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h sind zueinander windschief. Ebenen ● ● ● ● Parametergleichung mit Stütz- und zwei Spannvektor E: x=p+ru+s• v Normalengleichung mit Stütz- und Normalenvektor E: [x-p] n = 0 Koordinatenform (gebildet aus Stütz- und Normalenvektor) -(1) b E: a x₁ + bx₂ + c • x3 = d wobei n = und d = n • p Gleichungen auch ineinander überführen besondere Lage von Ebenen im Raum feststellen Ebenen zeichnen Spurpunkte mit Koordinatenachten/ Spurgeraden mit Koordinatenebenen bestimmen Lagebeziehungen Geraden-Ebenen 1. aus Geradengleichung den allgemeinen Geradenpunkt bestimmen (mit Parameter t) 2. diese Koordinaten in Ebenengleichungen (Koordinatenform) einsetzen 3. drei mögliche Ergebnisse ● Gleichung der Form t=1 ● t in Geradengeleichung einsetzen und Schnittpunktkoordinaten ermitteln Gleichung der Form 1=0 ● keine gemeinsamen Punkte Gerade zur Ebene parallel Gleichung der Form 0=0 Unendlich viele Lösungen, Gerade liegt in der Ebene Alternatives Vorgehen ū Richtungsvektor der Geraden n Normalenvektor der Ebene un 0 Gerade und Ebene schneiden einander (ggf. Schnittpunkt ermitteln) u n = 0 Gerade ist zu Ebene parallel oder liegt in der Ebene (Punktprobe) Lagebeziehungen Ebene-Ebene Normalenvektoren m und n der Ebenen bestimmen und vergleichen Vielfache voneinander mkn = Ebenen sind parallel oder identisch (Punktprobe) mk.n keine Vielfachen voneinander Ebenen schneiden einander (ggf. Schnittgerade bestimmen) m·ñ = 0 Skalarprodukt gleich 0 Ebenen sind zueinander orthogonal (ggf. Schnittgerade bestimmen) Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen bestimmen 1. Ebenen in Koordinatenform angeben 2. LGS aus den Ebenengleichungen erstellen 3. eine beliebige x-Koordinate zum Parameter t erklären (Tipp, eine häufig vorkommende) 4. LGS lösen indem die anderen beiden Koordinaten in Abhängigkeit von t bestimmt werden 5. aus den drei von t abhängigen Koordinatenangaben die Schnittgeradengleichung erstellen Abstände Punkt-Ebene Formel (nach Hesse'scher Normalenform) Gerade-Ebene oder Ebene-Ebene Lässt sich auf die gleiche Formel reduzieren, da Abstände nur für parallel liegende Objekte bestimmt werden können und dann ein beliebiger Punkt als Repräsentant genutzt werden kann. Punkt-Gerade ● Extremwertbedingung Orthogonalitätsbedingung Hilfsebene Parallelogramm (NEU NEU NEU) Gerade-Gerade (windschief) u xv=ñ (Vektorprodukt der Richtungsvektoren) d(g; h) = |(ä-v).ñ| (à - p Differenz der Stützvektoren) Tipp: Im Abitur muss oft nach einem Parameter einer Ebenenschar gesucht werden. Aus der Abstandsformel heraus ist durch die Betragsstriche dann oft eine Fallunterscheidung vorzunehmen. Abstände Punkt-Ebene Formel (nach Hesse'scher Normalenform) Gerade-Ebene oder Ebene-Ebene Lässt sich auf die gleiche Formel reduzieren, da Abstände nur für parallel liegende Objekte bestimmt werden können und dann ein beliebiger Punkt als Repräsentant genutzt werden kann. Punkt-Gerade ● Extremwertbedingung Orthogonalitätsbedingung Hilfsebene Parallelogramm (NEU NEU NEU) Gerade-Gerade (windschief) Formeln in Formelsammlung enthalten! u xv=ñ (Vektorprodukt der Richtungsvektoren) d(g; h) = |(ä-v).ñ| (à - p Differenz der Stützvektoren) Tipp: Im Abitur muss oft nach einem Parameter einer Ebenenschar gesucht werden. Aus der Abstandsformel heraus ist durch die Betragsstriche dann oft eine Fallunterscheidung vorzunehmen. Winkel zwischen Vektoren zwischen Geraden zwischen Ebenen a. b 121.161 |iv| tủi tôi cos(x) = In m²l - In/./ml zwischen Gerade und Ebene cos (x) cas (x) = sin Sin (α) tunt 1i1.131 Winkel zwischen Vektoren zwischen Geraden zwischen Ebenen zwischen Gerade und Ebene Formeln in Formelsammlung enthalten! cos (x) cas (x) = a. b 121.161 |iv| tủi tôi In m²l cos(x) = + 1m²1.1ml sin Sin (α) tunt 1i1.131 Spiegelungen an Koordinatenebenen Koordinatenachsen Punkten und Objekten Modellierungen geradliniger Bewegungen normale Geradengleichungen mit der Besonderheit, dass der Betrag des Richtungsvektors der Geschwindigkeit entsprechen muss (Verschiebung des Körpers in einer Zeiteinheit) ➜ so kann der Parameter t die Anzahl Zeiteinheiten eindeutig wiedergeben bei diesen Modellierungen beachten: müssen Abstandsberechnungen oder Kollisionsrechnungen durchgeführt werden, so muss auch immer der Zeitpunkt hinterfragt werden. Beweisen in der vektoriellen Geometrie ● Voraussetzung Behauptung Beweis Idee: benötigte repräsentative Vektoren kurz benennen (a, b, c, ...) Mit Hilfe von Linearkombinationen und Regeln der Vektorrechnung alle anderen Vektoren und „Wege“ mit den Repräsentanten ausdrücken D B 2 S₁ A M₁ Tro a S₂ B M₂ с Wiederholung - Analytische Geometrie Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Gauss Lösungsmengen ● genau eine Lösung L={(a;b;c)} Alle Variablen lassen sich eindeutig bestimmen und bestehen auch eine Einsetzungsprobe keine Lösung L={ } beim Umformen entsteht eine Gleichung vom Typ 1=0 unendlich viele Lösungen L={(a+...;b+...;c+...)} wobei ... einen parameterabhängigen Teil angibt beim Umformen entsteht eine Gleichung vom Typ 0=0 eine der Variablen wird zum Parameter erklärt und die anderen beiden in Abhängigkeit dieses Parameters bestimmt Anwendungen von LGS Schnittmengenbestimmung in der Ebene oder im Raum Funktionsterme bestimmen anhand verschiedener Merkmale (häufig ganzrationale Fkt.) Anwendungsaufgaben mit mehreren Unbekannten Vektoren ● Punkte vs. Ortsvektoren Verbindungsvektoren zweier Punkte Gegenvektor Betrag eine Vektors (Länge des repräsentierenden Pfeils) Einheitsvektor Vektoraddition/ Linearkombinationen Bestimmung von Punkt-(Ortsvektoren-)koordinaten OA' = OA + AA' ● Skalarprodukt Vektorprodukt 12 = p |p| = OA = OẢ+2 - AM -|12 те zu zwei Ausgangsvektoren einen orthogonalen Vektor bestimmen a × b =ñ Flächeninhalt Parallelogramm zweier aufspannender Vektoren bestimmen |à x| = A Volumen eines Spats dreier aufspannender Vektoren bestimmen |ć. (à x b)| = v V Geraden Parametergleichung mit Stütz- und Richtungsvektor • Geradengleichung anhand von zwei Punkten aufstellen. Gegenseitige Geradenlage ● ● So kann man die Lage zweier Geraden g: x = p +ru und h: x = ₫ + s•ỷ bestimmen: Liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor p auf der Geraden h? ja Die zwei Gleichungen beschreiben die gleiche Gerade. Spurpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen Sind die Richtungsvektoren und v zueinander parallel? ja e/ nein Die Geraden g und h sind zueinander parallel. nein Hat die Gleichung p+ru=a+s• V eine einzige Lösung? ja L Die Geraden g und h schneiden sich. nein Die Geraden g und h sind zueinander windschief. Ebenen ● ● ● ● Parametergleichung mit Stütz- und zwei Spannvektor E: x=p+ru+s• v Normalengleichung mit Stütz- und Normalenvektor E: [x-p] n = 0 Koordinatenform (gebildet aus Stütz- und Normalenvektor) -(1) b E: a x₁ + bx₂ + c • x3 = d wobei n = und d = n • p Gleichungen auch ineinander überführen besondere Lage von Ebenen im Raum feststellen Ebenen zeichnen Spurpunkte mit Koordinatenachten/ Spurgeraden mit Koordinatenebenen bestimmen Lagebeziehungen Geraden-Ebenen 1. aus Geradengleichung den allgemeinen Geradenpunkt bestimmen (mit Parameter t) 2. diese Koordinaten in Ebenengleichungen (Koordinatenform) einsetzen 3. drei mögliche Ergebnisse ● Gleichung der Form t=1 ● t in Geradengeleichung einsetzen und Schnittpunktkoordinaten ermitteln Gleichung der Form 1=0 ● keine gemeinsamen Punkte Gerade zur Ebene parallel Gleichung der Form 0=0 Unendlich viele Lösungen, Gerade liegt in der Ebene Alternatives Vorgehen ū Richtungsvektor der Geraden n Normalenvektor der Ebene un 0 Gerade und Ebene schneiden einander (ggf. Schnittpunkt ermitteln) u n = 0 Gerade ist zu Ebene parallel oder liegt in der Ebene (Punktprobe) Lagebeziehungen Ebene-Ebene Normalenvektoren m und n der Ebenen bestimmen und vergleichen Vielfache voneinander mkn = Ebenen sind parallel oder identisch (Punktprobe) mk.n keine Vielfachen voneinander Ebenen schneiden einander (ggf. Schnittgerade bestimmen) m·ñ = 0 Skalarprodukt gleich 0 Ebenen sind zueinander orthogonal (ggf. Schnittgerade bestimmen) Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen bestimmen 1. Ebenen in Koordinatenform angeben 2. LGS aus den Ebenengleichungen erstellen 3. eine beliebige x-Koordinate zum Parameter t erklären (Tipp, eine häufig vorkommende) 4. LGS lösen indem die anderen beiden Koordinaten in Abhängigkeit von t bestimmt werden 5. aus den drei von t abhängigen Koordinatenangaben die Schnittgeradengleichung erstellen Abstände Punkt-Ebene Formel (nach Hesse'scher Normalenform) Gerade-Ebene oder Ebene-Ebene Lässt sich auf die gleiche Formel reduzieren, da Abstände nur für parallel liegende Objekte bestimmt werden können und dann ein beliebiger Punkt als Repräsentant genutzt werden kann. Punkt-Gerade ● Extremwertbedingung Orthogonalitätsbedingung Hilfsebene Parallelogramm (NEU NEU NEU) Gerade-Gerade (windschief) u xv=ñ (Vektorprodukt der Richtungsvektoren) d(g; h) = |(ä-v).ñ| (à - p Differenz der Stützvektoren) Tipp: Im Abitur muss oft nach einem Parameter einer Ebenenschar gesucht werden. Aus der Abstandsformel heraus ist durch die Betragsstriche dann oft eine Fallunterscheidung vorzunehmen. Abstände Punkt-Ebene Formel (nach Hesse'scher Normalenform) Gerade-Ebene oder Ebene-Ebene Lässt sich auf die gleiche Formel reduzieren, da Abstände nur für parallel liegende Objekte bestimmt werden können und dann ein beliebiger Punkt als Repräsentant genutzt werden kann. Punkt-Gerade ● Extremwertbedingung Orthogonalitätsbedingung Hilfsebene Parallelogramm (NEU NEU NEU) Gerade-Gerade (windschief) Formeln in Formelsammlung enthalten! u xv=ñ (Vektorprodukt der Richtungsvektoren) d(g; h) = |(ä-v).ñ| (à - p Differenz der Stützvektoren) Tipp: Im Abitur muss oft nach einem Parameter einer Ebenenschar gesucht werden. Aus der Abstandsformel heraus ist durch die Betragsstriche dann oft eine Fallunterscheidung vorzunehmen. Winkel zwischen Vektoren zwischen Geraden zwischen Ebenen a. b 121.161 |iv| tủi tôi cos(x) = In m²l - In/./ml zwischen Gerade und Ebene cos (x) cas (x) = sin Sin (α) tunt 1i1.131 Winkel zwischen Vektoren zwischen Geraden zwischen Ebenen zwischen Gerade und Ebene Formeln in Formelsammlung enthalten! cos (x) cas (x) = a. b 121.161 |iv| tủi tôi In m²l cos(x) = + 1m²1.1ml sin Sin (α) tunt 1i1.131 Spiegelungen an Koordinatenebenen Koordinatenachsen Punkten und Objekten Modellierungen geradliniger Bewegungen normale Geradengleichungen mit der Besonderheit, dass der Betrag des Richtungsvektors der Geschwindigkeit entsprechen muss (Verschiebung des Körpers in einer Zeiteinheit) ➜ so kann der Parameter t die Anzahl Zeiteinheiten eindeutig wiedergeben bei diesen Modellierungen beachten: müssen Abstandsberechnungen oder Kollisionsrechnungen durchgeführt werden, so muss auch immer der Zeitpunkt hinterfragt werden. Beweisen in der vektoriellen Geometrie ● Voraussetzung Behauptung Beweis Idee: benötigte repräsentative Vektoren kurz benennen (a, b, c, ...) Mit Hilfe von Linearkombinationen und Regeln der Vektorrechnung alle anderen Vektoren und „Wege“ mit den Repräsentanten ausdrücken D B 2 S₁ A M₁ Tro a S₂ B M₂ с