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30. Nov. 2025

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Abitur 2023 LK: Vektorielle Geometrie verstehen und anwenden

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Irem @irem.s52

Vektorielle Geometrie ist überall um uns herum - von der Navigation im Handy bis zur 3D-Grafik in Games.... Mehr anzeigen

Ortsvektor P ist ein Punkt im Raum mit den Koordinaten (P₁1P2/P3). Dann ist OP (oder ) = (A) der Ortsvektor zu P Länge/Betrag eines Ortsvekt

Grundlagen der Vektoren

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Punkt im Raum befindet - genau dafür brauchst du Ortsvektoren. Der Ortsvektor OP→\overrightarrow{OP} zeigt vom Koordinatenursprung zu deinem Punkt P mit den Koordinaten (P1,P2,P3)(P_1, P_2, P_3).

Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel ∣OP→∣=P12+P22+P32|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{P_1^2 + P_2^2 + P_3^2}. Das ist wie der Satz des Pythagoras, nur in 3D! Beispiel Für OP→=(1 2 2)\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} ist die Länge 12+22+22=9=3\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3.

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu finden, rechnest du einfach AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}. Den Abstand zweier Punkte findest du dann über die Länge dieses Verbindungsvektors.

Geraden im Raum beschreibst du mit der Gleichung x⃗=a⃗+tb⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{b}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und b⃗\vec{b} der Richtungsvektor ist. Mit dem Parameter t kannst du jeden Punkt auf der Gerade erreichen.

Merktipp Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ist null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen!

Ortsvektor P ist ein Punkt im Raum mit den Koordinaten (P₁1P2/P3). Dann ist OP (oder ) = (A) der Ortsvektor zu P Länge/Betrag eines Ortsvekt

Winkel und Ebenen

Mit dem Skalarprodukt kannst du super einfach Winkel zwischen Vektoren berechnen cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}. Das brauchst du ständig in der Physik und beim Programmieren von 3D-Anwendungen.

Ebenen beschreibst du mit der Parametergleichung x⃗=u⃗+r⋅v⃗+s⋅w⃗\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}. Hier ist u⃗\vec{u} dein Stützvektor und v⃗,w⃗\vec{v}, \vec{w} sind die Spannvektoren, die die Richtung der Ebene bestimmen.

Bei einer Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und schaust, ob das Gleichungssystem lösbar ist. Wenn ja, liegt der Punkt auf der Ebene.

Das Gaußverfahren hilft dir dabei, komplizierte Gleichungssysteme zu lösen. Du bringst die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Zeilenumformungen in Stufenform und liest dann die Lösungen ab.

Praxistipp Beim Gaußverfahren immer systematisch vorgehen - erst alle Einträge unter der Hauptdiagonale zu null machen, dann rückwärts auflösen!

Ortsvektor P ist ein Punkt im Raum mit den Koordinaten (P₁1P2/P3). Dann ist OP (oder ) = (A) der Ortsvektor zu P Länge/Betrag eines Ortsvekt

Normalvektoren und Koordinatengleichungen

Die Normalgleichung einer Ebene E(x−p)⋅n=0E (x-p) \cdot n = 0 ist oft praktischer als die Parameterform. Der Normalvektor n⃗\vec{n} steht senkrecht auf der Ebene und gibt dir ihre Ausrichtung an.

Den Normalvektor findest du auf zwei Wege Entweder löst du ein LGS (die Spannvektoren müssen orthogonal zum Normalvektor sein) oder du berechnest das Kreuzprodukt der Spannvektoren (a1 a2 a3)×(b1 b2 b3)=(a2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1)\begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}.

Für Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen gibt's drei Möglichkeiten Sie schneiden sich (eine Lösung), sind parallel (keine Lösung) oder die Gerade liegt in der Ebene (unendlich viele Lösungen).

Den Abstand eines Punktes zur Ebene berechnest du, indem du eine Gerade durch den Punkt parallel zum Normalvektor aufstellst, den Schnittpunkt mit der Ebene findest und dann die Entfernung misst.

Wichtig Wenn Gerade und Normalvektor parallel sind, steht die Gerade senkrecht zur Ebene - das ist der kürzeste Abstand!

Ortsvektor P ist ein Punkt im Raum mit den Koordinaten (P₁1P2/P3). Dann ist OP (oder ) = (A) der Ortsvektor zu P Länge/Betrag eines Ortsvekt

Hessesche Normalform und Anwendungen

Die Hessesche Normalform (HNF) ist ein Turbo-Tool für Abstandsberechnungen. Du teilst die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalvektors ax1+bx2+cx3+d∣n⃗∣\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3 + d}{|\vec{n}|}. Setzt du dann einen Punkt ein, bekommst du direkt den Abstand zur Ebene!

Der Einheitsnormalvektor n⃗0=n⃗∣n⃗∣\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} hat immer die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Normalvektor. Super praktisch für viele Berechnungen.

Schattenpunkte sind ein cooles Anwendungsbeispiel. Bei einer punktförmigen Lichtquelle stellst du die Lichtgerade auf x⃗=l⃗+tlp⃗\vec{x} = \vec{l} + t \vec{lp} (von der Lichtquelle L zum Punkt P). Bei Sonnenlicht nutzt du die Sonnenstrahlen-Richtung x⃗=p⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{p} + t\vec{u}.

Den Schatten findest du, indem du die Lichtgerade mit der Ebene schneidest - dort wo das Licht "auftrifft", entsteht der Schattenpunkt.

Anwendung Diese Konzepte stecken in jeder 3D-Software, jedem Computerspiel und sogar in der Architektur bei Sonnenverlaufsstudien!

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Abitur 2023 LK: Vektorielle Geometrie verstehen und anwenden

I

Irem

@irem.s52

Vektorielle Geometrie ist überall um uns herum - von der Navigation im Handy bis zur 3D-Grafik in Games. Du lernst hier, wie du mit Vektoren Punkte, Geraden und Ebenen im Raum beschreibst und berechnest.

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Grundlagen der Vektoren

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich ein Punkt im Raum befindet - genau dafür brauchst du Ortsvektoren. Der Ortsvektor OP→\overrightarrow{OP} zeigt vom Koordinatenursprung zu deinem Punkt P mit den Koordinaten (P1,P2,P3)(P_1, P_2, P_3).

Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel ∣OP→∣=P12+P22+P32|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{P_1^2 + P_2^2 + P_3^2}. Das ist wie der Satz des Pythagoras, nur in 3D! Beispiel: Für OP→=(1 2 2)\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 2 \end{pmatrix} ist die Länge 12+22+22=9=3\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3.

Um den Vektor zwischen zwei Punkten A und B zu finden, rechnest du einfach AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}. Den Abstand zweier Punkte findest du dann über die Länge dieses Verbindungsvektors.

Geraden im Raum beschreibst du mit der Gleichung x⃗=a⃗+tb⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{b}, wobei a⃗\vec{a} der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und b⃗\vec{b} der Richtungsvektor ist. Mit dem Parameter t kannst du jeden Punkt auf der Gerade erreichen.

Merktipp: Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ist null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen!

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Winkel und Ebenen

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Die Normalgleichung einer Ebene E:(x−p)⋅n=0E: (x-p) \cdot n = 0 ist oft praktischer als die Parameterform. Der Normalvektor n⃗\vec{n} steht senkrecht auf der Ebene und gibt dir ihre Ausrichtung an.

Den Normalvektor findest du auf zwei Wege: Entweder löst du ein LGS (die Spannvektoren müssen orthogonal zum Normalvektor sein) oder du berechnest das Kreuzprodukt der Spannvektoren: (a1 a2 a3)×(b1 b2 b3)=(a2b3−a3b2 a3b1−a1b3 a1b2−a2b1)\begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \ a_3b_1 - a_1b_3 \ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}.

Für Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen gibt's drei Möglichkeiten: Sie schneiden sich (eine Lösung), sind parallel (keine Lösung) oder die Gerade liegt in der Ebene (unendlich viele Lösungen).

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Hessesche Normalform und Anwendungen

Die Hessesche Normalform (HNF) ist ein Turbo-Tool für Abstandsberechnungen. Du teilst die Koordinatengleichung durch die Länge des Normalvektors: ax1+bx2+cx3+d∣n⃗∣\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3 + d}{|\vec{n}|}. Setzt du dann einen Punkt ein, bekommst du direkt den Abstand zur Ebene!

Der Einheitsnormalvektor n⃗0=n⃗∣n⃗∣\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} hat immer die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Normalvektor. Super praktisch für viele Berechnungen.

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Den Schatten findest du, indem du die Lichtgerade mit der Ebene schneidest - dort wo das Licht "auftrifft", entsteht der Schattenpunkt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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