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Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk)
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Linda Rörthmans
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Vektoren, Skalarprodukt, Gerade, Ebenen, etc.
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DREIDIMENSIONALES KOORDINATENSYSTEM X₁ X₂-Ebene; x₂ = 0 10 Analytische Geometric 10 MITTELPUNKT EINER STRECKE ges. MA a X₂ X3-Ebene; x₁=0 ХаХа - Ebene; х2=0 geg. Ala, la, la,) &B|b₂lb₂163) OMDA+AB ā RECHNEN MIT VEKTOREN ADDIEREN / SUBTRAHIEREN ~: - (A) · () = ( + / = = ā 10 ā X2 ā OA a + b OM LANGE VON VEKTOREN Abstand von 2 Punkten im Raum: |AB| = √ (b₁-a₂)² + (b₁-a₂)² + (b₂-a₂)² · a₂²³+ a₂² Betrag von Vektoren lal= ORTSVEKTOR Der Vektor Punktes PIP/Palpal 12 M OB Vektor AB: Ala, la, lag) B|b₂|b₂|bg) → AB = -a: KOLLINEAR zwei Vektoren sind vielfache voneinander; 2.B. 5² = ( ) & 5 = (²) aber entgegengesetzt orientiert Gegenvektor zu → parallel, gleichlang, MULTIPLIZIEREN : (2²) heißt Ortsvektor des Q)-(Q) X. a b₂-a Richtung bleibt gleich, Länge verändert sich ā 2. á GERADEN IM IRS beliebiger Punkt auf Straße echt parallel ZA P/ 1 parallel GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER GERADEN 8//h g=h // WX X 1 OX? identisch 0=UAVA+ JA g und h sind identisch g=h Jede Gerade im R* lässt sich darstellen durch eine Gleichung der Form: schneidend Liegt Q (Punkt mit Ortsvektor q) in g? Ortsvektor zu beliebigen Punkt auf g NEIN windschief 9 und h sind Parallel 9//h gix=p+r.u Stutevektor Richtungsvektor zum Punkt P Sind die beiden Richtungsvektoren kollinear? JA ORTHOGONALITÄTSKRITERIUM FÜR VEKTOREN geg. zwei Geraden: g.x. p + r. u h:x: + su ges.: gegenseitige Lage g und h schneiden sich NEIN Hat die Gleichung LGS + ORTHOGONALITAT zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie im 90° Winkel sueinander stehen L eine Lösung? Zwei Vektoren u und sind genau dann orthogonal, wenn gilt: ů¤Ñ¤ U₁V₁+ U₂ V₂ + Uz V₂ = 0₁ wenn also das Skalarprodukt gleich 0 ist. wenn RV kollinear sind-Faktor angeben g und h sind windschief DEFINITION: Skalarprodukt sind die Vektoren u = (₂) und J= (4) gegeben,...
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so ist das skalarprodukt ünv definiert durch : * = U₁V₁ + U₂ V₂ + U₂ V₂ (analog im R²) EBENEN IM R Ox Ortsvektor p r. (³) + s-(?) = ( 1 ) Umwandlung in LGS: LIEGT EIN PUNKT AUF DER EBENE? Setze den OV von A mit E gleich (†) r.(3) (1) +- (11) + -)-(1) 1 (1) 2 = Matrix E 2 3 1 2 7 5 O STRATEGIE | tot 2r + 3s = 5 Ar + 25 = 3 75 +5S=12 1.Möglichkeit: Gib die ersten beiden Gleichungen im GTR ein (2x2 Gleichungssystem): (=A S=A → A liegt auf E 2. Möglichkeit: Erstelle ein 3x3 L6S (3. Spalte=0) und lose es mit GTR ( wn und zwei nicht Eine Ebene im R³ kann durch einen Stützvektor aneinander parallele Richtungsvektoren u und beschrieben werden: 3 E: X=P²+cu+ V (Parameterform der Ebenengleichung) 8 12 SPURPUNKTE GERADE: Schnittpunkt der Geraden mit den Koordinatenebenen und heißen Spannvektoren Setzt man in der Ebenengleichung für r und s reelle Zahlen ein, dann erhält man Ortsvektoren, die zu Punkten in der Ebene gehören. SA SP von Gerade und x₂ x₂ - Ebene 8 Überprüfe mit der 3. Gleichung, ob sich eine wahre Aussage ergibt: 7·1+5·1=12√ S₂ = SP von Gerade und x₁x₂-Ebene SSP von Gerade und X₁X₂-Ebene X oders-Koordinate =0 setzen + Parameter berechnen oder I 2r+33 =5 I Ar +2s=3 I7r+SS=12 [r=1] S=A Matrix 2 3 wahre Aussage (2 SA SP mit x₂-Achse S₂ = SP mit x₂-Achse = SP mit x₂-Achse STRATEGIE 1³) C=S=A EBENE: Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinaten achsen 2 Koordinaten =0 setzen + letzte Koordinate berechnen (Koordinatenform) LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME LGS I 2хл-382 4*3 HEE I 1:(-2) → NR: X₂=-2 STRATEGIE: Lost III nach x₂ auf, setze Ergebnis in I um xz zu erhalten. Setze beide Werte in I ein. I 2x₁-3x₂ + x3 = 8 2x₂ +5x8=-6 x3 = -2 BAH = 8 2x₂+5x3 = -6 -2x3 I 2х-3Xz+X3=8 X₂ НАВ I LGS ist in Stufenform = 2 X₂=-2 NR: eingesetzt in I: 2x₁-3-(2) -2= 8 2x₁-8 =8 1+8 2x₁ = 16 1:2 XA = 8 AHH DAS GAUG-VERFAHREN Jedes L6S lässt sich durch Äquivalenzumformungen Beispiel: I + x2 x3 =10 II SX₁-3x₂ + x3 =5 -2x₂ + 2x3 = -4 NR: eingesetzt in I: 2x₂ +5.(-2)=-6 I I SX₁-3x₂ + x3 =5 HAE I I SK₁ - 3x₂ + x3 =5 ㅍ X2 + × 3 - Ло IC -x₂ + x3 = -2 X₂ + x3 = 10 -2x₂ + 2x3 = -4 1:2 бкл-3k2+X3 x₂ + x3 2x3 X₂=2 x₂=4 eingesetzt in II: x₂ +4=10 1-4 x₂ = 6 -5 I+I in Stufenform bringen: ERLAUBTE UMFORMUNGEN > 2 zeilen vertauschen > Multiplikation & Division einer Zeile mit einer reellen zahl > › Ersetzen einer Gleichung durch eine Summe von sich selbst und einer anderen Gleichung -10 =8 1:2 Nr. X₂ = 4 44 = {18121-2)} x₂ = 4 & x₂=6 eingesetzt in I. Sx,-3 (6)+4=s 5x1 14=5 1+14 1:5 Sữa 19 x₁ = 19 = 3₁8 2 = {(3,81614)} LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME Eine LGS kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben Bringe das LGS in Stufenform 2 Betrachte die letzte Zeile: al Man erhält eine Lösung für x₂ >Das LGS hat genau eine Lösung 8.8. L = {1;2;3} 51 Man erhält eine falsche Aussage, z. B. 0:4 Das LGS hat keine Lösung +.3. 4= { } Man erhält eine allgemeingültige Aussage, t.B. 0:0= Das L63 hat unendlich viele Lösungen Darstellung der Lösungsmenge →Stufen form: x₁ + 2x₂-3x₂=6 ×2 - 2kg=2 0=0 Sette x₂=t in I ein: I X₂-2t=2 1+2+ X₂=2+26 Setze die beiden Lösungen in I ein: X₁+2 (2+2+)-3t =6 X₁ +4+4+- 3t = 6 *₁+ 4 ++ =6 1-4₁-t x₁ = 2-t LÖSEN VON MATRIZEN MIT DEM GTR Matrix definieren, Menu 1 → Mat/Uct #3 → DIM: 4 = {2-+₁ 2+2+₁ +} GEGENSEITICE LACE VON GERADE UND EBENE gegenseitige Lage schneiden sich 21 Rechenbefehl eingeben: Menü 1 → Optn → Mat/Vct 4 Lösungsmenge eine Lösung des LGS m: Zeilenanzah n: Spaltenanzahl → Zahlen in Matrix eingeben → Enter. • drücken bis Rref erscheint • weiter bis Mat Mat drücken Alpha A drücken Exe parallel gle identisch Log liegt in E keine Lösung unendlich Lösungen STRATEGIE →E mit g gleich- setzen LGS lösen NORMALENFORM DER EBENENGLEICHUNG Es gilt: n° ist senkrecht zu E; PEE (z. B. Stützuektor) E: X=p+r+ s. (Parameterform) Einen Vektor , der senkrecht zu den beiden Spann- vektoren und einer Ebene steht, nennt man Normalenvektor von E. E Wenn nein Normal envektor der Ebene ist, dann liegt dann in E, genau ein Punkt X mit dem Ortsvektor 2 wenn PX-X-P orthogonal zu n ist. Dann ist (-p)+n²=0 Diese Gleichung nennt man die Normalenform der Ebenengleichung. Frage: Wie kommt man an den Normalenvektor? ↳ Dazu nutzt man das Vektorprodukt: (41) из Sind = u x = und 3= V₂ J-(~) ^ из из Uz Va Un Vz - - Spannvektoren einer Ebene, so ist der Vektor Из Vz илиз U₂ Va BEISPIEL: E₁ (₁)+()+(²) ·(3³) vektorprodult: (Ureuzprodukt) -2 A (3) + (3²) = (-4) - ( ²³ ) x 9 -(x-2)-3-(x₂-1) +7 (x3-2)=0 9x₂ -18-3x₂ +3 +7x3-14 =0 9x₂-3x₂+7x3-29 = 0 E:9x₁ - 3x₂ +7x3 = 29 orthogonal zu 1+29 und v. ,9 Normalenform: E: € - [* - (A)] + (1) = 0 Durch die Bildung des Shalarprodukts kann man die Normalenform in die Koordinatenform umformen: is 55555 U₂ X U₂ sam aus Koordinatenform kann man den Normalenvektor ablesen p: Ortsvektor u,v: Richtungsvektor n: Normalenvektor no norm. Normalen- vektor SCHNITT GERADE // EBENE 5 E: 2x₁ +5x₂-xX3 =49 6 Parameterform: E:x=p+ru+s • v Enjo Koordinaten form: E:n₂ • x₁ + n₂ * x₂ + N₂ * x3 = d ello in Koordinaten- schreibweise g: * = ( ² ) + ² · ( ² ) ² * = (§5) + +- (₂) + h: t. 1-19 2 (3+2+) +5. (4++) - (7-t) = 49 6 +4++ 20 +5t - 7 + t = 49 10t=30 1:10 t=3 Enh: 2.(3+2+) + S. (4-4) - 1( -4) = 49 6 +4+ +20 - St-7+t = 49 19 = 49 h schneidet Enicht → Ellh 8 2. (3+2+) + 5. (8-t)-1(-3-t) = (9 6 + 4+ + 40-5t+3+t =49 48 = 49 j liegt auf E → 3 j=E E: PARALLELE EBENEN 2 Ebenen sind parallel, wenn die Koeffizienten gleich sind, aber die Zahl rechts anders: 2.B. E₁³X₁ + x₂ + Xg=1 & E₂ = X₁ + x₂ + x3 = 4 Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade zur Ebene Eng: Setze & Koordinatenweise in E ein: Achsenabschnittsform: + d/n d/n₂ d/n3 E: 4 + Normalen form: E:(x-p) •ñ=0 7 Hessesche Normalen form: E: (x-p) n = 0 n₁x₁ + N₂X₂ + n3x3 - d 0 Inol j: x² + (8) + E. (²1) - t = 1 Setze t=3 in g ein: OS= (²4) + 3 · (²³1) DS= () () 3+6 3 - (2) 1 9680 S (31714) also schneiden sich parallel identisc ABSTAND PUNKT // EBENE Unter dem Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E versteht man die geringste Entfernung von P zu E. P(2101A) E X₁+ 8x₂ - 4x3 =25 Bestimme d (P; E), d.h. den Abstand von P zu E Ortsvektor von P und ↳ Gerade aufstellen - g= EP 9₁x²-(3) + 3 - (1₂) x= S. 21 Wo schneiden sich € & g? HESSISCHE NORMALFORM Koordinatenweise einsetzen: 12+ s) + 8. (85) -4(1-45)=25 8 25 2+S+ 64S-4 +165 -2 +81s = 25 (+2 1:81 : 27 3 in g. x² = ( ² ) + 3 ( 1²1 ) 3) ► ³ (4)-(1) Normalvektor von E (Bestimme zu E orthogonale Gerade 8) 3 Betrag von SP → d = 15P1 d= √(2-)²+(0-)²+ (₁ + 1)² = 3 [LE] (1 Abstand berechnen ohne Lotfußpunkt also s(11-3) Ebenengleichung in Koordinatenform bringen 21 Normalvektor ablesen + Långe 3 Koordinatenform umstellen 815 bestimmen Länge bestimmen √²+n₁² +n₂² ^₁x₁ + n₂x₂ +ng xg =d ^^x^+^₂x₂ +^{x; -d=0 1-d XP S = 3 ne d เล S: Lot fußpunkt Punkt & Normalenvektor in hessische Normalform einsetzen: | Maxa + n₂x₂ + MgX; -d = A E Lange des Normalvektors Abstand ABSTAND PUNKT // GERADE 9₁ x = (1) + + ₁(3³) t. Hilfsebene: Normalvektor: RV : orthogonal zu von g R(11210,08) SR E: 2x₁ +3x₂ + x3 =0 R in E: 2.1+3·2+0,08 = 8,08 der Ebene ⇒ E: 2X₁+3X₂ + X 3 = 8,08 Schnittpunkt von g & E 2 (1+26) + 3 (1+34) + t = 8,08 2+4€ + 3 +9€ + t = 8,08 5+14+ = 8,08 14t = 3,08 t = 0,22 31 Gleichungen 9 2xa+Xz -Xq =3 (+83, -3 x3=-3+2x^+X2 REE X₁ = 0 + dr+05 x₂ = 0 + 0 +18 x3=-3+25+18 einsetzen des Punktes liefert Verschiebung E Abstand von ISRI = d = | √(1-1₁44)²+(2-1₁66)² + (0,08 -0,22)² | ~ 0,573 [km] UMWANDLUNG KOORDINATENFORM IN PARAMETERFORM 2.B. E: 2x₁ + x₂ - X3=3 11 Gleichung nach x3 auflösen. 1-5 1:14 XR x=r X2=S Lok in g 1,44 x² =( 1 ) + 0,2²2² (3) = (2002) ( ³ ) = (1,016) also S(1,44/1,66 (0,2) 21 setze x₁=r & x₂ = S X3=-3+25+8 9 Ebene in Parameterform E· X = (8) + T. (6) +5. (1) E: x² = SV + c· RV₁ +S • RV₂ häufig kann man vorher- ige Lösungen zur Lösung Aufgabe der neuen nutzen SCHNITTWINKEL VEKTOR-VEKTOR cos (a) = GERADE-GERADE uv 11-11 V K ↑> 1- EBENE-EBENE h g E₁ al EBENE-GERADE geg. E: (x - 7² ) + n² = 0 9: x² = P²+t-u Sin (a)= nul เส-เล g: x=a +ru h: x=b + ₁. J S cos d cos (90°-x) = \n*u| In 1.101 0≤4≤180° ữ*✔ 12.121 Riga COS α = Rug: Im + n₂1 Da cos(90°-x) = sin x ist, gilt für den Winkel zwischen Gerade und Ebene: Schnittwinkel: ≤ 90° Inal. Ingl n S -A COS →GTR: Deg Ø 4 P g sin(q) = cos(90° - ) = cos(p') = luong Tul Inl 1 Dreieck:nur 2 Winkel so berechnen (~+B+8=180°) Viereck: nur 3 Winkel (+B+8+ S=360°) 90° sin 180° Cos
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Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk)
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so ist das skalarprodukt ünv definiert durch : * = U₁V₁ + U₂ V₂ + U₂ V₂ (analog im R²) EBENEN IM R Ox Ortsvektor p r. (³) + s-(?) = ( 1 ) Umwandlung in LGS: LIEGT EIN PUNKT AUF DER EBENE? Setze den OV von A mit E gleich (†) r.(3) (1) +- (11) + -)-(1) 1 (1) 2 = Matrix E 2 3 1 2 7 5 O STRATEGIE | tot 2r + 3s = 5 Ar + 25 = 3 75 +5S=12 1.Möglichkeit: Gib die ersten beiden Gleichungen im GTR ein (2x2 Gleichungssystem): (=A S=A → A liegt auf E 2. Möglichkeit: Erstelle ein 3x3 L6S (3. Spalte=0) und lose es mit GTR ( wn und zwei nicht Eine Ebene im R³ kann durch einen Stützvektor aneinander parallele Richtungsvektoren u und beschrieben werden: 3 E: X=P²+cu+ V (Parameterform der Ebenengleichung) 8 12 SPURPUNKTE GERADE: Schnittpunkt der Geraden mit den Koordinatenebenen und heißen Spannvektoren Setzt man in der Ebenengleichung für r und s reelle Zahlen ein, dann erhält man Ortsvektoren, die zu Punkten in der Ebene gehören. SA SP von Gerade und x₂ x₂ - Ebene 8 Überprüfe mit der 3. Gleichung, ob sich eine wahre Aussage ergibt: 7·1+5·1=12√ S₂ = SP von Gerade und x₁x₂-Ebene SSP von Gerade und X₁X₂-Ebene X oders-Koordinate =0 setzen + Parameter berechnen oder I 2r+33 =5 I Ar +2s=3 I7r+SS=12 [r=1] S=A Matrix 2 3 wahre Aussage (2 SA SP mit x₂-Achse S₂ = SP mit x₂-Achse = SP mit x₂-Achse STRATEGIE 1³) C=S=A EBENE: Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinaten achsen 2 Koordinaten =0 setzen + letzte Koordinate berechnen (Koordinatenform) LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME LGS I 2хл-382 4*3 HEE I 1:(-2) → NR: X₂=-2 STRATEGIE: Lost III nach x₂ auf, setze Ergebnis in I um xz zu erhalten. Setze beide Werte in I ein. I 2x₁-3x₂ + x3 = 8 2x₂ +5x8=-6 x3 = -2 BAH = 8 2x₂+5x3 = -6 -2x3 I 2х-3Xz+X3=8 X₂ НАВ I LGS ist in Stufenform = 2 X₂=-2 NR: eingesetzt in I: 2x₁-3-(2) -2= 8 2x₁-8 =8 1+8 2x₁ = 16 1:2 XA = 8 AHH DAS GAUG-VERFAHREN Jedes L6S lässt sich durch Äquivalenzumformungen Beispiel: I + x2 x3 =10 II SX₁-3x₂ + x3 =5 -2x₂ + 2x3 = -4 NR: eingesetzt in I: 2x₂ +5.(-2)=-6 I I SX₁-3x₂ + x3 =5 HAE I I SK₁ - 3x₂ + x3 =5 ㅍ X2 + × 3 - Ло IC -x₂ + x3 = -2 X₂ + x3 = 10 -2x₂ + 2x3 = -4 1:2 бкл-3k2+X3 x₂ + x3 2x3 X₂=2 x₂=4 eingesetzt in II: x₂ +4=10 1-4 x₂ = 6 -5 I+I in Stufenform bringen: ERLAUBTE UMFORMUNGEN > 2 zeilen vertauschen > Multiplikation & Division einer Zeile mit einer reellen zahl > › Ersetzen einer Gleichung durch eine Summe von sich selbst und einer anderen Gleichung -10 =8 1:2 Nr. X₂ = 4 44 = {18121-2)} x₂ = 4 & x₂=6 eingesetzt in I. Sx,-3 (6)+4=s 5x1 14=5 1+14 1:5 Sữa 19 x₁ = 19 = 3₁8 2 = {(3,81614)} LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME Eine LGS kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben Bringe das LGS in Stufenform 2 Betrachte die letzte Zeile: al Man erhält eine Lösung für x₂ >Das LGS hat genau eine Lösung 8.8. L = {1;2;3} 51 Man erhält eine falsche Aussage, z. B. 0:4 Das LGS hat keine Lösung +.3. 4= { } Man erhält eine allgemeingültige Aussage, t.B. 0:0= Das L63 hat unendlich viele Lösungen Darstellung der Lösungsmenge →Stufen form: x₁ + 2x₂-3x₂=6 ×2 - 2kg=2 0=0 Sette x₂=t in I ein: I X₂-2t=2 1+2+ X₂=2+26 Setze die beiden Lösungen in I ein: X₁+2 (2+2+)-3t =6 X₁ +4+4+- 3t = 6 *₁+ 4 ++ =6 1-4₁-t x₁ = 2-t LÖSEN VON MATRIZEN MIT DEM GTR Matrix definieren, Menu 1 → Mat/Uct #3 → DIM: 4 = {2-+₁ 2+2+₁ +} GEGENSEITICE LACE VON GERADE UND EBENE gegenseitige Lage schneiden sich 21 Rechenbefehl eingeben: Menü 1 → Optn → Mat/Vct 4 Lösungsmenge eine Lösung des LGS m: Zeilenanzah n: Spaltenanzahl → Zahlen in Matrix eingeben → Enter. • drücken bis Rref erscheint • weiter bis Mat Mat drücken Alpha A drücken Exe parallel gle identisch Log liegt in E keine Lösung unendlich Lösungen STRATEGIE →E mit g gleich- setzen LGS lösen NORMALENFORM DER EBENENGLEICHUNG Es gilt: n° ist senkrecht zu E; PEE (z. B. Stützuektor) E: X=p+r+ s. (Parameterform) Einen Vektor , der senkrecht zu den beiden Spann- vektoren und einer Ebene steht, nennt man Normalenvektor von E. E Wenn nein Normal envektor der Ebene ist, dann liegt dann in E, genau ein Punkt X mit dem Ortsvektor 2 wenn PX-X-P orthogonal zu n ist. Dann ist (-p)+n²=0 Diese Gleichung nennt man die Normalenform der Ebenengleichung. Frage: Wie kommt man an den Normalenvektor? ↳ Dazu nutzt man das Vektorprodukt: (41) из Sind = u x = und 3= V₂ J-(~) ^ из из Uz Va Un Vz - - Spannvektoren einer Ebene, so ist der Vektor Из Vz илиз U₂ Va BEISPIEL: E₁ (₁)+()+(²) ·(3³) vektorprodult: (Ureuzprodukt) -2 A (3) + (3²) = (-4) - ( ²³ ) x 9 -(x-2)-3-(x₂-1) +7 (x3-2)=0 9x₂ -18-3x₂ +3 +7x3-14 =0 9x₂-3x₂+7x3-29 = 0 E:9x₁ - 3x₂ +7x3 = 29 orthogonal zu 1+29 und v. ,9 Normalenform: E: € - [* - (A)] + (1) = 0 Durch die Bildung des Shalarprodukts kann man die Normalenform in die Koordinatenform umformen: is 55555 U₂ X U₂ sam aus Koordinatenform kann man den Normalenvektor ablesen p: Ortsvektor u,v: Richtungsvektor n: Normalenvektor no norm. Normalen- vektor SCHNITT GERADE // EBENE 5 E: 2x₁ +5x₂-xX3 =49 6 Parameterform: E:x=p+ru+s • v Enjo Koordinaten form: E:n₂ • x₁ + n₂ * x₂ + N₂ * x3 = d ello in Koordinaten- schreibweise g: * = ( ² ) + ² · ( ² ) ² * = (§5) + +- (₂) + h: t. 1-19 2 (3+2+) +5. (4++) - (7-t) = 49 6 +4++ 20 +5t - 7 + t = 49 10t=30 1:10 t=3 Enh: 2.(3+2+) + S. (4-4) - 1( -4) = 49 6 +4+ +20 - St-7+t = 49 19 = 49 h schneidet Enicht → Ellh 8 2. (3+2+) + 5. (8-t)-1(-3-t) = (9 6 + 4+ + 40-5t+3+t =49 48 = 49 j liegt auf E → 3 j=E E: PARALLELE EBENEN 2 Ebenen sind parallel, wenn die Koeffizienten gleich sind, aber die Zahl rechts anders: 2.B. E₁³X₁ + x₂ + Xg=1 & E₂ = X₁ + x₂ + x3 = 4 Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade zur Ebene Eng: Setze & Koordinatenweise in E ein: Achsenabschnittsform: + d/n d/n₂ d/n3 E: 4 + Normalen form: E:(x-p) •ñ=0 7 Hessesche Normalen form: E: (x-p) n = 0 n₁x₁ + N₂X₂ + n3x3 - d 0 Inol j: x² + (8) + E. (²1) - t = 1 Setze t=3 in g ein: OS= (²4) + 3 · (²³1) DS= () () 3+6 3 - (2) 1 9680 S (31714) also schneiden sich parallel identisc ABSTAND PUNKT // EBENE Unter dem Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E versteht man die geringste Entfernung von P zu E. P(2101A) E X₁+ 8x₂ - 4x3 =25 Bestimme d (P; E), d.h. den Abstand von P zu E Ortsvektor von P und ↳ Gerade aufstellen - g= EP 9₁x²-(3) + 3 - (1₂) x= S. 21 Wo schneiden sich € & g? HESSISCHE NORMALFORM Koordinatenweise einsetzen: 12+ s) + 8. (85) -4(1-45)=25 8 25 2+S+ 64S-4 +165 -2 +81s = 25 (+2 1:81 : 27 3 in g. x² = ( ² ) + 3 ( 1²1 ) 3) ► ³ (4)-(1) Normalvektor von E (Bestimme zu E orthogonale Gerade 8) 3 Betrag von SP → d = 15P1 d= √(2-)²+(0-)²+ (₁ + 1)² = 3 [LE] (1 Abstand berechnen ohne Lotfußpunkt also s(11-3) Ebenengleichung in Koordinatenform bringen 21 Normalvektor ablesen + Långe 3 Koordinatenform umstellen 815 bestimmen Länge bestimmen √²+n₁² +n₂² ^₁x₁ + n₂x₂ +ng xg =d ^^x^+^₂x₂ +^{x; -d=0 1-d XP S = 3 ne d เล S: Lot fußpunkt Punkt & Normalenvektor in hessische Normalform einsetzen: | Maxa + n₂x₂ + MgX; -d = A E Lange des Normalvektors Abstand ABSTAND PUNKT // GERADE 9₁ x = (1) + + ₁(3³) t. Hilfsebene: Normalvektor: RV : orthogonal zu von g R(11210,08) SR E: 2x₁ +3x₂ + x3 =0 R in E: 2.1+3·2+0,08 = 8,08 der Ebene ⇒ E: 2X₁+3X₂ + X 3 = 8,08 Schnittpunkt von g & E 2 (1+26) + 3 (1+34) + t = 8,08 2+4€ + 3 +9€ + t = 8,08 5+14+ = 8,08 14t = 3,08 t = 0,22 31 Gleichungen 9 2xa+Xz -Xq =3 (+83, -3 x3=-3+2x^+X2 REE X₁ = 0 + dr+05 x₂ = 0 + 0 +18 x3=-3+25+18 einsetzen des Punktes liefert Verschiebung E Abstand von ISRI = d = | √(1-1₁44)²+(2-1₁66)² + (0,08 -0,22)² | ~ 0,573 [km] UMWANDLUNG KOORDINATENFORM IN PARAMETERFORM 2.B. E: 2x₁ + x₂ - X3=3 11 Gleichung nach x3 auflösen. 1-5 1:14 XR x=r X2=S Lok in g 1,44 x² =( 1 ) + 0,2²2² (3) = (2002) ( ³ ) = (1,016) also S(1,44/1,66 (0,2) 21 setze x₁=r & x₂ = S X3=-3+25+8 9 Ebene in Parameterform E· X = (8) + T. (6) +5. (1) E: x² = SV + c· RV₁ +S • RV₂ häufig kann man vorher- ige Lösungen zur Lösung Aufgabe der neuen nutzen SCHNITTWINKEL VEKTOR-VEKTOR cos (a) = GERADE-GERADE uv 11-11 V K ↑> 1- EBENE-EBENE h g E₁ al EBENE-GERADE geg. E: (x - 7² ) + n² = 0 9: x² = P²+t-u Sin (a)= nul เส-เล g: x=a +ru h: x=b + ₁. J S cos d cos (90°-x) = \n*u| In 1.101 0≤4≤180° ữ*✔ 12.121 Riga COS α = Rug: Im + n₂1 Da cos(90°-x) = sin x ist, gilt für den Winkel zwischen Gerade und Ebene: Schnittwinkel: ≤ 90° Inal. Ingl n S -A COS →GTR: Deg Ø 4 P g sin(q) = cos(90° - ) = cos(p') = luong Tul Inl 1 Dreieck:nur 2 Winkel so berechnen (~+B+8=180°) Viereck: nur 3 Winkel (+B+8+ S=360°) 90° sin 180° Cos