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Mathematik

Vektorraumoperationen

orthogonale Vektoren

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1. Feb. 2026

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Abitur 2023 LK: Vektorielle Geometrie verstehen und anwenden

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@irem.s52

Vektorielle Geometrie ist überall um uns herum - von der... Mehr anzeigen

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Winkel zwischen zwei Vektoren cos(x)= Bsp.: $

Grundlagen der Vektoren

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Punkt im Raum befindet - genau dafür brauchst du Ortsvektoren. Der Ortsvektor OP→\overrightarrow{OP} zeigt vom Koordinatenursprung zu deinem Punkt P mit den Koordinaten (P1,P2,P3)(P_1, P_2, P_3).

Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel ∣OP→∣=P12+P22+P32|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{P_1^2 + P_2^2 + P_3^2}. Das ist wie der Satz des Pythagoras, nur in 3D! Beispiel: Für OP→=(1 2 2)\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} ist die Länge 12+22+22=9=3\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3.

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu finden, rechnest du einfach AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}. Den Abstand zweier Punkte findest du dann über die Länge dieses Verbindungsvektors.

Geraden im Raum beschreibst du mit der Gleichung x⃗=a⃗+tb⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{b}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und b⃗\vec{b} der Richtungsvektor ist. Mit dem Parameter t kannst du jeden Punkt auf der Gerade erreichen.

Merktipp: Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ist null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen!

Winkel zwischen zwei Vektoren cos(x)= Bsp.: $

Winkel und Ebenen

Mit dem Skalarprodukt kannst du super einfach Winkel zwischen Vektoren berechnen: cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}. Das brauchst du ständig in der Physik und beim Programmieren von 3D-Anwendungen.

Ebenen beschreibst du mit der Parametergleichung x⃗=u⃗+r⋅v⃗+s⋅w⃗\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}. Hier ist u⃗\vec{u} dein Stützvektor und v⃗,w⃗\vec{v}, \vec{w} sind die Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und schaust, ob das Gleichungssystem lösbar ist. Wenn ja, liegt der Punkt auf der Ebene.

Das Gaußverfahren hilft dir dabei, komplizierte Gleichungssysteme zu lösen. Du bringst die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Zeilenumformungen in Stufenform und liest dann die Lösungen ab.

Praxistipp: Beim Gaußverfahren immer systematisch vorgehen - erst alle Einträge unter der Hauptdiagonale zu null machen, dann rückwärts auflösen!

Winkel zwischen zwei Vektoren cos(x)= Bsp.: $

Normalvektoren und Koordinatengleichungen

Die Normalgleichung einer Ebene E:(x−p)⋅n=0E: (x-p) \cdot n = 0 ist oft praktischer als die Parameterform. Der Normalvektor n⃗\vec{n} steht senkrecht auf der Ebene und gibt dir ihre Ausrichtung an.

Den Normalvektor findest du auf zwei Wege: Entweder löst du ein LGS (die Spannvektoren müssen orthogonal zum Normalvektor sein) oder du berechnest das Kreuzprodukt der Spannvektoren: (a1 a2 a3)×(b1 b2 b3)=(a2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1)\begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}.

Für Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen gibt's drei Möglichkeiten: Sie schneiden sich (eine Lösung), sind parallel (keine Lösung) oder die Gerade liegt in der Ebene (unendlich viele Lösungen).

Den Abstand eines Punktes zur Ebene berechnest du, indem du eine Gerade durch den Punkt parallel zum Normalvektor aufstellst, den Schnittpunkt mit der Ebene findest und dann die Entfernung misst.

Wichtig: Wenn Gerade und Normalvektor parallel sind, steht die Gerade senkrecht zur Ebene - das ist der kürzeste Abstand!

Winkel zwischen zwei Vektoren cos(x)= Bsp.: $

Hessesche Normalform und Anwendungen

Die Hessesche Normalform (HNF) ist ein Turbo-Tool für Abstandsberechnungen. Du teilst die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalvektors: ax1+bx2+cx3+d∣n⃗∣\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3 + d}{|\vec{n}|}. Setzt du dann einen Punkt ein, bekommst du direkt den Abstand zur Ebene!

Der Einheitsnormalvektor n⃗0=n⃗∣n⃗∣\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} hat immer die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Normalvektor. Super praktisch für viele Berechnungen.

Schattenpunkte sind ein cooles Anwendungsbeispiel. Bei einer punktförmigen Lichtquelle stellst du die Lichtgerade auf: x⃗=l⃗+tlp⃗\vec{x} = \vec{l} + t \vec{lp} (von der Lichtquelle L zum Punkt P). Bei Sonnenlicht nutzt du die Sonnenstrahlen-Richtung: x⃗=p⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{p} + t\vec{u}.

Den Schatten findest du, indem du die Lichtgerade mit der Ebene schneidest - dort wo das Licht "auftrifft", entsteht der Schattenpunkt.

Anwendung: Diese Konzepte stecken in jeder 3D-Software, jedem Computerspiel und sogar in der Architektur bei Sonnenverlaufsstudien!



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Beliebtester Inhalt: orthogonale Vektoren

Mathe LK Abitur Lernzettel 2024 NRW

Alle drei Inhaltsfelder, die relevant fürs Mathe LK Abitur sind mit Stochastik, analytische Geometrie und Analysis zusammengefasst. Alle Themen des Mathe Abis 2025.

MatheMathe
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Vektoren: Mathe Abitur GK

Umfassende Zusammenfassung für das Matheabitur im Bereich Vektoren. Behandelt Themen wie Skalarprodukt, Winkelberechnung, orthogonale Vektoren, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie lineare Gleichungssysteme. Ideal für Schüler in NRW, die sich auf das Abitur vorbereiten.

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Vektorgeometrie Zusammenfassung

Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.

MatheMathe
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Analytische Geometrie: Vektoren & Ebenen

Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Punkte und Vektoren, Geraden und Ebenen, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie Winkelbeziehungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur und das Verständnis linearer Algebra. Themen: Orthogonalität, Lagebeziehungen und Parametergleichungen.

MatheMathe
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Vektoren: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion, Geradengleichungen, Skalarprodukt und Abstandsberechnung. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu linearer Abhängigkeit, Orthogonalität und den Lagebeziehungen von Geraden. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.

MatheMathe
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Winkel zwischen Vektoren

Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, einschließlich der Verwendung des Skalarprodukts und der Beträge. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Vektorwinkelberechnung, orthogonale Vektoren und spezielle Fälle. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Vektoren und Geometrie

Vertiefte Zusammenfassung zu Vektoren, Geraden, Ebenen und deren Lagebeziehungen. Erlerne die Berechnung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie die Anwendung der Hesse'schen Normalenform. Ideal für Abiturvorbereitung in der Vektorgeometrie.

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Vektoren und Lagebeziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich ihrer Eigenschaften, Skalarprodukt, Punktprobe und Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu orthogonalen Vektoren, parallelen Linien und mehr. Ideal für Studierende der analytischen Geometrie.

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Orthogonale Vektoren & Skalarprodukt

Erfahren Sie, wie das Skalarprodukt zur Bestimmung der Orthogonalität von Vektoren verwendet wird. Diese Zusammenfassung enthält klare Definitionen, anschauliche Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

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Sudenaz Ocak

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Grundlagen der Vektoren

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Punkt im Raum befindet - genau dafür brauchst du Ortsvektoren. Der Ortsvektor OP→\overrightarrow{OP} zeigt vom Koordinatenursprung zu deinem Punkt P mit den Koordinaten (P1,P2,P3)(P_1, P_2, P_3).

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Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu finden, rechnest du einfach AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}. Den Abstand zweier Punkte findest du dann über die Länge dieses Verbindungsvektors.

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Winkel und Ebenen

Mit dem Skalarprodukt kannst du super einfach Winkel zwischen Vektoren berechnen: cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}. Das brauchst du ständig in der Physik und beim Programmieren von 3D-Anwendungen.

Ebenen beschreibst du mit der Parametergleichung x⃗=u⃗+r⋅v⃗+s⋅w⃗\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}. Hier ist u⃗\vec{u} dein Stützvektor und v⃗,w⃗\vec{v}, \vec{w} sind die Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

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Normalvektoren und Koordinatengleichungen

Die Normalgleichung einer Ebene E:(x−p)⋅n=0E: (x-p) \cdot n = 0 ist oft praktischer als die Parameterform. Der Normalvektor n⃗\vec{n} steht senkrecht auf der Ebene und gibt dir ihre Ausrichtung an.

Den Normalvektor findest du auf zwei Wege: Entweder löst du ein LGS (die Spannvektoren müssen orthogonal zum Normalvektor sein) oder du berechnest das Kreuzprodukt der Spannvektoren: (a1 a2 a3)×(b1 b2 b3)=(a2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1)\begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}.

Für Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen gibt's drei Möglichkeiten: Sie schneiden sich (eine Lösung), sind parallel (keine Lösung) oder die Gerade liegt in der Ebene (unendlich viele Lösungen).

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Wichtig: Wenn Gerade und Normalvektor parallel sind, steht die Gerade senkrecht zur Ebene - das ist der kürzeste Abstand!

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Hessesche Normalform und Anwendungen

Die Hessesche Normalform (HNF) ist ein Turbo-Tool für Abstandsberechnungen. Du teilst die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalvektors: ax1+bx2+cx3+d∣n⃗∣\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3 + d}{|\vec{n}|}. Setzt du dann einen Punkt ein, bekommst du direkt den Abstand zur Ebene!

Der Einheitsnormalvektor n⃗0=n⃗∣n⃗∣\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} hat immer die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Normalvektor. Super praktisch für viele Berechnungen.

Schattenpunkte sind ein cooles Anwendungsbeispiel. Bei einer punktförmigen Lichtquelle stellst du die Lichtgerade auf: x⃗=l⃗+tlp⃗\vec{x} = \vec{l} + t \vec{lp} (von der Lichtquelle L zum Punkt P). Bei Sonnenlicht nutzt du die Sonnenstrahlen-Richtung: x⃗=p⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{p} + t\vec{u}.

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Analytische Geometrie Grundlagen

Umfassende Zusammenfassung zur analytischen Geometrie für das Abitur. Behandelt Vektoren, Geraden, Ebenen, Parameterdarstellung, Koordinatenform, Lagebeziehungen, Geradenscharen, Ebenenscharen sowie Abstände und Winkel zwischen geometrischen Objekten. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Scheitelpunktform Quadratischer Funktionen

Erfahren Sie, wie Sie quadratische Funktionen in Scheitelpunktform umwandeln, Nullstellen berechnen und die Eigenschaften von Parabeln erkennen. Diese Zusammenfassung behandelt die quadratische Ergänzung, die Bestimmung von Scheitelpunkten und die Verschiebung von Parabeln. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von quadratischen Funktionen vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt: orthogonale Vektoren

Mathe LK Abitur Lernzettel 2024 NRW

Alle drei Inhaltsfelder, die relevant fürs Mathe LK Abitur sind mit Stochastik, analytische Geometrie und Analysis zusammengefasst. Alle Themen des Mathe Abis 2025.

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Vektoren: Mathe Abitur GK

Umfassende Zusammenfassung für das Matheabitur im Bereich Vektoren. Behandelt Themen wie Skalarprodukt, Winkelberechnung, orthogonale Vektoren, Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen sowie lineare Gleichungssysteme. Ideal für Schüler in NRW, die sich auf das Abitur vorbereiten.

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Vektorgeometrie Zusammenfassung

Diese Zusammenfassung behandelt die wichtigsten Konzepte der Vektorgeometrie, einschließlich der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen, dem Skalarprodukt zur Winkelberechnung, der Berechnung von Abständen und der Darstellung geometrischer Objekte im 3D-Koordinatensystem. Ideal für das Abitur 2023 in NRW. Themen: Orthogonalität, lineare Abhängigkeit, Punktproben und mehr.

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Analytische Geometrie: Vektoren & Ebenen

Diese Zusammenfassung behandelt die wesentlichen Konzepte der analytischen Geometrie, einschließlich Punkte und Vektoren, Geraden und Ebenen, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie Winkelbeziehungen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur und das Verständnis linearer Algebra. Themen: Orthogonalität, Lagebeziehungen und Parametergleichungen.

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Vektoren: Grundlagen und Anwendungen

Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren, einschließlich Addition, Subtraktion, Geradengleichungen, Skalarprodukt und Abstandsberechnung. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu linearer Abhängigkeit, Orthogonalität und den Lagebeziehungen von Geraden. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Mathematik.

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Winkel zwischen Vektoren

Erfahren Sie, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet, einschließlich der Verwendung des Skalarprodukts und der Beträge. Diese Zusammenfassung behandelt die Grundlagen der Vektorwinkelberechnung, orthogonale Vektoren und spezielle Fälle. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Vektoren und Geometrie

Vertiefte Zusammenfassung zu Vektoren, Geraden, Ebenen und deren Lagebeziehungen. Erlerne die Berechnung von Abständen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sowie die Anwendung der Hesse'schen Normalenform. Ideal für Abiturvorbereitung in der Vektorgeometrie.

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Vektoren und Lagebeziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren, einschließlich ihrer Eigenschaften, Skalarprodukt, Punktprobe und Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zu orthogonalen Vektoren, parallelen Linien und mehr. Ideal für Studierende der analytischen Geometrie.

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Orthogonale Vektoren & Skalarprodukt

Erfahren Sie, wie das Skalarprodukt zur Bestimmung der Orthogonalität von Vektoren verwendet wird. Diese Zusammenfassung enthält klare Definitionen, anschauliche Beispiele und Schritt-für-Schritt-Anleitungen zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Quadratische Funktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen quadratischer Funktionen und Parabeln. Lernen Sie, wie man Funktionsgleichungen bestimmt, Nullstellen findet und die verschiedenen Formen (Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form) anwendet. Ideal für Mathematikstudenten, die ihre Kenntnisse vertiefen möchten.

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Integrationsregeln und Anwendungen

Entdecken Sie die grundlegenden Rechenregeln für unbestimmte und bestimmte Integrale, einschließlich der Potenzregel, Summenregel und Substitutionsregel. Lernen Sie, wie man Stammfunktionen findet und die Fläche unter Graphen mit bestimmten Integralen berechnet. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Potenzfunktionen verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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der zerbrochene Krug übersicht

Mindmap zum zerbrochenem Krug

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Anna

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Thomas R

iOS-Nutzer

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Basil

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

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Rohan U

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Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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