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Lösung => L = { } eine zeile enthoit wiederspruch 3. Extremwertproblem • allg. Geradenpunk G+R Abstandsfunktion (d(t)=√...) => Q und t cottufpunkt · GTR Minimum IQRI (1=d) 3. unendlich Lösungen => L = {(at₁6t₁ €)} eine Zeile fällt weg → unterbestimmt Abstand Gerade - Ebene g in E/schneiden sich => d=0 parallel=> Abstand Punkt -Ebene Sonderfall: Punkt - koordinatenebene Betrag der koordinate die gleich 0 gesetzt ist entspricht Abstand Abstand Punkt-Punkt |PQ| = √√(9₁-P₁) ² + (Q₂-P₂)² + (9₁-P₂) ²² Normalenvektor n RUL SV₂₁ RU SV₂ berechnen von n' E₁ = OA' + r. AB + 3. AC 1. LAB (3) n LAC GTR, => ~= (3) linsolve Einheitsvektor はし。 - LGS: I. naby the ab₂ +h₂.abz=0 I. m.a²+1₂.ac.n.acz=0 a = aa = = 1 [LE] Bsp.: 8 Bagger S Parametrisierte Flächen Beschränkung einer Ebene 4 हट L t.AG S.V ketten (2) ・(黒) ab₁ ● abr C labs 10/10 1. Wann liegt P auf Gerade/Ebene / Flächenbegrenzung 2. Schnittpunkt berechnen 3. Vorgaben für Parameter Vektor n'ist ein möglicher Normalen vektor zu E -0 S Strecke Bsp: cagebeziehung Gerade -Ebene 9:²=OP + E. Pa (3) - - OP DA+. AB+S. AC = 2. LGS: I. S-r-0,53= 8-7t I. S-0.5s=7-4t I.2 + SS = 5-St r₂0,5270, 5= 0,19 > 0, r+s=0,57 < 1 x² = (2²₂) la) = √3²+ (-2) ² + 6 ² ² =√√√5 +4+36 1 => ² - + ·() = (*) - (4) 4 - g=x²= α² ¹₁t₁² => 9₁ R² = (?) + L) : 1 A (31517) E: x² = A + .AB +5.² (!) + £ · (8) + s·(73) t. S E: x= OB +r. BC + s. B3 => E: X² = ( ) + 5 · ( · (8) + S. Streche nach 1 Sta. => ost≤3 => LGS keine Lösung : 9 and E sind parallel OP = r·n => RV und n kollinear → 9 und E schneiden sich E: X² = ( 1 ) + t · (3) + 5-·(²³) =O => gist orthogonal zun (parallel, g in E) Idee für welche Zahlen (runds) Liegt Pauf CS ? 로 OB + BC + s. (B5³-B²) x = X = OB + BC + s • · BS S. BC x = OB + •BC + s. BS (1-5) Schnittpunkt mit der Ebene: (1) + r. (3) +- (²5) = (3) + € (²3) 13(91717) = (3) GTR linsolve 449 1-0₂5 <= 0,57 S= 0,19 t= 0,52 => Schnittpunkt innerhalb der Fläche S. 224 Nr 6 Elmerwetten bewegung S-U²=3,5 S. √√√4+36 +5 = 3,5 S=0,5 => 0&S≤0,5 OSSO,S ost≤ 3 = 7 1-5=5 Its 1=r+s => für r+s=1 liegt Pauf 23 S. 223 Punkte und Vektoren im Raum - Vektoren = Verschiebungen von Punkt A zu Punkt B A(a₁ 19₂ 193), B(b,16₂163) AB=() Ortsvektor: Verschiebung vom Ursprung zu Punkt A ( („ ¯Ã = 㳓) Vektoren dargestellt durch Pfeile (ein Vektor = 1 Pfeil) 4 kann die Richtung / Orientierung ändern ↳ kann verlängert werden (r.) 4 kann einen parallel liegenden Vektor haben Vielfache von Vektoren : Vektoren sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind (a=r.5) - Betrag eines Vektors: la| = -√√(a₁1)² + (az)² + (0₂)²²¹ Abstand von zwei Punkten: |AB| =√16-0₂)² + (b₂-A₂)² + (6₂-0₂)²¹ Mittelpunkt M der Strecke AB : OM = OA+AB oder Menton | alten | enter) Rechengesetze + Rechenregeln : - SAUGAU I kommutativ: a·b = b.a assoziativ: r·a·b = r. (ã·¯) => distributiv: (ất) cả tả 5 = + a.a +100+ Q₁+ a + b = (as +031 a₂ Talª r. • α = r. = Kreuz produkt (E) * (1) 5.0 r.a₂ Ir.az b.f-c.e= bf-ce c.d-a⋅f = cd-af => a.eb.d = ae-lod 6f-ce cd-af ac-load Skalarprodukt: sind 2 bektoren orthogonal zueinander? alb a b=0 ● (3)·(8) [GTR: dot P(a,b)] Bsp: ( 2² ) × (²) 0 => = a₁.b₁ + a₂ ·b₂+ a₂.bz 1 0.0-1.1=-1 1.1-2.0= 1 -2.1-1.0 = -2 3D Graphs GTR : doc -graphs-menu -2-3- menu - Geraden eingeben-enter => (1) P (P₁/P₂/P3) Į Xq-xz Obene xn-xz Ebene X-X₂ ebene +43-Richtung **₂" Richtung X₁-Richtung P (P₁|p₂|p3) => P²= Lange des Verbindungsvektors JABI berechnen 4 d= Punkt-Punkt Hesse 'sche Normalenform ↳E: (x²-P')-no=0 b=n.p QqX₁+GqKq +Q₂ Xs-b +0.₂%3-b| Punkt-koordinaten ebene ↳ Betrag der Koordinate des Punktes, die gleich o gesetzt wird, beschreibt Abstand Gerade-Gerade cos (a) = 14₁ - uzl 101-1021 Gerade -Ebene 7² sin (a) = Abstand d=0 - 101-171 identisch schneiden sich cotfußverfahren LD Lobgerade (mit ñ') LD Abstand Lotfußpunkt (F) und Punkt (P) Punkt- Ebene Schnittwinkel (0°44≤80°) Ebene-Ebene Innl cos (2) = 151 Ebene-Ebene Abstand Ebene-Punkt Hilfsebene 4 Ebene aufstellen 4 Lotfußpunket 4D Abstand parallel GEOMETRIE windschief Extremwertproblem allg. Punkt von g und h LD Minimum der Abstandsfunktion d (t) Abstand Punkt-Ebene 1 9 parallel zu E 1 Gerade-Ebene Gerade-Gerade g schneidet € Punkt-Gerade Orthogonalität 40 allg. Punkt van g und h 4LGS 4 Abstand Extremwertproblem 40 alg. Geraden punkt 4 Minimum der Abstands funktion (GER)=d (t) identisch Schneiden sich Abstand d=o Abstand d=O guegt in E orthogonalität Daug. Geraden punkt LD FR.²=0 4 Abstand Fund Punkt Hilfsebene 4D Ebene aufstellen Lo Schnitt punkt g und E (Lot Fuß punkt) paramel Abstand Punkt - Gerade Winkelsätze A Scheitelwinkel: Nebenwinkel: Parametergleichung Gerade 9:²= P + t · ū EER statuetter lichtungsvakter Bsp: g: Innenwinkelsatz Dreieck: X+ Achsenabschnittsform Ebene 1. 1. Punktprobe (Punkt von g auf h?) nein Innenwinkelsatz Viereck: X+ ³ +8+d= 360° x = x² x + x² g: x²= OA +t. AB Lagebeziehungen von Geraden (3³3) = => RV kouinear? E: Â×₁+3×₂1—×3=1 nein LGS (g=h Lösung?! ✓ia ✓ja identisch parallel schneiden sich windschief nein Punktprobe -Liegt Pauf gle => ₁9=P" 9:²= DA + €·AB OP = OF+t. AB Lo Zeilen weise aufschreiben, wert für & berechnen, in andere Zeilen einsetzen + prüfen x=(+₁) = x² = (8) +₁-(7) )=-2-(2) => RV sind kollinear 2. P von g auf h: (3³) =(8) + €) = 180° Lagebeziehung Ebene - Ebene 1.22 013-(-4) => 5²-7 2.0₂0+4.24 => 9 und h sind parallel E: x²= P²+r+ s.v = 180° 66 2. Schnitt gerade aufstellen B+y = Parametergleichung einer Ebene orthogonal: LGS (Schnittpunkt) nichts: CGS (schneiden sich) skitektur Spannueller ,r,se R I Normalenvektoren kollinear/orthogonal? kollinear: Punutprobe (parallel/ identisch) Schnittwinkel Gerade-Gerade cos(x)= Bsp.: a = (³), 5. () GTR linsolve s=4 E: x²= OR +r. AB + S. AC GTR Que DEG 1. 101 = √√₁₁ - ab= 1·2+3.5+ 1·1= 18 151 = √√30 Bsp: g: x=()+ t.(?) (37) + ··( ) = ( 3 ) +~-~) + ³-(3) LGS: I. -2+7t = 1+5 I. 1+8t 4-5 III. 4+6t=3+r+35 cos (9)=√√√ 2 0,991 x= arccos (0.991) ≈ 7,7° 18 GTR => linsolve Gerade - Ebene (-) = 0 Bsp.: g: x² = (-¹²) + €. (²?) (3) + + -(1) = (3) 1. 1+ t = 2 => t = 1 2. -2+1.2=0 ✓ 3. 3+ 2.(-4)=-1✓ => Pliegt auf g sin(a)= \uln'l Punich P Normaley- velstor Lagebeziehung Gerade - Ebene LGS: 1,9=E" ↳ keine Lösung: g und E parallel ↳ eine Lösung: 9 und E schneiden sich (schnittpunkt = Spurpunkt) Lo unendlich Lösungen: g liegt in E r=-S => g und E schneiden sich koordinatengleichung einer Boene Normalengleichung ax₁ + bx₂ + x₂ = d E: 7² (3) +-)+₁-(6) r. ~= (²3) = (2) Bsp: E₁ X₁×₂ + 3×3 = 12 un a= 50 - 23 b= 2. LGS: I. a-b+3c = 12 I. a-76-2c = -16 C=( => g ₁ X ²= ( ~ 9 ) + c ( ²3³ ) Ebene -Ebene cos(x) = In₂².0₂²1 Talal koordinatengleichung P (2101-1) Q(-116110) (1) + + ·(1) = (3) 1. 1+6= -1 => = -2 2. -2-2-2=6v 3. 3-2-(-4) = 11 => Q liegt nicht auf 9 bei Ebene in koordinatenform: E ax + bx₂ +CX3 = d g²x² = (²+t. (4²) => Q₁ (p₁tu|p₂+tu₂/pattus) E₂x₁7x₂₁-2x3=-16 => nicht kollinear, nicht orthogonal Sc/o+c) Qt eins. In E: a. (p₁+tun) +b. (p₂+tu₂)+c⋅ (p₁+tuz) =d