Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk)

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Analytische Geometrie Abiturzusammenfassung (Lk)

 DREIDIMENSIONALES KOORDINATENSYSTEM
x₂₁x₂-Ebene; x₂ = 0
10
Analytische
Geonbetrie
%₂
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MITTELPUNKT EINER STRECKE
ges. MA
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X₂ X3-Ebene; x₁

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DREIDIMENSIONALES KOORDINATENSYSTEM x₂₁x₂-Ebene; x₂ = 0 10 Analytische Geonbetrie %₂ 10 MITTELPUNKT EINER STRECKE ges. MA a X₂ X3-Ebene; x₁=0 X₁X₂-Ebene; x₂=0 geg. Ala la, las) &B|b,lb=163) OMOA AB ā RECHNEN MIT VEKTOREN ADDIEREN / SUBTRAHIEREN → æ x c - () + (ឬ) - ( + 1 = = a 10 ā x2 LANGE VON VEKTOREN Abstand von 2 Punkten im Raum: |AB| = √ (b₁-Q₁₁)² + (b₁-a₂)² + (b₂-Q₂)² Betrag von Vektoren |aª| = a-b OA a + b OM ORTSVEKTOR Der Vektor Punktes Pipa Pal Pal Vektor AB: Ala, la, lag) B(balb₂|bg) → AB ³ 12 a: M KOLLINEAR zwei Vektoren sind vielfache voneinander; t.8. ² = ( ) & b = (²) 8 Gegenvektor zu a →parallel, gleichlang, aber entgegengesetst orientiert MULTIPLIZIEREN =(2²) heißt Ortsvektor des X. an.X Q-Q) a₂ 8 at Richtung bleibt gleich, Länge verändert sich a a 2. a CERADEN IM IRS beliebiger Punkt auf Straße echt parallel ZA / OX? GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER GERADEN g/h g=h (4) identisch parallel P/ 1 JA g und h sind identisch g=h Jede Gerade im RR* lässt sich darstellen durch eine Gleichung der Form: schneidend 0=U₁· V₁ + u Liegt Q (Punkt mit Ortsvettor q) in g? Ortsvektor zu beliebigen Punkt auf g NEIN windschief 9 und h sind parallel g//h gixaper.u Stütevektor Richtungevektor sum Punkt P Sind die beiden Richtungsvektoren kollinear? JA ORTHOGONALITÄTSKRITERIUM FÜR VEKTOREN geg.: .: zwei Geraden: g:x²³: ☎ + r.ũ h: 7:+su ges: gegenseitige Lage g und h schneiden sich NEIN Hat die Gleichung LGS + ORTHOGONALITAT zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie im 90° Winkel sueinander stehen LY eine Lösung? Ewei Vektoren und ✔ sind genau dann orthogonal, wenn gilt: UµÑ= U₁V₁+ U₂ V₂ + UzV₂ = 0₁ wenn also das Skalarprodukt gleich 0 ist. wenn RV bollinear sind-Faktor angeben g und h sind windschief DEFINITION: Skalarprodukt 8 sind die Vektoren u =(4₂) und J=(4) gegeben, so ist...

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das Skalarprodukt un definiert durch: =U₁V₁ + U₂ V₂ + UzV₂ (analog im (R²) EBENEN IM R Ox Ortsvektor p r-·(³) + s ·{} ) = ({}) Umwandlung in LGS: LIEGT EIN PUNKT AUF DER EBENE? Setze den OV von A mit E gleich. E (14) + (1) + ₁ - ()-(₂) 1-(3) (§) +r. 2 = Matrix 2 3 1 2 7 S O +0€ 2r + 3s = 5 Ar + 2s = 3 75 +55 = 12 und zwei nicht Eine Ebene im R³ kann durch einen Stütevektor aneinander parallele Richtungsvektoren u und ✓ beschrieben werden: E: X²=P² +·+·V (Parameterform der Ebenengleichung) und heißen Spannvektoren Setet man in der Ebenengleichung für r und s reelle Zahlen ein, dann erhält man Ortsvektoren, die zu Punkten in der Ebene gehören. S 3 A.Möglichkeit: Gib die ersten beiden Gleichungen im GTR ein (2x2 Gleichungssystem): r=A S=A 12 → A liegt auf E 2. Möglichkeit: Erstelle ein 3x3 L6S (3. Spalte=0) und lose es mit GTR | SPURPUNKTE GERADE: Schnittpunkt der Geraden mit den Koordinatenebenen SSP von Gerade und x₂ x₂-Ebene S₂ = SP von Gerade und X₁X₂-Ebene SP von Gerade und X₁X₂-Ebene 25+33=5 oder II 15 +25=3 I7r+Ss=12 Überprüfe mit der 3. Gleichung, ob sich eine wahre Aussage ergibt: 7·1+5·1=12√/ STRATEGIE X oder,-koordinate =0 setzen + Parameter berechnen I [r=d S=A (2=2 Matrix 2 3 (å wahre Aussage SA SP mit x₁ -Achse = SP mit x₂-Achse = SP mit x₂-Achse 1³) C=S=A EBENE: Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinaten achsen STRATEGIE L2 Koordinaten =0 setzen + letzte Koordinate berechnen (→ Koordinatenform) LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME LGS I 2x1-3x2 483 НЕЕ BAH 2x₂+5x8 1:(-2) → NR: X₂=-2 STRATEGIE : Lōst III nach x3 auf, setze Ergebnis in I um xz zu erhalten. Setze beide Werte in I ein. HHB =-6 I 2x₁-3x₂+x3=8 2x₂ +5x₂=-6 x3 = -2 I 2*-3Xz + X3=8 X2 = 2 I |-2x3 = 4 X=-2 NR: eingesetzt in I: 2x₁-3-(2) −2 = 8 2x₁-8 =8 2x₁ = 16 XA = 8 IT LGS ist in Stufenform I + x2 x3 =10 I SX₁-3x₂ + x3 =5 -2x₂ + 2x3 = -4 HAB DAS GAUG-VERFAHREN Jedes LGS lässt sich durch Äquivalenzumformungen in Stufenform bringen: Beispiel: NR: eingesetzt in I: 2x₂ +5-(-2)=-6 : X₂=2 ㅍ I SX₁-3x₂ + x3 =5 HAE I I SK₁ - 3x₂ + x3 =5 ㅍ x₂ + x3 =1 TIC -X₂ + x3 = -2 X₂ + x3 = 10 -2x₂ + 2x3 = -4 1:2 SKA-3x₂ + x3 x₂ + x3 x₂=4 eingesetzt in II: x₂ +4=10 1-4 x₁₂=6 =5 =10 2x3 =8 I+I 1+8 1:2 Sữa 19 = ERLAUBTE UMFORMUNGEN > 2 zeilen vertauschen > Multiplikation & Division einer Zeile mit einer reellen Zahl 1:2 Nr: X₂ = 4 > Ersetzen einer Gleichung durch eine Summe von sich selbst und einer anderen Gleichung x₂ = 4 & x₂=6 eingesetzt in I: Sxa-3 (6)+4=s 5x1 14=5 44 = {18121-2)} 1+14 1:5 x₁ = 18 = 3,8 2 = {(3,01614)} LÖSUNGSMENGEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME Eine LGS kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben Bringe das LGS in Stufenform 2 Betrachte die letzte Zeile: al Man erhält eine Lösung für x₂ >Das LGS hat genau eine Lösung 51 Man erhält eine falsche Aussage, 2.8.0:4 Das LGS hat keine Lösung El Man erhält eine allgemeingültige Aussage, t.B. 0:0= Das L63 hat unendlich viele Lösungen Le Darstellung der Lösungsmenge. - → Stufen form: X₁ + 2x₂-3x₂=6 *1 - 2kg=2 0=0 Sette x₂=t in I ein: I X₂-2t =2 1+2+ X₂=2+2t Setze die beiden Lösungen in I ein: ₁+2 (2+2+)-3t =6 X₁ +4+4+- 3t = 6 =6 1-4,-t x₁=2-t LÖSEN VON MATRIZEN MIT DEM GTR Matrix definieren, Menu 1 → Mat/Uct (F3) →DIM : L= GEGENSEITIGE LAGE VON GERADE UND EBENE gegenseitige Lage schneiden sich Lösungsmenge eine Lösung des LGS → Enter. 2 Rechenbefehl eingeben: Menü 1→ Optn- Mat/Vct 2+2€ m: Zeilenanzah n: Spaltenantahl → Zahlen in Matrix eingeben 1.8. LL = {1:2;3} +3.4 = { } Alpha A drücken Exe → • drücken bis Rref erscheint • weiter bis Mat Mat drücken parallel identisch Log liegt in E Lo glle keine Lösung unendlich Lösungen STRATEGIE →E mit g gleich- setzen LGS lasen

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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