Mathe Abi

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aufhellen Zahl aus den I in Monotonie 1. 2. ↳ f" (xo) >0 → VZW Anderungsrate Anderungsrate Extremstellex 1. Nullsteller von f(x) bestimmen 2. Intervalle 3 Zahl aufstelle aus jedem I f'(x₂) f (x₂) co → rechts hot. Bed.. hin. Bed.. 1. Nullsteller 2. Intervalle 3. Z₂LL ASA {"(x₂) c 14 bestimmen >0 → 20 - (Xu) <0 f"(x) einsetzen. Werdesteller bestimmen 1. hot. Bed.: f^ ( x ) = 0 2. hin. Bed.: F"(x) 70 L f'(x) = 0 f (x) #0 y²-y₁ X₂-X₁ X-Wert in f'(x) einsetzen linksgekrümmt rechts gekrümmt TT > OTP <0 → HP f'(x) einsetzen von f (x) bestimmen aufstellen jeden intervall einsetzen [x2] 2 f' (1) >0 7 Ergebnis 2.B. [²002] strery monoton steijend stren munuton fillend f'(²) = 0 → krummuy → Krummay Ergebnis 2.1 x = 2 → [-2] [ 2; ∞0] vou Vou x=2 [200] Ergebnis 2.B X=2 7 f'(x) > 0 f'(xu) < 0 [2; S) CS; 20 [20; ∞] f'(3) 200 ((7) <00 € (30 >0 A V C in f"(x) einsetzen x=2 nach F ( r sekan engleichung → sekarte verläuft durd P ( x₁ | y₁); Pe (x₂ly₂) ш 3 bestimmen $ Ansatz: m und Shake aufstellen Achsensymmetrie! → hur m = y=m-x tb einer de 6 aufliser ye-ya 1 gerade Exponenten zwei Punkte einsetzen (zur y-Achse) Punktsymmetrie zum Urspring nur ungernde Exponenten gegebene Punkte f(-x) = f(x) f(-x) = f(x) SWV A) L Funktionenscharen -X " ist ==> B a 31+ . "1 Expunkie gemeinsame Punkle Bedeutung des Parameters. Umso größer - Fixpunkle rechnerisch zwei mehrere (meißlens) dre Variable ein Parameter gleichsetzen Beispiele: Parameter /Variablen in einer der Parameter TSL Umbo - " Definition Hochpunkle Tiefpunkle berechnen notwendige Bedingung: fa'(x)=0 hinreichende Bedingung for"(x) = 0 werdepunkt berechnen notwendige Bedingung fk "(x) = 0 hinreichende Bedingung, fa" (x) = 0 Steigung fa (x) < x Wert einsetzen · Startpunkt SC-81f~(-8) herausfinden Möglichkeiten (verschiedene Zahlen für den Parameter) -> Polyrouts ever Punkles Anclortige Steigung -B aller Funktionen Flughöhe Hohe in So hat die Steigay -3 to a Fluglänge. Nullstelle Eine kurven, dever minderers Hockpanel einem pailet : aus rechnen even Fusletion schar dile Chat 0 gleichsetzen) berechn X Schar fit мену Abbildung, vorschritter Paramet Funktion la wie eine normale behandeln wert in die Funktion sehen Unterscheiden Zahl verschiedener sies in Ortskurve: Kurve, auf der alle 2) 3) T 1 • Ortskurven helfen Punkte Parameter ZB. Ortskurve berechnen: 1) Charakt Punkt Bsp + T Bsp. Hochpunk Funktionsschar lregen, die erfüllen. Z.B |y₁ = x- und Gleichung 3 X = 40 a X-Wert 3 X = 40a L in der HP To a 1 3 a + 2) = 15x + 2 alle Hochpunkte, Trefpunkte er ble maximale nach dem Abhängigkeit How bucket berechnen Weil bereclues y-koordinate des charakt. darstellen 9 Y = 3a + 2 소 y-we! Höhe Punkk y = 45-15 + 2 = 287 einer eine bestimude Elgenschaft gegebenen heraus zu finden, unabhi Parameter 40 3 einsetzen hach des Parameters. ble punkte Umstellen - Ortskurve unabhängig 15sek Punktes Vom bestimmen انات to IL 1. 2 3. 4. S b Zielgroße / Huupt bedingung • Funktion mit - Neben en bedingung 1. Variable 1 Hay HB: NB: 6- Ergebnisse formulieren Nebenbedingungen (eventuell mehrere) Zielfunktion aufstellen → nur noch von b Extrem weitbetruchtung -Zielfunktion ableiten • notwendige Bedingung - hinreichende Bectingung restuche Grüßen ausrechnen. a Optimierungsprobleme alle Seitenlingen a (a-²x)² - x Seiterlänger (a-2x)-(b-2x) - X a & b. HB: A = a-b NB: U= 2a +b mehreren nach Variable unformen nuptbedingung eingehen HB: A =a.26 NB: U= Bu +25 -> Zielfunktion einer Variable abhängig G(a) = (5000 X (= G(a)) X = 5000 + 3004 y = 25 - la aufsteller Preis und Umpang & größle Unbekannten Box größle Plachet (Stückzahl b a Produktion Extrem weit betrachtung 300-). (15 + a) =-3006² +7500! +175000 4 → Zielfunktion Preis) هـ ""Nuer you fount Ben maximale Flide, 40m Jauns a und b = 100m b 6 Ziel Fiedle A=( a. b) 2= (a + b) = 400 [U= 2-(a+b) X- andere Alal = a (200-4) =a² HB: A=a.b NB: U= a +b b= 200-a Aya) = -1₂ + 200 AYCY=O to a = 100 ↳ a out 100m lang, wenn HP A~=? HP ✓ 6 = 200-9 b = 200- 100 = 100 HB: X-(2y +4) -4 ND: 2x +2y +6 a +200- → Zielfunktion Atla: +2 max. Volumen = 400 ausrechnen, Extremwer betrachtung 5000/Monat 25€/po "Verdienst" A 300 wehr a= Preissenseung (€) 1 -2.1 Vur Prei, abticles. um den beilex Prefa 25 IL 6 D A l. S # max. Flächeninhalt: A (u) = f(u) - Zu A (~) = (-1² +9).74 max Umfang Im Graphen - Funktion sip: f(x) = = x² + 9 Punkle: A (-10) 8 (m (0) C(ulf(0)) D(-u] f(-u)) kethe of gegeben • Oberer Eckpunkte • Untre Edepuilele A = a + b Puckle = u(a,b) = 2 · (n +b). U(u) 2. (2u-u² +9) gegeben A(x) = 2x (16-x²) an !! a = 2x b= f(x) = -> Zielfunktion, Extremmert betrachtay U = 1 ui feiyetzer f(x)=16- X ² -> Zielfunktion + x-Achse → a=2u Extremmet betruch to 4₂ u = √3 ➜ b = -4² +9 a=20μm b = -20² + 5 IL O • Unter dem dex x-Achse untere Cirenze S fext dx over therten 甘 Integral IF obere Grenze Sfax) dx = A x + A₂ + Az untere Cirenze Integral von Flacheninhalt Integral berechnung und den Grenzen Funktion □ obere Grenze dB.X mit ↓₂ Stammfunktion ← Stamm funktion! f Regenn: dem atk abgeleitet zu Integral rechnerisch Š{a}dx = [FG1]) a = F(b)-F(a) -> Bsp. f(x) = 3x² ·Stammfunction. 3 $ (3x² )o²x = [x²] * = (3²) - (4²) - 26 Stammt you bilden: CA ffr bestimmen f(x) = x² bi, b der de Cimpu vou t einschließt. ← berechnen Flache geht positiv in dry latesin 4 f (x) = C- g(x) f(x)= abycleitet zu dr Funktion versteht man mit der 1+h(x) Fläche geht negativ in das Integral Stammat von A₂ S · Calculator ->meni - Aanlysis → Nummersaules Integral F 43 <+ Hauptsatz f F(x) = 1+z F(x) = c. 2+4 X [1:3] TC +c F(x) = G(x) +H(x) → unendliche Möglichkeiten IG Integralgleichung / Bestimmen von b S (4x) dx = [²x²) ₁ = (2-6²) - (2-1²) 1 И = 26² - 2 = 301 26² = 32 6² = 16 b = 4 * b T S(4x)dx=30+ Beweisen Regeln berechnen uvo 1+₂ Integral grenzen →nicht S fixtdx z relevant Fläche zwischen Graph und x-Achse Nullstellen berechnen Ś fixida + $ffatel Sf xidx 4 3 3.5 im Intervall (1:5) politiv Integraleert im Intervall [2;6] berechnen → egal ob Nullstellen -> kann negativ sein 2 zwischen Graph und x-Achse 1. Nullstellen f aut [ab] berechnen bestimmen Flächen inhalt auf den Teilintervallen Bei negativ-orientierten Flächen den Beting nehmen. 3. Teilflächen addieren र 1. 2. Flächeninhalt 3- Flächen von zwischen zwei Graphen Schnittpunkte you & und Teilflicher berechnen Š (f(x) - g(x)) dx a ↑ die obere Teilflächen addieren mit g aut [a; b) berechnen. y-Achu 6 /9(x) If(x) A₁ 7 x-Achr 27.11.20 Achie d Exponential funktionen Berechnung über explosionsartigen Wachstum | Perfall → es wird immer Schnelle immer mehr · es wird immer langsume, immer weniger f(x) = = C Startwest at ERAT Sai Asland Wachstumsfaktor/ Basiy со Oca < 1 C ist der y-Achsenabschnitt der Faktor & entspricht dem Anfangsbestand f(0) zum Zeitpunkt x=0 Wenn & positiv ist: wenn & negativ ist Ocak 1: streng monoton steigend a >1 streng monoton fallend Eigen Eigenschaften у дене Ok dc 1: Streng monoton fallend as 1 streng monoton steigend =Wachstum / zerfall keine Nullstellen : nur Annäherungen an CPO a po Exponentialfunktion mit Hilfe Beispiel: P(012); Q (2 14,5) P(012) C = 2 Q einsetzen: f(x) = 2-1,5 -ALL X ao an 4,5 = 2-a² 2,25 = ² 115 = α₁ - 115 = a ₂ Exponentialfunktionen mit Hilfe →Prozent zahlen lassen sich 30%." - Erhöhung um -". Redutierung um 30%." • Redurierung auf 30%. " -α = 1 → Graph ist weder fullend huch steigend: konstante -C51 -CC11 Streckung richtung y-Achie Stackhung richtung y-Achse c≤0 ac 1 → f(x) = 2-a² 1:2 x-Achse You qwei Rinklen aufstellen y-Achse a = 1,3 1 a = 0₁7 : a = 0,3 →irrelevant CLO a 21 in Desimalzahlen Umwandeln *-Achie von Prozentangaben aufilellen? (20% -0,2) Funktion ln (1) kx >0 Wachstum kxco kerfill ↑ Exponent natürliche Exponentialfunktion Eulesche Zahl:! e = 2,7 18 28 (Basis) die Exponentialfunktion mit f(x)=e* stimmt Ableitungsfunktion überein f(x) = ex - F(x) = ex L die natürliche Logarithmus! -A Lacho 10x-4 ist eine Stammfunktion a = b | lug loga (b) X = → natürliche Exponentialfunktion Beispiele 1,5 * = 4 | log = log115 X = 10X-4= 10k = 3+x4 = 2 1 lug x + 4 = log₂ (2) 1-47 log's (2) -4 X = Exponentialfunktion zeichnen = 64 | log -Achie logy (64) logy (64) +4 X = (log 4 (64) + 4): 10 +9 VO₂ + exakt 1:40 mit et > 0 - a² = b ist eine Exponentialgleichung die Lösung von x ist = x = log (6) - X? ist die Zahl, mit der man ar putenzieren muss, um b erhalten -Y-Achsenabschnitt P(011) - Q (-210.14) -R (-110, 37) - S ( 1 1 2,72) -T (2 17,35) - U ( 3 | 20,09) FO der natürliche Logarith - Logarithmus zur Beispiel: gift. Ableitung und: Beisprece: Funktion - der natürliche Logarithmus lu(x) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentinifunktion →nur für x>0 definiert - Es e² = e³ len x = ln (e¹) X = 3 ithmus / f"(x) = Eulerischen elu (b) = b en (e) = c f(x) = 3 * =e. f'(x) = ln (3) · e 1. Ableitung Stammfunktion WREXA = a f(x) = f'(x) = ln (015). e = ln (0.5) - Os en ² (015) e en² (015).015* + en (3) X = ln (3) 3* en ² (3) · e² en (3)x = ln² (3) 3* f(x1= 3 m (x) + ^ f(x) = 3 ⋅ x 0,5851 Ableitung und Stamm funktion → man kann jede Exponential funktion darstellen, und daher auch mit Hille lu (21x e bisher bekannt f(x) = ax f'(x) = f'(0) · ax Zahl e 1 2 3 Best 3x en (0₁5)x en (0,5x P ln (a-b) = en(a) + en (b) ln (96) = 6 en (a) (a^)" = a*-y x 7. Penje 3 X f(x)=e* new K als R- Funktion are Ableitung jeder Exponential funktion des natürlichen Logarithmus angehen g(x) = ln(x) OS f (x) = ax f'(x) = &n (a). at F(X) = n(a)a^ Auswendy ln (^) = ln (ep) = 0 lu (e) = l (e^) = 1 5 $10 von a - a lesher Ach " دای دال e-Funktion f'(x) = k·ekx F(x) = ex Beispiel faktioner Hoch- und Tiefpunkle notwendige Bedingung: f'(x) = 0 hinreichende Bedingung. f (x) * 0 Maximum f" (x) > 0 → lokales Minimum y- Wet berechnen ('(x) = ex - 1 f(x) = ex notwendige Bedingung: f'(x) = 0 et 1 = O 1+1 e² = 1 | log x = loge (1) hinreichende Bedingung {"(x) = 0 f(0) = eº 1 X-Wert f(0) = e°-0 = 1 in be Audgiven anwenden >0 f(x) einsetzen: 1+6 e² = 6 lly X= love (6) →lokale Minimum = TP (O1) Wendepunkle notwendige Bedingung: f" (x) = 0 hinreichende Bedinguy f" (x)/0 f" (x) < 0 ⇒ f andert die Krümmung von links nach recht F"(x) > 0 → ändert die krammung vor recit, nach links y-Wert berechnen Beispiel: f(x)=e^ - 3x² notwendige Bedingung: F"(x) = 0 ex-6=0 = 1₁81 f'(x) = ex² - 6x _f"(x) = e²-6 (₁¹(x) = ex X-Wert berechnen f (110) = -19, 87/ W (1181-19.87) hinreichende Bedingung: {"(x)=0 fm (118) - e¹¹3 = 6.05 >0 → vun ir nach I IC (a (x) = e²/ b(x) = 0.5-ex C(x) = 2 - ex d (x) = -2- e*: e(x) = -e-* f (x) = -Oiset* -4 -Achie Mormal en der X-Ace gespiegelt →negatives c "umjed next" → negativer Exponent 5 Halbwertszeit! f (x) == f (0) Beispret: f(x) = 2₁5 -1₁02* Halbwertzeit: 215-1,02* 1.02* Verdopplungszeit f(x) = 2. f(0) X Beispiel: f(x) = 2√5 - 1,02* Verdopplungs zeit 251,02* # 2 2,5 E 12 # Logan (0₁5) = 102 = 2 2-2,5 x = log₁.02 (2) 215 log 1:2,5 flog 3,8 = 35 IL Tangenie Ansure: -m= -M f (xo) und →nach P einsetzen - autlosen ・Tangentey leichung aufstellen Beispiel: Es Ansatz : Y gilt y P einsetzen: y=m/²x Integrate Beispiel mx +h f (x) = 0₁5 ex f'(x) = 056* $(-x 6 = -2 = m-x +n ME = Oise - x tn f'(x) = 0.5e² = t()= ose-x P(u(v) → Lervizettel V = m.x tn f(x) = -x + ex - x +ex) dx = [- ² x² +ex lo te -1 = 1,5 +e ¡X0=1 0.5e = 0.5e 1 th Oise = ose th 0 = n "Integrale" →P(410.5e) I [0:1] = te 4, 22 [F.E.] - (1) គ Grenzwerte →der Grenzwert wird auch Limes genannt → beschreibt das Verhalten von Funktionen, wenn der X-Wert sich bestimmten Wert annähert oder ins Unendliche geht Grenzwerte im Unendlichen → Betrachtung der Funktion, wenn lim und X-00 Beispiel -4 я деда то Tim $76 einem y-Achse 2 2 y-Achie -X →immer Gantrationale Funktionen positiv / gerade f(x) = ∞0 negativ/gerade lim f(x) = -00 F16 positiv/ungerade lim f(x) = 8 negativ /ungerade lim f(x) = ∞ 378 А дедел тов →x-Achie x-Achie und und 3/517 X und -X3/5/ und lim 8116 X - Wenn x деден 8148 gegen - Wenn x gegen too läuft, läuft der Graph geger # lim f(x) = ∞ 91 Tim x-f(x) = ∞ lim f(x) 1174 - Wenn x (im f(x) = 0 X16 lim f(x) = ∞ an der höheren Potent * gegen - to läuft, läuft der Gruph T gegen +∞ läuft, läuft der Graph O gegen - Wienn & gegen -∞ läuf+ läuft der Gruph geger gegen +∞ +60 lim f(x) = -00 =11 oder Orientieren -∞0 läuft und und lim -1 lim n D ktf 44 B e-Funktion -1 ex in-Funktion Yo y x -e-* -ek lim 810 +x → die e-Funktion steigt Ifällt schneller als Poten funktionen → ste dominiert daher bei der Betrachtung You Grenzwerten Merke: X- ∞ (NEN): * = x^. ex ex x →∞ (neNin²x): O 0 (gerade X→-∞ (ungerade nEN): ex = x^-e²² xn.ex nEN) : ex = xh. xh -A x хи e' e -ex en (x) хи X lim x" · ln(x) ln (x) xh ↑ T 0 8 -0 →die en-Funktion steigt / fällt langsamer als Potenzfunktioner → Sie unterliegt daher bei der Betrachtung von Grenzwerten Merke X-0 (nEN₁ h²1): 42 80 80 C Ortskure → Kure (/Linie) auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen (z.B aller Hoch-/Trefpunkte) Beispret fa (x) = 3²¹4₁ -X³ - x² →TP (2a 1-3-4²) Koordinaten umformen 4x = 2a 3 a (2) Darstellung der X-koordinate nach a auflöten! ₂x = 2a 1:2 5 با x3² in : = (2) m Beispiel: die عاني علابي خوبي نا X² angeben 19 Ortskure ↳₂ y=-3-x² ↳Ortskurve der Trefpunkte Ansatz! y = m-x +b y-koordinate Wende tangente! → Tangente, die eine Funktion an einer ihrer Wendepunkte berfahrt f(x) = x³ - 3x² A berechnen ↳ Es gilt ↳ f^ (^9 = -3² 33 n berechnen ↳m, X 4 nach m= f'(x) setzen! 4 n -2=-31+h -2=-3+n 1 = n 1+3 Ⓒ Wendetangente angeben Y = = 3x + 10 in die Funktion einsetzen auflären →WP (11-2) →x-koordinate des WP einsetzen Beschränktes → des Graph nähert sich f(x) = S + c⋅ekx → beschränkter Wachstum Wachstum einer Schranke bzw. C³0: beschränktes Wachstum CCO: beschränkle Abnahme S f(x) = s → beschränkte Abnahme Bsp.: Erwärmen / Abkühlen einer Flüssigkeit Wachstum einer Pflanze Verkettung & uov h g 1970/19 Vornehmen (Beispiel). n (g(x)) g (hati) erkennen ; uov vou u (v(x))] : P :h(x) = x² : f(x) = (ex - 5)² f(x) = (ex-5) ² (x + 2)² x² +2 ; g(x) = = x + 2 →u(x) = (x - 5)²; V(x) = ex → V(x) = (x - 5)² M(x) = et Zusammengesetzle Funktionen! f (x) = v(x) u(x) Ableiten Produktregel f'(x) = u` (x) - v(x) + u(x) Beispiel = f(x) = e* · (4x + 2) V(x) = 4x +2 u(x) = ex u(x) = ex f'(x) Herleitung? си (хоти lim = 40 h = [U (xo +h)-(xo - ketten regel Beispiel: ex (4x+2) lim =h¬0 = Q* (4x + 6) h Herleitung lim =610 _f(x) = u(v(x)) f (xo) u' (xo) v (x₂) (4+4x + 2) -u(xo) u(x)= x u²(x) = 4x³ + e*.4 v (xo+h) + u(xo) - [V (xoth ) - V (xo) ] h = u(x₂ +h) x (x₂ +h) - U (xo) - v (xo) h u' (v(x)) f v (xo+h) +u (xo) f(x) = (2x² + 2) * + hou (Xo) - v'(to) u(x) + |f'(X) = W (V(X)).V'(X) f (x) = 4(2x² + 2) ³ · 4× = 16x (2x² + 2) ³ f(xo+h)-f(xo) h u (v (xo) + V (xo +h) - v (xo)) v(xoth) -v(xu) U (v (x0) +k) -u (v (xo)) ✓(x) = 2x² + 2 v(x) = 4x [v( xo +h)-V (x₂)] и u (v (xo +h) -u (vxo)) n -u(V (xo)) . ✓ (xo+h)- h ✓ (xo th) - v (x₂) h v (xv) MATHE ABI ANALYSIS ANALYTISCHE GEOMETRIE STOCHASTIK Analytische Geometrie. Allgemein - Vektoren twei-/dreidimensional fehlende koordinaten bestimmen - Rechnen mit Vektoren Vektoraddition · . . aufstellen Gegenvektoren Betting eines Vektors (Large) Abstand zweie Punkte - Skalar produkt Orthogonalitat - Nachweis geometrischer Eigenschaften mit Vektoren Geraden: Skalarmultiplikation Linear kombination. Kolliniaritat Ebenen: Ceraden aufstellen • mit . 9: x² = P³² + t⋅u² Ĵ . Ortsvektor zwei Punkten mit Punkt und vektor Ebenen gleichung aufstellen. 3 Punkl E: X² = P²+tu + Sv ↑ Stützvektor durch • durch Punkt und Gerade Schnitt zweier Geraden then parallele Geraden Richtungsvektor Parametergleichung Normalengleichung • Normalennektor aufstellen - koordinaten gleichung Spannvektoren (nicht identisch) (skreuzprodukt) Umwandlung der verschiedenen Formen Gauß-Verfahren. Kreuz produkt / Vektor produkt Matrizen schreibweise Punkt probe bei Ebenen- - / Gendengleichung ((alle formen) →Dreieck X X Lagebeziehungen Gerade und derade • identisch Schnitt Parallel windschief .... ''''' -Ebene ·.·.·.· . . W • . identixh parallel Abstand Gerade und Ebene Gerade liegt Schnitt parallel Schnittgerade ↳ Schnitt gerade bestimmer ↳ Schnitt winkel bestimmen und - Punkt Ebene Zweier Punkte. Punkt - Gerade - Ebene - Gerade Ebene twet ceraden windschiete Geraden - Zwei Ebener (parallell Ebene Schnittwinkel - Gerade - Gerade Ebene in -Winkel Gerade Ebene Ebene Schatten punkle (parallel) (paraller) zwischer Vektoren i L IGI Punkle in - Dus Es werden erst Schließlich in Durch einen Vektor Bsp.: P(H132.) X₁ X₂ X₂ Punkk Ebene Fußboden X₁ X₂ -Ebene →→x₂ muu 0 sein Wand: Vome bach tabs X₁ X3-Ebene -> X₂ muss 0 sein suala hodobe X₂ X₂ - Eben →x. mull 0 sein Es Koording tersystem hat die Einheiten Raun Vektoren dreidimensionalen Koordinatens Ortsvektory 2.B. Schreibweise you Vektoren in der Ebene. im Koordinatensystem ablesen : eine in X₁-Richtung nachgeziult → Es ist ein Würfel gegeben. Man kann nun gegebenen Koordinaten dem man die Ebenen vergleicht! AB= VE und wird /X₂) F7 P₁ OPE P₁ Pi X₂ /b₁ tabl 6₂-0₂ bs= as P(prlpx 1px) the Y Koordinaten eines Vektors bestimmen i Alanlal as B (b. 1 b₂l6₁) instensystem einzeichnen X₁, X₂- und X₂-Achse * Verschiebung im Raum Betrung eines Vektors → gibt die Länge des Veltors and X₁-Richtung dann 2 x3 +x3 denn anhand bereib die restlichen koordinaten herausfinder, n * 2 X₂ 1 OP - -+ PL-0 p3 -0 beschrieben. X₂-Richtung und = *₁ PL pr Rechnen Vektoraddition. - man kann nur Vektoren der gleichen Dimension -man addiet zwei Veletoren miteinander. x+ werk addest - a² + b² = C Bsp.: a = T 21 L 2 mit $ 5 Bsp a² = ♥ * $ Nektorey /B + 1 = 10 felt 2 4 a = M S b = 2. VL hook r=2 V3 Skalarmultiplikation. - ein Velfor wird mit einer reellen Zahl multipliziert - jeder komponent des Vectors muss mit der Zahl multipliziert werden = ~ b + 10 4+ EL 41 = 18.1₁ (16) Ir. №₂ V.V₂ t. 16 $ Linearkombination - Addition you beliebig vielen Vektoren → Verwendung von Nele for addition Bsp.: ry 16 a addreren inclem وا +6 " man die jeweiliger fata + bi 93 bs V: Skallar r ³1: Veletor wird verlängert 0cc 1: Vektor wird verkürzt rco: Velctor änclest Orientering und Skalarmultiplication kann vorkommen s 1 L A T kolliniaritat - kollineare Vektoren sinel parallele oder anti-parallele Vektoren eines der beiden Vektoren lässt sich als Vielfaches der anderen beschreiben -0²15² → Verlängert verkürzt den Vektor t's Orientierung kann verändert werden It's Richtung kann nicht verändert werden PQ = Abstand von zwei Punklen im Raum zwei Punkle P ( pol pilpi) und @ (qolge las dreidimensionalen Raum Maben ole Abstand N K g₁- Ph Parametergleichung Geraden -Definition: Eine Gleichung der Form • beschreibt Cieraden von - Vektor p • Vektor uts Bsp.: + (9₂ + P²)² + (93=p²) ² Gleichung einer Gerade 1. Stützvektor wählen 3- Paramer gleichung |g₁ 2. Richtungsvektor berechnen →> Verefor -> einer der beiden Punkte (Bip) Richtung vektor : Stutzvektor Richtuns vele fork X = 9:²=²+t AB' bestimmen: Stützveltor Richtung vektor Punkt A zu B autolellen (11 -2 5 1 anhand von AB= A (A1-215 ): B(4161-2) -> lieger auf der + Bestimmen dre eine Gleichung der Gerade 197 Stützrektor: @= zwei Punkten x² = P² + tu? heißt Parametery leichung 6 +2 +t. of 3 8 47 im →→AB Gerade S r Parametergleichung von Gemden anhand + A und Vektor - Punk 1. Ortsvektor you 2. Vektor to als Richtungsvektor nehmen Man erhalt als Ceradengleichung. Bsp. A (21314) V fg t 2. îx X= 4 3 X = 1₁ sind gegeben A as Stützrektor wählen (6) 2+1 3 Q (2014) +t 1 erster Punkt: P(1/2/3) t₂ = 1 1 +t+/-2 Geraden im Raum zeichnen Geradengleichung ist gegeber 1. Stützvek for alls Punkt ins Kourdinatensystem eintragen 2. Zweiter Punkt eine Variable als € einsetzen berechnen (komplete Gleichun) 3. beide Punkte verbinden Bsp +2 مر ما 5 6 5 von Punkt 1 /2 |--2 = O |--2 Variationen von Geradeng kicking X² = OA² + 4√³ X 2 und Vektor X3 3 (tER) 3 IL ( L Skalarprodukt a. 51 b= Winkel - Orthogonalität zwei /a₁ al cos (8) Zwischen is Winkel a Cos (α) = cos (B) = ESCOS Velturen sind. Skalarprodukt zwei Cerader sind orthogonal que insider. das Sikalarprodukt der beiden Richthysvektorey Oist. COS (x ) = (a³1-15³1 ba b₂ b₂ TAB Zwischen den AB Ad TABIACI AB BC BC zwei Vektoren. AC BC AC BC AB 12 12 =an b₁ + a₂ b ₂ + a₂ bs Ergelanie im Regel für verschiedere Parallelogramm: AB = DC Rechteck = DC lauke: Quadrat BC orthogonal zueinander wenn 0 1st a b² = aby +4₂b: tusbs = 0 AD = BC a mit x ≤ 180° Vektoren GTR Vierecke und und 93 AB AB AB-AD=0 =ad berechnen, um den AD=0 = |AB wenn und 1 a Sa 16 berechnen Winkel herauszufinden LAB=AD ום J Lage beziehung. Ju parallet identisch identisch Gerade Ja Liegt der Auspunkt von gaut der Gerade M Paralle 14 g Lagebeziehung: Ebene LE NE octer Sind die Richtugsvelturen Ebene und Gerade Parameter gleiching Las hat ein Ergebnis: Las hat kein Ergebnis: да und ↓ paratet C g kolliniar? din E Chernde Las hat unendlich Ergebnisse: herade liegt in der Rid tungsvektor der chemele Ebene Cheracle Normalergleiching 9 und Cherude Punktprobe: A in €? Wandpunkt Nein gleichsetzen g Gerade Schneidet die Ebene Cherade lit parallel zur Ebene Ebene orthogonal an den Spannwek toner cler wiel Ebele orthogonal Zolmander Schnitt / wiendschief Hat das Las you g= eine eindentige Lösung? Ja its Rightily spelfor n²・u² = 0 vo Wendschief Schnittpunkt → Parameter einsetzen. Mm 5 zu berechnen Nein Neiw J Schuift E ate trevacte Bsp.: 16 4 0 Nei → Schnittpunkt X-P² = O g einsetzen £ 1 + € -2 3 → we dusrechner? 11 0 D FO Lage beziehung Ebene - Ebene →man. L ** muss. Ebenen schneiden Sich in X₁ X₂ Cherude Schnittgerade bestimmen Beupiel: X= = 2 + V = 3 - 25 (3 rin Pammeter gleichung als $ +4r-s (2) 3 Gleichunger den Normalenvektor eine 2. (5 + 4r-s) 10+ 8v -25 E (1) 3 S 2 3 nein Sind die Normal vektoren kolliniar? E₁: 2x₁-6x₂ + 2x₂ = 12 3 alichungen 2 + (4 + 3₂) + 41. einsetzen →Schnitt gerade : /4 1 6 S ·((9) 2 4 16 En einsetzen -6. (2 +r) + 2 (3-23) = 12 12 - 6v = 12 +6 -45. ·65+2r + 4 2v nach S + 35 +51 (3) 6 kennen (Normalen oder koordinaten form). Parallel 1 +5. O 12 3 G hein +S. 4 1 6 liegt der Aufpunkt, E₁ E₂? 11 3 +2 +1 D nach Variable auflösen und nicht " +2 +S. +S. O 2 15 4 c. 7. ().- (.) (.) X= 2 1 3 = 42 = 8 r = 4 1 von identisch O -2 + 6s + 35 1-4 Sortieren 1 + 6s 1:2 2 koordinalabria Lo ab Bedingungen sehen 4 I wnnd II →wähle x₂=t 4 nach x₁ und x aufloven => crevuole failden bei Parameter form: Ebener gleichsetzen Las loten Ebener parallel → keine Lösung → unendlich viele Lösungen → Lösung in Abhängigkeit einer us Schnitt ge P tas? Ebenen identisch Variable: Schnitt gerade hesausfinder & IL Ebenen im Parametergleichung! Die Spannvekturen dürfer nicht kulliniar zueinander sein Raum Festlegung einer → durch nicht ent einer Cherade Ebene 3 Punkle E: X² = OK + S- E₂₁X² = OP + S E₂: = OF S EX² = P durch den Schnitt im Raum Stützvektor (bellie biger Davet) EX² = (A,B,C) AB + AC Von P +S. → durch einen Punkt und eine herade gh Bedingung: Punkt darf nicht auf der Gerace liegen Stulzvektor Ortsveke for 4 Spannvektoren: Richtungsvektor der Gerade. Vektor u+t. PA PA Geraden schneider EX=05+sa+sb · + tv² zweier Geraden (g.h) sich im Bedingung: Stützuektor 03 (Ortsvek for Spannvekturen. Richtumsvektoren der Geraden Stutzvektor olar Gerade von P parallel Richtung, wektoren kolliniar Spannvektoren OF AB (P OKA Punkt & vom Schmittpunkt) → durch zwei parallele Geraden (nicht identich) Bedingung. Geraden müssen Statevektor: Stutzvektor einer der Geraden Spannvekturen: Lichtungsvektor einer Gerade beiden Stutzrekturen der CA+S. + t A AB BE zueinander sein zueinander is a XR S qº n M B V AC und Stützveletor ving To *C beu. den anderen mithilfe berechnen 9 IL Normallengleichung 1x² = P² Tx X koordinaten gleichung t↑ Punkt aut der Ebene I -W = 0 Bsp.: Normalvek for sorthogonal Ebene EX² = A +5.ū² + t.v²³ Bedingungen: IT n-p-n=0 "Normalervektor 2 1 MOO berechnen! fur +t. Th₁ he h3 TAG -2 n h₁ h₂ A h₂ bzw. = 0 isis V 1 +S a n²=0 n = 0 X₁-W₁ + x₂ (+₁ -2 n 4 R f is ME 2n₂ + ^n² + Ons = 0 2n₁ +4₂ = 0 n₂ + x3 · W₁ = d 18+h₂=0 14 +81 n= foy ins -12 E h₂ = -8 -1₁-2h₂ +1ns=0 -h₁-2n₂ +n₂ = 0 nn und w (4)- 2₁ (-8) +h₂ = 0 4 + 16 +13=0 Wählte einsetzen: 4₂ = -12 IG $ Parameter gleichung Normal vektor 2. Für p 7.B. →Normalvek for X₁ X₁₂ € X₁ X₂ => Bsp. 0 O Normal gleichung pr einen Pk ips Xn \ X₂ in Normalgleichung S berechnen Statzvektor beliebijer Wire 2.B.. . (6) + (6 tr A 0 6 6 25-0 1 B Punkt der Parameter gleichung 6 12x₁ + 2x₂ = AL 1 O 0 ₁ M₂ = 0 -grene Koordinaten gleichung dre Normalgleichung einsetzen. 0 +5. 0 20 am olie => h₂x₁ + h₂ X ₂ + hs x3 = n₁p₁ + h₂p² + h₂ps 6 1 6 Normalvektor berechnen" aut besten Normaluck for weste bringer. kiensten nehmen = 0 بنك Ebene multiplizieren X Punktprobe Parameter gleichung mit → Ebene greichsetzen → CGS löjen eindeutiges Ergebnis: Punkt liegt is nicht möglich: Plinkt liegt nicht in ormalen gleichung! →OP des Punkten → überprüfen ob Bsp. P(11213) funkt Bsp.. 5 € (x² - (?)) 4 2 anstelle von auf beider OP () OP einsetzen. 3 Koordinatergleichung S 6 7 1-4 +8 + (-4) -koordinater des → überprüfen ob aut Pin t P(11213) 1 ^ 4 +9 Seiten day und ausmultimplizieren -2 1 einsetzen: = 0 X einsetzen gleiche = 0 010 1-2-2 +3.3=0 1 + in der Ebene der Ebene = 0 14 = 0 Punktes in die gleichung einsetzen Seiten das gleiche beider ✓ Ex-2x₂ + 3x3 = 0 rauskommt → Punkt liegt in der Ebene 3 rauskommt → P liest nicht in E C Abstand • Zweier Punkle (PQ = √ (9₂₁-P₁)² + (Q₂ - p²)² + (9₁-P3 ) ² Punkt - Gerade → Cernizettel Punkt 7. - Ebene → Cernzettel Gerade - Gerade - Ebene -Punkt-Ebene Gerade → Punkt - Gerade Cerade Gerade →→lenzettel Ebene - Ebene →Punkt - Ebene 77 O (paralle) (Punkt (parallel) you g (lunkt von g) (windschiet) (parallel)) (Punkt P aus E) Punkt - Ebene Lot fußpunkt verfahren 4 0 Ⓒ (3 Beispiel E: Hilfigerade in aufstellen Schnittpunkt von h Abstand ⒸHilfigerade W 2 Schnitipunkt • leichter, wenn I Dinsetzen •& in (4) 2 3. (4+3+) 12 +9t S (3 Abstand ISPI= P von 2 -^ 2 und P und X = hin 9 +1+4 3 7 + 2 + + 3x₁ + x₂ + 2x3 S und 3 1 =O 2 3 () () 1 1 Hilfsebene (senkrecht auf E, enthilt P) 2 12 12 Schnittpunkt P + E einsetzen koordinater form bestimmen +t. 274 Ts 2-(2-24) +4t 4 14 + + 18 14+ berechnen P () 2 2 1² 1 = 4 ~3,7 = 4 t H +1 = -AM → 5( 11 1 1 0) 1-18 1:14 7 Abstand Bedingungen: 1. 1 (2) 31 d= (4) 2. Lot fußpunktverfahren! A Abstands formel 2 Gleichungssystem autstellen (3) Gleichungssystem lören 9 Abstand g von T 1 (P²-9²).ñ'²1 IRI allgemeinen Verbindungsvektor aufstellen Bedingung steht aut den T -durten sich -dürfen nicht X = I Sg Sh Sg Sh windschiefen Geraden Sg (2+ S → Sn ( 2 + 2+ . berechnen Sg sh = 5h² 2 1 1 - Sin => Verbindungsnektor a b +5 zwei = 0 A Oo - 2s +2+ = 1 - 25 +5 t = -1 t in Sh ان nicht 1+3 0 Sg. einsetzen einsetzen Punkte Schneider parallel sein senkrecht. A 1 0 →Abstand. 2 ; t = - 3 P. 9²: Stutzvektoren n : Normalen vektor → ಠ2 1 H h: x = Richtungsvektoren ++) 2+ -$1 -1-5 1+t 2+2t 0 2+t hach bestimmen ausrechnen D Cheraden 2 O 2 der + t 2+s 1 beiden Geraden der beiden 2 O 12 1 b 20.03.22 /2+-51 =-1-5 1 +t und t auflish Abstand -kürzester - lot Lot fußpunkt verfahren mit 1 2 13 Ⓒ Ls Lotfußpunkt Hilfsebene Beispiel: Punkt Abstand trifft orthogend auf die Hilfrebene V aufstellen senkrecht auf g Lotfußpunkt bestimmen Abstand Richtungs rektor H2x₁ tin berechnen berechnen 2 Schnittpunkt 3 Abstand g g 2. (2 + 2+ ) X = und + 0x₂ + 2x3 (P von (3) 1 1 2.5 +0.2 + 2. 3 2x₁ +2x5 einsetzen einsetzen: und H P SP = 1.2 cerade , enthilk P ↑ tt. einsetzen. g +2 1 + 2t = ✓ und (Schnittpunkt Eigl = 16 Cheracle op O ;P ($1213) 2 16 H t = 1,25 einsetzen) S (45111 3,5) Ls Lotfuß punkt S berechnen 5 MATHE ABI ANALYSIS ANALYTISCHE GEOMETRIE STOCHASTIK Binomial verteilung n: Anzahl der Würfe / Ziehungen /... Pr Erfolgsbuhrscheinlichkeit P(x = k) = (^) · pk P (k₂ ≤ x ≤ k ₂ ) ↑ U لام Bsp: k! Erwartungswert und Standartabweichung M = E(X) = n.p v=1np P-9 n = 100 n · (n-k)! -h-k 9 68,5 in das 95,4%. in das 99,77. in das ; p = 0,2 = 100- 0,2 = 20 M = E (X) 10 = √ 100.0/2.0,8 = 16 ↳ durchschnittliche Entfernung i 9=0,8 Sigmangel Die Werke von x fallen in ethon...... 1-0 - Intervall 2-0 - Intervall 3-0 - Intervall → beim bestimmen untere Schranke aufrunden obene Schranke abrunden k: Anzahl der Erfolge 9 = 1-p: Gegenwahrsch - GTR = binampdf (nip.k) →GTR : binomedf (ni pika.kz) Erwartungswert Standarta bweichung : A co O der Intervallgrenzen 10 →→ gibt an, mit welchem west ich auf lange Sicht rechnen zum Erwartungswert Kann rscheinlichkeit. [μ-0 iM+O [μ-2.0μ +2·0] [μ- 3:0₁M 3.0] (W) = 49 Diagramme (Histogramme) Saulendiagramm zur grafischen Darstellung der Häufigkeitsverteilung. - die Summe der Balkenhöhen ist 1 großer werdenem in: Histogramm wird 2 kleinere n schmaler breiter (mehr Ereignisse) ist nicht mehr so hoch (weniger höher Ereignisse) das ni desto symmetrischer Verhalten sich die Bakkely Je hone Erwartungswert M: höchste Balken das Histogramm mit Histogramme mit Beispiel 1 p=0₁5 ist symmetrisch 2. B. Laplace-Experiment → Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten P (i) = Werfen Summe der Erge p=0₁1 and p=0,9 sind edem Durchgang Führt man das von einer Ergebnisse einnes Bernoulli - Experiment → Zufall experiment mit nur (Treffer und Niete) Würfels P() = 1 Experiment Bernoullikette gespregelt •Wahrscheinlichkeit für einen Treffer P Wahrscheinlichkeit für eine Niete 'q = 1- P₁ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer / Niete bleibt voneinander unabhängig n-mal durch, spricht man der Länge n. → gleich zwei mögliches Ergebnissen 7 bei C Problemlosen mit der Wahrscheinlichkeit P - geg: n pigi Beispiel: 37 kugelschreiber sind defekt gesucht ↳ Mit welcher Wahochemlichkeit sind von 25 mindestens 2 defekt? n = 25 P ( X = 2) = 0,172 Binomial verteilung p = 0.03; 9=0,97 A: Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 defeit Stichprobengröße in gesucht →gegspl: 9; P Tabelle > 17,2%. Beispiel: 47. Männer: rut p = 0,04; 9 =0.96; P(x ² ) ² 0.9 ^- P(x < 1) = 0,9 1- P ( x = 0) ² 0,9 1- (0) -p⁰.gh) ² 0.9 1-1-1-9" ²0.9 1-9" 20,9 1-1 - 9h ² -0,₁ (+ (-1)" 9" =0,1 0,96" ≤ 0,1 | log n = log0,86 (0.1) n² 5641 n 19 A 198 rut /gnian Schwäche Lo Große der Gruppe, damit mit E mindestens 22 mindestens P(X²5) ²09 ↳ nur mit GTR im GTR: muss A: Die Gruppe muss bestehen →bzu. P 0101957 0.099597 17,2% sind X: Anzahl der defekten Kugelschreiber (bzw. P (2 ≤ x ≤25)) losbar Von 1 aw dr ampre farberblind ist 5 au dir Gruppe furbenblind sind 90%. 670.0.9 → bzw P(x =0) ≤ 0,1 P(x = 1) unter 0,1 sein Me: $454A P(Z≤x≤5) ← unter 0. →Mena-5-548 25 Kugelschreibern A: Die Gruppe muss aus mindestens SA Mannern bestehen mindestens 907. Wahrscheinlichkeit -kumulative Wahrscheinlichkeit. aus mindestens 198 Männern P(x ≤4) ≤ 0,1 (nur schriftlich, wenn x=0) ? Menu 5→SID . Hypotesentest! man möchte der Grundsatz Es steher sich zwei Nullhypothese Ho → sull geprüft werden Regenhypot here Hi 14H 5 ↳ es wird geprüft, ob in: Stichproben umfang P A etwas Daten nachweisen, mit Hilfe von erworbenen ist hierbei, dass wir das Gegenteil wiederlegen müssen der Fall, wird Ho als gültig erachtet dazh Der Hypotesentest dient zu einer Entscheidung in und H. angenommen und ↳ keine 100%-ige Sicherheit, da Cresumtmenge geschlossen wird Zweiseitiger Hypotesentest 뜰 Wahrscheinlichkeit Irrtumswahrscheinlichkeit 8|№ Beispiel: A Nullhypothese Alternative einander wiedersprechende Behauptungen gegenüber Annahmebereich 2 Tabelle im 1. Grenzen mit Hilfe von x [a, b] erster west- über 2.57. %% GTR Но H₂ dre logiche Verneinung von Ho. H₂ bewiesen werden kann. n = 100; p=0₁3 ; x = 5%. A = sea (a, a, 0.0.^) Ā anhand eines kommen welche der welche verworfen wird entellen P=0₁3 p#0₁3 ·Obere Cirevize von erster West übe 93.54. Wik, dass man Ho verwirft. Obuon sie richtig ist festlegen: α = 51. einer Stichprobe auf # "antere areuve übernehmen (genau so eingeben) an de Aufgabe anpassen ist das Stichproben- Ergebnisses Hypothesen H₂ X: Anzahl der Treffer nicht Annahme bereich A Ablehnungsbereich Ā Ablehnungsbereich (0; 0-1 ] u. [b+^; n] J erster weit Unter 2,5%. B = binomed f Ch eine zweiter West über 97,5% 9 3. Annahme und Ablehnungsbereich festlegen → aw der Tabelle Ablesen Annahmebereich Ablehnungsbereich 38 5. Entscheiden 6. 4. Entscheidungsregel Entscheidungsregel! Bei eine Theffer zahl wird Ho angenommen. ansonsten A Einseitiger Hypotesentest rechtsseitig links,seitig A Irrtumswahrscheinlichkeit AA "" ob Ho angenomm Annahmebereich Ablehnungsbereich A [20 38] [019] u. [39; 100] aufstellen A ode Irrtumswahrscheinlichkeit: Po.3 (A) = Po₁² (0² X²19) + P₁₁² (39 ≤ x ≤ 100) = 0,0429 = 4,29%. →mas kleiner als berechnen zwischen verworfen 30 2-B нь verworten wird P=0,6 Hn: 02016 Beispiel: x = S/. 20 und Z-B to · p=0.6 H₂: 04016 F eroter werk übe 951. J Annahmebereich = [0; a-^] Ablehnungsbereich A = [ain] zweiler wert über gsy. Beispiel: α = 5/ Annahme bereich Ablehhungsbereich A α = 51 sein erster West über 5%. 2 A = [an] [0:9-1] T .. wenwer west unter sy. C Fehler Nullhypothese wird Fehler 1. & 2. Art man 1. Art muss Fehler 2. Art → Die Nullhypothese wird fälschlicherweise verworfen. Obwohl Sie wahr ist eine neue Beispiel: n = 25 X: Anzahl -verworfen akzeptiert → Die Nullhypothese wird fälschlicherweise akzeptiert Sie falsch List Wisk für den → Wsk für den die Irrtum wahrscheinlichkeit berechnen Wahrscheinlich keit →Annahmebereich Zustand der Wirklichkeit Nullhypothere wahr Nullhypothese falsch ↓ Fehler 1. Art richtige Entscheidung Fehler 2. Art. richtige Entscheidung A = [0, 17 Ablehnungsbereich Ā= [18; 25] Fehler ; H₂= P = 0,5; H₁: p > 0,5 (rechtsseitig) ; X = 51. der Treffer 1. Art wird gegeben Irrtumswahrscheinlichkeit: Po.5 (A) =P ( 18 ≤ x ≤ 25 ) Wie hoch ist scheinlichkeit tatsächlich bei 70%. liegt" Po₁t (A) = PO₁7 ( X ² 17 ) = 0,4881 Fehler 2. Art: die Wisk for den Fehler 2. Art, wenn I = 48.847. obwohl = 0,0216 2.27 = cre Treffer wahr- P=0₁7 Normal verteilung (auch Gauß-Verteilung) → Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der sich zufällige Abweichungen Durchschnittswerten beschreiben lassen Von Normgrüßten (Gewicht, Größen) Gauß'sche Glockenkurve! - die zugehörigen Zufallsgrüßen können alle Werte aus einem Intervall (unendlich viele werked annehmen stetig Bincomal verteilung hat mine 17 Wahrscheinlichkeitsdichte →verrät einem (2) oder die Glocken kurne ist de Gruph eine Funktion Funktionsgleichung der Form: Y(x) = ₁² e ² (1) f (x) = 0 für alle x b f(x) dx = 1 chape -wenn ±0.5 y-Achse die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebniute - Es gibt Kriterien: Eine Funktion f heißt Wahrscheinlichkeits- dichte über einem Intervall I (z. B. T=[a; 6] wenn gilt: zwei werve / Zahlon (diskret) aus I ↳ Moivre - Laplace Y die Standart abweichung & 3 ansonsten nicht mit Werte einer Zufallsgröße - Die Wisk, dass die Intervall liegen kann mithilfe der Fläche unter auf diesem Intervall bestimmt werden Für einen Einzelwert (ein ganz genauer, diskreter Wert) degenerat diese Fläche zu einer Flache mit dem Inhalt O LWSK • dass die Anfallsgröße einen singularen Wert annimmt bestimmten benust man x-Achie einer in einem bestimmten de Glockenkurne die ist Null Grenzen Beispiel 1 (2 (3 Rechnungen f (x)=3-(x - 1)² 3 (x-11² ist 3(x-11² dx f (x) = 3 ⋅ (x-1)² - Wsk, dass on O (2) →f ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte b.$ 0 0 -wein Münze weniger 3 (x-1) dx = 0₁271 = 27,1%. eine Erwartungswert Erwartungswert: Im [0:1] f(x) → Gewicht von Hühner eiern exakt - ein zufällig überprüftes Ei Liegt 58g " M = 4(x) = √₂πT Intervall [0:1] Wsk, dass eine Münze weniger als 0,5m von der Wand liegt 3(x-1) ² dx = 0,875 = 87,5%. → Abstand X (in m) von einer Wand a Normalverteilung aufstellen. → mithilfe von M und und Standart abweichung- als Bufällig überprüftes Ei wiegt 58g" → wsk: 26% L+-0.5 x. f(x) dx 0,1m e 2:0² -(X-M)' 20 Von de Wand liegt (x-μ)² f (x) dx → Wsk: Null Standartabweichung - an der Stelle X= M hat die Standart abu Glockenkurve einen Hochpunkt abweichung desto breiter / flacher verläuft je großer die "die Glockenkurve an den Stellen Glockenkurve am steilsten X₁₂₁=M +0 und X₂ = M = 0 verläuft dire Veränderung des Erwartungswert M. fühst to einer Verschiebung out des x-Achse um M Tabelle: alle were eintragen Diagramm erstellen? Mena→ 37 kurve hinterfügen. Meri 945१ were ablesen 14 M 12-0 3) Mit dem Beispiel 4215 f y(x) dx 38.5 F 2 3 9 5 G GTR mindesten 3.... 40-b S 8 P ( X = 3) höchstens B.." P(X≤ 3 kleiner P (X²3) Prozent P(x > 3 Umformen als 3... "Zwischen als 3 gerundet P ( X = 8) zu: " 4 40,8 (x) dx 40-6 = 37.97 → Cale menu → 5: Wak B P (8 < X < 12) = Variablen gesucht Beispiels дедь P (40 - b = x = 40 +b = berechnen 715 8.$ 1 y (x) dx 3 3 = 0.41 8 200 p(x) dx 8 und → 5: Verteilung → 2: Normcdf/ 3 Sy(x) dx 3 M = 40; y (x) dx 12.. yax) dx 2105 40 1 y(x) dx 8 0 = 8 = 0,2 b = 2,03 18.5 1 / услове 7.5 i Abweichung inv Norm Flache: 0.4 40% = 5.07% um 0,2 CAT Н n 40-6 40 40+ M o : 8 124 Stochastische Prozesse Beispiel: Übergangs-/Prozess diagram 0.5 CO Tabelle A B M = - Behälter mit 12 000 Teilchen (9000 in Teil A Rest in Teil BJ -Nach 10min: 10% der Teilchen aus Teil A wechseln zu Teil B 20% der Teilchen aus Teil B. wechseln zu Tell A A von M. No 0.1 ↓ 1 Übergangsmatrix? Beispiel rechnung! Startverteilung nach 10 min. 0₁2 nach weiteren 0,11 B 0,2 0,8 0,9 0.21 0.1 0,8 # 1 A: 9000 B 3000 (n. Zustandsverteilung) = 0.9 0.2 0,1 0.8 10min 0.8 M. V₂ M.V =V₂₁₂ - nack M.V =VJ →sehr aufwendig (0.9 6.1 gooo 3000 weiteren 10min → nach weiteren 10m in - Vo (3000) (2. Zustandsverteilung )+ 10.2.). .). (200) (2590) 8490 3300 3510 Zustandsvektor 8700 in Teil A 3 300 →in Teil B →vereinfachen de Rechnung - Übergangsprozesse mit einer Matrix ⇒übergangsmatrix Übergangsmateix/ (stochastische gleich viele Zeilen und Spalten die Spillensummen haben den Wert alle Einträge liegen zwöchen 0 und 1 M= Beispiel: nach nach nach nach nach M 0.9 0.29 0.1 0.8 10mm = 20min: 30 min i yomin Z G 50min 101 9.6 Matrizen multiplikation Beisprey! T> EP 04 Absorbierender Zustand V = M. T M². M³. MY. MS. = f Anfangszahlen 7₂ G 0.6 Matrix) n ax + b∙y + dy 13 X W (sow 3000 nicht 2 ^ = M. (M.) Love + by + dg M. (M². J) 10.5 0.2 15 0₁4 0.8 →End zustand, den man mehr verlassen kann. Ringpleil mit der übergangswahrscheinlichkeit 1 aufstellen 1 9000 3000 at + bh cf + dh " Z₂ (8168.07 3831,93 (₁ 0,6 0.4 O €2 0.6 0.4 Teil A Teil 8 MO 0 1 Grenzmatrix! I die Potenzen von bestimmen der Beispiel: große Zahlen für Mr und MY M = 0.2 M Grenzverteilung F M" ✔ R Beispiel: O Grenzmatrix 100 t> ✓ = Gren&matrix ми (A² → Veränderung In einsetzen müssen gleich sein s (6) M 100 für 416 - mit der Grenzmatrix kann man zu einer beliebigen Startverteilung suport de Crentverteilung bestimmen /0,33 0,93 0.16 0.16 0.83 0.46 Startvektor /Anfangszahlen ✓ ✓ Start zustand 0,83 0,16 nähern sich einer Grenzmatrix → Verteilung mcd vielen Durchführungen, die sick avergangsvertering 0183 0,46 M So Grenzmatrix 10.83 0.831 0.16 0.16f ・Grenzverteilung tum 1. Zustand nicht mehr veindlust 100 D