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user175
1.12.2025
Mathe
mündlich Zusammenfassung
9.371
•
1. Dez. 2025
•
user175
@user175
Analysis und Geometrie sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik, die auf... Mehr anzeigen
Die Ableitung ist dein Werkzeug, um die Steigung einer Funktion an jedem beliebigen Punkt zu finden. Stell dir vor, du fährst Auto und willst wissen, wie steil die Straße genau dort ist, wo du gerade bist.
Die Tangentengleichung y = f'(a) + f(a) gibt dir die Gerade, die deine Funktion an einem bestimmten Punkt berührt. Dabei ist f'(a) die Steigung und der Rest sorgt dafür, dass die Tangente durch den richtigen Punkt geht.
Bei den Ableitungsregeln musst du dir nur wenige Grundmuster merken: Konstanten werden zu 0, bei x^n ziehst du den Exponenten nach vorn und reduzierst ihn um 1. Die Kettenregel f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) brauchst du für verschachtelte Funktionen, die Produktregel f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) für Produkte.
Merkhilfe: Die Produktregel funktioniert wie beim Verteilen - jeder wird einmal abgeleitet, der andere bleibt gleich.
Extrempunkte findest du dort, wo die Steigung null ist und sich das Verhalten ändert. Für ein Maximum muss f'(x₀) = 0 sein und f''(x₀) < 0, für ein Minimum f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0.
Wendestellen sind die Punkte, wo sich die Krümmung ändert - von Linkskurve zu Rechtskurve oder umgekehrt. Hier suchst du f''(x₀) = 0 und prüfst, ob f'''(x₀) ≠ 0 ist.
In Sachsituationen übersetzt du sprachliche Beschreibungen in mathematische Eigenschaften. "Der Bestand wächst, aber die Zunahme wird geringer" bedeutet: f ist monoton wachsend und rechtsgekrümmt - also f'(x) > 0 und f''(x) < 0.
Praxis-Tipp: Denk bei Wendepunkten an eine Achterbahnfahrt - dort, wo sich die Krümmung ändert, spürst du den Wendepunkt körperlich!
Die Eulersche Zahl e ≈ 2,718 ist eine der wichtigsten Konstanten der Mathematik. Das Besondere an f(x) = e^x: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das macht Rechnungen oft viel einfacher.
Exponentialgleichungen löst du mit dem natürlichen Logarithmus: Aus e^x = b wird x = ln(b). Diese beiden Operationen heben sich gegenseitig auf, genau wie + und - oder · und ÷.
Exponentielles Wachstum f(t) = f(0) · e^(kt) beschreibt viele natürliche Prozesse. Die Verdopplungszeit T_V = ln(2)/k sagt dir, wann sich ein Bestand verdoppelt hat, die Halbwertszeit T_H = ln(2)/k, wann er sich halbiert hat.
Real-World-Bezug: Exponentialfunktionen beschreiben Bakterienwachstum, radioaktiven Zerfall und sogar Zinswachstum - sie sind überall um uns herum!
Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung - statt Steigungen zu finden, berechnest du Flächeninhalte. Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx gibt dir den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integration: ∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist. Eine Stammfunktion findest du, indem du die Ableitungsregeln rückwärts anwendest.
Grundregeln für Stammfunktionen: Aus x^r wird x^/, konstante Faktoren bleiben erhalten, und Summen integrierst du einzeln. Bei verketteten Funktionen f teilst du noch durch den inneren Faktor m.
Eselsbrücke: Integration ist wie das Rückwärtsfahren beim Ableiten - du machst die gleichen Schritte in umgekehrter Reihenfolge.
Der Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion ist geometrisch sichtbar: Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel werden zu Extremstellen von F, Extremstellen von f zu Wendestellen von F.
Bei der Flächenberechnung zwischen Funktionsgraph und x-Achse musst du in drei Schritten vorgehen: Erst alle Nullstellen finden, dann die Integrale über die Teilintervalle berechnen, schließlich die Beträge aller Teilflächen addieren.
Funktionsmanipulationen wie Strecken, Stauchen und Verschieben folgen der Formel g(x) = a·f + d. Dabei streckt a in y-Richtung, c verschiebt in x-Richtung und d in y-Richtung.
Visualisierungs-Tipp: Zeichne dir die Graphen - bei Flächen unter der x-Achse musst du das Vorzeichen des Integrals umdrehen, um den tatsächlichen Flächeninhalt zu bekommen.
Spiegelungen und Verschiebungen verändern Funktionsgraphen systematisch. An der x-Achse spiegeln bedeutet -f(x), an der y-Achse f. Verschiebungen funktionieren über f + b.
Trigonometrische Funktionen haben die Form f(x) = a·sin + d. Die Amplitude ist |a|, die Periodenlänge 2π/b, c verschiebt horizontal und d vertikal.
Gleichungen lösen geht mit verschiedenen Strategien: Nullproduktssatz bei Faktoren, pq-Formel bei quadratischen Gleichungen, Substitution bei höheren Potenzen und Logarithmieren bei Exponentialgleichungen.
Strategietipp: Schau dir zuerst die Form der Gleichung an - das bestimmt, welche Lösungsmethode am besten funktioniert.
Die systematische Analyse einer Funktion folgt einem festen Schema: Nullstellen finden, Verhalten für x→±∞ untersuchen, Symmetrie prüfen, dann Extrem- und Wendepunkte bestimmen.
Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind einfache Nullstellen, ohne Vorzeichenwechsel sind doppelte Nullstellen (Berührpunkte). Symmetrie erkennst du an den Exponenten: alle gerade = Achsensymmetrie, alle ungerade = Punktsymmetrie.
In Anwendungen übersetzt du wieder zwischen Sprache und Mathematik. "Bestandszunahme im Intervall" bedeutet Integration, "Bestand zum Zeitpunkt t" führt zu B(t) = B(0) + ∫₀ᵗ f(x)dx.
Prüfungstipp: Arbeite immer systematisch ab - so vergisst du nichts und deine Lösung ist strukturiert und vollständig.
Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme durch systematisches Eliminieren von Variablen. Du arbeitest dich von oben nach unten durch und eliminierst schrittweise x₁, dann x₂, bis du eine Stufenform hast.
Lösungsanzahl erkennst du am Ergebnis: 0 = 1 bedeutet keine Lösung, 0 = 0 bedeutet unendlich viele Lösungen, sonst gibt es genau eine Lösung.
Ganzrationale Funktionen bestimmen funktioniert über Bedingungen: Stelle den allgemeinen Funktionsterm auf , formuliere alle gegebenen Bedingungen als Gleichungen und löse das entstehende Gleichungssystem.
Organisations-Tipp: Beim Gauß-Verfahren führst du die Umformungen sauber untereinander aus - so behältst du den Überblick und machst keine Rechenfehler.
Vektoren sind gerichtete Strecken im Raum. Den Vektor von P nach Q berechnest du mit PQ⃗ = Q - P. Der Betrag |PQ⃗| ist die Länge des Vektors - berechnet wie der Abstand zweier Punkte.
Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander, erkennbar am Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = 0. Das Skalarprodukt berechnest du komponentenweise: a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
Geraden haben verschiedene Lagebeziehungen: identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Du prüfst systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Liegt ein Punkt auf der anderen Geraden? Hat das Gleichungssystem eine Lösung?
3D-Vorstellung: Windschief können nur Geraden im Raum sein - stell dir vor, eine Gerade verläuft auf dem Boden, die andere an der Decke, ohne sich zu treffen.
Eine Ebene in Parameterform brauchst du drei Punkte A, B, C: E: x⃗ = OA⃗ + r·AB⃗ + s·AC⃗. Der Stützvektor führt zu einem Punkt auf der Ebene, die beiden Richtungsvektoren spannen sie auf.
Die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d bekommst du über den Normalenvektor. Diesen findest du mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: a⃗ × b⃗ steht senkrecht auf der von a⃗ und b⃗ aufgespannten Ebene.
Umformen zwischen den Darstellungen ist Routine: Von drei Punkten zur Parameterform, über das Vektorprodukt zum Normalenvektor, dann zur Koordinatenform mit d = ap₁ + bp₂ + cp₃.
Geometrische Intuition: Eine Ebene wird von zwei nicht-parallelen Geraden aufgespannt - genau das machen die beiden Richtungsvektoren in der Parameterform.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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user175
@user175
Analysis und Geometrie sind zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik, die auf den ersten Blick kompliziert aussehen, aber mit den richtigen Werkzeugen total machbar sind. Hier lernst du alles über Ableitungen, Integrale und Vektoren - von den Grundlagen bis zu praktischen Anwendungen.
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Die Ableitung ist dein Werkzeug, um die Steigung einer Funktion an jedem beliebigen Punkt zu finden. Stell dir vor, du fährst Auto und willst wissen, wie steil die Straße genau dort ist, wo du gerade bist.
Die Tangentengleichung y = f'(a) + f(a) gibt dir die Gerade, die deine Funktion an einem bestimmten Punkt berührt. Dabei ist f'(a) die Steigung und der Rest sorgt dafür, dass die Tangente durch den richtigen Punkt geht.
Bei den Ableitungsregeln musst du dir nur wenige Grundmuster merken: Konstanten werden zu 0, bei x^n ziehst du den Exponenten nach vorn und reduzierst ihn um 1. Die Kettenregel f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) brauchst du für verschachtelte Funktionen, die Produktregel f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) für Produkte.
Merkhilfe: Die Produktregel funktioniert wie beim Verteilen - jeder wird einmal abgeleitet, der andere bleibt gleich.
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Extrempunkte findest du dort, wo die Steigung null ist und sich das Verhalten ändert. Für ein Maximum muss f'(x₀) = 0 sein und f''(x₀) < 0, für ein Minimum f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0.
Wendestellen sind die Punkte, wo sich die Krümmung ändert - von Linkskurve zu Rechtskurve oder umgekehrt. Hier suchst du f''(x₀) = 0 und prüfst, ob f'''(x₀) ≠ 0 ist.
In Sachsituationen übersetzt du sprachliche Beschreibungen in mathematische Eigenschaften. "Der Bestand wächst, aber die Zunahme wird geringer" bedeutet: f ist monoton wachsend und rechtsgekrümmt - also f'(x) > 0 und f''(x) < 0.
Praxis-Tipp: Denk bei Wendepunkten an eine Achterbahnfahrt - dort, wo sich die Krümmung ändert, spürst du den Wendepunkt körperlich!
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Die Eulersche Zahl e ≈ 2,718 ist eine der wichtigsten Konstanten der Mathematik. Das Besondere an f(x) = e^x: Sie ist ihre eigene Ableitung! Das macht Rechnungen oft viel einfacher.
Exponentialgleichungen löst du mit dem natürlichen Logarithmus: Aus e^x = b wird x = ln(b). Diese beiden Operationen heben sich gegenseitig auf, genau wie + und - oder · und ÷.
Exponentielles Wachstum f(t) = f(0) · e^(kt) beschreibt viele natürliche Prozesse. Die Verdopplungszeit T_V = ln(2)/k sagt dir, wann sich ein Bestand verdoppelt hat, die Halbwertszeit T_H = ln(2)/k, wann er sich halbiert hat.
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Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung - statt Steigungen zu finden, berechnest du Flächeninhalte. Das bestimmte Integral ∫ᵃᵇ f(x)dx gibt dir den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integration: ∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist. Eine Stammfunktion findest du, indem du die Ableitungsregeln rückwärts anwendest.
Grundregeln für Stammfunktionen: Aus x^r wird x^/, konstante Faktoren bleiben erhalten, und Summen integrierst du einzeln. Bei verketteten Funktionen f teilst du noch durch den inneren Faktor m.
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Der Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion ist geometrisch sichtbar: Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel werden zu Extremstellen von F, Extremstellen von f zu Wendestellen von F.
Bei der Flächenberechnung zwischen Funktionsgraph und x-Achse musst du in drei Schritten vorgehen: Erst alle Nullstellen finden, dann die Integrale über die Teilintervalle berechnen, schließlich die Beträge aller Teilflächen addieren.
Funktionsmanipulationen wie Strecken, Stauchen und Verschieben folgen der Formel g(x) = a·f + d. Dabei streckt a in y-Richtung, c verschiebt in x-Richtung und d in y-Richtung.
Visualisierungs-Tipp: Zeichne dir die Graphen - bei Flächen unter der x-Achse musst du das Vorzeichen des Integrals umdrehen, um den tatsächlichen Flächeninhalt zu bekommen.
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Spiegelungen und Verschiebungen verändern Funktionsgraphen systematisch. An der x-Achse spiegeln bedeutet -f(x), an der y-Achse f. Verschiebungen funktionieren über f + b.
Trigonometrische Funktionen haben die Form f(x) = a·sin + d. Die Amplitude ist |a|, die Periodenlänge 2π/b, c verschiebt horizontal und d vertikal.
Gleichungen lösen geht mit verschiedenen Strategien: Nullproduktssatz bei Faktoren, pq-Formel bei quadratischen Gleichungen, Substitution bei höheren Potenzen und Logarithmieren bei Exponentialgleichungen.
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Die systematische Analyse einer Funktion folgt einem festen Schema: Nullstellen finden, Verhalten für x→±∞ untersuchen, Symmetrie prüfen, dann Extrem- und Wendepunkte bestimmen.
Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind einfache Nullstellen, ohne Vorzeichenwechsel sind doppelte Nullstellen (Berührpunkte). Symmetrie erkennst du an den Exponenten: alle gerade = Achsensymmetrie, alle ungerade = Punktsymmetrie.
In Anwendungen übersetzt du wieder zwischen Sprache und Mathematik. "Bestandszunahme im Intervall" bedeutet Integration, "Bestand zum Zeitpunkt t" führt zu B(t) = B(0) + ∫₀ᵗ f(x)dx.
Prüfungstipp: Arbeite immer systematisch ab - so vergisst du nichts und deine Lösung ist strukturiert und vollständig.
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Das Gauß-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme durch systematisches Eliminieren von Variablen. Du arbeitest dich von oben nach unten durch und eliminierst schrittweise x₁, dann x₂, bis du eine Stufenform hast.
Lösungsanzahl erkennst du am Ergebnis: 0 = 1 bedeutet keine Lösung, 0 = 0 bedeutet unendlich viele Lösungen, sonst gibt es genau eine Lösung.
Ganzrationale Funktionen bestimmen funktioniert über Bedingungen: Stelle den allgemeinen Funktionsterm auf , formuliere alle gegebenen Bedingungen als Gleichungen und löse das entstehende Gleichungssystem.
Organisations-Tipp: Beim Gauß-Verfahren führst du die Umformungen sauber untereinander aus - so behältst du den Überblick und machst keine Rechenfehler.
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Vektoren sind gerichtete Strecken im Raum. Den Vektor von P nach Q berechnest du mit PQ⃗ = Q - P. Der Betrag |PQ⃗| ist die Länge des Vektors - berechnet wie der Abstand zweier Punkte.
Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander, erkennbar am Skalarprodukt a⃗ · b⃗ = 0. Das Skalarprodukt berechnest du komponentenweise: a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
Geraden haben verschiedene Lagebeziehungen: identisch, echt parallel, schneidend oder windschief. Du prüfst systematisch: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Liegt ein Punkt auf der anderen Geraden? Hat das Gleichungssystem eine Lösung?
3D-Vorstellung: Windschief können nur Geraden im Raum sein - stell dir vor, eine Gerade verläuft auf dem Boden, die andere an der Decke, ohne sich zu treffen.
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Eine Ebene in Parameterform brauchst du drei Punkte A, B, C: E: x⃗ = OA⃗ + r·AB⃗ + s·AC⃗. Der Stützvektor führt zu einem Punkt auf der Ebene, die beiden Richtungsvektoren spannen sie auf.
Die Koordinatenform ax₁ + bx₂ + cx₃ = d bekommst du über den Normalenvektor. Diesen findest du mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: a⃗ × b⃗ steht senkrecht auf der von a⃗ und b⃗ aufgespannten Ebene.
Umformen zwischen den Darstellungen ist Routine: Von drei Punkten zur Parameterform, über das Vektorprodukt zum Normalenvektor, dann zur Koordinatenform mit d = ap₁ + bp₂ + cp₃.
Geometrische Intuition: Eine Ebene wird von zwei nicht-parallelen Geraden aufgespannt - genau das machen die beiden Richtungsvektoren in der Parameterform.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Vektorenrechnung, einschließlich der Definition von Orts- und Richtungsvektoren, der Berechnung von Längen, der Aufstellung von Geradengleichungen und der Untersuchung von Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. Mit anschaulichen Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen wird das Verständnis für Vektoren und ihre Anwendungen in der Geometrie gefördert.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
