analytische Geometrie

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t = 2 => 6=1 2.-241-2= 0 ✓ 3. 3 2. (-4)=-1 => Pliegt auf g g: x=() + (2) E: 7² = ( ² ) + r. (²) + 5- (6) (2²) + ( ) = (3) ++³ (3) GTR t=4 => rs-s =>g und E schneiden sich linsolve s=4 a=50 - 23 b= Ebene -Ebene 10.0₂ Thal-10²1 cos(x) = C=C => g: X^²=()+c (3³) koordinatengleichung P (2101-1) Q(-116110) (3) + + ·(¹) = (3) 1. 1+6= -1 -2 2.-2-2-2 = 6v 3. 3-2-(-4)= => a vegt nicht auf g Bsp: E₁ X₁ X₂ + 3×3 = 12 E₂x₁7x₂2x₂=-16 1. ñ.= (-3³), ñ - (²) => nicht collinear, nicht orthogonal 2. LGS: I. a-b+3c = 12 I. a-76-2c = -16 bei Ebene in koordinatenform: E: ax + bx₂ +Cx₂ = d g+x²= ()++ (4) => Q (p₁tu₂/p₁+tu₂/pattus) Qe eins. in E: a. (p₁+tun) +b. (pi+tu₂) +C. (p₁+tuz) = - - · <|0+c) Gauß-Verfahren Umformung durch. vertauschen von Geraden multiplizieren/dividieren mit c (40) durch Summe/ Differenz von 2 Gleichungen ersetzen Ziel: Stufenform zur cäsung von CGS 8sp I. 3x₁ + 6x₂ - 2x3 = -4 II 3X₁+ 2x₂ + x3 = 0 III. 1,5x₁+5X₂-5x3 = -9 I. 3x₁ + 6x₂ -2x3 = -4 Ia 4x₂-3x₂ = -4 III 1,5x₁+5X₂-5x3 = -9 I. 3x₁ + 6x₂ -2x3 =-4 Ia 4x₂-3x3 = -4 IIIa. -4x₂ 18x₂ = 14 I. 3x₁ +6x₁-2x3 = -4 Ia III. 4x₂-3x₂ = -4 Sáng 210 windschiet: Schrittweise nach Varialolen auflösen: x3 = 2; x2=0,5; x₁=1 => (-1;0,5; 2) 1. Orthogonalität - Gelle Abstand Gerade - Gerade identisch /schneiden sich => d=0 parallel => Alostand Punkt - Gerade I-II = IIa Abstand Punkt - Gerade 1. Orthogonalität [Gt-P]• RU=0 g-h • G+Hr· RV₁₂ ³0₁ GtHr · RU₂ = 0 ·LGS ·Parameter in Gleichungen - IGHI •t in Gt- Q(...) · IPQI I-2-a i, g = €" -|PQ| IIIa +I₁=IIIb was suppunut 2. Hilfsebene GTR 2. Hilfsebene Abstand Punkt-Ebene 1. Cotgerade ·Gerade mit P und n' (x²= P+t⋅ñ'") abcd 9:= abca 1bcd Alostand Ebene - Ebene identisch/schneiden sich => d=0 parallel => Abstand Punkt -Ebene Matrix Form 3 -2 3 1 15 5 -5 3 •Normalenvektor (RV₁ LRV₂) Ebenengleichung · Lotgerade (OP³ + E.7²) = OF Geradenpunut P · Gerade in Ebene IPFI 6 2 6 RV als n · Ebene mit aufstellen 9 = E " oder.. g in E" =>S(..1.1.) cobfuppunut .IPS/ d= ref (a) - Stufen form Free (K) -> Cösung ([1] =>²²) (menu-7-1-1) -4 E: (X² - P²)·²₂ = 0 (6=n-p) 0 -9 2. Hesse 'sche Normalform a₁²+ a₂ +a₂² 3. Extremwertproblem •Abstandsfunktion d(t)=√√(f₁-g₁)² + (f₂-9₂)² + (€₂-93) ² GTR Minimum 3. Extremwertproblem allg Geradenpunk → G+R Abstandsfunktion (d(t) = √...) GTR Minimum => Q und t IQRI |a₁x₁ + a₂x₂ + 3x3-b (4) Lösungsmenge LGS 1 genau 1 cösung => <= {(a; 6; c)} 2. keine Lösung => L = { } eine Zeite enthät wiederspruch 3. unendlich Lösungen => L = {(at, bt, t)} eine Zeile fällt weg - unterbestimmt Abstand Gerade - Ebene g in E/schneiden sich => d=0 parallel => Abstand Punkt -Ebene Sonderfall Punkt -koordinatenebene •Betrag der koordinate die gleich o gesetzt ist entspricht Abstand Abstand Punkt - Punkt = √√√(₁-P₁) ²+ (Q₂-Pa)² + (9₁-P₂) ² IPQI Länge des Verbindungsvektors IABI berechnen Punkt-Punkt b=n².p² Hesse Sche Normalenform E: (K²-P)-no=0 ↳d=+k+Q₂%-b Punkt koordinaten ebene ↳ Betrag der Koordinate des Punktes, die gleich o gesetzt wird, beschreibt Abstand Abstand d=0 Gerade-Gerade cos (~) = 107.cal identisch schneiden sich Gerade -Ebene sin (4) = 177² cotfußverfahren Lo Lobgerade (mit n') Lo Albstand lotfuppunut (F) und Punkt (P) Punkt-Ebene Schnittwinkel (0°4428001 Ebene-Ebene Imm cos (4)= INHAI Ebene Ebene Abstand Ebene - Punkt / parallel GEOMETRIE Hilfsebene La Ebene aufstellen Lotfußpunkt LD Abstand windschief Extremwertproblem to allg. Punkt von g und h Lo Minimum der Abstandsfunktion. d (t) Abstand Punud-Ebene 9 parallel zu E Gerade Ebene Gerade Gerade Punkt-Gerade identisch g schneidet € orthogonalität 40 allg. Punkt von g und h 4LGS 4 Abstand Extremwert prolovem Lo allg. Geraden punkt 4 Minimum der Abstandsfunktion (GER)=d (+) Abstand d=o Alosband d=0 Schneiden sich guegt in E orthogonalität Lo aug. Geraden punkt Lo FR.²=0 Abstand Fund Punkt Hilfsebene 4 Ebene aufstellen Lo Schnitt punkt g und E (Lot Eup punkt) parallel Abstand Punkt - Gerade Normalenuektor n RUL SV₂ RUSV₁₂ berechnen von n E = DA' + r. AB + 3. AC 1. LAB n LAC GTR => linsolve LGS: I. naby the ab₂ +h₂.aby = 0 I. n.ac.+₁ asm.ac₂=0 4 Einheitsvektor lal = 1 [LE] a = Tal a = Bsp.: =(Vektor n'ist ein möglicher Normalen vektor zu E Bagger (2)・(勝) (2)(=O Parametrisierte Flächen Beschränkung einer Ebene ちぐ S.V ·AD 흩 ketten = 0 B - Bsp: 1. Wann liegt Pauf Gerade / Ebene / Flächenbegrenzung 2. Schnittpunkt berechnen 3. Vorgaben für Parameter Strecke Lagebeziehung Gerade -Ebene 9: = OP + E. Pa 2. a x = (²²) g: x²= π²₁t₁ LM² => 9 OA+ A +5. V · (²3) + € - ( 8 ) · ³ ·( ²3² ) S => a = LGS: I s-r-0,53= 8-7t I. S-0.5s = 7-4t 2 + SS=S-St r=0,5270, 5= 0,19 > 0,5+5= 0,57 < 1 la)=√√3²+(-2)² +6² =√√5 +4+36 +49 ÷ ·A) - (†) - () E: x=0B +r. BC + s. B3 Streche nach 1 Sta. => ost $3 => g 1st orthogonal zu (parallel, g in E) OP=OA + AB+S. AC => LGS keine Lösung: 9 und E sind parallel OP = r => RV und in kollinear →→ 9 und E schneiden sich => E: X² = (1) + · (8) + Idee für welche Zahlen (runds) liegt Pauf CS ? X = OB + B + S. (B5² - BC) X = OB + BC + S. BS² - S. BC² x = 0B + •BC + s. BS (1:5) Schnittpunkt mit der Ebene: (1) + r. (3) +- () = (3) + €· (²3) -0- A (31517) (81717) (3) E: =O GATR linsolve ·²= (²) + (-³) r=0,57 S= 0,19 t= 0,52 Elmerwetten bewegung s-U'=3,5 S. √4+36 +9 = 3,5 S = 0,5 => 0&S ≤0,5 E: R=(7) + 6-(3) +5 (²3), 02320,5 S. 224 Nr 6 + s. =>Schnittpunkt innerhalb der Fläche osts 3 -0.51 = 7 1-5=5 Its 1=513 => für r+s=1 Liegt P auf S. 223 Punkte und Vektoren im Raum - Vektoren = Verschiebungen von Punkt A zu Punkt B A(a₂la₂19₂), B(b₁16₂163) AB= (-) - Ortsvektor: Verschiebung vom Ursprung zu Punkt A („OÃ = a¹") - Vektoren dargestellt durch Pfeile (ein Vektor = 1 Pfeil) 4 • kann die Richtung / Orientierung änder kann verlängert werden (r.) 4 kann einen parallel liegenden Vektor haben • Uielfache von Vektoren: Vektoren sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind (a=r.5) - Betrag eines Vektors: la 1 = √(a.)² + (A₂)² + (A₂)²¹ Abstand von zwei Punkten: |AB| = √(1-0₂)² + (b₁-a₂)² + (b₂-a₂)²¹ - Mittelpunkt M der Strecke AB: OM= OA+ AB Rechengesetze + Rechenregeln : - kommutativ: a·b = ba => -assoziativ: rab=r(ab) - distributiv: (a+b)⋅ = α· + ·¯ - aa = |al² = las tbs -ra = r. Kreuz produkt () (1) b.f-c.e= bf-ce c.d-a.f. cd-af => n cd-al /bf-ce a.e-b.d= ae-bod ae-bod oder M0110101 011) Skalarprodukt: - sind 2 vektoren orthogonal zueinander? a.b=0 (3)-(§) = a₁.b₁ + a₂ · b₂ + as · by [GTR: dolf (a,b)] Bsp: (2²) x (²) => 16 0 0.0-1.1 = -1 1.1-2.0= 1 -2.1.1.0 = -2 3D Graphs GTR doc -graphs-menu -2-3- menu - Geraden eingeben-enter (31) x₂-xy Ebene X-X₂ Gbene x₂-x₂ ebene P (P₁/P₂/P3) +43-Richtung * Richtung X₁-Richtung P (P₁|p₂|p3) => P²=()