Ebenengeometrie im dreidimensionalen Raum
Die Darstellung von Ebenen im dreidimensionalen Raum erfolgt durch verschiedene mathematische Gleichungsformen, die für das Mathe Abitur Bayern besonders relevant sind. Die Parameterform einer Ebene wird durch einen Stützvektor p und zwei linear unabhängige Spannvektoren u und v definiert: E: x = p + r·u + s·v. Diese Darstellung ermöglicht es, jeden Punkt der Ebene durch Variation der Parameter r und s zu erreichen.
Definition: Die Normalenform einer Ebene wird durch einen Stützvektor p und einen Normalenvektor n beschrieben: E: [x-p]·n = 0. Der Normalenvektor steht dabei senkrecht auf der Ebene.
Die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d stellt eine weitere wichtige Darstellungsweise dar, die besonders bei Linearen Gleichungssystemen und der Vektorrechnung Anwendung findet. Die Koeffizienten a, b und c entsprechen dabei den Komponenten des Normalenvektors, während d das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Stützvektor ist.
Für die praktische Anwendung, etwa bei Vektorrechnung Aufgaben mit Lösungen, ist es essentiell, die verschiedenen Darstellungsformen ineinander überführen zu können. Die Lagebeziehungen von Ebenen lassen sich durch Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) und Spurgeraden (Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen) visualisieren.