Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk)

Alternativer Bildtext:

49 48=49 j liegt auf E → j =E E: Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade zur Ebene Eng: Setze & Koordinatenweise in E ein: Achsenabschnittsform: E: x₁ + x₂ + d/n, d/n₂ d/n3 Normalenform: E: (x-p)•ñ=0 Hessesche Normalenform: E: (x-p) n = 0 n₁x₁ + n₂x₂ + N3x3-d Inol = 0 j: x² = ( 3 ) + - - (-²) E -1 Setze t:3 in 03= ( ² ) + 3 -(²31) +3 OS= ein: ge = ($) 1960 S(91714) schneiden sich parallel identisc ABSTAND PUNKT // EBENE Unter dem Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E versteht man die geringste Entfernung von P zu E. P(2101A) E X₁+ 8x₂ - 4x3 =25 Bestimme d (P; E), d. h. den Abstand von P zu E Ortsvektor von P und Normalvektor von E (Bestimme zu E orthogonale Gerade 8) Gerade aufstellen - g= EP g: x*- (3) + s. (1) S. 27 Wo schneiden sich € & g? Koordinatenweise einsetzen: s in g. **-(³) ► + HESSISCHE NORMALFORM Abstand berechnen ohne Lotfußpunkt (2+ 3) + 8 ⋅ (85) -4 (1-45) = 25 2+S+ 645-4+165 = 25 -2 +815 3 (4)-(1) 3 Betrag von SP → d = 15PI d=√(2-1¹²+ (0-1) ¹ (1 + 3)² = 3 [LE] 27 Normalvektor ablesen + Ebenengleichung in Koordinatenform bringen 3 Koordinatenform umstellen also s(113) Länge bestimmen √√²+n;²+n;² 815= 27 S = 3 n₁x₁ + n₂x₂ +ngxg=d 1-d ₁x₁ + ₂x₂+₂x₂ -d=0 ne 2 = 25 (+2 1:81 9 S: Lot fußpunkt Punkt & Normalenvektor in hessische Normalform einsetzen: n₁x₁ + n₂x₂ + n₂ xz -d Inl Lange des Normalvektors E A Abstand CERADEN IM IR beliebiger Punkt auf Straße echt parallel 21 11 u xo GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER GERADEN OX? 8/h g=h 11 1 parallel identisch ·9 JA 9 und h sind identisch g=h Jede Gerade im R* lässt sich darstellen durch eine Gleichung der Form: schneidend Ortsvektor zu beliebigen Punkt auf NEIN Liegt Q (Punkt mit Ortsvettor q) in g? 9 windschief g und h sind parallel g//h Sind die beiden Richtungsvektoren kollinear? JA g:x=p+r.u Stütevektor Richtungsvektor sum Punkt P ORTHOGONALITÄTSKRITERIUM FÜR VEKTOREN geg. zwei Geraden: g⋅x.p+r.u h:x: + su ges: gegenseitige Lage NEIN Hat die Gleichung LGS pr+su eine Lösung? g und h schneiden sich ORTHOGONALITAT zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie im 90° Winkel sueinander stehen FFF 40=U₁²V₁ + Uz • V₂ + Ug• Vz wenn RV bollinear sind-Faktor angeben g und h sind windschief DEFINITION: Skalarprodukt sind die Vektoren u =(4₂) und J=(4) gegeben, so ist das skalarprodukt u definiert durch: =U₁₁V₁ + U₂V₂ + U₂ V₂ (analog im (R²) Zwei Vektoren u und sind genau dann orthogonal, wenn gilt: = U₁V₁ + U₂ V₂ + U₂ V₂ = 0, wenn also das Skalarprodukt gleich 0 ist. EBENEN IM IRS Ox Ortsvektor p R3 r. (3) + s (2) = (§) Umwandlung in LGS: LIEGT EIN PUNKT AUF DER EBENE? Setze den OV von A mit E gleich (§) + - (17) + ³ · (? ) -(1) |-(³) Matrix E 2 3 1 2 7 5 000 2r + 3s = 5 Ar + 2s = 3 75 +5S = 12 Eine Ebene im R³ kann durch einen Stützvektor p und zwei nicht aneinander parallele Richtungsvektoren u und beschrieben werden: E: X=P+c.us.V (Parameterform der Ebenengleichung) A.Möglichkeit: Gib die ersten beiden Gleichungen im GTR ein (2x2 Gleichungssystem): (=A S=A und heißen Spannvektoren Setzt man in der Ebenengleichung für r und s reelle Zahlen ein, dann erhält man Ortsvektoren, die zu Punkten in der Ebene gehören. S 3 12 A liegt auf E 2.Möglichkeit: Erstelle ein 3x3 L6S (3. Spalte=0) und löse es mit GTR /5=1 SPURPUNKTE GERADE: Schnittpunkt der Geraden mit den Koordinatenebenen Überprüfe mit der 3. Gleichung, ob sich eine wahre Aussage ergibt: 7.1+5.1=12√ SSP von Gerade und x₂ x₂-Ebene S₂SP von Gerade und x₁x₂-Ebene SSP von Gerade und X₁X₂-Ebene I 2r+33 =S oder II 15 +2s = 3 STRATEGIE LX oder-Koordinate =0 setzen + Parameter berechnen I7r+Ss=12 S = A 12=2) Matrix (2313) wahre Aussage SA SP mit x₁ -Achse S₂ = SP mit x₂-Achse S₂ = SP mit x₂-Achse EGENE: Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinaten achsen STRATEGIE C=S=A 2 Koordinaten =0 setzen + letate Koordinate berechnen (Koordinatenform) LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME LGS I 2х1-3кг 4*3 2x2+5x8 ㅂ 1:(-2) → NR: X₂=-2 STRATEGIE: Lost III nach x₂ auf, setze Ergebnis in I um xz zu erhalten. Setze beide Werte in I ein. III = 8 =-6 = 4 -2x3 I 2x₁-3x₂ + x3 =8 I I 2x₁-3x₂ + x3 = 8 I = 2 x₂=4 2x₂ +5x8=-6 x3 = -2 I X=-2 NR: eingesetzt in I: 2x₁-3-(2) -2= 8 2x₁-8 =8 НИЕ HHE DAS GAUG-VERFAHREN Jedes L6S lässt sich durch Äquivalenzumformungen in Stufenform bringen: Beispiel: + X2 x3 =10 I SX₁-3x₂ + x3 = 5 -2x₂ + 2x3 = -4 ㅍ LGS ist in Stufenform I SX₁-3x₂ + x3 =5 HEE NR: eingesetzt in II: 2x₂ +S-(-2)=-6 ㅍ HHE I SK₁ - 3x₂ + x3 =5 x₂ + x3 =10 -X₂ + x3 = -2 I x₂ +4=10 1-4 x₂=6 X2 + x3 = 10 -2x₂ + 2x3 = -4 1:2 бкл-3к2+X3 x₂ + x3 2x3 eingesetzt in II: X₂=2 =5 2x₁=16 X₁ = 8 =10 =8 1+8 1:2 I+W ERLAUBTE UMFORMUNGEN > 2 zeilen vertauschen > Multiplikation & Division einer Zeile mit einer reellen Zahl >Ersetzen einer Gleichung durch eine Summe von sich selbst und einer anderen Gleichung 1:2 Nr. X₂ = 4 4 = {18121-2)} x₂ = 4 & x₂=6 eingesetzt in I. Sx,-3 (6)+4=s 5x^ - 14 = 5 1+14 1:5 Sữa 19 x₁ = 18 = 3₁8 2 = {(13,81614)} L LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME Eine LGS kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben A Bringe das LGS in Stufenform 21 Betrachte die letzte Zeile: al Man erhält eine Lösung für x₂ Das LGS hat genau eine Lösung 8.8. LL = {1;2;3} 5 Man erhält eine falsche Aussage, 2.8.0:4 Das LGS hat keine Lösung 4.8. 4= { } 27 Man erhält eine allgemeingültige Aussage, E.B. 0=0= Das L63 hat unendlich viele Lösungen Le Darstellung der Lösungsmenge →Stufen form: x₁ + 2x₂-3x₂=6 x₂-2kg = 2 0=0 Sette x₁st in II ein: I X₂-2t =2 1+2+ X₂ = 2+2t Setze die beiden Lösungen in I ein: ₁+2 (2+2+)-3t = 6 *₁ +4+4+- 3t = 6 *₁+ 4 ++ =6 1-4,-t x₁ = 2-t LÖSEN VON MATRIZEN MIT DEM CTR Matrix definieren, Menu 1 → Mat/uct F3 → DIM : 21 Rechenbefehl eingeben: GEGENSEITIGE LAGE VON gegenseitige Lage 41 = {2+₁ 2+2+₁+} Menü 1→ Optn→ Mat/Vct UN BENE schneiden sich m: Zeilenanza W n: Spaltenantahl → Enter → Zahlen in Matrix eingeben Lösungsmenge eine Lösung des LGS • drücken bis Rref erscheint o weiter bis Mat •Mat drücken Alpha A drücken Exe parallel Logle identisch Log liegt in E keine Lösung unendlich Lösungen STRATEGIE E mit g gleich- setzen LGS lösen ABSTANDPUNKT // GERADE g₁ x = (1) + + (³) R(11210,08) Hilfsebene: orthogonal zu g + REE Normalvektor: RV von 9 E: 2xa +3x, +*3=0 R in E: 2.1+3·2+0,08 = 8,08 der Ebene ⇒ E= 2x₁+3×₂ + X g = 8,08 Schnittpunkt von 9 & E 2 (1+26) + 3 (1+3+) + t = 8,08 2+46 +3+9€ + t = 8,08 5+14+ = 8,08 14t = 3,08 t = 0,22 Abstand von SR 31 Gleichungen einsetzen des Punktes 7liefert Verschiebung UMWANDLUNG KOORDINATENFORM IN PARAMETERFORM 4.B. E : 2xa+ Xz- Xz=3 Gleichung nach xz 2x^+ X2 -Xq =3 (+83, -3 X3=-3+2хл+X2 X₁=0 + 15 +05 x₂ = 0 + 0 +18 x3=-3+25+18 1-5 1:14 auflösen ISRI=d=√(1-1₁44)²+(2-1₁66)² + (0,08 -0,22)² ~ 0,573 [km] XR x=r X2=S 21 setze x₁=r 전 ut in g /1,44 x² = ( ² ) + 0,²² ( ³ ) = (²+0+1 ) 922. X3=-3+25+8 X₂=S 9 Ebene in Parameterform E₁X -(3) + r. (1) +s (1) 1,66 also S(1,44/1,66 (0,22) E: X²=SV + · RV₁₂ +S. •häufig kann man vorher- ige Lösungen zur Lösung der neuen Aufgabe nutzen NORMALENFORM DER EBENENGLEICHUNG Es gilt: n° ist senkrecht zu E; PEE (z. B. Stützuektor) E: X=p+r⋅u+ s. (Parameter form). Einen Vektor , der senkrecht zu den beiden Spann- vektoren und einer Ebene steht, nennt man von E. Normalenvektor E Wenn nein Normalenvektor der Ebene ist, dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor genau dann in E, wenn PX=- orthogonal zu nist. Dann ist (-p) n°²=0 Diese Gleichung nennt man die Normalenform der Ebenengleichung. Frage: Wie kommt man an den Normalenvektor? ↳ Dazu nutzt man das Vektorprodukt: Sind u=u₂ * = (41) BEISPIEL: X -21 -2 (1^2) = £ und 3= |V₂ U₂ V3 x = U₂ V₁ - Un V₂ Vektorprodukt: (Kreuzprodukt) /3.3-0. A 0-(-2)-1.3 (1-1-3-(-2)/ = Из Vz илиз U₂ V₁ E₁ X = (²) + < ·-(3) +- (²³²) Spannvektoren einer Ebene, so ist der Vektor 9-(x-2)-3-(x₂-1) +7 (x3-2)=0 9x₁ -18-3x₂ +3 +7x3=14=0 9xa -3к2 +7×s - 29 = 0 E:9x₁ - 3x₂ +7x3 = 29 orthogonal zu 1+29 und v. 9 Normalenform: E: x- € · [ * - (-1)] + ( 3 ) = 0 Durch die Bildung des Skalarprodukts kann man die Normalenform in die Koordinatenform umformen: 15 ñ /U₁ U₂ X U₂ V3 U₁² U₂ aus Koordinatenform kann man den Normalenvektor ablesen VA LV₂ SCHNITTWINKEL VEKTOR-VEKTOR cos (a)= v द्विज GERADE-GERADE 4 EBENE-EBENE h g Sin (a)= In EBENE-GERADE geg. E: (x-7)+7=0 giữ số từ cos (90°-) = ²* g: 7 =a + u h: x=b +₁.√ cos d = 1-10 0≤1≤180° Inl·lul u*v 15.10 RVg₂ COS&= Da cos(80-x) = sin * ist, gilt für den Winkel zwischen Gerade und Ebene: | Im +₂1 Schnittwinkel: ≤ 90° Inal. Ing Cos →GTR: Deg E sin(e) = cos(90° - ) = cos(e') = 1un1 Jul-In Dreieck:nur 2 Winkel so berechnen (+B+8=180°) Viereck: nur 3 Winkel (+3+ + S=360°) sin 180° Cos