schneidend: Schnittpunkt berechnen ² = (6) + r. (3) + ³ ( 8 ) - (6-56-63) E₂: x = x-y=0 €₁ in E₂ (6-6r-6s)-3r-0 6-96-68-01+9r 6-68 = ar' | = 9 ²s. = r einsetzen in En für allg. Ebenenvektor Schnittpunkt Gerade 9:2 = 6-63-33-63 = 3. -4 +43-68) 2-28 3s 2-2S 3s - (³3) NNM + S - allg. Geraden vektor Schnittgerade 14 Ebene Ebene: ● Parallel: Normalenvektorvielfache, neg. Punktprobe Identisch: ein Punkt muss in der 2. Ebene liegen Schneidend: pF von E₂ in KF von E₁, Schnittgerade ausrechnen 151 Koordinatensystem: Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen u. 3 Variablen → Lösung: (Variable als t einsetzen und auflösen) → Widerspruch: parallel/ kollinear → Vielfache voneinander: identisch 15 Wie stellt man die gegenseitige Lage fest? Weg 1: Über die Analyse des Richtungsvektors und der Spannvektoren • Lässt sich der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der beiden Spannvektoren der Ebene ausdrücken? JA Dann sind Ebene und Gerade parallel Liegt der Stützpunkt der Geraden in der Ebene? JA Die Gerade liegt in der Ebene NEIN Gerade und Ebene sind echt parallel NEIN → Keine Lösung: echt parallel →Genau eine Lösung: Durchstoßpunkt → Unendlich viele Lösungen: Die Gerade liegt in der Ebene Die Gerade durchstößt die Ebene in einem Punkt Weg 2: Über die Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystems, das beim Gleichsetzen von Geraden- und Ebenengleichung entsteht 16 Gerade - Gerade → Parameterform 9₁ X² = Ⓡ + · = Õà + r. AB Parameter Stützvektor. ➜ Allgemeiner Geradenvektor: - bA a₂+ Fb₂ 3 b3 Richtungsvektor → Lage: parallel: Richtungsvektoren sind Vielfache →identisch: -- u. positive Punktprobe aλ +r.b₁ az + r.bz a3 + r. b3/ schneidend: gleichsetzen der Geradengleichungen → Schnittpunkt der Geraden Windschief: Beim Gleichsetzen kommt ein Widerspruch Parallel? Beispiel: 9₁ x = (-²) + - -( ? ) a g: r. h: +S. - (3) .k= Schneidend? I 2-3r=-5+S I-1+r=-3+3s II 3 =-1+28 →3--1+25 | +1 4- 2S1:2 2=S I 2-3r--5+21-2 -3r=-51:3 r=1₁6 I | −1 + 1 · (1,5) = −3+3 (2) 0,6*3 17 Punkt - Punkt: Der Abstand zwischen 2 Punkten ist die Länge ihres Verbindungsvektors. Der Abstand von A (3 | 1 | 2) und B (6 | 5 | 2) ist: d (Ai B) = |(3)-₁) = √(6 - ³)² + (5 −1)² + (2-2)² » 5 √/(6-3)² Punkt - Gerade: Gesucht ist der Abstand zwischen dem Punkt P (5 | 1 | 1) und der Geraden: g: Z S ² = (-) + ³ (²), (²), sei SEIR Schritt 1: Bestimme eine Hilfsebene H mit folgenden Eigenschaften: Der Normalenvektor von H ist Richtungsvektor von g und der Punkt P(5| 1 | 1) liegt in H. H: 3x₁ + 2x₂ - 4x3 = a Setze P in diese Ebenengleichung ein, um a zu erhalten: 3.5+2.1-4.1=13 -H: 3x₁ + 2x2 - 4x3 = 13 18 Schritt 2: Bestimme den Schnittpunkt von g und H 3-5+35) + 25 +2s) -4 (5-4s) = 13 => S=2 Dies in g eingesetzt ergibt den Schnittpunkt: S (1 | -1 | -3). Schritt 3: Berechne den Abstand zwischen Schnittpunkt S und P: d (Pig) = d (PiS) -(5)-(-)|- 6 Damit ist der Abstand zwischen P und g bestimmt: d (Pig) = 6 19 Punkt-Gerade: Punktprobe: Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, führst du eine Punktprobe durch. Du setzt hierfür den Ortsvektor des Punktes für ... in die Geradengleichung ein. So erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten, dem Parameter. Wir schauen uns dies an einem Beispiel an: g³x - ( 1 ) + ( 4 ) | Prüfe, ob der Punkt ( ³3 ) = ( ² ) + + ( ₁ ) Setze den Ortsvektor von A für Ž ein: A (21213) HHA auf der Geraden liegt. Schau dir nun von oben nach unten die Gleichungen an: I: 2-1 +r :2=24 : 3-1+3r Die Gleichung 1 liefert r= 1 und die Gleichung 2 führt zu r = 0 Da du 2 verschiedene Lösungen für r bekommst, ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Der Punkt A liegt also nicht auf der Geraden. Wenn er auf der Geraden liegt, löst ein Wert für r alle 3 Gleichungen 20 Punkt - Ebene: Berechne den Abstand d des Punktes P(21112) von der Ebene E: 2x-x-2x-5=0 1. Parameterform in Koordinatenform umwandeln Da die Ebene bereits in Koordinatenform vorliegt, entfällt dieser Schritt hier. 2. Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln 2.1) Normalenvektor aus Koordinatenform herauslesen Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von X1, X2 und X3 Sie lassen also sich aus der gegebenen Ebenengleichung einfach ablesen. ñ - (-²₂) = 21 2.2) Länge des Normalenvektors berechnen |ñ| = √/2²+(1)² +62)² = 19 =3 2.3) Ebene in Hessescher Normalform aufstellen E: [2x₁-x₂ - 2x3-5J-O 3. Punkt in Hessesche Normalform einsetzen d = (2-2-1-2-2-5]|-|·|-|-2|=2 Der Abstand des Punktes P von der Ebene E beträgt 2 Längeneinheiten. Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, muss man Betragsstriche setzen. 22 BEISPIEL (NORMALENFORM) P(21-1), = (₁ - (-))-(-) - E: 0 1. P einsetzen Punkt-Ebene: Punktprobe <=0 Um zu überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, nutzt man die Punktprobe. =0 i Je nach Ebenengleichung variiert die Vorgehensweise: Vorgehensweise I. Ortsvektor des Punktes (P/N) oder seine Koordinaten (K) einsetzen. II. Gleichung (N/K) oder Gleichungssystem (P) lösen III. Überprüfen, ob lösbar P-Parametergleichung N-Normalengleichung K-Koordinatengleichung ! Der Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn sich die Gleichung bzw. das Gleichungssystem lösen lässt. Der Ortsvektor (Vektor mit den Koordinaten des Punktes) von P wird für in E eingesetzt. (Ⓒ)-0) - Merke 2. Gleichung lösen Die Gleichung kann erst vereinfacht werden. 2-2 1-1 -1- 1)-(3) 9-9- Nun wendet man das Skalarprodukt auf der linken Seite der Gleichung an. 0 2+0 (-2)+(-2)-4-0 -80 => Widerspruch, Punkt liegt nicht in der Ebene BEISPIEL (KOORDINATENFORM) P(2|1|1), E: 2x - 2y + 4z = 6 1. Koordinaten von P einsetzen E: #= Die einzelnen Koordinaten von P werden für x, y und z eingesetzt. 2.2 2.1+4.1=6 2. Gleichung lösen Die Gleichung kann sehr einfach gelöst werden. 2.2-2.1+4.1=6 6 6 => wahre Aussage, der Punkt liegt in der Ebene BEISPIEL (PARAMETERFORM) P(2|1/1), - () ---- () 1. P einsetzen Der Ortsvektor (Vektor mit den Koordinaten des Punktes) von P wird für in E eingesetzt. (1) - (0) +- (1) 2. Gleichungssystem aufstellen +8 Nun stellen wir ein Gleichungssystem auf und lösen es. Jede Zeile ist eine Gleichung. 1. 2=3+r+s II. 1 = r + 58 III. 1 = 28 Aus III. erhält man s =, was in II. eingesetzt wird. 1=r+5- |- 3. Probe mit I. r und s werden in die nicht genutzte Gleichung (hier: 1.) zur Probe eingesetzt. 2=3+r+8 2=3-+ 2=2 Da es keinen Widerspruch gibt und es sich um eine wahre Aussage handelt, liegt der Punkt in der Ebene. 23 Geometrie - Abstände Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Punkt-Punkt 1. Schritt: Verbindungsvektor berechnen 2. Schritt: Länge des Verbindungsvektors berechnen Ob man den Verbindungsvektor AB oder aber den Verbindungsvektor BA berechnest, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(7|4|2) und B(3|7|2) 1. Verbindungsvektor berechnen (-0)-(C) -4 AB=b-a7 3 2. Länge des Verbindungsvektors berechnen = √(-4)²+3² +0²=√16+9+0= √25=5 Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 5 Längeneinheiten. 24 Punkt-Gerade 1. Schritt: Verbindungsvektor des Aufpunktes der Geraden und dem Punkt bilden. 2. Schritt: Kreuzprodukt aus gerade berechnetem Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Beispiel: Gegeben ist die Gerade g in Parameterform und der Punkt P(1|3|3) 3 - ()--(C) -2 +1. 1 3. Abstand berechnen: Betrag des Kreuzproduktes durch den Betrag des Richtungsvektors der Geraden teilen. 9:3= d !=(P-9)xu AP=p-á = 1. Verbindungsvektor des Aufpunkts Q der Gerade und dem Punkt P. 3 ()-(C)-(0) -2 = 3 axb= d= 3 Kreuzprodukt allgemein: ---(3)×(3))- a2 (p-ā) x ū= 2. Kreuzprodukt aus gerade berechnetem Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden bestimmen -2 -2 5 5 b3 Für das Beispiel setzt man den zuvor berechneten Vektor AP und u ein. X = 6√5 -2 1 3 3. Abstand berechnen -2 5 3,59 a2b3-a3b2 a3b₁a₁b3 a1b₂-a₂b₁ 102+(-4)2+82 √(-2)2+12+32 Der Abstand zwischen g und P beträgt ungefähr 3,59 Längeneinheiten. 5.3 5.1 5 (-2)(-2)-3 = (-2) 1-5 (-2), 10 -4 8 25 Punkt-Ebene Abstandsformel Punkt Ebene Ebene in Normalform E: (a) = 0 d= (p-ā).ñ |n| Ebene in Koordinatenform Enix+ny+n32 = k d = nipi+n2p2+n3p3| √n²+ n²+n² Abstand berechnen 1. Schritt: Falls die Ebenengleichung in Parameterform vorliegt, bestimme den Normalvektor. 2. Schritt: Setze die passenden Werte der Ebenengleichung und des Punktes in die Formel ein. 3. Schritt: Löse die Formel und berechne den Abstand d. Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren 1. Stelle eine Hilfsgerade h auf, die senkrecht durch die Ebene E verläuft und den Punkt Penthält. 2. Bestimme den Schnittpunkt S (Lotfußpunkt) von Hilfsgerade und Ebene. 3. Berechne den Abstand zwischen Punkt und Ebene: d = |PS| 26 Gerade-Gerade Lagebeziehungen von Geraden identische Geraden: Vektoren sind Vielfache voneinander (kollineare Richtungsvektoren). Der Abstand beträgt 0. sich schneidende Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, die Schnittpunktbestimmung liefert eine wahre Aussage. Der Abstand beträgt 0. echt parallele Geraden: Die Richtungsvektoren sind kollinear; die Aufpunkte liegen nur auf einer Gerade. Der Abstand muss berechnet werden. windschiefe Geraden: Die Richtungsvektoren sind nicht-kollinear; die Berechnung des Schnittpunkts liefert eine falsche Aussage Abstand paralleler Geraden Abstandsformel paralleler Geraden: d = (p-g)xn * p: Vektor des Aufpunkts der Geraden g1 q: Vektor des Aufpunkts der Geraden g2 n: Richtungsvektor der Gerade g2 Bei dieser Abstandsrechnung muss man zunächst prüfen, welche Lagebeziehung die Geraden aufweisen. Den Abstand muss man also nur bei parallelen und windschiefen Geraden bestimmen, da sie keinen Schnittpunkt aufweisen. Lösungsweg 1. Beliebigen Punkt P auf einer der Geraden definieren. 2. Vektor von Vektor pabziehen. Man erhält den Verbindungsvektor QP. ģ 3. Kreuzprodukt aus Verbindungsvektor und Richtungsvektor der Geraden ausrechnen. 4. Ergebnisse in Abstandsformel eintragen und ausrechnen. 27 Abstand windschiefer Geraden Abstandsformel windschiefer Geraden d = |(9-p-*|| q: Vektor des Aufpunktes von h p: Vektor des Aufpunkts von g n: Normalvektor n Lösungsweg 1. Normalvektor n mit Hilfe des Kreuzproduktes (ux) berechnen 2. Vektorvon Vektor a abziehen. Ergebnis ist der Verbindungsvektor Pa 3. Skalarprodukt aus PQ und n bilden 4. Betrag des Skalarprodukts durch Betrag von n teilen 28 Abstand Ebene-Ebene Der Abstand zwischen zwei Ebenen E und F, die - identisch sind, ist null. sich in einer Geraden schneiden, ist null die parallel zueinander verlaufen, ist der Abstand zwischen E und einem beliebigen Punkt auf F. Beispiel: Berechne den Abstand der parallelen Ebenen E und F: E: -2x1 + x2 + x3 = 3 F: -6x1 + 3x2 + 3x3 = 3 Der Punkt P(0|0|1) befindet sich auf der Ebene F und der Abstand lässt sich errechnen aus: d(E; F)= d(P; E) = -2.0+ 1.0+1-1-3| √(-2)² + 1² + 1² = 92 |-2| √6 3 √6 Verwendung des Untermenüs Vektor crossP Funktion: Liefert das Kreuz-Produkt zweier Vektoren. Syntax: crossP (Vektor, Vektor2) dotP Funktion: Liefert das Skalar-Produkt zweier Vektoren. Syntax: dotP (Vektor₁, Vektor2) norm Funktion: Liefert die Euklidische Norm (Länge) eines Vektors. Syntax: norm (Vektor) unitV Funktion: Normiert einen Vektor. Syntax: unitV (Vektor) angle Funktion: Liefert den von zwei Vektoren gebildeten Winkel. Syntax: angle (Vektor, Vektor₂) Bem: sinnvolle Nutzung nur im Dezimal-Mode crossP dotP unitV 00 40 FCHAF angle [a] ·Á³Ð √14 14 3-√√14 14 85.21146813 30