Mathematische Optimierung: Flächeninhalt und Umfang im Abitur
Die Mathe Abitur Aufgaben mit Lösungen im Bereich der Analysis befassen sich häufig mit Optimierungsproblemen. Ein klassisches Beispiel ist die Berechnung des maximalen Flächeninhalts bei gegebenem Umfang oder umgekehrt. Diese Aufgaben sind besonders relevant für das Mathe-Abitur NRW und andere Bundesländer.
Definition: Die Zielfunktion Au = fu - Zu beschreibt den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang einer geometrischen Figur. Dabei steht fx = x² + 9 für die grundlegende Funktionsgleichung.
Bei der Optimierung betrachten wir verschiedene Punkte wie A−1,0, B0,0, Cu,f(u) und D−u,f(−u). Die Berechnung des Flächeninhalts erfolgt durch die Formel A = a + b, wobei der Umfang durch Uu = 22u−u2+9 gegeben ist. Diese Formeln sind essentiell für die Krümmungsverhalten Aufgaben.
Die Analyse des Extremwerts erfordert die Anwendung der Ableitungsregeln. Dabei wird die erste Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen und die zweite Ableitung zur Überprüfung des Krümmungsverhaltens verwendet. Die Lösung zeigt, dass der maximale Flächeninhalt bei u = √3 erreicht wird, was zu den Dimensionen a = 2u und b = -u² + 9 führt.